Ich habe quadratische ergänzung auch immer genutzt. finde es ein schöneres gefühl jeden schritt zu verstehen und nicht abhängig von einer formel zu sein. ich war auch sehr schnell damit
Wenn man die quadratische Ergänzung auf x² + px + q anwendet erhält man die p-q-Formel. Ähnliches gilt für die a-b-c-Formel. Man braucht nur ein paar extra Termumformungen.
Solche Programme werden von einigen Lehrern, aber lange noch nicht allen genutzt. Bei mir an der Schule gibt es zum Beispiel nur einzelne Lehrer, die das machen, aber an einer anderen Schule bei mir in der Nähe machen das deutlich mehr Lehrer. :)
@@JC.Denton. Freut mich. Aber bitte gewöhn dir ab, deine eigenen Kommentare zu liken, oder mach es später, nachdem wer anders bereits geliked hat, damit es nicht so stark auffällt. 😂
@@Radimunto Ich hab meinen eigenen Kommentar nicht geliket, keine Ahnung woher du das hast. Zu diesem Zeitpunkt sind zwei Likes auf meinem Kommentar und keiner davon ist von mir. Übertreib mal nicht
Danke! Liebe Susanne, dein prima Mathe-Video hat mir die quadratische Ergänzung wieder ins Gedächtnis gerufen. Die finde ich eigentlich garnicht so schlecht, benutze aber aus Gewohnheit die pq-Formel. Herzliche Grüße!
Ich finde die Quadratische Ergänzung super, aber statt die Ergänzung addieren und subtrahieren, kann man sie auch auf beiden Seiten der Gleichung addieren was ich schöner finde.
Ich vergesse immer wieder, wie die quadratische Ergänzung funktioniert, finde sie aber sehr elegant und praktisch. Danke für die Auffrischung. Ich würde die zu ergänzende Zahl gleich links und rechts vom Gleichheitszeichen ergänzen, dann muss man sie nicht nachträglich auf die rechte Seite bringen und vergisst sie auch weniger leicht.
Genauso dachte ich auch. Lieber auf beiden Seiten die Quadratzahl addieren (so sieht es etwas übersichtlicher aus). Auch mit der Wurzel würde ich etwas anders erklären.
Ich denke sie hat es so gemacht, da es didaktische besser ist, Schritte überspringen "weil is ja logisch" ist beim Lehren eher nicht so smart wenn man hier bei den Viewern die unterschiedlichsten Wissensstände berücksichtigen muss.
@@b.wartree3678 Sie hat bestimmt ihre Gründe gehabt. Beim Lösen von Gleichungen lernt man in der Schule von Anfang an, dass man links und rechts vom Gleichheitszeichen immer das Gleiche tun sollte, damit die Gleichung im "Gleichgewicht" bleibt. Von daher dachte ich, dass mein Gedanke nicht ganz abwegig ist.
@@b.wartree3678 Der Grund fürs Ergänzen und gleich wieder Abziehen dürfte sein, dass man beim Umwandeln einer quadratischen Gleichung in die Scheitelpunktform i.d.R. die Gleichung ja nicht mit 0 gleichsetzt und deshalb alles in der Funktion selber umwandelt.
@@b.wartree3678 Ich verstehe das Argument "keine Schritte überspringen" (bin selber Mathematiklehrer), aber hier trifft es nicht zu. Hier (beim Format x^2 + px + q = 0) ist es wirklich einfacher und logischer, die Zahl q auf die rechte Seite zu nehmen: x^2 - 6x = -8 Was Susanne ja auch macht, und dann zu überlegen, was es als Addition braucht, um auf der linken Seite eine binomische Formel anwenden zu können. Dann ist es auch logisch, dass dieses Etwas, nämlich in diesem Fall 9, auf beiden Seten der Gleichung zu addieren: x^2 - 6x + 9 = -8 + 9 Daher auch der Name "quadratisches Ergänzen", nicht "wegnehmen". Dan einfach links die binomische Formel anwenden und rechts zusammenfassen: (x - 3)^2 = 1 Und die Quadratwurzel ziehen: x - 3 = +- 1 Ind noch die Zahlen auf der rechten Seite zusammenfassen: x = 3 +- 1 Woraus sich die beiden Lösungen 4 und 2 ergeben. Ich kann an diesem Rechenweg bei bestem Willen keinen weggelassenen Schritt erkennen. Der Schritt, auf der linken Seite erst 9 zu addieren und dann wieder 9 zu subtrahieren, ist komplett überflüssig und verwirrt nur. Es gibt übrigens auf TH-cam auch schöne Videos, die das Ganze geometrisch veranschaulichen, zum Beispiel durch Zuschneiden von Quadeaten und Rechtecken aus Papier.
Ich liebe quadratische Ergänzung, mache die immer - bin zu faul mir die Formeln zu merken, die im Endeffekt nichts anderes machen. Kleiner Tipp, schnelle geht es wenn man z.B. statt + und - beide Seiten einfach mit dem Gleichen Term addiert. Und insbesondere beim ersten Beispiel kann man auch einfach gleich +1 rechnen ;-).
Wobei die quadratische Ergänzung an sich auch einfach eine Formel ist. x² +px + (p/2)² - (p/2)² + q = 0 | -q x² +px + (p/2)² - (p/2)² = -q Kommt also mehr drauf an, was man sich persönlich einfach merken kann bzw man sich mit sicher fühlt. Bei mir ist es die pq-Formel, weil man nicht unbedingt auf die binomische Formel angewiesen ist. ^^
Ich war auch in den allermeisten Fällen Team quadratische Ergänzung. Ich hab dazu immer aus px (p/2)² gebildet um zu sehen, welchen Teil ich brauche und diesen direkt ergänzt, also in beispiel 1) brauche ich eine eine 9, hatte aber eine 8, also muss ich 1 dazu rechnen auf beiden Seiten und dann einfach damit weiter gerechnet (also ein Binom gebildet und die wurzel gezogen) Bei Beispiel 2 hätte ich dann (1/2)² = 1/4 gehabt, also hätte ich 2,75 abziehen müssen auf beiden seiten und aus negativen Zahlen kann ich keine Wurzel ziehen. Für mich war es immer intuitiver an beiden Seitenn was zu verändern als erst was zur seite schieben, dann was dazu und es direkt wieder abzuziehen, auch wenn es häufig so erklärt wird
Es wird meist einfacher, wenn man die QE auf beiden Seiten der Gleichung addiert. Z.B. braucht man dann auch den Hinweis nicht, warum bei -3² nicht +9 heraus kommt. Man kann das auch so machen, dass man links n² und rechts das Ergebnis davon addiert. Wundern sollte einem dann gar nichts mehr. ;)
Liebe Susanne! Es gibt neben den R auch die Komplexen Zahlen. Also: Einfach abbrechen geht nicht. Hier kommt die Gleichung x+1/2 = +- (Wurzel (11)/2)i. raus die man in C lösen kann. Nach den "Fundamentalsatz der Algebra kommen konjungiert komplexe Zahlen raus.
Sehr schön erklärt, aber es geht an einer Stelle auch deutlich einfacher. Wenn man die quadratische Ergänzung gefunden hat, in diesem Fall +(6/2)^2 , also +3^2, also +9, dann statt auf der linken Seite umständlich +9 und -9 zu schreiben, kann man doch einfach diese 9 auf beiden Seiten der Gleichung addieren! Also so: 3x^2 - 18x + 24 = 0. Durch 3 teilen x^2 - 6x + 8 = 0. Minus 8, also die Konstante auf die rechte Seite bringen x^2 - 6x = -8 Jetzt + 9 auf beiden Seiten! x^2 - 6x + 9 = -8 + 9 (x - 3)^2 = 1 x - 3 = +-1 x = 3 +- 1 Also x1 = 3 + 1 = 4 x2 = 3 - 1 = 2 L = {2, 4}
Für mich wird dann auch klarer, warum es "quadratische Ergänzung" heisst: Ich "ergänze" etwas auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens und nehme nirgends etwas ("gleich wieder") weg.
Bei der ersten Gleichung habe ich mich gewundert, wozu der « -8 » Schritt, da ich die Gleichung schneller mit « +1 » auf beiden Seite gelöst hatte. Bei der zweiten Gleichung wurde es klar, dass sich mit diesem Schritt einige Flüchtigkeitsfehler vermeiden lassen 😅. Sehr schön erläutert 👍
Ich muss egrlich sagen, dass ich genau die Person bin, die sehr schnell damit rechnen kann. Ich habe noch nie die pq formel benutzt aber ich bin so zufrieden damit, dass ich es nicht einmal ausprobieren möchte. Danke fürdas Video schreibe morgen eine hahresabschlussarbeit und das hat noch mein Wissen gefestigt danke!❤
Ich habe das im Kopf gerechnet und mich gefreut, dass ich zwei schöne Werte rausbekam. 😄 Okay, ich habe mein Studium im letzten Jahrtausend beendet. Da sollte ich es zunächst schriftlich versuchen.
Ahoi! Ich meine, in anderen Videos sagst du gerne mal, dass die Wurzel aus einer Zahl immer als der positive Wert definiert ist. Also Wurzel(1) = 1. Hier schreibst du jetzt aber quasi Wurzel(1) = +/-1. Also es ist ja nicht verkehrt, aber vielleicht wäre ein Hinweis zum Betrag an dieser Stelle nochmal ganz hilfreich, was meinst du? In etwa so: (x-3)² = 1 | Wurzel ziehen |x-3| = Wurzel(1) = 1 | Betrag auflösen +(x-3) = 1 oder -(x-3) = 1 x-3 = 1 oder x-3 = -1 (das hier ist quasi das "x-3 = +/-1" aus dem Video) x=4 oder x=2
1) Zunächst teilen wir durch 3: x² - 6x + 8 = 0 Dann suchen wir zwei Zahlen, die addiert - 6 und multipliziert 8 ergeben. Das sind - 2 und - 4: (x - 2)(x - 4) = 0 Und nun können wir die Nullstellen direkt ablesen. Sie liegen bei x₁ = 2 und x₂ = 4. 2) Hier fängt man genauso an: x² + x + 3 = 0 und sieht, dass der Tiefpunkt der Parabel für x = 0 bei f(x) = 3 liegt und es damit keine reellen Nullstellen gibt. Die komplexen bekommen wir aber durch Lösen der quadratischen Funktion: x₁,₂ = - 1/2 ± √(1/4 - 3) = - 1/2 ± √(- 11/4) x₁ = (-1 - i√11)/2 ∨ x₂ = (-1 + i√11)/2
Ich versuch hier mal mein Glück, vielleicht gibts ein Paar denen das gleiche Schicksal widerfahren wird: Ich schreibe in ein Paar Wochen Statistik. Problem welches jede Klausur drankam: Die Dichte f in eine Verteilungsfunktion F integrieren. Bitte bitte ein Beispiel dazu!
Ein Kommentar bevor ich das Video schaue: Hab das mal irgendwann gelernt, wann das war weiß ich nicht mehr, aber ich bin sehr gespannt weil ich keine Ahnung mehr davon habe 😁
fands jetzt fast zu wild erklärt, liegt aber sicher an den Beispielen, die einem da in die Karten spielen. Deine Erklärung hat sicher einen pädagogischen Mehrwert ;) Beim zweiten Beispiel kann man doch einfach aufhören, wenn man aus 2x2 +2x+6 = 0 mit /2 , -2 => (x+1)² = -2 gemacht hat, da eine Lösung ja offensichtlich nicht vorhanden ist?
Ich vermute mal, Sie meinen bei 9:15 die Gleichung (x + 1/2)^2 = -11/4 Der Bruch ist hier nicht das Problem, sondern die Wurzel. Man kann keine Quadratwurzel aus einer negativen Zahl (hier -11/4) ziehen, wenn man als Grundmenge die reellen Zahlen hat (also G = R). Grund: das Quadrat einer reellen Zahl ist niemals negativ, sondern immer >= 0 Denn es gelten ja die Vorzeichenregeln "Plus mal Plus ergibt Plus" und "Minus mal Minus ergibt Plus". Beispiel: (+5) * (+5) = +25 (-5) * (-5) = +25 (+5) * (-5),= -25 (-5) * (+5) = -25 Beim Quadrieren hat man stets einen der oberen beiden Fälle, da man ja die Zahl mit sich selber malnimmt. Allgemein gilt also x^2 = x * x >= 0. (Für x = 0 ist x^2 = 0, für alle anderen Werte von ist x^2 stets > 0, also positiv. Darum hat zum Beispiel die Gleichung x^2 = 9 reelle Lösungen, nämlich x = +3 und x = -3. Aber die Gleichung x^2 = -9 hat keine reellen Lösungen. Hat man als Grundmenge die komplexen Zahlen (also G = C), definiert man hingegen Eine sogenannte imaginäre Einheit i als Quadratwurze aus minus Eins, d.h. i = sqrt(-1) bzw. es gilt dann i^2 = -1 Und dann kann man die Gleichung x^2 = -9 lösen: x^2 = -9 x^2 = 9 * (-1) x = +- sqrt(9 * (-1)) x = +- sqrt(9) * sqrt(-1) x = +- 3 * i findet dann also zwei Lösungen x = +3i und x = -3i. Die Lösungsmenge wäre dann L = {+3i, -3i}. Da i aber keine reelle Zahl ist und komplexe Zahlen wie 3i in der Schule meist weggelassen werden, haben wir in der Schule meist die Grundmenge R und dann halt keine Lösung: L = {}.
Hallo Susanne, erst mal lieben Dank für dein Video zu diesem Thema. Zu deine Video sind mir 2 Sachen ein-/aufgefallen. Ich werfe die jetzt einfach mal in dien Ring, vielleicht ist das für den/die eine oder andere hilfreich. Zunächst solltest Du aus meiner Sicht nochmal klar skizzieren, was Sinn und Zweck der quadratischen Ergänzung ist... Zum Beispiel: "es geht darum, quadratische Gleichungen so umzuformen, dass sie als binomische Formeln dargestellt werden können, so dass man mit Hilfe dieser Darstellung schnell Nullstellen und somit indirekt Lösungen für x bestimmen können." Dieses "Intro' signalisiert nämlich a) es geht um quadratische Gleichungen, also alle Gleichungen, bei denen x^2 der höchste Exponent ist. -> d. h. Wenn es höhere Exponenten, z. B. x^3 gibt, oder nur x vorkommt, können mit dieser Methode NICHT gelöst werden. b) Ziel der quadratischen Ergänzung ist eine binomische Formel, also entweder (a+b)^2, oder (a-b)^2, oder a^2-b^2 ... Letztes dürfte jedoch fast nie vorkommen. In 2:30 könnte jetzt jemand, der diesen Zusammenhang nicht kennt, auf die Idee kommen, ich wende das auch an bei z.B. Gleichungen wie x^3-2x+5. In 5:13 sagst Du "Wurzelziehen" und "Quadrieren" 'hebt sich weg' VORSICHT... Wenn sich das in "Schülerhirnen" festbrennt, kann das schief gehen! Zunächst ein "einfacheres' Beispiel: (ich benutze sqr(...) für Quadratwurzel aus...) Sqr ((-2)^2))) Für alle, die mit sqr und Co nix anfangen können In Worten: "Sage mir das Ergebnis von 'Quadratwurzel aus Minus 2 hoch 2) Wenn ich jetzt nach der Aussage "Wurzelziehen und Quadratwurzelziehen hebt sich weg vorgehen würde, bliebe nur übrig -2... Das sieht auf den ersten Blick gut aus und vermittelt fälschlicherweise den Eindruck, Wurzelziehen wäre eine Äquivalenzumformung zu Quadrieren.. Außerdem widerspricht es deiner Aussage, dass man bei quadratischen Gleichungen in den meisten Fällen 2 Lösungen (in den reelen Zahlen) erwarten darf. Wenn ich das Ganze schrittweise rechne, also erst (-2)^2 = 4 und danach die Wurzel ziehe bekomme ich die korrekten Lösungen x1=+2, x2=-1 Daran sieht man a) Wurzelziehen ist keine Äquivalenzumformung, weil ich nicht auf die einzige Lösung x=-2 der Ausgangssituation zurückkomme (ich habe ja nun eine zweite Lösung x=2) b) quadrieren "generiert" für die Umkehrrechnung eine 2. Lösung und ist daher auch keine Äquivalenzunformung c) quadrieren und Wurzelziehe heben einander nicht weg. (Die Lösung x=2) würde unter den Tisch fallen. ICh empfehle daher dringend, den Schülern und Schülerinnen in Bezug auf Quadrieren und Wurzelziehe innnerhalb einer Gleichung folgendes mit auf dem Weg zu geben; 1) kommt nicht auf die Idee, dass sich Wurzelziehen und Quadrieren gegenseitig aufheben! 2) Führt beide Schritte wirklich aus und berechnet ggf. die Zwischenergebnisse. 3) Macht immer die Probe, in dem ihr die gefundenen Lösungen in die AUSGANGSGLEICHUNG(!!) einsetzt. Für alle , die das jetzt viel zu theoretisch und abstrakt fanden, hier ein Beispiel, das mir während meiner Schulzeit tatsächlich gestellt wurde: Aufgabe: finde den Fehler und gebe die richtige(n) Lösung(en) an: bedeutet 'mache Äquivalenzumformung', ^ bedeutet hoch... 4= 4 |*(-5) -20=-20 | 16-36=25-45 | 4^2 - 4*9=5^2 - 5*9 | 4^2 - 2 * 4 * (9/2) = 5^2 - 2 * 5 * (9/2) | + (9/2)^2 4^2 - 2+4+9/2 +(9/2)^2 = 5^2 - 2 * 5 * 9/2 +(9/2)^2 | (2. binomische Formel) (4 - 9/2)^2 = (5 - 9/2)^2 | Wurzel ziehen sqr((4 - 9/2)^2) - sqr((5 - 9/2)^2) ""Wurzelziehen und Quadrieren hebt sich weg" 4 - 9/2 = 5 - 9/2 |+9/2 4 = 5 richtige Lösungen: 4= 4 |*(-5) -20=-20 | 16-36=25-45 | 4^2 - 4*9=5^2 - 5*9 | 4^2 - 2 * 4 * (9/2) = 5^2 - 2 * 5 * (9/2) | + (9/2)^2 4^2 - 2+4+9/2 +(9/2)^2 = 5^2 - 2 * 5 * 9/2 +(9/2)^2 | (2. binomische Formel) (4 - 9/2)^2 = (5 - 9/2)^2 | Klammern berechnen (-1/2)^2 = (1/2)^2 |Wurzelziehen und dabei positive und negative Lösungen beachten +/ - (-1/2) = +/- (1/2) |alle potenziellen Lösungen finden und prüfen, welche Lösungen wahre Aussagen ergeben (entspricht ('Probe' machen) L1: (-1/2) = (1/2) -> falsche Aussage (auf beiden Seite das +-Vorzeichen genommen) L2: (-1/2) =-(1/2) -> wahre Aussage (links das +-Vorzwichewn, rechts das --Vorzeichen genommen L3: (1/2) = (1/2) -> wahre Aussage (links das --Vorzeichen, rechts das +-Vorzeichen genommen. L4: (1/2) = (-1/2) -> falsche Aussage auf beiden Seiten das --Vorzeichen genommen. Somit bleiben L2 und L3 als korrekte Lösungen übrig. (-1/2) und 1/2) ergibt genau die Differenz zwischen der Ausgangsgleichung 4=4 und er vermeintlichen Endgleichung 4=5 🙂 Dir, Thomas und allen anderen hier noch einen schönen Abend und LG aus dem Schwabenland.
X1 = 2, X2 = 4. X1 = 2, X2 = -3 Ich löse es ein bisschen anders. Ich wende am Ende die 3. Binomische Formel rückwärts an und faktorisiere. Dann kann ich beide Faktoren Null setzen. Dann muss allerdings rechts die Null stehen.
7:20 Man kann diese ganze Bruchrechnung mit Halben und Vierteln vermeiden, wenn man die Gleichung mit 4 multipliziert: x^2 + x + 3 = 0 | mal 4 nehmen 4x^2 + 4x + 12 = 0 | minus 12 4x^2 + 4x = -12 Und jetzt den Ansatz (2 x + 1)^2 für die 1. binomische Formel machen. Wir müssen also 1 auf beiden Seiten der Gleichunf addieren: 4x^2 + 4x + 1 = -12 + 1 Und können jetzt schreiben: (2x + 1)^2 = -11 Damit ist klar, daß es keine reelle Lösung geben kann, denn wir müßten jetzt aus der Diskriminante -11 die Quadratwurzel ziehen. Läßt man als Grundmenge statt der reellen (G = R) die komplexen Zahlen zu (G = C), dann löst man weiter: 2x + 1 = +- sqrt(-11) 2x + 1 = +- sqrt(11*(-1)) 2x + 1 = +- sqrt(11)*i 2x = -1 +- sqrt(11)*i x1,2 = (-1 +- sqrt(11)*i)/2 x1,2 = -1/2 +- 1/2*sqrt(11)*i
6:17 Ich habe immer gerne kurz überprüft, ob die berechneten Werte eingesetzt wirklich 0 ergeben. 3(x)2 -18x + 24. Mit x=4, 3*16-72+24 =48+24-72 = 0 Mit x= 2, 3*4-36+24 = 12+24-36= 0. GREAT.
Man kann es noch viel schneller herausfinden. In dem man durch den Faktor a teilt und dann mit dem Satz vom Nullpunkt die Nullstellen abließt. Man sieht mit Hilfe der Binomischen Formel das 4+2=6 und 4*2=8, das heißt unsere Nullstellen sind x1= 4 und x2= 2
Bin jetzt 54 und immer mit der pq-Formel ausgekommen, werde meine Gewohnheiten daher wahrscheinlich nicht mehr ändern. Tatsächlich kam die quadratische Ergänzung bei uns in der Schule nicht dran. Da ich allerdings im Kopfrechnen recht schnell bin, werde ich mir mal selbst ein paar Aufgaben nehmen und die Zeit messen. Könnte durchaus schneller gehen als mit der pq-Formel.
P/q Formel und Quadratische ergänzung ist ja eig auch identisch. Wenn man nämlich die quadratische ergänzung auf die glaichung x²+px+q anwendet kommt direckt auf die p/q formel. Naja ich habe bsp.1 übrigens im kopf gelöst aber ich glaube ohne lg weg hätte ich in der lk pkt-abzug bekommen.
Meines Erachtens schlägt, was im Kopfrechnen und Schnelligkeit angeht, nix die Mitternachtsformel. Bei den andren 2 Verfahren bin ich immer viieell langsamer
Sehr guter Tipp. Da ich im Abitur echt Schwierigkeiten habe, mit die Mitternachts- oder pq-Formel zu merken, probiere ich es mal so aus. Vielen, vielen Dank dafür.
Also ich ziehe die QE der PQ-Formel vor, denn die Formel müsste man auswendig lernen und das obwohl sie (deutlich sichtbar) auf dem Verfahren der QE beruht.
Spannend ist auch die geometrische Interpretation der quadratischen Ergänzung, das bietet eine etwas anderen Zugang, und schickt auf eine schöne Reise in die Welt der Mathematik... Und -3 plus 1/4, das geht doch im Kopf. Zumal es unwichtig war.
Weil die binomische Formel rückwärts angewandt wird. Wenn man sie vorwärts anwendet, dann entsteht das 6x im Mittelteil, also verschwindet es rückwärts.
Ich kann mich an sture Anwendung solcher Algorithmen einfach nicht gewöhnen. Warum erst die störende Zahl auf die andere Seite bringen, um dann die ergänzte Zahl auch noch nach rechts zu bringen? Alles links lassen, ergänzen, zusammenfassen - und danach auf die rechte Seite bringen was noch stört.
Ich benutze bei Quadratischen Funktionen normalerweise die PQ-Formel. Falls aber tatsächlich die Scheitelpunktform gebraucht wird, nehme ich, statt der quadratischen Ergänzung, viel lieber: Extremstelle-x = -b/2a und setze daraufhin Extremstelle-x in die Funktion ein und bekomme so den Scheitelpunkt. Warum? Wegen DorFuchs quadratische Funktionen Song 😉 Macht das noch wer so?
Quadratische Ergänzung kann schon schnell sein, hier hätte ich aber schon früher "umgesattelt", denn es ließ sich schon früh mit 3(x-4)(x-2) die Nullstelle erkennen
x2 - 6x + 8 = 0 Sieht man sofort, dass: x2 - 6x + 8 = (x - 4 ) (x - 2) = 0 Lösungen: x = 4 und x= 2 x2 + x + 3 = 0 Wenn ich faktorisieren möchte, kann ich keinen zwei Zahlen zu 3 multiplizieren, so dass deren Addition 1 ergibt. => keinen reellen Lösungen Aber das Ziel war ja quadratische Ergänzung zeigen. Für Blinde sicher eine gute Sache.
Mit etwas Erfahrung "sieht" man bei der 2. Aufgabe, dass es keine Nullstellen gibt: Quadratisches Glied hat positives Vorzeichen, d.h nach oben geöffnete Parabel, linearfaktor > 0 UND konstantes Glied > 0, daher nur positive Funktionswerte und deshalb keine reelen Nullstelle(n). Wäre bei einer Gleichung n-ten Grades kein konstantes Glied vorhanden ist eine Nullstelle immer im Ursprung.
Leider reichen drei positive Koeffizienten nicht, um Nullstellen auszuschließen. Beispiel: x² + 4x +3 = 0 hat die Lösungen - 1 und - 3 Dazwischen sind die Ergebnisse des Quadratterms negativ.
Ab 5:00 Wurzel (Term²) = Betrag(Term) , deshalb gibt es zwei Lösungen. Beim Wurzelziehen gibt es immer nur eine Lösung, Wurzel von 1 ist 1, nicht +/- 1 .
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Ich habe quadratische ergänzung auch immer genutzt. finde es ein schöneres gefühl jeden schritt zu verstehen und nicht abhängig von einer formel zu sein. ich war auch sehr schnell damit
Ist bei mir zwar schon länger her, aber ein anderes Verfahren habe ich in den 80ern in der Schule auch nicht gelernt.
Die quadratische Ergänzung habe ich im Studium immer genommen, weil ich zu doof war, mir die pq-Formel zu merken.
Wenn man die quadratische Ergänzung auf x² + px + q anwendet erhält man die p-q-Formel.
Ähnliches gilt für die a-b-c-Formel. Man braucht nur ein paar extra Termumformungen.
Ich find dieses Programm, was du da nutzt, total klasse. Das ist besser als jede Tafel. Wird das auch mittlerweile im Unterricht von Lehrern genutzt?
Solche Programme werden von einigen Lehrern, aber lange noch nicht allen genutzt. Bei mir an der Schule gibt es zum Beispiel nur einzelne Lehrer, die das machen, aber an einer anderen Schule bei mir in der Nähe machen das deutlich mehr Lehrer. :)
Gibt hunderte solche Programme und die sind inzwischen Standard an Hochschulen.
@@JC.Denton. Freut mich. Aber bitte gewöhn dir ab, deine eigenen Kommentare zu liken, oder mach es später, nachdem wer anders bereits geliked hat, damit es nicht so stark auffällt. 😂
@@Radimunto Ich hab meinen eigenen Kommentar nicht geliket, keine Ahnung woher du das hast. Zu diesem Zeitpunkt sind zwei Likes auf meinem Kommentar und keiner davon ist von mir. Übertreib mal nicht
Das Programm heißt GoodNotes, unsere Lehrer benutzen es.
Danke! Liebe Susanne, dein prima Mathe-Video hat mir die quadratische Ergänzung wieder ins Gedächtnis gerufen. Die finde ich eigentlich garnicht so schlecht, benutze aber aus Gewohnheit die pq-Formel. Herzliche Grüße!
Ich sehe das anders. Wer die pq-Formel oder abc-Formel verwendet benutzt damit auch die quadratische Ergänzung.
Ich finde die Quadratische Ergänzung super, aber statt die Ergänzung addieren und subtrahieren, kann man sie auch auf beiden Seiten der Gleichung addieren was ich schöner finde.
Ich vergesse immer wieder, wie die quadratische Ergänzung funktioniert, finde sie aber sehr elegant und praktisch. Danke für die Auffrischung.
Ich würde die zu ergänzende Zahl gleich links und rechts vom Gleichheitszeichen ergänzen, dann muss man sie nicht nachträglich auf die rechte Seite bringen und vergisst sie auch weniger leicht.
Genauso dachte ich auch. Lieber auf beiden Seiten die Quadratzahl addieren (so sieht es etwas übersichtlicher aus). Auch mit der Wurzel würde ich etwas anders erklären.
Ich denke sie hat es so gemacht, da es didaktische besser ist, Schritte überspringen "weil is ja logisch" ist beim Lehren eher nicht so smart wenn man hier bei den Viewern die unterschiedlichsten Wissensstände berücksichtigen muss.
@@b.wartree3678 Sie hat bestimmt ihre Gründe gehabt. Beim Lösen von Gleichungen lernt man in der Schule von Anfang an, dass man links und rechts vom Gleichheitszeichen immer das Gleiche tun sollte, damit die Gleichung im "Gleichgewicht" bleibt. Von daher dachte ich, dass mein Gedanke nicht ganz abwegig ist.
@@b.wartree3678 Der Grund fürs Ergänzen und gleich wieder Abziehen dürfte sein, dass man beim Umwandeln einer quadratischen Gleichung in die Scheitelpunktform i.d.R. die Gleichung ja nicht mit 0 gleichsetzt und deshalb alles in der Funktion selber umwandelt.
@@b.wartree3678 Ich verstehe das Argument "keine Schritte überspringen" (bin selber Mathematiklehrer), aber hier trifft es nicht zu. Hier (beim Format x^2 + px + q = 0) ist es wirklich einfacher und logischer, die Zahl q auf die rechte Seite zu nehmen:
x^2 - 6x = -8
Was Susanne ja auch macht, und dann zu überlegen, was es als Addition braucht, um auf der linken Seite eine binomische Formel anwenden zu können. Dann ist es auch logisch, dass dieses Etwas, nämlich in diesem Fall 9, auf beiden Seten der Gleichung zu addieren:
x^2 - 6x + 9 = -8 + 9
Daher auch der Name "quadratisches Ergänzen", nicht "wegnehmen".
Dan einfach links die binomische Formel anwenden und rechts zusammenfassen:
(x - 3)^2 = 1
Und die Quadratwurzel ziehen:
x - 3 = +- 1
Ind noch die Zahlen auf der rechten Seite zusammenfassen:
x = 3 +- 1
Woraus sich die beiden Lösungen 4 und 2 ergeben.
Ich kann an diesem Rechenweg bei bestem Willen keinen weggelassenen Schritt erkennen.
Der Schritt, auf der linken Seite erst 9 zu addieren und dann wieder 9 zu subtrahieren, ist komplett überflüssig und verwirrt nur.
Es gibt übrigens auf TH-cam auch schöne Videos, die das Ganze geometrisch veranschaulichen, zum Beispiel durch Zuschneiden von Quadeaten und Rechtecken aus Papier.
Ich liebe quadratische Ergänzung, mache die immer - bin zu faul mir die Formeln zu merken, die im Endeffekt nichts anderes machen. Kleiner Tipp, schnelle geht es wenn man z.B. statt + und - beide Seiten einfach mit dem Gleichen Term addiert. Und insbesondere beim ersten Beispiel kann man auch einfach gleich +1 rechnen ;-).
sehe ich auch so
Wobei die quadratische Ergänzung an sich auch einfach eine Formel ist.
x² +px + (p/2)² - (p/2)² + q = 0 | -q
x² +px + (p/2)² - (p/2)² = -q
Kommt also mehr drauf an, was man sich persönlich einfach merken kann bzw man sich mit sicher fühlt. Bei mir ist es die pq-Formel, weil man nicht unbedingt auf die binomische Formel angewiesen ist. ^^
x12= -p/2 +- sqrt((p/2)^2 - q)
Irgendwie auch ein schönes Gefühl, daß man sich tatsächlich daran erinnern kann! Hat wieder Spaß gemacht! Vielen Dank! 👍😊🎶
Ich war auch in den allermeisten Fällen Team quadratische Ergänzung.
Ich hab dazu immer aus px (p/2)² gebildet um zu sehen, welchen Teil ich brauche und diesen direkt ergänzt, also in beispiel 1) brauche ich eine eine 9, hatte aber eine 8, also muss ich 1 dazu rechnen auf beiden Seiten und dann einfach damit weiter gerechnet (also ein Binom gebildet und die wurzel gezogen)
Bei Beispiel 2 hätte ich dann (1/2)² = 1/4 gehabt, also hätte ich 2,75 abziehen müssen auf beiden seiten und aus negativen Zahlen kann ich keine Wurzel ziehen.
Für mich war es immer intuitiver an beiden Seitenn was zu verändern als erst was zur seite schieben, dann was dazu und es direkt wieder abzuziehen, auch wenn es häufig so erklärt wird
Geniale Hilfestellung!Vielen, vielen Dank!🎉
Das hab ich schon so lange nicht mehr so gerechnet. Danke, hat echt Spaß gemacht.
Sehr schön :)
Kannst du bitte was mit Volumen- und Oberflächenintegralen machen? Wäre super interessant XD
Sätze von Gauss Stokes und Green. :)
Es wird meist einfacher, wenn man die QE auf beiden Seiten der Gleichung addiert. Z.B. braucht man dann auch den Hinweis nicht, warum bei -3² nicht +9 heraus kommt. Man kann das auch so machen, dass man links n² und rechts das Ergebnis davon addiert. Wundern sollte einem dann gar nichts mehr. ;)
Liebe Susanne! Es gibt neben den R auch die Komplexen Zahlen. Also: Einfach abbrechen geht nicht. Hier kommt die Gleichung x+1/2 = +- (Wurzel (11)/2)i. raus die man in C lösen kann. Nach den "Fundamentalsatz der Algebra kommen konjungiert komplexe Zahlen raus.
Ja, sprengt aber den Rahmen und wird in der Schule nicht drangenommen. Sie sagt ja auch im Reelen Zahlen Bereich.
Sehr schön erklärt, aber es geht an einer Stelle auch deutlich einfacher. Wenn man die quadratische Ergänzung gefunden hat, in diesem Fall +(6/2)^2 , also +3^2, also +9, dann statt auf der linken Seite umständlich +9 und -9 zu schreiben, kann man doch einfach diese 9 auf beiden Seiten der Gleichung addieren! Also so:
3x^2 - 18x + 24 = 0. Durch 3 teilen
x^2 - 6x + 8 = 0. Minus 8, also die Konstante auf die rechte Seite bringen
x^2 - 6x = -8 Jetzt + 9 auf beiden Seiten!
x^2 - 6x + 9 = -8 + 9
(x - 3)^2 = 1
x - 3 = +-1
x = 3 +- 1
Also
x1 = 3 + 1 = 4
x2 = 3 - 1 = 2
L = {2, 4}
Für mich wird dann auch klarer, warum es "quadratische Ergänzung" heisst: Ich "ergänze" etwas auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens und nehme nirgends etwas ("gleich wieder") weg.
Bei der ersten Gleichung habe ich mich gewundert, wozu der « -8 » Schritt, da ich die Gleichung schneller mit « +1 » auf beiden Seite gelöst hatte.
Bei der zweiten Gleichung wurde es klar, dass sich mit diesem Schritt einige Flüchtigkeitsfehler vermeiden lassen 😅.
Sehr schön erläutert 👍
Ich finde die Addition auch beim 2. Beispiel einfacher, vor allem weil man auch die Brüche vermeiden kann.
Wieder einmal tolles Video. Gibt es zum 2. Beispiel komplexe Lösungen ? Wenn ja, dann wäre das auch ein schönes Thema für ein Video.
Siehe meine Rechnung weiter oben, dort stehen die komplexen Lösungen.
@@goldfing5898 Habe sie gesehen. Besten Dank.
Ich muss egrlich sagen, dass ich genau die Person bin, die sehr schnell damit rechnen kann. Ich habe noch nie die pq formel benutzt aber ich bin so zufrieden damit, dass ich es nicht einmal ausprobieren möchte. Danke fürdas Video schreibe morgen eine hahresabschlussarbeit und das hat noch mein Wissen gefestigt danke!❤
Wenn du die pq-Formel (oder "Mitternacht") herleitest, machst du genau die quadratische Ergänzung, nur halt ganz allgemein mit den Koeffizienten.
Das kommt mir richtig gelegen, weil ich gerade eine GFS zu verschiedenen Nullstellenberechnungen erstellen muss :)
Ich habe das im Kopf gerechnet und mich gefreut, dass ich zwei schöne Werte rausbekam. 😄
Okay, ich habe mein Studium im letzten Jahrtausend beendet. Da sollte ich es zunächst schriftlich versuchen.
👍 Danke für die Lösungswege
Ich bleibe bei der p-q-Formel. Die habe ich mir vor 20 Jahren andressiert, die gebe ich nicht mehr weg.😅
Wow Mathe Arbeit gerettet
Ahoi! Ich meine, in anderen Videos sagst du gerne mal, dass die Wurzel aus einer Zahl immer als der positive Wert definiert ist. Also Wurzel(1) = 1. Hier schreibst du jetzt aber quasi Wurzel(1) = +/-1. Also es ist ja nicht verkehrt, aber vielleicht wäre ein Hinweis zum Betrag an dieser Stelle nochmal ganz hilfreich, was meinst du? In etwa so:
(x-3)² = 1 | Wurzel ziehen
|x-3| = Wurzel(1) = 1 | Betrag auflösen
+(x-3) = 1 oder -(x-3) = 1
x-3 = 1 oder x-3 = -1 (das hier ist quasi das "x-3 = +/-1" aus dem Video)
x=4 oder x=2
Ist die einzige Weise die ich kenne. Realschule 1982 😂
PQ und sowas hab ich nie gehört. Aber zum Ziel bin ich auch gekommen. Top Kanal 👍
Danke für das vid
Gerne! ☺️
1) Zunächst teilen wir durch 3:
x² - 6x + 8 = 0
Dann suchen wir zwei Zahlen, die addiert - 6 und multipliziert 8 ergeben. Das sind - 2 und - 4:
(x - 2)(x - 4) = 0
Und nun können wir die Nullstellen direkt ablesen. Sie liegen bei x₁ = 2 und x₂ = 4.
2) Hier fängt man genauso an:
x² + x + 3 = 0
und sieht, dass der Tiefpunkt der Parabel für x = 0 bei f(x) = 3 liegt und es damit keine reellen Nullstellen gibt. Die komplexen bekommen wir aber durch Lösen der quadratischen Funktion:
x₁,₂ = - 1/2 ± √(1/4 - 3)
= - 1/2 ± √(- 11/4)
x₁ = (-1 - i√11)/2 ∨ x₂ = (-1 + i√11)/2
Vielen Dank 😊
Gerne 😊
Ich liebe die Ergänzung
Danke sie haben mir sehr geholfen
Sie können sehr gut erklären habe dank ihnen alles sehr gut verstanden danke 🎉
Genialer Kanal! Du bist mein(e) Lieblings-TH-camr(in)! 😍
ich liebe MathemaTrick
Ich versuch hier mal mein Glück, vielleicht gibts ein Paar denen das gleiche Schicksal widerfahren wird: Ich schreibe in ein Paar Wochen Statistik. Problem welches jede Klausur drankam: Die Dichte f in eine Verteilungsfunktion F integrieren. Bitte bitte ein Beispiel dazu!
Hallo, mir ist nicht ganz klar, wie man von x²-6x+3² auf (x-3)² kommt...
Hey Stefan, das ist die 2. Binomische Formel rückwärts angewendet. Dazu habe ich hier auch ein extra Video: th-cam.com/video/wXsBiLTvI9E/w-d-xo.html 😊
@@MathemaTrick Ah, natürlich, da hatte ich jetzt echt einen Hänger 😉
Vielen Dank für die schnelle Antwort!
Warum verschwindet die x Zahl wenn man in die klammer -funktion setzt
in Wurzeln kommt keine negative zahl aber das Ergebnis kann negativ sein?
kannst du bitte in einem Video das Erklären bitte.🙏
Ein Kommentar bevor ich das Video schaue:
Hab das mal irgendwann gelernt, wann das war weiß ich nicht mehr, aber ich bin sehr gespannt weil ich keine Ahnung mehr davon habe 😁
fands jetzt fast zu wild erklärt, liegt aber sicher an den Beispielen, die einem da in die Karten spielen. Deine Erklärung hat sicher einen pädagogischen Mehrwert ;)
Beim zweiten Beispiel kann man doch einfach aufhören, wenn man aus 2x2 +2x+6 = 0 mit /2 , -2 =>
(x+1)² = -2 gemacht hat, da eine Lösung ja offensichtlich nicht vorhanden ist?
Omg vielen Dank! Mein Lehrer hat es so komisch erklärt, dass ich das nicht konnte
Kannst Du nochmal erklären, wieso jetzt Minus keine reelle Zahl ist? Oder geht ds um den Bruch? Ist ein positiver Bruch auch irreell?
An welcher Stelle genau im Video (time stamp wäre hilfreich, z.B. 3:00).
Ich vermute mal, Sie meinen bei 9:15 die Gleichung
(x + 1/2)^2 = -11/4
Der Bruch ist hier nicht das Problem, sondern die Wurzel.
Man kann keine Quadratwurzel aus einer negativen Zahl (hier -11/4) ziehen, wenn man als Grundmenge die reellen Zahlen hat (also G = R).
Grund: das Quadrat einer reellen Zahl ist niemals negativ, sondern immer >= 0
Denn es gelten ja die Vorzeichenregeln "Plus mal Plus ergibt Plus" und "Minus mal Minus ergibt Plus". Beispiel:
(+5) * (+5) = +25
(-5) * (-5) = +25
(+5) * (-5),= -25
(-5) * (+5) = -25
Beim Quadrieren hat man stets einen der oberen beiden Fälle, da man ja die Zahl mit sich selber malnimmt.
Allgemein gilt also x^2 = x * x >= 0.
(Für x = 0 ist x^2 = 0, für alle anderen Werte von ist x^2 stets > 0, also positiv.
Darum hat zum Beispiel die Gleichung x^2 = 9 reelle Lösungen, nämlich x = +3 und x = -3.
Aber die Gleichung x^2 = -9 hat keine reellen Lösungen.
Hat man als Grundmenge die komplexen Zahlen (also G = C), definiert man hingegen
Eine sogenannte imaginäre Einheit i als Quadratwurze aus minus Eins, d.h.
i = sqrt(-1) bzw. es gilt dann i^2 = -1
Und dann kann man die Gleichung x^2 = -9 lösen:
x^2 = -9
x^2 = 9 * (-1)
x = +- sqrt(9 * (-1))
x = +- sqrt(9) * sqrt(-1)
x = +- 3 * i
findet dann also zwei Lösungen x = +3i und x = -3i.
Die Lösungsmenge wäre dann L = {+3i, -3i}.
Da i aber keine reelle Zahl ist und komplexe Zahlen wie 3i in der Schule meist weggelassen werden,
haben wir in der Schule meist die Grundmenge R und dann halt keine Lösung: L = {}.
Danke. Irgendwie habe ich diese Methode verpennt gehabt!! Viel einfacher und effizienter als (a+x)(b+x).
Lebensretterin
manchmal geht was zu 0 manchmal nicht ....😹 fange nie mehr was an einem Sonntag an 🤣 1:25 ordentlicher 🔥
Hallo Susanne,
erst mal lieben Dank für dein Video zu diesem Thema.
Zu deine Video sind mir 2 Sachen ein-/aufgefallen.
Ich werfe die jetzt einfach mal in dien Ring, vielleicht ist das für den/die eine oder andere hilfreich.
Zunächst solltest Du aus meiner Sicht nochmal klar skizzieren, was Sinn und Zweck der quadratischen Ergänzung ist...
Zum Beispiel:
"es geht darum, quadratische Gleichungen so umzuformen, dass sie als binomische Formeln dargestellt werden können, so dass man mit Hilfe dieser Darstellung schnell Nullstellen und somit indirekt Lösungen für x bestimmen können."
Dieses "Intro' signalisiert nämlich
a) es geht um quadratische Gleichungen, also alle Gleichungen, bei denen x^2 der höchste Exponent ist. -> d. h. Wenn es höhere Exponenten, z. B. x^3 gibt, oder nur x vorkommt, können mit dieser Methode NICHT gelöst werden.
b) Ziel der quadratischen Ergänzung ist eine binomische Formel, also entweder (a+b)^2, oder (a-b)^2, oder a^2-b^2 ... Letztes dürfte jedoch fast nie vorkommen.
In 2:30 könnte jetzt jemand, der diesen Zusammenhang nicht kennt, auf die Idee kommen, ich wende das auch an bei z.B. Gleichungen wie x^3-2x+5.
In 5:13 sagst Du "Wurzelziehen" und "Quadrieren" 'hebt sich weg'
VORSICHT... Wenn sich das in "Schülerhirnen" festbrennt, kann das schief gehen!
Zunächst ein "einfacheres' Beispiel:
(ich benutze sqr(...) für Quadratwurzel aus...)
Sqr ((-2)^2)))
Für alle, die mit sqr und Co nix anfangen können In Worten: "Sage mir das Ergebnis von 'Quadratwurzel aus Minus 2 hoch 2)
Wenn ich jetzt nach der Aussage "Wurzelziehen und Quadratwurzelziehen hebt sich weg vorgehen würde, bliebe nur übrig -2...
Das sieht auf den ersten Blick gut aus und vermittelt fälschlicherweise den Eindruck, Wurzelziehen wäre eine Äquivalenzumformung zu Quadrieren..
Außerdem widerspricht es deiner Aussage, dass man bei quadratischen Gleichungen in den meisten Fällen 2 Lösungen (in den reelen Zahlen) erwarten darf.
Wenn ich das Ganze schrittweise rechne, also erst (-2)^2 = 4 und danach die Wurzel ziehe bekomme ich die korrekten Lösungen x1=+2, x2=-1
Daran sieht man
a) Wurzelziehen ist keine Äquivalenzumformung, weil ich nicht auf die einzige Lösung x=-2 der Ausgangssituation zurückkomme (ich habe ja nun eine zweite Lösung x=2)
b) quadrieren "generiert" für die Umkehrrechnung eine 2. Lösung und ist daher auch keine Äquivalenzunformung
c) quadrieren und Wurzelziehe heben einander nicht weg. (Die Lösung x=2) würde unter den Tisch fallen.
ICh empfehle daher dringend, den Schülern und Schülerinnen in Bezug auf Quadrieren und Wurzelziehe innnerhalb einer Gleichung folgendes mit auf dem Weg zu geben;
1) kommt nicht auf die Idee, dass sich Wurzelziehen und Quadrieren gegenseitig aufheben!
2) Führt beide Schritte wirklich aus und berechnet ggf. die Zwischenergebnisse.
3) Macht immer die Probe, in dem ihr die gefundenen Lösungen in die AUSGANGSGLEICHUNG(!!) einsetzt.
Für alle , die das jetzt viel zu theoretisch und abstrakt fanden, hier ein Beispiel, das mir während meiner Schulzeit tatsächlich gestellt wurde:
Aufgabe: finde den Fehler und gebe die richtige(n) Lösung(en) an:
bedeutet 'mache Äquivalenzumformung', ^ bedeutet hoch...
4= 4 |*(-5)
-20=-20 |
16-36=25-45 |
4^2 - 4*9=5^2 - 5*9 |
4^2 - 2 * 4 * (9/2) = 5^2 - 2 * 5 * (9/2) | + (9/2)^2
4^2 - 2+4+9/2 +(9/2)^2 = 5^2 - 2 * 5 * 9/2 +(9/2)^2 | (2. binomische Formel)
(4 - 9/2)^2 = (5 - 9/2)^2 | Wurzel ziehen sqr((4 - 9/2)^2) - sqr((5 - 9/2)^2) ""Wurzelziehen und Quadrieren hebt sich weg"
4 - 9/2 = 5 - 9/2 |+9/2
4 = 5
richtige Lösungen:
4= 4 |*(-5)
-20=-20 |
16-36=25-45 |
4^2 - 4*9=5^2 - 5*9 |
4^2 - 2 * 4 * (9/2) = 5^2 - 2 * 5 * (9/2) | + (9/2)^2
4^2 - 2+4+9/2 +(9/2)^2 = 5^2 - 2 * 5 * 9/2 +(9/2)^2 | (2. binomische Formel)
(4 - 9/2)^2 = (5 - 9/2)^2 | Klammern berechnen
(-1/2)^2 = (1/2)^2 |Wurzelziehen und dabei positive und negative Lösungen beachten
+/ - (-1/2) = +/- (1/2) |alle potenziellen Lösungen finden und prüfen, welche Lösungen wahre Aussagen ergeben (entspricht ('Probe' machen)
L1: (-1/2) = (1/2) -> falsche Aussage (auf beiden Seite das +-Vorzeichen genommen)
L2: (-1/2) =-(1/2) -> wahre Aussage (links das +-Vorzwichewn, rechts das --Vorzeichen genommen
L3: (1/2) = (1/2) -> wahre Aussage (links das --Vorzeichen, rechts das +-Vorzeichen genommen.
L4: (1/2) = (-1/2) -> falsche Aussage auf beiden Seiten das --Vorzeichen genommen.
Somit bleiben L2 und L3 als korrekte Lösungen übrig.
(-1/2) und 1/2) ergibt genau die Differenz zwischen der Ausgangsgleichung 4=4 und er vermeintlichen Endgleichung 4=5 🙂
Dir, Thomas und allen anderen hier noch einen schönen Abend und
LG aus dem Schwabenland.
X1 = 2, X2 = 4.
X1 = 2, X2 = -3
Ich löse es ein bisschen anders. Ich wende am Ende die 3. Binomische Formel rückwärts an und faktorisiere. Dann kann ich beide Faktoren Null setzen. Dann muss allerdings rechts die Null stehen.
7:20 Man kann diese ganze Bruchrechnung mit Halben und Vierteln vermeiden, wenn man die Gleichung mit 4 multipliziert:
x^2 + x + 3 = 0 | mal 4 nehmen
4x^2 + 4x + 12 = 0 | minus 12
4x^2 + 4x = -12
Und jetzt den Ansatz (2 x + 1)^2 für die 1. binomische Formel machen. Wir müssen also 1 auf beiden Seiten der Gleichunf addieren:
4x^2 + 4x + 1 = -12 + 1
Und können jetzt schreiben:
(2x + 1)^2 = -11
Damit ist klar, daß es keine reelle Lösung geben kann, denn wir müßten jetzt aus der Diskriminante -11 die Quadratwurzel ziehen. Läßt man als Grundmenge statt der reellen (G = R) die komplexen Zahlen zu (G = C), dann löst man weiter:
2x + 1 = +- sqrt(-11)
2x + 1 = +- sqrt(11*(-1))
2x + 1 = +- sqrt(11)*i
2x = -1 +- sqrt(11)*i
x1,2 = (-1 +- sqrt(11)*i)/2
x1,2 = -1/2 +- 1/2*sqrt(11)*i
Die komplexen Nullstellen sind x₁ = - (1 - i√11)/2 ∨ x₂ = - (1 + i√11)/2.
6:17 Ich habe immer gerne kurz überprüft, ob die berechneten Werte eingesetzt wirklich 0 ergeben. 3(x)2 -18x + 24.
Mit x=4, 3*16-72+24 =48+24-72 = 0
Mit x= 2, 3*4-36+24 = 12+24-36= 0. GREAT.
Was ist das Ergebnis von 6÷2(1+2) Die korrekte Antwort ist 9. Früher war die korrekte Antwort aber wohl mal 1. 🤔Interessant!
"Wann" früher? Um die Jahrhundertwende?
Man kann es noch viel schneller herausfinden. In dem man durch den Faktor a teilt und dann mit dem Satz vom Nullpunkt die Nullstellen abließt. Man sieht mit Hilfe der Binomischen Formel das 4+2=6 und 4*2=8, das heißt unsere Nullstellen sind x1= 4 und x2= 2
Bin jetzt 54 und immer mit der pq-Formel ausgekommen, werde meine Gewohnheiten daher wahrscheinlich nicht mehr ändern. Tatsächlich kam die quadratische Ergänzung bei uns in der Schule nicht dran. Da ich allerdings im Kopfrechnen recht schnell bin, werde ich mir mal selbst ein paar Aufgaben nehmen und die Zeit messen. Könnte durchaus schneller gehen als mit der pq-Formel.
kannst du mal wieder ein short machen?
Die quadratische Ergänzung hatten wir glaub nur im Kontext der Herleitung der ABC-Formel mal kurz angesprochen daher hatte ich die voll verdrängt.
Wusste gar nicht, dass Mathematik so sexy ist! 🥰
P/q Formel und Quadratische ergänzung ist ja eig auch identisch. Wenn man nämlich die quadratische ergänzung auf die glaichung x²+px+q anwendet kommt direckt auf die p/q formel. Naja ich habe bsp.1 übrigens im kopf gelöst aber ich glaube ohne lg weg hätte ich in der lk pkt-abzug bekommen.
Meines Erachtens schlägt, was im Kopfrechnen und Schnelligkeit angeht, nix die Mitternachtsformel. Bei den andren 2 Verfahren bin ich immer viieell langsamer
Sehr guter Tipp.
Da ich im Abitur echt Schwierigkeiten habe, mit die Mitternachts- oder pq-Formel zu merken, probiere ich es mal so aus.
Vielen, vielen Dank dafür.
Wo ist die -6x hin?
Also ich ziehe die QE der PQ-Formel vor, denn die Formel müsste man auswendig lernen und das obwohl sie (deutlich sichtbar) auf dem Verfahren der QE beruht.
Das habe ich gestern mit ner Schülerin gemacht. Mal sehen ob ich das gut erklärt habe.
Spannend ist auch die geometrische Interpretation der quadratischen Ergänzung, das bietet eine etwas anderen Zugang, und schickt auf eine schöne Reise in die Welt der Mathematik...
Und -3 plus 1/4, das geht doch im Kopf. Zumal es unwichtig war.
MACH DOCH BITTE EINEN UDEMY-KURS FÜR ERST-SEMESTER MATHE !!! BITTE
wow, diese quadratische ergänzung wird hier in Rumänien nicht gezeigt. Kannte ich nicht. Cool
Was ich nicht ganz kapiert habe: Warum verschwindet die 6x?
Weil die binomische Formel rückwärts angewandt wird. Wenn man sie vorwärts anwendet, dann entsteht das 6x im Mittelteil, also verschwindet es rückwärts.
Ich kann mich an sture Anwendung solcher Algorithmen einfach nicht gewöhnen. Warum erst die störende Zahl auf die andere Seite bringen, um dann die ergänzte Zahl auch noch nach rechts zu bringen? Alles links lassen, ergänzen, zusammenfassen - und danach auf die rechte Seite bringen was noch stört.
Also, es mag ja Gewohnheit sein, aber ich mag die ABC Formel, wenn man mit Vieta nicht gleich eine Lösung findet, am meisten.
Ich benutze bei Quadratischen Funktionen normalerweise die PQ-Formel. Falls aber tatsächlich die Scheitelpunktform gebraucht wird, nehme ich, statt der quadratischen Ergänzung, viel lieber: Extremstelle-x = -b/2a und setze daraufhin Extremstelle-x in die Funktion ein und bekomme so den Scheitelpunkt.
Warum? Wegen DorFuchs quadratische Funktionen Song 😉
Macht das noch wer so?
Ich hab in der Schule (vor gefühlten 100 Jahren) nur die quadratische Ergänzung gelernt, finde sie aber bis heute wenig übersichtlich...
Quadratische Ergänzung kann schon schnell sein, hier hätte ich aber schon früher "umgesattelt", denn es ließ sich schon früh mit 3(x-4)(x-2) die Nullstelle erkennen
x2 - 6x + 8 = 0
Sieht man sofort, dass:
x2 - 6x + 8 = (x - 4 ) (x - 2) = 0
Lösungen: x = 4 und x= 2
x2 + x + 3 = 0
Wenn ich faktorisieren möchte, kann ich keinen zwei Zahlen zu 3 multiplizieren, so dass deren Addition 1 ergibt.
=> keinen reellen Lösungen
Aber das Ziel war ja quadratische Ergänzung zeigen. Für Blinde sicher eine gute Sache.
Mit etwas Erfahrung "sieht" man bei der 2. Aufgabe, dass es keine Nullstellen gibt: Quadratisches Glied hat positives Vorzeichen, d.h nach oben geöffnete Parabel, linearfaktor > 0 UND konstantes Glied > 0, daher nur positive Funktionswerte und deshalb keine reelen Nullstelle(n). Wäre bei einer Gleichung n-ten Grades kein konstantes Glied vorhanden ist eine Nullstelle immer im Ursprung.
Leider reichen drei positive Koeffizienten nicht, um Nullstellen auszuschließen. Beispiel: x² + 4x +3 = 0 hat die Lösungen - 1 und - 3
Dazwischen sind die Ergebnisse des Quadratterms negativ.
@@sz1281 Richtig ... da hab ich irgendwo einen Denkfehler. Danke für den Hinweis!
Mag die Quadratische Ergänzung nur wenn keine Zahl vor x² steht. Sonst - mit pq-Formel. Gutes Video!
😀💪💎🌹🌹
Ab 5:00
Wurzel (Term²) = Betrag(Term) , deshalb gibt es zwei Lösungen. Beim Wurzelziehen gibt es immer nur eine Lösung, Wurzel von 1 ist 1, nicht +/- 1 .
Ich hasse das fach imer noch
Ich versteh Extremwertaufgaben ned, das ist immer was anderes
Quadratische Ergänzung?
Sagt mir nichts (mehr).