Найдите угол: задача по геометрии
ฝัง
- เผยแพร่เมื่อ 20 ก.ย. 2024
- Решаем задачу с помощью дополнительных построений, с помощью тригонометрии, да ещё и обсуждаем, как такую задачу можно придумать.
Благодарим вас за интерес к нашей работе!
Получить доступ к дополненным материалам и поддержать нас можно нашем телеграм-канале: t.me/getaclass...
Новосибирский Государственный Университет
www.nsu.ru/
Условия задачи сформулированы неясно. То ли мысль потерялась, то ли с дикцией что то. А смотреть как кто то решает задачу с непонятным условием, предварительно не попытались решить её самому, то ещё удовольствие.
Все значно простіше. Задача на кілька хвилин.
Нехай заданий трикутник АВС, АВ=ВС, кут АВС=100 градусів. Точка К на продовженні ВА така, що ВК=АС. На основі АС будуємо вниз правильний трикутник АСЕ. Тоді трикутники ВКС та СЕВ рівні за двома сторонами і кутом 100 градусів між ними. Тому кут ВКС дорівнює куту СЕВ і дорівнює 30 градусів.
найпростіше рішення
Нужно построить равносторонний треугольник на отрезке, равном основанию треугольника и отложенном вдоль боковой стороны от вершины противоположной основанию. Тогда одной из сторон построенного треугольника мы поделим угол в 100 градусов на углы 60 и 40 градусов. Стороной равностороннего треугольника, делящей этот угол, боковой стороной исходного треугольника и углом 40 градусов между этими сторонами образуется треугольник равный исходному. В итоге таким построением мы получим дельтоид. Одна из диагоналей дельтоида является его биссектриссой, а значит делит угол в 60 градусов на два равных, одним из которых и является наш искомый угол. Следовательно он равен 60/2 = 30 градусов.
Только хотел написать то же самое)) а уже ктото решил так же как и я)
в этом и проблема таких задач, в том что нет методологии решения, нужно пытаться достраивать треугольники со всех сторон в надежде, что получится построение, которое приведет к необходимому результату. Мою догадку в частности подтверждают метания автора видео (миллион достроенных треугольников, вычисленных углов и сторон)
Почти так же решил, только сперва достроил от правой и верхней вершин треугольник, равный исходному, и заметил, что получил угол в 60 градусов. Тогда достроил равносторонний треугольник, и понял что получил симметричный четырёхугольник (только из вашего комментария узнал, что эта фигура называется дельтоид ). Согнул его вдоль оси симметрии (диагонали), и получил 30 градусов. Тоже минут 10.
th-cam.com/video/oeQ9eh6qC3c/w-d-xo.html
Посмотрите на это видео ролик тоже
Гораздо проще: из искомого угла провести паралель основанию, отложить на ней длину боковой стороны и конец соединить с вершинами. Получатся три треугольника: один равный исходному, второй равносторонний, третий равнобедренный с углом при вершине 160, при основании по 10. Искомый угол 40 - 10 = 30
Решил методом аналитической геометрии, поместив вершину фигуры в центр координат. А вот решение г-на Щетникова вообще для меня недосягаемо. Он просто ГеоГен - гений геометрии.
Это я вроде предложил эту задачу и сам решал её неделю =). Но вы не представляете, насколько просто она на самом деле может быть решена. Моё решение было тоже хитрое, а потом я нашёл в интернете оригинал видео, откуда я брал рисунок. И вот там она решается почти в одно действие =). Теперь я чувствую себя ещё большим чудаком =). А вообще я обожаю такие задачки. Они казалось бы очень простые, но если сразу не найти правильное решение, то можно сидеть и смотреть на эти треугольники часами и тупить. Как это делал я =).
Очень интересная задача. Можно решить в рамках геометрии следующим образом. Обозначим вершины нового, построенного треугольника АВС, слева направо по картинке. Нужно исходный треугольник (равнобедренный )повернуть по часовой стрелке(так удобнее) до совпадения его третьей стороны(лежащей против угла в 100градусов) со стороной построения нового треугольника АВС Обозначим вершину треугольника вращения с углом в 100градусов буквой D .Имеем два треугольника. АВС иАВDДалее соединим вершину D треугольника ABD c вершиной C треугольника ABC. Рассмотрим треугольник DBC.Угол при вершине В равен 100-40=60 градусов. Стороны DB и ВС равны по условию задачи. Значит треугольник DBC равносторонний(угол при 60 и образующие стороны равны).Рассмотрим треугольник АCD.Стороны АD и DC равна. Данный треугольник равнобедренный. Угол при вершине D равен 100+60=160 градусов. Значит два других угла равны 180-160=20:2=10градусам.Значит искомый угол ВАС = 40-10=30 градусам. Задача решена.
А как задачи по физике составляются? Я по образованию химик и много задач составил по химии. Как я это делал? Беру нетривиальную реакцию или цепочку реакций, где из вещества А получаем вещество В, дальше вещество С и так далее... И вот на основании общих знаний и, конечно же, специфических, получается неплохая олимпиадная задача. Я, когда учился в БГУ на химическом факультете на третьем курсе, решил задачу по органической химии именно за счет нетривиальных знаний. Точнее, преподаватель давал в лекциях путь от одного превращения к другому. Мои сокурсники, видимо, забыли, а я вспомнил и решил. Мне потом преподаватель говорил сам, что экзаменационная работа была решена на 4 балла, но именно эта задача вытянула мой экзамен на 5. Я уже точно не помню условие, да и не поймут Ваши подписчики, которые физику с Вами изучают, мое решение химической задачи, но я помню, что применив в качестве катализатора определенное вещество, я обращал вещество с одним строением в полностью симметричное строение. Не буду вдаваться в подробности, но кому интересно - пусть напишут. Еще раз повторю, за давностью лет не помню условие задачи, но внимательно слушал лекции преподавателя, и применив малозначительный факт - решил задачу.
Смотрим рисунок 2:18 , строим окружность центром в правой точке рисунка и радиусом отрезок в две черточки угол 40 будет центральным опиратся на хорду (черный отрезок ) , геометрическое место точек из которой отрезок виден под одним углом - это две чясти окружности расположенные по разные стороны хорды , так как градусная мера нашей нарисованной хорды 40 , то такая же окружность нарисованная по другую сторону хорды пройдет через нижнею левую точку рисунка (угол 20 опирается на хорду) а угол в этой окружности опирающийся на зелененкий отрезок =30 значит отрезок равен радиусу , равен отрезку с двумя черточками ЧТД.
Здесь явно имелось чисто геометрическое решение как для задачи 7 класса повышенной трудности. А чисто тригонометрическое решение я нашёл минут за 10.
Пусть боковая сторона равна а, основание равно b. Проводим биссектрису и выражаем b через а: b = 2a sin 50°. Нижнюю сторону большого треугольника обозначим с. По теореме косинусов:
с² = а² + 4a² sin² 50° - 4а² sin 50°cos100°
Превратим в сумму 2sin 50° cos 100° = sin 150° + sin (-50°) = 1/2 - sin 50°
Далее с² = а²(1 + 4sin²50° - 1 + 2sin 50°) = 2a² (2 sin² 50° + sin 50°) = 2a² (1 - cos 100° + sin 50°) = 2a²(1 + sin 10° + sin 50°) = 2a²(1 + 2sin 30°cos 20°) = 2a²(1 + cos 20°) = 4a²cos² 10°
c = 2a cos 10° = 2a sin 80°
По теореме синусов:
а / sin x = c / sin 100° = 2a sin 80° / sin 80° = 2a
1/sin x = 2
sin x = 1/2
Угол х не может быть тупым, т.кб в треугольнике уже есть тупой угол. Поэтому:
x = 30°
Я извиняюсь, если Вы не преподаватель, Вам это в жизни где пригодилось ?
@@rbhbxtyrj8693 тригонометрия очень помогает в строительстве . и даже простых постройках.
@@ivanivanich7501 согласен с вами , Я сам очень любил геометрию, а вот с тригонометрией пропустил начало и не освоил. Я о том что преподавать ее надо но экзамен при поступлении нужен не для всех. Согласитесь, что не многим это пригодилось в жизни но для возбуждения мозга неплохая штука ).
@@rbhbxtyrj8693 тригонометрия это правела отношений замеченных еще в древнем Риме. Сложной ее делают те кто неумеет преподовать.
Так же как отношение росстояние ко времени(скорость) просто к восприятию.
так же и тригонометрия это отношения одного к другому.
@@ivanivanich7501 Спасибо Я сам старался понять и понял, что такое синус, косинус, тангенс и котакгенс, вся геометрия построена на прямоугольном треугольнике. Потом начал разбираться с числом Пи, и все что связано с кругом , кольцом и градусами и минутами . Совершенно с Вами согласен что главное преподавателю заинтересовать ученика предметом, а потом помогать его освоить, но сейчас таких очень мало.
Чему равен малиновый отрезок,как продолжение бедра?!Он произвольный?
Спасибо, открываю для себя новые нюансы геометрии, благодаря вам! Спасибо!
Я подумал, и получилось так:
Условие:
Имеется треугольник ABC , угол ABC=100
На стороне AB откладываем отрезок BD=AC (точка A лежит на отрезке BD)
Нужно найти угол BDC
Решение:
Строим треугольник BKD, равный ABC, угол BKD=100 (точку К выбираем в той же полуплоскости, что и точка C относительно ВD)
так как треугольник равнобедренный, то угол ABK=40, значит угол KBC=100-40=60, а так как AB=BC=DK=KB, то треугольник BCK равносторонний, следовательно DK=KB=KC, поэтому точка K будет являться центром описанной около треугольника BCD окружности. А в таком случае вписанный угол BDC и центральный угол BKC , будут углами опирающимися на одну и ту же хорду BC, и угол BDC будет равен половине угла BKC.
Угол BKC=60, значит искомый угол BDC=60/2=30
Теорема синусов для двух треугольников- решение элементарное. Геометрические построения, конечно, дают больше удовольствия и геометрического смысла, хотя решение длиннее.
Решал через теорему синусов, рассматривая два треугольника (равнобедренный и новый). Для простоты взял боковую сторону равнобедренного за единицу. Далее получил уравнение sin(a)=sin(100+a)*sin40/sin80. Решая и упрощая тригонометрическое тождество получил, что ctg(a)=корень из трех => а = 30 градусов.
По теореме синусов решил быстро, а до геометрического решения не смог. Красивое построение.
Элегантность решения подобных задач на поиск углов треугольников определяется минимальным количеством построения дополнительных отрезков. У Андрея я насчитал 8 дополнительных отрезков. Многовато. Сам смог решить с шестью. Но 3 отрезка у glukmaker - это высший класс. Браво!
Задача простая, если знать на сколько вы удлиняете катет первого треугольника. Вы это сказали как-то непонятно. Удлиняем на столько же. Так насколько, на половину что-ли. От величины удлинения зависит этот угол, он не постоянный, и меняется от длины этого приращения. Чтобы было ясно, надо везде промаркировать стороны, например "а", "в" и т.д.
Все правильно. Но катетами называются стороны прямоугольного треугольника. А здесь он не прямоугольный.
В принципе понятно, он удлинил сторону до длины основания. Вот такой отрезок по условию задачи нужно продлить
какая классная идея описывать длины цветами
Шаталов за одну минуту доказывает теорему, на которую традиционно выделяется 45 минут урока
Это название видео 👆🏻
Красота
Класс! Отлично! Супер! И задача, и подача - на пять баллов!
Мне понравилось решение через тригонометрию. Спасибо
В оригинале решение было такое:
перекладываем равнобедренный треугольник с углом 100 градусов так, чтобы его основание легло на левую грань. Сверху получаются углы 40 и 60. В итоге там сверху-справа получится равносторонний треугольник! Достроим недостающую линию и получим равнобедренный треугольник с углами 160, 10 и 10. Ну и внизу было 40, а нужно вычесть эти 10. Вот так всё оказалось просто =).
Но сам я до такого простого решения не догадался, тоже нашёл ответ сложнее и потратил на него кучу времени... Но не жалею, подумать было интересно. Зато теперь я быстро в уме могу вычитать из числа 180 другие числа =).
Так же решил)
Это - самое простое решение. Дополнительное построение само напрашивается, т.к. естественно построить дополнительно равнобедренный треугольник, равный исходному, выбрав в качестве его основания продолженную сторону.
@@МилаИванова-г4з Зная ответ, конечно это всё очевидно и "само напрашивается" =). А я эту задачу три дня решал (и по геометрии у меня в школе 5 было, не подумайте). А мой отец эту задачу решает до сих пор =))). Хотя он тоже не глупый. Но в этом вся фишка. Задача очень простая, но если решение сразу не пришло в голову, то можно часами сидеть и тупить. Рисовать всё больше треугольников и только запутывать себя.
По мне там угол 30 градусов
А можно какой то чертеж для вашего решения. из словесного описания ничего не понятно
Я любила математику, удовольствие было решать задачи. Так и пошла в Технический университет и потом работала инженером. Мой муж тоже. А трое детей родились музыкантами. Окончили музкальное училище и потом консерваторию. Мне не было понятно как они транспонируют тональности в миг интуитивно, что чистая математика для мозга, а не способны простую задачку по математике решить. Намучались решать и решать вместе, чтоб не красовались двойки в дневниках.
Очень интересная задача. Спасибо.
Какие математики интересные, у меня мама преподавала математику в техникуме, и высшую тоже, но я сколько не пыталась в геометрии разобраться, все равно для меня это что то мало понятное... Просто очень уважаю всех, кто это так лихо решает. ✌️👍
а я как раз достроил ту самую окружность, о которой говорится в конце :) и вот как:
если на красной левой стороне построить равнобедренный треугольник, равный исходному (вершиной 100 вниз), то вершина 100 будет как раз центром этой окружности. на правой синей стороне получится равносторонний треугольник с одной вершиной в центре окружности, а другими - на ней; а искомый угол будет опираться как раз на эту дугу 60 градусов.
Отличное решение с окружностью! По-моему, самое простое из всех предложенных! 👍🏻
Уффф... решил. Тоже чисто геометрически, но по-другому. И мне кажется, чуть проще (комментарии ещё не читал, возможно такое решение уже кто-то предложил...). Жаль, что автор не обозначает точки, поэтому придется объяснять на пальцах. Тут бы, конечно, ютубу добавить пользователям возможность добавлять картинки, ну да ладно...
Итак, построим на левой стороне нашего треугольника такой же равнобедренный треугольник, как и исходный. И из вершины этого нового тр-ка проведем отрезок в ту же точку основания старого, которую использовал автор. Получим ромб со сторонами равными боковым сторонам исходного равнобедреннего тр-ка. А если теперь соединить левую нижнюю вершину исходного тр-ка с этой точкой, то получим равносторонний тр-к. Отсюда получается тот самый равнобедренный тр-к с углами 10 градусов и находится искомый угол - 30 градусов.
Ну, в общем да, проще получается. Вообще я решил сразу, тригонометрий, без всяких доп построений, через теорему косинусов. Расчёты, правда, муторнее были.
самое интересное было в конце, как эту задачку придумали )
ну! хитрец!!!он меня заинтриговал )))буду искать другое решение ...чувтвую оно есть)))
Все значно простіше. Задача на кілька хвилин.
Нехай заданий трикутник АВС, АВ=ВС, кут АВС=100 градусів. Точка К на продовженні ВА така, що ВК=АС. На основі АС будуємо вниз правильний трикутник АСЕ. Тоді трикутники ВКС та СЕВ рівні за двома сторонами і кутом 100 градусів між ними. Тому кут ВКС дорівнює куту СЕВ і дорівнює 30 градусів.
Спасибо, мне задача понравилась
Получилось решить геометрически, применив дополнительное построение. Паралельно боковой стороне красного цвета, равнобедренного треугольника, выходящей из угла 100°, проведем линию из вершины угла в 40°, у основания равнобедренного треугольника, так чтобы эта линия образовывала основание будущей трапеции. Затем, опустим два перпендикуляра, первый - из точки пересечения основания равнобедренного треугольника с его красной, боковой стороной, а также второй перпендикуляр - из точки пересечения красной боковой стороны, равнобедренного треугольника, с углом который необходимо найти, на параллельную прямую. В итоговом результате построения получается рисунок двух прямоугольных трапеций. Где, красная линия - основание равнобедренного треугольника, с углом при вершине 100°, будет одновременно являться для одной прямоугольной трапеции диагональю, а для другой прямоугольной трапеции её боковой стороной. Из, данного построения, нетрудно будет найти углы треугольника салатового цвета, который находиться между диагоналями двух прямоугольных трапеций.
Извините, я правильно понял, что нижний (зелёный) треугольник равнобедренный? У меня получается 20°, как я не стараюсь (
@@alexkuznetsov4254 Нет, нижний (зелёный) треугольник не является равнобедренным.
@@renovator7319, спасибо большое. Я уже разобрался. понял. Извините, что побеспокоил.
Красивое решение через построение
Все значно простіше. Задача на кілька хвилин.
Нехай заданий трикутник АВС, АВ=ВС, кут АВС=100 градусів. Точка К на продовженні ВА така, що ВК=АС. На основі АС будуємо вниз правильний трикутник АСЕ. Тоді трикутники ВКС та СЕВ рівні за двома сторонами і кутом 100 градусів між ними. Тому кут ВКС дорівнює куту СЕВ і дорівнює 30 градусів.
на 3:59 решение уже можно подвести к концу (пусть исходный треугольник ABC слева направо, K - отмеченная точка на AC, O - центр описанной KBC, L - точка внизу, пересечение AB и OK): BLO равнобедренный т.к. его углы 20-80-80, тогда AC=LB=LO, а треугольники KAL, KOC подобны с коэффициентом k, тогда LK+k*KA=k*LK+KA=>k=1 (LK не равно AK). Ну все, тогда эти треугольники равны, и, например, LKC равнобедренный, откуда углы при его основании по 20/2=10, а искомый угол 30.
Очень странно : если стороны, которые образуют искомый угол нарисовать более длинными, то этот искомый угол будет ещё меньше, а если стороны нарисовать менее короткими, то угол станет больше.
0°
Там в условии что основание треугольника и левая сторона образующая неизвестный угол равны
Если в новом треугольнике необходимый угол назвать b, а противоположный а, то по теореме синусов получим sin a/sin b = (2 cos 40 - 1) / 2 cos 40. Преобразовывая правую часть с помощью тригонометрических формул, получим sin a/sin b = sin 10 / sin 30. Т.е. угол b = 30 градусов.
синусы углов равны, значит и углы равны. Причем, из условия задачи углы в пределах Пи/2.
А - 20 = 40 - А; 2А = 60; А - 30.
3.47 - решение готово! Не надо ничего больше достраивать. В точке пересечения биссектрис угол равен 80 гр. соответственно треугольник с частью искомого угла равнобедренный. И соответственно доказывается то что вы хотели доказать!
Интересно. Спасибо
Тригонометрическое решение :
- Обозначим стороны треугольника единицами
- Выступающий отрезок назовем А
- Искомый угол назовем α
- Немного магии
- Ответ 30°
Красивая задачка. Ну, здесь её уже разобрали по кирпичикам. Задача, которую можно решать разными способами, геометрическим, тригонометрическим и даже по теореме Пифагора. Тригонометрическое решение можно найти и без доп построений (я так и сделал по теореме косинусов, преобразований только много). А можно решить и совместным способом (геометрически+тригонометрически). Вот поэтому я и добавлю свои пять копеек. Возьмём треугольник из видео, составленный из трёх цветных отрезков (зелёный, синий, чёрный (сbd, розовый отрезок пусть останется а и стороны равнобедренного исходного по 1, то есть b=1, как на видео ) и докажем, что он равнобедренный, с=b=1. По теореме синусов а=Sin(30)/Sin(110), cSin(20)/Sin(140)=a, cSin(20)/Sin(140)=Sin(30)/Sin(110), если с=1, то Sin(20)/Sin(140)=Sin(30)/Sin(110), тогда треугольник равнобедренный с углом при основании 10 град. Sin(20)/Sin(40)=Sin(30)/Sin(90+20), Sin(20)/2Sin(20)Cos(20)=0.5/Cos(20), 0.5/Cos(20)=0.5/Cos(20), 1=1, треугольник равнобедренный, искомый угол 20+10=30град. Конечно же самое красивое решение, это геометрическое. Автору респект.
Правильно было сформулировать так: "Из вершины вдоль боковой стороны откладываем отрезок равный основанию." А то берем сначала основание, потом вершину, затем вдоль боковой стороны откладываем равный ему отрезок - так запутается любой, кто не будет через дебри этой словесности пробираться.
Построила несколько чертежей...после долгих размышлений раз и всё получилось и без тригонометрии, 30°. К левому углу в 40° восстановить перпендикуляр. Получаем углы 40 и 50. Из вершины 100° проводим высоту до пересечения с перпендикуляром. Из вновь полученного прямого угла проводим медиану к гипотенузе и продолжаем до пересечения с правой стороной треугольника. Левый угол получается 10, искомый угол получается 30°.
будет проще, если сразу положить розовый равнобедренный треугольник на левую боковую сторону. Получим сразу правильный и равнобедренный треугольник с углом при основании в 50. Тогда 60+50=110, т.е. основание розового равнобедренного треугольника совпадёт с боковой стороной заданного.
Ну а вообще, множество таких задач решается через распространенный приём - пристраивают правильный треугольник.
В комментариях этот способ разобран - он оптимален.
Ура, нашёл ещё более оптимальный способ построения правильного треугольника!
Дан треугольник с углами 100 и 40. Имеем 60=100-40!
Берём данный треугольник и накладываем его основанием на равный отрезок. Получаем правильный треугольник и равнобедренный с углом при основании(180-100-60):2=10.
Тогда искомый угол 40-10=30.
Аля! - Фокус- покус!
Вот общее решение этой задачи
q1=2*sin(t/2)-cos(t)
q2=3-2*cos(t)*(1+2*sin(t/2))
x=acos(q1/sqrt(q2))
При t=100 град получаем x=30 град
Но есть и еще три целочисленных случая: при t=20; 36;60 град. Последний случай - тривиальный.
Вам огромное спасибо.
Мне думается,что оба решения,развивают логику,но,второе проще....
Формулировка задачи не понятна. Наверное кусочек потерялся?
Ещё такой способ, лучше всё таки если бы Вы подписывали вершины на рисунках: достроить до равнобедренного со сторонами равными отрезку в основании. Тогда у равностороннего треугольника, со стороной равной первоначальному боковому отрезку, одна из вершин находится на основании только что достроенного равнобедренного треугольника и одна из сторон под углом 20 с основанием. Получаются ещё равнобедренный треугольник с боковыми сторонами равными боковой первоначальной и углом 160, боковые по 10. И отсюда 40-10=30 получается искомый угол.
5 минут и решение через доппостроение 2 окружностей и паралелограмма.
Было интересно
Там же проще можно решить, без ромба, а с помощью смежных углов.
еще есть минимум 2 решения на вашем рисунке, ваше сложное, например биссектриса левого угла
а́ я не решая понЯл что этот угол имеет большое к оличество значений ,так как левая сторона может быть разной длины.
Ну вы даёте!!! - это такое замороченное решение из разряда: - МЫ НЕ ИЩЕМ ЛЁГКИХ ПУТЕЙ, да ещё и тригонометрический вариант!!!
Это для кого или для чего - всё решается почти в уме!!!
Возьмите и проведите из синего равнобедренного треугольника срединные перпендикуляры и опишите вокруг него окружность, потом соедините центр этой окружности со всеми вершинами и посчитайте все углы - после построения получается несколько равнобедренных, и несколько прямоугольных треугольников у которых почти все углы считаются!!!
Опишите окружность и вы сразу получите искомый угол!!!
Задача на три минуты - две минуты внимательно смотрим и одна минута на решение.
Треугольник равнобедренный, углы при основании в равнобедиенном треугольнике... Что? Равны. Вычисляйте, а ларчик просто открывался. Очень любила геометрию в школе.
Меня подвело желание нарисовать картинку «правильно».
Я принял боковую сторону за 1 и опустил высоту на основание. Угол при основании (180°-100°)/2=40°, так что высота равна sin(40°), а основание разбилось на 2 части по cos(40°). Продлил боковую сторону до нужной точки и тут же появилось желание опустить высоту на продлённую боковую сторону. Там угол 180°-100°=80° и катеты по sin(80°) и cos(80°). То есть нам нужно найти угол в прямоугольном треугольнике с катетами sin(80°) и 2*cos(40°)+cos(80°). Тот же умный калькулятор, который я использовал для рисования выдал arctan в 30°. До сих пор в шоке 🤯!
Зная его значение, можно доказать строго, но уже лень, нам сказано найти, ну мы же нашли угол: вот он на чертеже😁.
Вообще-то решается просто с помощью естественного дополнительного построения.
Угол в 100 градусов делим на два: левый угол в 40 гр. и правый в 60. На продолженной (красной) боковой стороне так и хочется построить исходный равнобедренный треугольник: строим его так, что его вершина лежит справа от продолженной стороны. Его боковой угол в 40 гр. будет левой частью угла в 100 гр. Его вершина будет лежать ниже зелёного отрезка, т.к. его боковой = 40 гр., а величина угла со знаком вопроса меньше, чем 40 гр.
На правой боковой стороне исходного треугольника строим равносторонний треугольник с вершиной, лежащей слева от этой стороны. В итоге у двух построенных треугольников боковые стороны и вершины будут совпадать, и их общая вершина будет лежать ниже зелёной линии.
Теперь рассмотрим получившийся треугольник, образованный зелёным отрезком и двумя другими (не совпавшими) боковыми сторонами построенных треугольников. Он равнобедренный (из-за равенства боковых сторон построенных тр-ков), и угол при его вершине (лежащей ниже зелёной линии) равен 100+60=160 гр., поэтому его боковые углы равны (180-160):2=10 гр.
Это позволяет легко определить угол со знаком ?, т.к. он равен боковому углу треугольника, построенного на продолженной стороне, без бокового угла последнего треугольника (с основанием на зелёном отрезке) в 10 гр. , т.е. 40-10=30 гр. А второй неизвестный угол соответственно равен 60-40-10=10 гр.
Технически громоздкое, не лучшее решение. Гораздо проще построить правильный 3-угольник вниз на стороне основания исходного равнобедренного 3-угольника, соединить вершину исходного 3-уг. при 100 градусах с 3-ей (нижней) вершиной полученного правильного 3-уг. Очевидно, полученный отрезок является высотой и биссектрисой в правильном 3-уг., а искомый угол равен половине угла правильного 3-уг., т. е. 30 градусов.
Несколько раз пересмотрел первое решение, но так и не понял откуда взялся угол в 10 градусов. И причём тут смежный угол при вершине в 20 градусов...Наверное нам что-то не договаривали на уроках геометрии...
3:52
Имеем равнобедренный треугольник с углом у основания 80 градусов
Значит, синяя+розовая= зелёная+красная.
Достроим первую биссектрису 20/20 до конца
Получим два равных треугольника
С углами 20/40 и одной равной стороной. Оставшийся угол 120
Из этих двух понимаем, что треугольник с черным основанием и вершиной в этом 120угле- равнобедренный
То есть, искомый угол 180-120 /2
Без обид, но на картинке превью не очевидно о равенстве второй пары сторон. Я пытался решать не открывая видео. А потом оказалось что условия иные.
Я тоже не понял , как на второй картинке чёрная прямая от вершины поделила основание на равные части , с боковой стороной (синий равен синему розовый розовому ) ….
Какое сложное решение. Я нашёл 3-ю сторону малого треугольника по 2-м сторонам и углу между ними, затем то же самое для большого треугольника, и, наконец, нашёл углы по трём сторонам.
Задача не имеет решения, поскольку размеры зеленого треугольника ничем не лимитированы!
Молодец
Как-то сложновато решение получилось.Идея не понятна.Проще построить на удлиненной стороне(как на основании) треугольник равный первоначальному и соединим две вершины.Получится четырехугольник с 3 -мя равными сторонами и углами в 40,60,100 и160 гр. Рассмотрим равнобедренный треуг с углом при вершине 160, сл углы при основании по 10гр. На искомый угол остается 40-10=30 гр.
@@КириллМихайлов-ж3х В зависимости от выбора направления сторон нового треуг. Если вершина лежит "левее\выше" по рисунку на картинке то углы как у Вас(мы с Вами не знакомы,поэтому лучше Вы),если вершина нового "ниже\правее" то (я не просто так написал о соединении вершин) четырехугольник состоит из двух треуг. равнобедренного построенного(поэтому один угол 40,другой 100 он остался от первоначального) и нового равностороннего(тк угол между равными сторонами получился 100-40=60! след остальные углы так же 60).Четыре угла 40,60,00 и 160.
Не знаю, как толком объяснить, вообщем строил по-другому совершенно построения. Нашёл нужные углы. В итоге построил два параллелограмма внизу (один из них ромб с короткой стороной, второй параллелограмм), разделил ромб напополам, получил равнобедренный треугольник с углами 160 и по 10, ну и сложил 20 и 10...т.е. я строил "вниз" от данного треугольника, а не "вбок". Ну и если выполнять только циркулем и линейкой, то мой метод проще т.к. не требуется делить углы пополам, это получается само. Жаль картинку нельзя в коммент скинуть
Без раздумий и творчества, решается координатами.
Ну разве, развернуть стоит конструкцию и центр координат правильно выбрать, чтоб попроще считать было.
В автокаде вычертил и замерил углы, 1 минута...
Спасибо!!!!
если получившийся треугольник вписать в окружность, то решение получается элегантнее и проще
МУЖИК! ЭЛЕМЕНТАРНО решается! В 2 (два) действия. Куда скинуть решение?
Проще кольцо в Мордор отнести.
spasiva
4 не известные: красная, зеленая, синяя стороны и угол. 4 не зависимых уравнения теоремы косинусов для 3 треугольников, 2 для не известного угла, 2 для угла 100.
sin(a-20°) = sin(40°-a)
a-20° = 40°-a
2a=60°
a=30°
А не проще ли сразу построить параллелограмм?
Хозяин ли я,своей голове,если это смотрел до конца?
Не понял основания, на котором сделано утверждение о равноудаленности от вершин, как я понимаю всех трёх, на 3:05
По видимому речь идёт о равенстве треугольников, но это не было озвучено и совсем не так очевидно.
Из-за того, что это биссектриса, а треугольник равнобедренный.
достроил параллелограмм
Я совершенно не понимаю, почему это на одной из биссектрис лежит "точка равноудалённая от вершин"? (3:12)
Понятно, что очень хочется соединить эти линии и сказать, что раз у нас есть равнобедренные треугольники с общей стороной и равными углами, то они равны.
Но откуда мы знаем, что эти линии вообще пересекутся в одной точке? Из чего следует, что это "точка равноудалённая от вершин"?
Аааааа... Эта биссектриса будет одновременно высотой и медианой в равнобедренном треугольнике и раз мы нашли на ней точку, равноудалённую от двух вершин, она будет также равноудалена и от третьей.
Я решил сл. путем. из за того что красный треуголькик равнобедренный, я зеленый отзеркалил и построил равнобедреную трапецию. зная углы красного треугольника (10, 40, 40) я так же узнал верхние углы трапеции(180 - 40 = 120). из за того что нижние углы трапеции были разделены биссекртисой, я сделал сл. уравнение 2х = 360-120*2, 2х = 60, х = 30
угол 100° обозначаем ß и последовательно находим углы 90°-ß/2
потом в след.равнобедреном тре-ке углы 45°-ß/4
и в последнем равнобедреном тре-ке углы 22,5°-ß/8
их сумма и есть искомый:
45°-ß/4+22,5°-ß/8 = 67,5° - 3ß/8, при ß=100° искомый равен 30
но мы нашли связь между этими углами ! и она линейная !!!
без тригонометрии а простым расчетом углов в равнобедреном тре-ке
А какой "такой же" длины? Совершенно туманная формулировка. Даже не туманная. Просто бессмысленная.
Тоже это самое "такой длины" сбило с толку. На чертеже это никак не указано. А искомый угол прямо зависит от этой длины
Ползадачи доказывал то, что сам же сказал, что это дано: синий + малиновый равно синий+ малиновый, а синие равны. И упорно искал, равны ли малиновые.
Я тоже несколько раз возвращалась к началу текста, но так и непоняла, какой же это отрезок.
Цитата: " Берем ОСНОВАНИЕ треугольника и откладываем отрезок такой-же длины от вершины вдоль одной из боковых сторон. " Что здесь "туманного" и "просто бессмысленного" ???!!!
@@DidiKhan919 вы просто не знаете математики. Указанный текст не интерпретирутся однозначно
kak vi ponimaete kakoy otrezok provesti?
Ну, если не вычислять, то исходя из того что сумма всех углов в любом треугольнике всегда равна 180°, то искомый угол равен примерно 30°.
Это даже визуально видно...
Очень странное решение , учитывая тот факт, что в условии слова не упоминается о чёрной прямой , которая чудом делит основание первого треугольника , на равные части удлиненной стороны ( синий равен синему , розовый розовому) !!! При чем ни один , ни второй не объяснили откуда у них эта прямая от вершины к основанию и каким чудом она так падает !!! Я не доктор математических наук , но знаю что без наличия длины сторон такое провернуть , как то странно !!!
cos (40 grad) = b * cos( x), 0,2 * sin( 40 grad) = b * sin( x), b^2 =(0.2 * sin (40 grad))^2 + (cos ( 40 grad ))^2, угол = 40 - х
тригонометрический вариант красивее
Нафиг усложнять с боковым прямоугольником.ю, когда можно просто посчитать углы посередине и отсюда выходить остальные углы.
Уже на второй минуте можно посчитать все углы
А мне понравился первый способ где объемное воображение.
Этот угол будет меняться в теории от 0 до40° в зависимости от длины равных отрезков.
геометрическое решение дает конкретный результат.
Наипростейшая задача
Сдохнуть, как интересно!
Хорошо, что я музыкант...
Я решил тригонометрией
Я тоже "голой" тригонометрией, без доп. построений. Кстати, было бы неплохо, если бы автор вводил буквенные обозначения в задачах, чтобы можно было обсуждать в комментариях. Например, я бы представил своё решение, но т.к. нет никаких букв, то представить решение проблематично.
@@ruslan_ можно это рассматривать как отдельный челлендж :)
40
Эта задача не решается, так как не определена длина отрезка, на который удлинена левая сторона треугольника.
А что, ссылки нельзя в коменты кидать? Я там такое красивое решение на геогебре нарисовал(((
Можно.
Спасибо за ответ. Я пытался два раза, но комент удаляется🤷🏻♂️
Мне 66 лет, я не математик, вычислила 30°..
картинка не формулирует условие. по картинке искомый угол от 40 до 0