Для чего все эти сложности? Информации о том,что половина стороны квадрата равна 6 достаточно для нахождения площади треугольника AKM. S КВ.= 12×12=144. S AKM=144-ABK-KCM-MDA. Нам известны катеты трёх жёлтых треугольников,поэтому найти их площадь не составит труда. 144-54-6-48=36.
Вот это круто -- развернуть периметр в половинки сторон квадрата! И далеко не каждый узреет, что площадь искомого треугольника равна четверти площади квадрата. С прикладной точки зрения это оптимальное решение, т.к. один раз доказал -- и штампуй дальше по шаблону при любых сторонах и отсекаемых отрезках :-) Чего не скажешь о методе вычитания площадей треугольников из квадрата -- может, одноразово это и быстрее, но при новых длинах надо все площади каждый раз считать заново.
Провел через точку А прямую параллельную КМ до пересечения с продолжением стороны ВС в точке А'. Площадь треугольника А'КМ равна искомой площади АКМ. А'К = A'B + BK = 18. А высота треугольника - это СМ, которая нам известна - 4. S = 1/2 * 18 * 4 = 36 Звук хороший :)
Ничего не надо доказывать , если у нас в условиях - определить площадь тр-ка АКМ ? Сторона квадрата есть , а остальные (лишние) тр-ки прямоугольные : 12*2-9х6/2-8х12/2-3х4/2= 144-54-48-6=36 .
Положим для простоты сторону квадрата равной 1. Обозначим: КС = к, МС = m. Понятно, что к и m - относительные величины. Уравнение прямой КМ : ky + mx + km - k - m =0. Расстояние от точки А(0, 0) до этой прямой равно: h = (k + m - km)/ √(k² + m²) , и это высота треугольника. Его основание КМ = √(k² + m²). Тогда его площадь: *S(АKM) = (k + m - km)/2.* *Применим условие касания КМ к окружности:* *расстояние от точки О(1/2, 1/2) до КМ = 1/2 (радиус).* 1/2 = (1/2∙k + 1/2∙m + km - k - m)/ √(k² + m²). После несложных преобразований, отсюда получим равенство: *к + m - km = 1/2 !!(независимо от точки касания!!).* Окончательно: *S(АKM) = (1/4)∙S(ABCD).* Чисто техническое решение и ничего более.
@@GeometriaValeriyKazakov Задача замечательная и ГОРАЗДО ГЛУБЖЕ, чем кажется на первый взгляд из-за простых чисел. Вы привели удивительное по красоте решение! Спасибо! Мне также очень понравилось соотношение к + m - km = 1/2, которое я получил в общем виде. Из которого немедленно следут , что площадь треугольника равна четверти площада квадрата. На базе этой задачи можно придумать много других, довольно сложных. Для тех, кто не смотрит Ваши ролики и не знает этого соотношения, будет очень непросто решить, к примеру, такую задачу: площадь треугольника равна 4.5. Найти площадь квадрата. Ещё раз спасибо Вам!
А чё ее искать - вот она, розовая .. По свойствам касательных диаметр равен Египту + 3+4. Дальше по примеру одного итальянца удаляем все лишнее жёлтое, включая Египет 144-54-6-48=36
@@GeometriaValeriyKazakov Если метод Микеланджело прогнать с переменными то выйдет квадрат периметра "обрезка". Ещё метод, "резиновый". Режем от К и М и левого нижнего до центра. ОКМ оставляем а К1 и М1 перемещаем влево-вниз параллельно диагонали квадрата и получаем зеркальную копию ОКМ плюс копию "обрезка". Переместив полученные треугольники собираем пазл в четверть квадрата. Наглядная геометрия ;)
Маэстро, Вы немного замутили восприятие. В 1-ом равенстве поменяйте местами левую и правую части равенств: Sотк = Sjfk, тогда складывая р-ва в столбик в левой части получим автоматически площадь треугольника АКМ, а в правой - площадь квадрата ОFCP. Поверьте так прозрачнее и легче воспринимается.
Задача красивая! Моё решение мне показалось тоже довольно изящным. Пусть АВ=ВС=...=х. Тчки касан.: на ВС--Н, на КМ--Р, на СД--Т. НК=КР=х/2--3, РМ=МТ=х/2--4. КМ=5. Отсюда: х/2--3=5--(х/2--4). х=12. Сл-но, АВ=12, ВК=9, МД=8. АК=15, АМ=4\/13(Пифагор). Герон: S=36
3-4 это лишнее, площадь при таком построении зависит только от стороны квадрата. 3+х=4+5-х. Ученикам послана задача : доказать, что площадь в данном квадрате постоянна и выразить её через сторону квадрата а. Как вы думаете, выслать им геогебру или нет? Ответ 36.
Здравствуйте, Валерий. Не хотите разобрать задачу для видео, а точнее признак равнобедренности трапеции? Задача: Дана трапеция ABCD (BC < AD), провели MN параллельно основаниям (M на AB, N на CD). Оказалось, что угол BDM = углу CAN или угол DBN = углу ACM, требуется доказать что трапеции ABCD, AMND, MBCN равнобедренные.
В задачах с квадратами очень часто аналитическая геометрия в помощь! Пусть A = [0; 0], C = [p, p]; tg(MKC) = 4/3; K = [p-3; p]; M = [p, p-4]; KM: 4x + 3y = b; b = 4p + 3p - 12 = 7p - 12; KM: y = 4x + 3y = 7p - 12; 4x + 3y - 7p + 12 Пусть O = [0.5p; 0.5p] - центр окружности; Имеем: A = 4; B = 3; C = 7p - 12; Ox = Oy = 0.5p; Расстояние от точки O до прямой KM равно: d = |A*Ox + B*Oy + C|/sqrt(A^2 + B^2) = |2p + 1.5p - 7p + 12|/sqrt(9 + 16) = |-3.5p + 12|/5. С другой стороны, это расстояние - радиус окружности, равный 0.5p. Составляем уравнение: |-3.5p + 12|/5 = 0.5p; |-3.5p + 12| = 2.5p; Поскольку явно p > 4, -3.5p + 12 < 0, и уравнение принимает вид: 3.5p - 12 = 2.5p, или p = 12; (!!) K = [9; 12] и M = [12; 8]; A = [0; 0] Зная координаты всех трех точек, вычислим S(AKM): S = 0.5|(Kx - Ax)(My - Ay) - (Mx - Ax)(Ky - Ay)| = 0.5|9*8 - 12*12| = 0.5*(144 - 72) = 36. (!!)
Радиус окружности равен полупериметру тр-ка СКМ , r=(КС+СМ+КМ)/2 , по теореме Пифагора КС=\/КС=\/СМ*2+КС*2=\/4*2+3*2=5 , r=(3+4+5))/2=6 , сторона квадрата АВ=ВС=СД=АД=2r=2x6=12 SAKM=SABCД-SABK-SAMД-SCKM=12*2-((12(12-9))/2-((1212(12-4)/2)-(3x4)/2/2=36 . Если КС и СМ = другим числам - определим АК и АМ - площадь по ф - ле Герона или определить Cos a между этими сторонами , затем Sin a и имея две стороны и угол между ними определим площадь тр-ка АКМ . АК=\/12*2+(12-9)=15 , АМ=\/12*2+(12-4)*=4\/13 , по Герону - S=\/р(р-КМ)(р-АМ)(р-АК) , р=(КМ+АМ+АК)/2=(5+4\/13+15)/2=10+2\/13 - полупериметр , S=\/10+2\/13)(10-2\/13)(2\/13+5)(2\/13-5)=\/48х27=\/16х3х3х9=36 .
После нахождения FC продлим BC влево построим AL || KM до пересечения с продолжением BC Δ ABK= Δ ABK и оба они подобны Δ MCK переместим A в L тогда площадь ΔLKM = площади ΔAKM LK=2*BK=2*9=18 площадь ΔLKM = 0.5*LK*CM=0.5*18*4=36
Сторону квадрата обозначим х, площадь искомого треугольника S=(х^2-х(x-3)/2)-(х(x-4)/2)-6=(7x/2)-6, сторона квадрата находится как в видео (х\2)-3+(х\2)-4=5 (где КМ=5), х=12, S=42-6=36.
Продолжим КМ до пересечения с АД в т.Р . Обозначим сторону квадрата =X , MД=X-4 . Тр. ДМР ~ тр. СМК , МД/МР=СМ/СК4=4/3 ,ДР=3/4*(X-4) . AP=2*(X-3)=2X-6 . ДР=АР-X=2X-6-X=X-6 =3/4*(X-4) , откуда X=12 .S(AMK)=S(AВСД)- S(ABK)-S(KCM)-S(AMД)=36
Найдя сторону квадрата, можно задать систему координат, скажем, с началом в точке А, и определить координаты вершин треугольника: A (0, 0), K (9, 12), M (12, 8). Далее применим "шнуровку Гаусса", начиная с вершины А. Получим S(AKM) = [(0*8 + 12*12 + 9*0) - (12*0 + 9*8 + 0*12)]/2 = [144 - 72]/2 = 36.
Доказательство того, что треугольник - четверть квадрата красивее, конечно, но и без этого герон - перебор. Можно площадь S(AKCM) - S(KCM). KC = a, CM = b, KM = c, BC = (a+b+c), S(AKC) = (a+b+c)*a/2, S(ACM) = b(a+b+c)/2, S(KCM) = ab/2. S = ((a+b+c)(a+b) - ab)/2 = (a^2+b^2 + ab + ac+bc)/2 = (a^2+ b^2 + (a^2+b^2) + 2ab + 2ac +2bc)/4 = (a+b+c)^2/4.
@@sergeykitov2760 Думаю, Нет, это общий подход. Принципиальное решение. Мы действует как компьютерная программа, есть алгоритм нахождения S тр-ка по трем? ВСе! Находим стороны, включаем алгоритм. А если хотите упроситиь, найдите по S кв =8, S(AKM)-? вашим простым способом. Вы - лучший!
Не искал половину стороны квадрата, а сразу CF + CP = сторона квадрата = 12. Дальше не нашёл красивого и быстрого способа, а просто вычел площади трёх жёлтых треугольников: S = 12² - 3•4/2 - 12•(12 - 3)/2 - 12•(12 - 4)/2 = 36.
@@GeometriaValeriyKazakov А зачем мне доли квадрата, если задача найти число. Но если так принципиально, то 36/144=1/4. Ладно, подумаю, время казенное.
Для чего все эти сложности? Информации о том,что половина стороны квадрата равна 6 достаточно для нахождения площади треугольника AKM. S КВ.= 12×12=144. S AKM=144-ABK-KCM-MDA. Нам известны катеты трёх жёлтых треугольников,поэтому найти их площадь не составит труда. 144-54-6-48=36.
Точно так же решал
Спасибо. А если бы я дал площадь квадрата 8, найти площадь тр-ка? Вот за этим эти сложности.
Показывает какой он вумный...
@@СергейЧерный-ц8г th-cam.com/video/JnuhvWWo8zA/w-d-xo.htmlsi=pgFJVawd2usdeM8R
Просто решить это просто, но когда находят какую то изюминку, это же красиво, и потом не каждый увидит такое решение
Вот это круто -- развернуть периметр в половинки сторон квадрата! И далеко не каждый узреет, что площадь искомого треугольника равна четверти площади квадрата. С прикладной точки зрения это оптимальное решение, т.к. один раз доказал -- и штампуй дальше по шаблону при любых сторонах и отсекаемых отрезках :-) Чего не скажешь о методе вычитания площадей треугольников из квадрата -- может, одноразово это и быстрее, но при новых длинах надо все площади каждый раз считать заново.
Провел через точку А прямую параллельную КМ до пересечения с продолжением стороны ВС в точке А'. Площадь треугольника А'КМ равна искомой площади АКМ. А'К = A'B + BK = 18. А высота треугольника - это СМ, которая нам известна - 4. S = 1/2 * 18 * 4 = 36
Звук хороший :)
Спасибо.
Ничего не надо доказывать , если у нас в условиях - определить площадь тр-ка АКМ ? Сторона квадрата есть , а остальные (лишние) тр-ки прямоугольные : 12*2-9х6/2-8х12/2-3х4/2= 144-54-48-6=36 .
Это ж классно!!!!!
Положим для простоты сторону квадрата равной 1. Обозначим: КС = к, МС = m. Понятно, что к и m - относительные величины. Уравнение прямой КМ :
ky + mx + km - k - m =0. Расстояние от точки А(0, 0) до этой прямой равно: h = (k + m - km)/ √(k² + m²) , и это высота треугольника. Его основание КМ = √(k² + m²).
Тогда его площадь: *S(АKM) = (k + m - km)/2.* *Применим условие касания КМ к окружности:* *расстояние от точки О(1/2, 1/2) до КМ = 1/2 (радиус).*
1/2 = (1/2∙k + 1/2∙m + km - k - m)/ √(k² + m²). После несложных преобразований, отсюда получим равенство: *к + m - km = 1/2 !!(независимо от точки касания!!).*
Окончательно: *S(АKM) = (1/4)∙S(ABCD).* Чисто техническое решение и ничего более.
Отлично.
@@GeometriaValeriyKazakov Задача замечательная и ГОРАЗДО ГЛУБЖЕ, чем кажется на первый взгляд из-за простых чисел. Вы привели удивительное по красоте решение! Спасибо! Мне также очень понравилось соотношение к + m - km = 1/2, которое я получил в общем виде. Из которого немедленно следут , что площадь
треугольника равна четверти площада квадрата. На базе этой задачи можно придумать много других, довольно сложных. Для тех, кто не смотрит Ваши ролики
и не знает этого соотношения, будет очень непросто решить, к примеру, такую задачу: площадь треугольника равна 4.5. Найти площадь квадрата.
Ещё раз спасибо Вам!
А чё ее искать - вот она, розовая ..
По свойствам касательных диаметр равен Египту + 3+4. Дальше по примеру одного итальянца удаляем все лишнее жёлтое, включая Египет 144-54-6-48=36
О-о. А если KС=\|13, CM=\|14?
Спасибо, конецно. Мне главное, чтобы ответ сошелся. Проверять некому, а рассеянность 80-го уровня.
@@GeometriaValeriyKazakovЯ привык решать проблемы по мере их поступления. Если бы у моей бабушки были ... большие уши, то она была бы слоником.
@user-yf1zt2dg8m Абсолютно с Вами солидарен. Я тоже не стал мудрить и решил также ( или почти также), хотя авторскому решению в красоте не откажешь.
@@GeometriaValeriyKazakov
Если метод Микеланджело прогнать с переменными то выйдет квадрат периметра "обрезка".
Ещё метод, "резиновый".
Режем от К и М и левого нижнего до центра. ОКМ оставляем а К1 и М1 перемещаем влево-вниз параллельно диагонали квадрата и получаем зеркальную копию ОКМ плюс копию "обрезка". Переместив полученные треугольники собираем пазл в четверть квадрата. Наглядная геометрия ;)
Маэстро, Вы немного замутили восприятие. В 1-ом равенстве поменяйте местами левую и правую части равенств: Sотк = Sjfk, тогда складывая р-ва в столбик в левой части получим автоматически площадь треугольника АКМ, а в правой - площадь квадрата ОFCP. Поверьте так прозрачнее и легче воспринимается.
Сторона квадрата равна периметру треугольника 3+4+5=12. Красный треугольник - это квадрат без 3 жёлтых. S=12×12-12×9/2-3×4/2-12×8/2=144-54-6-48=36.
👍
Задача красивая! Моё решение мне показалось тоже довольно изящным. Пусть АВ=ВС=...=х. Тчки касан.: на ВС--Н, на КМ--Р, на СД--Т.
НК=КР=х/2--3, РМ=МТ=х/2--4. КМ=5. Отсюда: х/2--3=5--(х/2--4). х=12. Сл-но, АВ=12, ВК=9, МД=8. АК=15, АМ=4\/13(Пифагор). Герон: S=36
Завораживающее решение.С двух раз понял,скрывать не буду.Спасибище,Валерий.
@@user-qe2zm1xd5k
Пауза же есть.Мне все нравится.Есть другие блогеры.Я их смотрел.Валерий самый доступный.Мое мнение.
Да, решение непростое, нужно въехать. Кто с тормозной жидкостью в голове - тому плохо (*это не вы!)
Ход с равенством треугольника четверти квадрата - необычен, и... гениален. Увидеть возможность такого доказательства - круть
3-4 это лишнее, площадь при таком построении зависит только от стороны квадрата. 3+х=4+5-х.
Ученикам послана задача : доказать, что площадь в данном квадрате постоянна и выразить её через сторону квадрата а. Как вы думаете, выслать им геогебру или нет?
Ответ 36.
Здравствуйте, Валерий. Не хотите разобрать задачу для видео, а точнее признак равнобедренности трапеции?
Задача:
Дана трапеция ABCD (BC < AD), провели MN параллельно основаниям (M на AB, N на CD). Оказалось, что угол BDM = углу CAN или угол DBN = углу ACM, требуется доказать что трапеции ABCD, AMND, MBCN равнобедренные.
Спасибо, подумаю. Интересно
В задачах с квадратами очень часто аналитическая геометрия в помощь!
Пусть A = [0; 0], C = [p, p];
tg(MKC) = 4/3;
K = [p-3; p]; M = [p, p-4];
KM: 4x + 3y = b;
b = 4p + 3p - 12 = 7p - 12;
KM: y = 4x + 3y = 7p - 12; 4x + 3y - 7p + 12
Пусть O = [0.5p; 0.5p] - центр окружности;
Имеем: A = 4; B = 3; C = 7p - 12; Ox = Oy = 0.5p;
Расстояние от точки O до прямой KM равно:
d = |A*Ox + B*Oy + C|/sqrt(A^2 + B^2) = |2p + 1.5p - 7p + 12|/sqrt(9 + 16) = |-3.5p + 12|/5.
С другой стороны, это расстояние - радиус окружности, равный 0.5p. Составляем уравнение:
|-3.5p + 12|/5 = 0.5p;
|-3.5p + 12| = 2.5p;
Поскольку явно p > 4, -3.5p + 12 < 0, и уравнение принимает вид:
3.5p - 12 = 2.5p, или p = 12; (!!)
K = [9; 12] и M = [12; 8]; A = [0; 0]
Зная координаты всех трех точек, вычислим S(AKM):
S = 0.5|(Kx - Ax)(My - Ay) - (Mx - Ax)(Ky - Ay)| = 0.5|9*8 - 12*12| = 0.5*(144 - 72) = 36. (!!)
Задача сама по себе достаточно тривиальная, а вот решение - весьма эффектное.
А если площадь квдрата 8, найти площадь тр-ка?
@@GeometriaValeriyKazakov По барабану. S▲ = (ab + ac - bc)/2, где
a =12, b = 3, c = 4. Но повторяю, Ваше решение эффектнее
площадь треугольника равна четверти квадрата - выводится "легким движением руки" при помощи двух формул в общем виде. Надо - скину куда-то..
Радиус окружности равен полупериметру тр-ка СКМ , r=(КС+СМ+КМ)/2 , по теореме Пифагора КС=\/КС=\/СМ*2+КС*2=\/4*2+3*2=5 , r=(3+4+5))/2=6 , сторона квадрата АВ=ВС=СД=АД=2r=2x6=12 SAKM=SABCД-SABK-SAMД-SCKM=12*2-((12(12-9))/2-((1212(12-4)/2)-(3x4)/2/2=36 . Если КС и СМ = другим числам - определим АК и АМ - площадь по ф - ле Герона или определить Cos a между этими сторонами , затем Sin a и имея две стороны и угол между ними определим площадь тр-ка АКМ . АК=\/12*2+(12-9)=15 , АМ=\/12*2+(12-4)*=4\/13 , по Герону - S=\/р(р-КМ)(р-АМ)(р-АК) , р=(КМ+АМ+АК)/2=(5+4\/13+15)/2=10+2\/13 - полупериметр , S=\/10+2\/13)(10-2\/13)(2\/13+5)(2\/13-5)=\/48х27=\/16х3х3х9=36 .
В магазинах ОZ пособий "Наглядная геометрия " для 7, 8, 9 классов нет в наличии. Жаль
Будет через 1 неделю!
После нахождения FC
продлим BC влево
построим AL || KM до пересечения с продолжением BC
Δ ABK= Δ ABK и оба они подобны Δ MCK
переместим A в L тогда площадь ΔLKM = площади ΔAKM
LK=2*BK=2*9=18
площадь ΔLKM = 0.5*LK*CM=0.5*18*4=36
Сторону квадрата обозначим х, площадь искомого треугольника S=(х^2-х(x-3)/2)-(х(x-4)/2)-6=(7x/2)-6, сторона квадрата находится как в видео (х\2)-3+(х\2)-4=5 (где КМ=5), х=12, S=42-6=36.
Красиво!и РЫ.СЫ. Звук превосходный.
Спасибо, не буду менять.
Продолжим КМ до пересечения с АД в т.Р . Обозначим сторону квадрата =X , MД=X-4 . Тр. ДМР ~ тр. СМК , МД/МР=СМ/СК4=4/3 ,ДР=3/4*(X-4) . AP=2*(X-3)=2X-6 . ДР=АР-X=2X-6-X=X-6 =3/4*(X-4) , откуда X=12 .S(AMK)=S(AВСД)- S(ABK)-S(KCM)-S(AMД)=36
Найдя сторону квадрата, можно задать систему координат, скажем, с началом в точке А, и определить координаты вершин треугольника: A (0, 0), K (9, 12), M (12, 8). Далее применим "шнуровку Гаусса", начиная с вершины А. Получим S(AKM) = [(0*8 + 12*12 + 9*0) - (12*0 + 9*8 + 0*12)]/2 = [144 - 72]/2 = 36.
Доказательство того, что треугольник - четверть квадрата красивее, конечно, но и без этого герон - перебор. Можно площадь S(AKCM) - S(KCM). KC = a, CM = b, KM = c, BC = (a+b+c), S(AKC) = (a+b+c)*a/2, S(ACM) = b(a+b+c)/2, S(KCM) = ab/2. S = ((a+b+c)(a+b) - ab)/2 = (a^2+b^2 + ab + ac+bc)/2 = (a^2+ b^2 + (a^2+b^2) + 2ab + 2ac +2bc)/4 = (a+b+c)^2/4.
Да, при чем здесь площадь? Конечно, дело в свойстве.
@@GeometriaValeriyKazakov Да, это понятно, но как альтернатива был указан герон, а это излишнее усложнение.
@@sergeykitov2760 Думаю, Нет, это общий подход. Принципиальное решение. Мы действует как компьютерная программа, есть алгоритм нахождения S тр-ка по трем? ВСе! Находим стороны, включаем алгоритм. А если хотите упроситиь, найдите по S кв =8, S(AKM)-? вашим простым способом. Вы - лучший!
@@GeometriaValeriyKazakov А я это сделал в своём первом комментарии по факту.
КМ=5, соотв.FC=6. AK=15, AM= 4 корня из 13, по Герону находим площадь АКМ равную 36.
Решающих Героном со сторонами в радикалах можно только пожалеть.
Ещё "флаг в руки" и пожелать удачи.
Суть задачи в том, чтобы д-ть, что S тр-ка = 1\4 S кв. ВЫ ЧО? Пацаны.
@@GeometriaValeriyKazakov ваше решение конечно очень красивое!👍
@@ДмитрийБ-щ8з Спасибо
Эль Клоссико.
Набросаю шаги, решение вечером. Гипотенуза делится 2:3 -- на 2 и 3. Сторона квадрата = 12. Ну и всё. ДМ=8, ВК=9..
Ответ:36
Сторона квадрата -- Х. Х=х(х-3) --х(х-4)=12. S(AKM)=S(ABCD)--S(ABK)--S(AMD)--S(KCM)=144 - 54 - 48 -6 = 36
Не искал половину стороны квадрата, а сразу CF + CP = сторона квадрата = 12.
Дальше не нашёл красивого и быстрого способа, а просто вычел площади трёх жёлтых треугольников: S = 12² - 3•4/2 - 12•(12 - 3)/2 - 12•(12 - 4)/2 = 36.
Я тк и думал, если дать S кв = 8, найти S тр-ка, то мало кто найдет и будет мало комментов, а так много мастеров нашлось! Диалектика.
Красота в том, что сторона квадрата равна периметру КСМ, а площадь треугольника - четверти квадрата периметра. Замечательная задача и её решение!
Спасибо. Все так! Два шевдевра в одном!
Посмотрел ролик. За такое решение Мариванна поставит двойку, патамушта запутается. .. или пятерку, со словами: "да чорт с ним"
А как вы докажете по-другому, что S тр-ка = 1/4 S кв? Жду-с!
@@GeometriaValeriyKazakov А зачем мне доли квадрата, если задача найти число. Но если так принципиально, то 36/144=1/4.
Ладно, подумаю, время казенное.
Не для средних умов. !!! ))
Норм
/
Да уж.
Такое решение никто не сплагиатит!
/
Вот-вот!