Решается сходу, довольно красиво: 1) пусть K - точка касания отрезка MN с окружностью 2) AM = MK и CN = NK как отрезки касательных, имеющие общую вершину 3) треугольник MND - прямоугольный, с катетами 3 и 4; тогда по теореме Пифагора гипотенуза MN = 5 4) из п.2 следует, что AM + CN = MK + NK = MN = 5 6) две стороны квадрата AD + CD = AM + MD + DN + NC = (AM + CN) + MD + DN = 5 + 4 + 3 = 12; тогда одна сторона квадрата равна 12/2 = 6 Ответ: 6.
Геометрия - это 10 основных задач - остальное вариации. Здесь еще ромб не дали, не провели параллельную AB через т. М. Две вчерашних задачи я сам, например, придумал, их не было в природе. Конечно, на основании тех 10 главных задач. Хорошо, что не надоедает. Это важно. Обучение - это бесконечное повторение похожего, что в спорте, что в музыке, что в балете, что в геометрии.
Полупериметр треугольника, образованный прямым углом квадрата и касательной вписанной окружности, всегда равен стороне этого квадрата. Площадь квадрата равна квадрату такого полупериметра, радиус такой окружности равен полупериметру такого треугольника. Площадь окружности равна квадрату полупериметра, умноженному на Пи, а длина окружности - периметру треугольника, умноженному на Пи. Зная значения лишь двух невзаимозависимых элементов отсеченного треугольника, можно найти все значения и треугольника и квадрата и вписанной окружности. Это всё я хорошо усвоил после просмотра одного из видео на данном канале. )))
Нашел док-во проще. Ставим центр треугольника АВС. Опускаем r на сторону с. Он отсекает от нее отрезок р-а это легко доказывается Соединяем центр большой окружности с центром малой и доводим до вершины А. Получаем два подобных тр-ка. Ну и R/r=p/(p-a), pr=(p-a)R
Для Д.З. получилась очень симпатичная формула в общем виде : R = [(a + b + c)/2]∙√{[a^2 -(b - c)^2]/[(b + c)^2 - a^2]}. Подставим : R = 21∙√(192/588) = 21∙4/7 = 12. Можно немножко упростить : R = 0.5∙√{[(a + b)^2 - c^2]∙(a + c - b)/(b + c - a)}. Подставляя, получим : R = 0.5∙√(504∙16/14) = 12.
Х = 6 O - точка где касается окружность треугольника АМ = МО = a NC = NO = b Тогда х = а + 4 = b + 3 Ну и a+b = 5 (как гипотеза египетского треугольника) Откуда х будет = 6
MN = 5 по теореме Пифагора. Жёлтая окружность является вневписанной для розового треугольника, а x - длина касательной из D к ней, которая равна полупериметру треугольника, т.е. 6
Как видно из комментариев, многие принимаются за решение задачи сразу, исходя лишь из условий, предложенных составителем задачи, и не выяснив условий задачи исчерпывающим образом, т.е. также и таких, какие задача предполагает "по умолчанию". А благодаря такому скороспелому порыву пускаются "во все тяжкие": в лучшем случае, лихорадочно вспоминают разные сведения из разных областей геометрии и математики, или в худшем, бегут за тригонометрией, аналитической геометрией и т.д., и т.п.. Разумеется, что в итоге задача оказывается решенной, но либо без понимания самой природы задачи, либо ценой не пропорциональных ей усилий. Такие победы вряд ли могут рассматриваться как подлинные победы духа. Зачастую они оказываются пирровыми. Очень часто для решения поставленной задачи не обязательно сразу приниматься за её решение. Опыт тому свидетель. В таких случаях, чтобы решить задачу, бывает достаточно исследовать её, выяснить и понять, из каких вообще условий эта задача была поставлена. Это касается и приведенного в видеосюжете случая. Сам исходный рисунок в настоящем случае показывает нам достаточно, что в основе его создания заложен симбиоз квадрата со сторонами 12 × 12 и вписанного в него круга, радиусом в 6. Таким образом, сама задача приобретает вид вопроса: "сколько будет дважды два четыре"? И оказывается, что решать-то здесь нечего. В таких случаях обнаруживается, что мы имеем дело не с подлинной задачей, а с пустышкой, с "задачей" выяснения заведомо ясного и известного ... по меньшей мере составителю задачи, сидящему и посмеивающемуся в сторонке. Чтобы дать почувствовать всем разницу между такими "задачами" и подлинными задачами, требующими действительного мышления, я приведу следующую: дан разделенный на три равные части угол; из вершины этого угла построена окружность известного радиуса. Известными по величине являются и хорды третей данного угла. Найти длину хорды данного угла. В заключение можно сказать следующее. Чтобы превратить предложенную Валерием Казаковым "задачу" в подлинную задачу, её следует переформулировать следующим образом: дан квадрат со сторонами 12 × 12 и вписанный в него круг, радиусом в 6; в правом нижнем углу квадрата на его сторонах построен прямоугольный треугольник, вертикальный катет которого 3, а горизонтальный 4. Как относится гипотенуза такого треугольника ко вписанной в квадрат окружности: не касается её, касается или пересекает? Если же окажется, что гипотенуза окружности таки касается, то в какой пропорции окружность своим касанием делит эту гипотенузу? Только в таком виде задача приобретёт подлинно практическое значение, в частности, в строительстве.
ДЗ. полупериметр p=21., S=pr-ar, по формуле Герона S=√(p(p-a)(p-b)(p-c)). Приравняв площади и подставив числа получим 21r-14r=√(21×7×8×6), 7r=84, r=12.
кажется маэстро в прошлом году разбирал эту тему... надо обратить внимание что АМ=МК и KN=KC... MN=5... тогда если сторона кв а, то сводим все к ур-.ю... 5=a-4+a-3... a=6
Я уже освоил многие ваши приемчики. Разрезаем верёвочку =5 в точке касания и взбиваем концы колышками в тт А и С Удвоенный радиус равен 5+3+4=12. Ответ:6
С одной стороны отрезок отсекает половину стороны а с другой примерно треть ...3 половина а 4 две трети получается трижды два шесть и четыре плюс два шесть
К сожалению, знакомство с вневписанными окружностями "обнуляет" эту задачу. Радиус равен полупериметру. Если интересно, тут есть забавная симметрия. Как известно, S = pr, но, как менее известно (по неизвестной причине), S = (p - c)ρ (ρ это неизвестный радиус х из задачи, радиус вневписанной окружности, касающейся стороны c и продолжений двух других сторон, доказывается в точности также, как и первая формула, и не только для прямоугольных треугольников, а для любых). С учетом того, что в прямоугольном треугольнике r = p - c, следовательно ρ = p, и площадь прямоугольного треугольника равна S = ρr;
Решение - проще не придумаешь. Пусть Р - точка касания. Обозначим МР=Х, тогда из треугольника MND получаем PN=5-X. Ясно, что AD=4+X, a DC=3+(5-X). Приравниваем AD=DC и решаем уравнение 4+Х=3+(5-Х), откуда Х=2, значит сторона квадрата равна 6. Задача решена.
Продлил ВК до пересечения с АD в т. Р. Из подобия тр-ков МКР и МND принял АМ = 4х, тогда МР = 5х, КР = 3х. По св-ву касательной и секущей АР² = КР(КР + 2R). (9х)² = 3х(3х + 2R). х = R/12, АМ = R/3, R = 6.
Слишком усложненное решение. Достаточно свойства АВ=АС. Очевидно, что АМ=х-4, а СN= x-3, следовательно АС=2х-7. И так как АС=5, то 2х-7=5 и х=6. Про периметр треугольника образованного тремя касательными это лишнее усложнение. Зачем плодить сущности сверх необходимого?
![Идея, решающая 70% геометрических задач [4K]](http://i.ytimg.com/vi/1Jd7ukZir-U/mqdefault.jpg)
Решается сходу, довольно красиво:
1) пусть K - точка касания отрезка MN с окружностью
2) AM = MK и CN = NK как отрезки касательных, имеющие общую вершину
3) треугольник MND - прямоугольный, с катетами 3 и 4; тогда по теореме Пифагора гипотенуза MN = 5
4) из п.2 следует, что AM + CN = MK + NK = MN = 5
6) две стороны квадрата AD + CD = AM + MD + DN + NC = (AM + CN) + MD + DN = 5 + 4 + 3 = 12; тогда одна сторона квадрата равна 12/2 = 6
Ответ: 6.
Смотрю на это уже который ролик! Знаю уже всё это! И не надоедает! Спасибо! Умеете объяснять!!!
Геометрия - это 10 основных задач - остальное вариации. Здесь еще ромб не дали, не провели параллельную AB через т. М. Две вчерашних задачи я сам, например, придумал, их не было в природе. Конечно, на основании тех 10 главных задач. Хорошо, что не надоедает. Это важно. Обучение - это бесконечное повторение похожего, что в спорте, что в музыке, что в балете, что в геометрии.
Полупериметр треугольника, образованный прямым углом квадрата и касательной вписанной окружности, всегда равен стороне этого квадрата.
Площадь квадрата равна квадрату такого полупериметра, радиус такой окружности равен полупериметру такого треугольника. Площадь окружности равна квадрату полупериметра, умноженному на Пи, а длина окружности - периметру треугольника, умноженному на Пи.
Зная значения лишь двух невзаимозависимых элементов отсеченного треугольника, можно найти все значения и треугольника и квадрата и вписанной окружности.
Это всё я хорошо усвоил после просмотра одного из видео на данном канале. )))
Очень приятно. Попробуйте достроить до ромба.
Уравнение прямой MN в отрезках: x/4+y/3=1 ⟹ 4y+3x-12=0. Расстояние от В до этой прямой : R = (7R - 12)/5 ⟹ R = 6.
6 в уме. Так же решал, только уравнение чуть по-другому выглядело. х-4+х-3=5.
Спасибо ....я ваш ученик Умид Юлдашев
Благодарю. ДЗ 12. Площадь 84 нашел Героном, далее вашей формулой.
Отлично. Там кто-то 21 получил. Напишите ему.
Нашел док-во проще. Ставим центр треугольника АВС. Опускаем r на сторону с. Он отсекает от нее отрезок р-а это легко доказывается Соединяем центр большой окружности с центром малой и доводим до вершины А. Получаем два подобных тр-ка. Ну и R/r=p/(p-a), pr=(p-a)R
Отрезки касательной пусть х,у. Имеем х+у=5. AD+DC=4+x+3+y=7+5=12. Применил свойство касательных тогда х=12/2
Отлично. Теперь ДЗ!
Самое простое решение...
Очень легко. Х=6. MN=5. Следовательно AM+CN=5. Тогда AD+CD=5+3+4=12. X=6
Отлично. Теперь ДЗ.
Для Д.З. получилась очень симпатичная формула в общем виде : R = [(a + b + c)/2]∙√{[a^2 -(b - c)^2]/[(b + c)^2 - a^2]}. Подставим : R = 21∙√(192/588) = 21∙4/7 = 12. Можно немножко упростить : R = 0.5∙√{[(a + b)^2 - c^2]∙(a + c - b)/(b + c - a)}. Подставляя, получим : R = 0.5∙√(504∙16/14) = 12.
Отлично.
Х = 6
O - точка где касается окружность треугольника
АМ = МО = a
NC = NO = b
Тогда
х = а + 4 = b + 3
Ну и a+b = 5 (как гипотеза египетского треугольника)
Откуда х будет = 6
Отлично. Теперь ДЗ!
@@GeometriaValeriyKazakov а я не смотрел видео, я ответ после первой картинки написал. Сейчас прослушаю и попробую Д.З
@@ОлегПолканов-д1н про египетский я и забыл - хорошо, что напомнил.
@@GeometriaValeriyKazakov готово.
Египет Гипотенуза 2 По свойствам касательных из одной точки Две стороны квадрата будут 3+4+5=12 Ответ 6
MN = 5 по теореме Пифагора. Жёлтая окружность является вневписанной для розового треугольника, а x - длина касательной из D к ней, которая равна полупериметру треугольника, т.е. 6
Отлично!
Как видно из комментариев, многие принимаются за решение задачи сразу, исходя лишь из условий, предложенных составителем задачи, и не выяснив условий задачи исчерпывающим образом, т.е. также и таких, какие задача предполагает "по умолчанию". А благодаря такому скороспелому порыву пускаются "во все тяжкие": в лучшем случае, лихорадочно вспоминают разные сведения из разных областей геометрии и математики, или в худшем, бегут за тригонометрией, аналитической геометрией и т.д., и т.п.. Разумеется, что в итоге задача оказывается решенной, но либо без понимания самой природы задачи, либо ценой не пропорциональных ей усилий. Такие победы вряд ли могут рассматриваться как подлинные победы духа. Зачастую они оказываются пирровыми.
Очень часто для решения поставленной задачи не обязательно сразу приниматься за её решение. Опыт тому свидетель. В таких случаях, чтобы решить задачу, бывает достаточно исследовать её, выяснить и понять, из каких вообще условий эта задача была поставлена.
Это касается и приведенного в видеосюжете случая. Сам исходный рисунок в настоящем случае показывает нам достаточно, что в основе его создания заложен симбиоз квадрата со сторонами 12 × 12 и вписанного в него круга, радиусом в 6. Таким образом, сама задача приобретает вид вопроса: "сколько будет дважды два четыре"? И оказывается, что решать-то здесь нечего. В таких случаях обнаруживается, что мы имеем дело не с подлинной задачей, а с пустышкой, с "задачей" выяснения заведомо ясного и известного ... по меньшей мере составителю задачи, сидящему и посмеивающемуся в сторонке.
Чтобы дать почувствовать всем разницу между такими "задачами" и подлинными задачами, требующими действительного мышления, я приведу следующую: дан разделенный на три равные части угол; из вершины этого угла построена окружность известного радиуса. Известными по величине являются и хорды третей данного угла. Найти длину хорды данного угла.
В заключение можно сказать следующее. Чтобы превратить предложенную Валерием Казаковым "задачу" в подлинную задачу, её следует переформулировать следующим образом: дан квадрат со сторонами 12 × 12 и вписанный в него круг, радиусом в 6; в правом нижнем углу квадрата на его сторонах построен прямоугольный треугольник, вертикальный катет которого 3, а горизонтальный 4. Как относится гипотенуза такого треугольника ко вписанной в квадрат окружности: не касается её, касается или пересекает? Если же окажется, что гипотенуза окружности таки касается, то в какой пропорции окружность своим касанием делит эту гипотенузу?
Только в таком виде задача приобретёт подлинно практическое значение, в частности, в строительстве.
Спасибо за подробный комментарий. Во многом согласен.
CN=NK=x-3; AM=MK=x-4 (отрезки касательной)
MK+NK=5 (т. Пифагора)
x-3+x-4=5
x=6
ДЗ. полупериметр p=21., S=pr-ar, по формуле Герона S=√(p(p-a)(p-b)(p-c)). Приравняв площади и подставив числа получим 21r-14r=√(21×7×8×6), 7r=84, r=12.
Спасибо.
Я столько искал ошибку в расчетах у себя потому что у меня другая цифра получалось а оказалось что у вас простая опечатка: 84/7 = 12, а не 21...
@@ОлегПолканов-д1нконечно 84/7=12, голосовой редактор изменил на 21. Уже исправил.
кажется маэстро в прошлом году разбирал эту тему... надо обратить внимание что АМ=МК и KN=KC... MN=5... тогда если сторона кв а, то сводим все к ур-.ю... 5=a-4+a-3... a=6
Х=6.через смещение в пределах 3 и 4 делаем сегмент восьмигранника со стороной 5. 2,5+3,5=6
Интересно.
Я уже освоил многие ваши приемчики. Разрезаем верёвочку =5 в точке касания и взбиваем концы колышками в тт А и С Удвоенный радиус равен 5+3+4=12.
Ответ:6
Отлично.
Именно так современники Пифагора в Египте размечали прямой угол.
С одной стороны отрезок отсекает половину стороны а с другой примерно треть ...3 половина а 4 две трети получается трижды два шесть и четыре плюс два шесть
К сожалению, знакомство с вневписанными окружностями "обнуляет" эту задачу. Радиус равен полупериметру.
Если интересно, тут есть забавная симметрия. Как известно, S = pr, но, как менее известно (по неизвестной причине), S = (p - c)ρ (ρ это неизвестный радиус х из задачи, радиус вневписанной окружности, касающейся стороны c и продолжений двух других сторон, доказывается в точности также, как и первая формула, и не только для прямоугольных треугольников, а для любых). С учетом того, что в прямоугольном треугольнике r = p - c, следовательно ρ = p, и площадь прямоугольного треугольника равна S = ρr;
Решение - проще не придумаешь. Пусть Р - точка касания. Обозначим МР=Х, тогда из треугольника MND получаем PN=5-X. Ясно, что AD=4+X, a DC=3+(5-X). Приравниваем AD=DC и решаем уравнение 4+Х=3+(5-Х), откуда Х=2, значит сторона квадрата равна 6. Задача решена.
оТЛИЧНО.
Продлил ВК до пересечения с АD в т. Р. Из подобия тр-ков МКР и МND принял АМ = 4х,
тогда МР = 5х, КР = 3х. По св-ву касательной и секущей АР² = КР(КР + 2R). (9х)² = 3х(3х + 2R). х = R/12, АМ = R/3, R = 6.
Отлично.
Ну очевидно-устно. СД+АД=АМ+МN+CN=4+3+5(Пифагор)=12. ВС=6
Спасибо.
Использую формулу Герона: S= 84, r=12
Правильно.
Слишком усложненное решение.
Достаточно свойства АВ=АС.
Очевидно, что АМ=х-4, а СN= x-3, следовательно АС=2х-7.
И так как АС=5, то 2х-7=5 и х=6.
Про периметр треугольника образованного тремя касательными это лишнее усложнение. Зачем плодить сущности сверх необходимого?