Einerseits lädt ihr Video zum Mitdenken ein und andererseits machen Sie das als Dozent wirklich gut. Strahlen Ruhe, Geduld und enormes Interesse aus. Gefällt mir, obwohl ich Angewandte Informatik studiere und mathematisch interessiert bin.
Das Konstruktionsprinzip bei der Permanenzreihe, welche die 0 als Basis hat, würde - wenn man es analog zur Permanenzreihe aller anderen Zahlen anwendet - eine Division durch 0 beinhalten. Die ist bekanntlich nicht erlaubt. Also kann man dieses Prinzip im Fall der 0 nicht anwenden. Wenn man keine allgemeingültige Alternative für die Begründung der Permanenzreihe findet, fällt das Argument aus der zweiten Spalte weg und 0^1 wäre demnach 1.
Bitte weitermachen. Nicht nur didaktisch sehr schön aufgebaut (Permanzreihe, Einbeziehen der Zuschauer), sondern auch für mich immer wieder inspirierend als Mathelehrer, um meinen Unterricht ähnlich zu gestalten oder auch Übergänge von Schule zu Studium zu gestalten. Das ist m. E. sehr sinnvoll und fehlt..... Vielen Dank!!!!
Interessant ist auch die Fortsetzung der reihe mit negativen Exponenten. 2^-1=2^0/2 Was ist dann 0^-1? Antwort: 1/0^1 = 1/0, ergibt eine Division durch 0, unendlich oder eben undefiniert?
Ungeachtet dessen, dass man es unterschiedlich definieren kann, gibt der Exponent ja die Anzahl der Faktoren an. Und in jeder Multiplikation gibt es ja auch den Faktor 1. Insofern spricht schon viel dafür, dass bei 0⁰ kein Faktor 0 auftaucht und deshalb der Faktor 1 im Ergebnis übrig bleibt.
Schönes Video. Aber auch seltsam, vor fünf Jahren fand ich Mathe furchtbar und hätte mir niemals sowas angeschaut und heute schaue ich mir sowas an, weil es mich wirklich interessiert. Schon spannend, wie sich Dinge verändern und ich frage mich, wie es wäre, wenn man dieses Interesse schon eher gehabt hätte, beispielsweise in der fünften Klasse oder wenigstens im Abitur.
@ definitiv. Und allgemein braucht es natürlich eine lernfreundliche Atmosphäre, in der schon mal keine Angst besteht, bei Probleme eine Frage zu stellen. (ich habe die Theorie, dass man zunächst schon mal sehr weit kommt, wenn man alles negative/störende des Lernprozesses beseitigt. "Invert, always invert.") Darauf aufbauend ist Lebensweltbezug und allgemeine Motivation, natürlich super wichtig um wirklich das Opimale rauszuholen und Menschen zu lebenslangen „Lernmaschinen“ zu machen.
Im Chat kam die Frage, ob das also nur mit Muster und nichts mit Multiplikation zu tun hätte. Doch, es hat mit Multiplikation zu tun. Für eine Operation gibt es ein neutrales Element; das ist bei Addition die Null und bei Multiplikation die Eins. Entsprechend ist die leere Summe = 0 und das leere Produkt = 1. Werden bei x hoch Null keine Faktoren multipliziert, bleibt es beim leeren Produkt 1. Man könnte besser schreiben: 2^0 = 1 2^1 = 1 * 2 2^2 = 1 * 2 * 2 Multipliziere die 1 so oft mit der Basis wie im Exponenten angegeben.
sehr gut. genau so ist es. man muss echt aufpassen, dass man mit seinen didaktischen reduktionen (sowas sind permanenzreihen) nicht die zuschauer verwirrt. man muss einordnen, was man da tut, und das geht nur, wenn man es selber verstanden hat.
@@p0gr Insofern wäre auch für 0^0 das leere Produkt 1 naheliegend. Die Funktion x^x hat einen Grenzwert 1 bei x -> +0 und einen Tiefpunkt bei ca. (0,37|0,69). Dazwischen ist sie stetig und streng monoton fallend und danach streng monoton steigend gegen unendlich. Wollte man sich also auf eine einzige Definition einigen, wäre 1 am plausibelsten. Will man bei "der einen Definition" viele Fälle der angewandten Mathematik nicht unnötig verkomplizieren, wäre eine Definitionslücke noch ein Kompromiß, aber damit auch nicht viel gewonnen. Also kann man damit leben, daß die Trinität den Weg aus der Religion in die Mathematik geschafft hat. :)
Grenzwert-Betrachtung: f(x) = ((positive Zahl < 1) hoch x), wobei die positive Zahl gegen 0 läuft, endet in f(x)= positive y-Achse, die Kurve schmiegt sich immer mehr der positiven y-Achse an, bis sie schließlich die y-Achse selbst ist, bei "positiver" Zahl = 0. f(x) = ((negative Zahl > 1) hoch x), wobei die negative Zahl gegen 0 läuft, endet in f(x) = negative x-Achse, die Kurve schmiegt sich immer mehr der negativen y-Achse an, bis sie schließlich die y-Achse ist, bei "negativer" Zahl = 0. 0 hoch 0 wäre damit die y-Achse und damit unbestimmt. 0 hoch 0 = 0 und auch 0 hoch 0 = 1 wären damit Sonderfälle.
In der Kardinalzahlarithmetik ist 0^0 = 1 und diese ist das Fundament für unser Rechnen mit Zahlen. Wieso wird da also ein Problem draus gemacht? 0^0 ist 1 und Aus.
@@pharithmetik Ja, ok, es gibt viele - nennen wir es mal struktur-ästhetische - Gründe für alternative Sichtweisen, aber rein logisch basiert alles auf ZFC und damit Mengen und alles Rechnen basiert auf, ja „ist“, Kardinalzahlarithmetik, oder? Und dort ist 0^0 = 1. Mir kommt es ein wenig so vor, wie wenn man darüber diskutiert, woher die Kinder kommen und einige vertreten, dass sie von oben kommen, weil der Storch oben fliegt und andere widersprechen, weil Störche auch auf Wiesen herumlaufen, aber dabei wird völlig vergessen, dass das nur Shortcuts und Merkhilfen sind, um die eigentlichen biologischen Tatsachen zu verdeutlichen. Auf die käme es doch an. Und wäre das hier nicht ZFC und Kardinalzahlarithmetik?
@@pharithmetik doch so einfach ist es. und es ist verdammt traurig zu sehen, dass mathe profs das nicht verstehen. was hat denn dieser grenzwert damit zu tun, was dieser algebraische ausdruck bedeutet? nichts! man kann den grenzwert berechnen und dann sehen, ob er 0^0 ist, oder nicht. es gibt keinen a priori grund, warum dieser grenzwert 0^0 sein sollte. ist das schwer? als professor? oder ist das nur eine didaktikprofessur?
Der Ausdruck (Null hoch Null) ist in der Mathematik umstritten. In vielen Kontexten wird 0000 als undefiniert betrachtet, weil es sowohl aus der Sicht der Potenzierung als auch der Grenzwertbetrachtung zu Widersprüchen führen kann. Allerdings gibt es auch Bereiche, in denen 0000 den Wert 1 zugewiesen bekommt, insbesondere in der Kombinatorik und bei bestimmten mathematischen Definitionen, da es in diesen Kontexten sinnvoll ist, die leere Menge als einen Weg zu betrachten. In der Praxis hängt die Interpretation also oft vom Kontext ab.
Es ist meistens angenehmer, es als 1 zu definieren. Wenn man polynome aufschreibt und deren Auswertungen, müsste man sonst extra aufpassen, dass man x = 0 als Sonderfall hat. Oder man sieht x^0 als das leere Produkt an, das ist nach Definition immer 1. Ich finde, es vereinfacht Sachen, aber du hast natürlich Recht, dass das nicht allgemein so definiert ist
"Nicht definiert" war das erste, was ich dachte, als ich die aufgabe sah. Und war dann verwundert, wie man auf "1" kommen kann. War es am Ende doch richtig. Und ich habe jetzt in 14 Minuten mehr begriffen, was "n.d." heisst als in 14 Jahren Schule. Es gibt mehrere Arten von "richtig" (!!!). Vielleicht sollte man gleich auf eine Uni gehen? Also das Wichtigste, was man ganz ketzerisch aus der Lektion mitnehmen könnte, wäre: Mathematik ist gar keine Naturwissenschaft. Man kann sich beliebig definieren, was man als richtig haben will, wie in der Genderwissenschaft oder sowas? Und wenn keine Faktenchecker bestimmen, wer Recht hat, bleibt es unentschieden. Das ist "nd"...
Option 1: Es hört schon bei hoch 2 auf, weil hoch 1 dasselbe ist, weil unsinnig, wie zB. das Streichen überm und unterm Bruchstrich gleicher Werte. Option 2: 9:25 Scheint operativ gelungener, statt mit geteilt durch 2 die Aussage zu erzwingen. 12:08 Anm.: Manchmal macht etwas anderes Sinn, mit dieser Unklarheit müssen wir leben, es gibt keine Lösung.
Ich hätte hier mal eine Überlegung, die m.E. eindeutig für 0^0 = 1 spricht. Und zwar: x^y bedeutet in natürliche Sprache übersetzt: "mein Term enthät y mal den Faktor x", Die Aussage "mein Term enhält null mal den Faktor 2" trifft auf den Term 4*3 zu, da die 2 ja tatsächlich null mal enthalten ist. Ich kann diese Null-Aussage wiederrum in mathematische Symbolik übersetzen und Term anfügen, es folgt daher 4*3=4*3*2^0, also 2^0 = 1. Beide Seiten der Gleichung lassen sich eindeutig durch die Aussage "mein Term besteht aus 0 mal den Faktor 2, einmal den Faktor 4 und einmal den Faktor 3" beschreiben. Das lässt sich auch auf 0^0 anwenden. Die Aussage "mein Term besteht aus 0 mal den Faktor 0, einmal den Faktor 4 und einmal den Faktor 3" bedeutet 4*3*0^0, bedeutet aber nach der vorherigen Argumentation genauso 4*3, somit gilt 4*3*0^0 = 4*3, ergo 0^0=1.
Ich finde, diese Argumentation ist genau richtig. (Auch wenn das so gelungen haben könnte, ist meiner Meinung nach der Kommentar von @pharithmetik nicht ironisch gemeint.)
@@Thomas-w8p4q In meinem Alltag kam es schon oft vor. Mathematik wird nicht im Hinblick auf bestimmte Anwendungen im Alltag betrieben, aber es ergeben sich daraus immer wieder wichtige und unverzichtbare Anwendungen. Die Lösung jedes scheinbar unwichtigen Problems kann zu wichtigen Erkenntnissen führen.
damals hat die schule noch was getaugt. seitdem geht es abwaerts und das immer schneller. jetzt erzaehlen schon die professoren den lehrern unsinn, die es dann als multiplikatoren an die schueler weitertragen. armes deutschland.
@@pharithmetik nein! die ist hier irrelevant! denken vor dem schreiben! was haben grenzwertbetrachtungen mit algebraischen zusammenhaengen zu tun? das ist derselbe fehlschluss wie mite den permanenzreihen. erst, wenn man weiss, was 0^0 ist, kann man sich fragen, ob x^x in null stetig ist z.b., nicht andersrum!
Ich erinnere mich in einer Klassenarbeit vor Jahren einfach mal einen Spass erlaubt. Wir sollten eine Kurvendiskussion durchführen mit irgendeiner unspektakulären Funktion 3. Grades in der Form ax^3 + bx^2 + cx + d. Da man für die Unterschiedlichen Ermittlungen von Extrema, Wendestellen, die Richtungen der Wendestellen etc. die Ableitungen immer wieder = 0 setzen muss, und die Zahl 0 einfach immer wieder vorkommen wird, hab ich einfach als aller ersten Schritt die Variable x geändert indem ich gesagt habe "Lasse x = O sein", einfach weil ichs kann 😅. War das ein Salat an 0-en und O's. Meine Lehrerin meinte sie musste das 5 mal kontrollieren um sicherzustellen, das auch die Rechenwege gepasst hat. Ich hab die Aufgabe gelöst, aber einen Punkt hat mir die Lehrerin abgezogen wegen ihren Nerven😅. Sie hat es mit Humor genommen, aber auch unter die Aufgabe geschrieben "Bitte mach das nie wieder". In der nächsten Klassenarbeit schrieb dann meine Lehrerin in die Aufgabenstellung, dass wir O nicht als Variable benutzen dürfen 😅
Null hoch null ist eins. Es gibt genau eine Abbildung von der leeren Menge in die leere Menge. q.e.d. x^0 = 1, für beliebige x. Das gilt für Mathematik, die auf der Mengenlehre oder modernerer Foundations aufgebaut ist. Auch im ISO-Standard wird mittlerweile 0^0=1 gesetzt.
Wir sollten daraus eine Extra-Folge „Big Bang Theory“ machen, an der am Ende Penny sagt „null hoch null“ heißt auf jeden Fall „kein Sex“ und ist damit überflüssig. Das ist dann die Antwort!
So habe ich das noch nie betrachtet. 2^(-1)=1/2, 2^(-2)=1/4,... und das geht so weiter, wie in der Struktur vorgebeben. Bei 0^1=0 stimmt die Aussage noch aber für 0^(-1) ist es nicht definiert.
@@pharithmetik NEEEEEIIIIN! Aus den beiden Permanzzreihen in Ihrem Video ergibt sich die Potenzregel, die Sie ebenfalls im Video vorgestellt haben, nach welher man bei Multiplikation gleicher Basen die Exponenten addiert. Bei Divisionen zieht man die Exponenten natürlich voneinander ab, so dass z.B. x^3/x^3=x^(3-3)=x^0=1 ergibt. Für bedeutet dies 0^1/0^1=0^0=1 statt 0^1/0^1=0^0=0/0=n.d. Wenn man nun noch gestattet, 0 zu kürzen, wäre man natürlich beim Ersten. Dann jedoch müsste man auch gestatten, durch 0 zu teilen, wobei dann im Ergebnis abhängig vom Vorzeichen im Zähler +-Unendlich stehen würde.
@@nichtvonbedeutung 0 kuerzen ist nicht ok. ein ring, in dem 0 ein inverses hat, ist zwangsweise {0}, es gibt also keine interessante art, aus 0^{-1} sinn zu machen.
@@p0gr 0^(-1) ist nicht 0/0 sondern 1/0 (und damit die Definition für Unendlich). 0^0 wäre 0/0, denn x^0 ist stets x/x=1 - bisher wird die 0 daraus jedoch exkludiert.
Wenn die Mathematik die Wissenschaft der Muster und Strukturen ist, bedeutet das dann, dass sie im Grunde immer Aussagen über Analogien macht? Damit meine ich, dass sich z.B. rechnen mit Birnen analog zum Rechnen mit Wassermelonen oder Steinen oder ... verhält. Dazu hätte ich noch eine weitere Frage: Gibt es so etwas wie ein Verzeichnis der Struktur- bzw. Mustertypen der Mathematik. Die Permanzreihe kennen wir ja schon. Welche Muster/Strukturen gibt es noch? Ist das Verzeichnis, sofern es eins gibt, abgeschlossen oder offen? Anders ausgedrückt: Ist die Zahl der Muster endlich oder unendlich?
Strukturen in der Mathematik sind über Axiome definiert, in denen festgelegt wird, welche Eigenschaften die Elemente dieser Struktur haben. Nehmen wir z.B. die Vektorräume. Dort sind Vektoren zusammen mit ihren Eigenschaften, möglichen Rechenoperation usw. definiert. Ein Vektor muss aber nicht unbedingt das sein, man man sich als geometrischen Vektor vorstellt. Das ist lediglich ein spezifisches Modell eines Vektorraumes. Auch die Menge der Polynome lässt sich als Vektorraum auffassen, das ist ein anderes Modell eines Vektorraumes. Es kommt immer nur darauf an, ob eine vorliegende Struktur die Axiome eines Vektorraum erfüllt, dadurch werden die Elemente dieser Struktur zu Vektoren. Zu der letzten Frage: Die Menge der in der Mathematik definierten Strukturen ist sicher endlich. Gruppen, Körper, Ringe und Mengen z.B. sind sicher Strukturen, mit denen ein Student der Mathematik sehr schnell in Berührung kommt. Jeder Professor in der Forschung ist frei, neue Strukturen zu definieren und zu erforschen, daher gibt es sicher kein abgeschlossenes Verzeichnis.
Ich möchte ergänzen: du hast viele algebraische Strukturen aufgezählt. Muster und Strukturen zeigen sich schon in kleineren Situationen, etwa wenn ich eine Zahlenfolge habe wie 1,2,4,8,16,... Auch hier gibt es ein Muster!
0^0=0^1*(1/0)=0^1*0^(-1)=0^(1+(-1))=0^0 allgemein: a/a=1 ausser 0/0=0*(1/0)=0*unendlich=unbestimmt allgemein: 0*a=0 auch 0*0=0, somit muesste auch 0*(1/0)=0 sein, was ein Widerspruch zu 0/0=1 ist, da a/a=1 ist.
Im Übrigen sind die Gesetze der Arithmetik in Bezugnahme mit der "Null", außerhalb von Addition und Subtraktion, eindeutig immer Null, es sei denn, die 10 (20; 30; 100; 1000 ect.) ist auch eine Null und es geht erst mit der 11 weiter. 😆
Aber das Argument mit dem Muster ist doch keine hinreichende Erklärung, da man ja im Alltag wohl kaum so eine Reihe vor sich haben wird, wo man einfach aus den vorherigen Ergebnissen auf das gewünschte Ergebnis kommt..und außerdem funktioniert das Muster bei 0 als Basiszahl ja auch nicht, da ja 0 hoch 1 = 0 ist.
Ja. Man kann aber Permanenzreihen hernehmen um zu schauen, was plausibel ist. In diesem Fall führen aber unterschiedliche Reihen zu unterschiedlichen Ergebnissen.
@@pharithmetik okay, hoch 0 ist für uns - mein Rechenschieber, da geht gar nichts, und mich - zu hoch. Trotzdem interessanter Beitrag, muss ich wohl dranbleiben!
Es ist im Endeffekt auch kein reales Problem. Eine Null im Exponent tritt bei Problemstellung ja nicht auf, weil sich nichts in unserer Welt mit einer 0 im Exponent beschreiben lässt.
Es ist ein Problem, das sich stellt, weil man eine Operation erfunden hat (potenzieren) und dann schauen muss, ob das für alle Zahlen funktioniert und ob es irgendwelche Sonderfälle gibt.
Mann kann Mathematik auch einfach erklärt erklären. Das noch nicht gesehene in Form von zahlen , weil da werden sich Worten nicht mehr reichen oder etwa exacte Gedanken in taten umsetzbar trotzdem vorstellbar erklären.
Die Argumentation in der mittleren Permanenzreihe hinkt. Warum den Exponenten nicht weiter absenken, damit müsste nach der Argumentation 0 exp -1 ebenfalls 0 sein. 0 exp-1 ist aber 1/0 und das ist nicht Null. Die erste Permanenzreihe kann man einfacher haben. Allgemein gilt: a exp x / a exp x ist 1 da Zähler und Nenner gleich sind. a exp x im Nenner ist aber a exp -x wenn im Zähler stehend, also a exp x mal a exp -x. x-x ist 0. Also ist a exp 0 gleich 1. Egal welches a. Und egal welches x.
Nein, hat damit überhaupt nichts zu tun. Hier geht es nicht um die Widerspruchsfreiheit irgendwelcher Systeme, sondern lediglich um die mögliche Ausführbarkeit bestimmter Operationen.
0∆O = 0∆0 Das bedeutet die Lösung oder keine Lösung+ oder - 0∆0 in diesem Fall transparent, weil 0∆0= und ungleich 1 Mathematisch gesehen ist blanko also 1auch drin. In Wahrheit kann nur 1 =1 ergeben oder was 1 alles mögliche Möglichkeiten wieder 1 ergibt. Hoffe ihr versteht was ich meine mit Mathematik etwas näher bringen. Normalerweise sind alle Gleichungen und Anwendungen= Definition eine Bedeutung.
Könnte man eine Fourierreihenentwicklung von x^0 machen? Nach dem Video kann man ja annehmen, dass 0^0 nicht unendlich ist. Da würde vermutlich rauskommen, dass 0^0 = 1 ist.
Das Problem ist, dass einerseits lim x^x=1 ist, wenn x->0 geht. Andererseits ist lim 0^x = 0, wenn x->0 geht. Egal wie ich es definiere - es führt immer zu einem Widerspruch. Das ist der Grund, weshalb CAS-Systeme 0^0 als undefiniert ausweisen.
In Mathematikersprache: betrachtet man die Funktion f(x) = x^x für x > 0 aus den reellen Zahlen und möchte sie für x = 0 stetig ergänzen, so muss man den Wert für 0^0 mit 1 definieren. Oder: die o.g. Funktion strebt gegen 1 für x gegen 0. Interessanterweise hat diese Funktion aber nicht ihr Minimum bei 0. Kann übrigens jeder mal mit einem Taschenrechner überprüfen, was herauskommt, wenn man ganz kleine Zahlen hoch sich selbst eingibt. Nur bei 0 selbst streikt der Rechner.
Die Funktion x^x ist aber für reelle Zahlen kleiner als 0 nicht stetig, weil nicht definiert, sondern nur für reelle Zahlen größer als 0. Wenn die Funktion aber in der Epsilon-Umgebung von 0 nicht definiert ist, kann sie auch nicht durch ergänzen von f(0)=1 an der Stelle 0 stetig sein.
@@felixstuber8046 Die Funktion ist aber in ihrem Definitionsbereich (x >= 0) stetig. Ich habe keine Aussage gefunden, dass Funktionen mit einem linksgeschlossenen Definitionsbereich grundsätzlich nicht stetig sind am linken Rand. Die Epsilon-Umgebung kann ja auch nur vollständig im Definitionsbereich liegen, die negativen Zahlen liegen nicht im Defintionsbereich. P.S.: Auf Studyhelp wird explizit auf die Problematik des abgeschlossenen Intervalls im Definitionsbereich eingegangen: "Die beiden anderen Funktionswerte müssen nicht definiert sein (z.B. am Rand eines abgeschlossenen Intervalls des Definitionsbereichs)." D.h. es reicht für die Stetigkeit die einseitige Grenzwertbetrachtung, wenn beispielsweise die andere Seite gar nicht definiert ist: "Daraus ergibt sich, dass Funktionen in isolierten Punkten automatisch stetig sind .". Der isolierte Punkt ist der Extremfall, da gibt es von beiden Seiten keinen "Grenzwert". Das dortige Beispiel ist ansonsten nahezu identisch mit dem Fall hier. Die Aussage dort lautet: die Funktion f(x) = x ^ 1/2 (Wurzel aus x) für den Defintionsbereich [0;unendlich) ist stetig im Punkt x = 0 mit f(x) = 0. Das ist exakt das gleiche Konstrukt, die Funktion ist für negative reelle Zahlen nicht definiert, dennoch im Nullpunkt stetig.
@@felixstuber8046 Wenn eine Funktion an einer Stelle nicht definiert ist, stellt sich die Frage nach Stetigkeit oder Unstetigkeit nicht. Die Aussage, dass eine Funktion an einer nicht definierten Stelle unstetig ist, ist also falsch.
@@berndkru Seine Idee war ja, die Funktion an dieser Stelle zu definieren und so eine stetige Funktion zu erhalten. Beispielsweise hat die Funktion f(x) = (x²-1)/(x+1) an der Stelle -1 auch eine Definitionslücke und ist dort dementsprechend unstetig. Die Funktion g(x) = {-2 für x = -1; (x²-1)/(x+1) sonst} hat hingegen keine Definitionslücken und ist stetig für alle x aus den reellen Zahlen. Seine Idee war es jetzt etwas ähnliches für die Funktion x^x zu machen.
@@rhalleballe Die Funktion wäre dann rechtsseitig stetig. Man könnte aber den Definitions- und Wertebereich auch auf die komplexen Zahlen erweitern, dann ist es nicht mehr so eindeutig, wie man die Erweiterung durchführen kann. Ich meine mich zu erinnern, dass es dazu mal ein Video von Numberphile gab, in dem das thematisiert wurde.
Die Herleitung 0^0=1 mittels des Musters der Divisionsreihe hat einen Haken ;) Division ist keine Grundrechenart sondern Multiplikation mit dem Inversen. Da aber die 0 kein multiplikatives Inverses hat darf man auch nicht so einfach (0^1) * (1/0) = 0 * 1/0 = 1 schlussfolgern. /0 ist nicht definiert und lässt sich mit dem Prinzip der Permanenzreihe auch nicht reparieren.
Deshalb habe ich die Permanenzreihe nicht mit der 0, sondern mit der 2 vorgeführt, um zu zeigen, dass "etwas hoch 0" gleich 1 ist und dann zu schlussfolgern, dass auch 0 hoch 0 gleich 1 sein könnte
@@pharithmetik Der Konjunktiv ist mir aufgefallen, und das ist auch gut so. :) Man könnte auch argumentieren: 0^4=0, 0^3=0, 0^2=0, 0^1=0 folglich 0^0=0.
Es gibt da so eine Reihe y=x^x, wobei x zwischen 1 und 0 liegt. Wenn man die Reihe durchrechnet, fällt einem auf, dass sie von 0,9 bis 0,4 fällt und von 0,3 bis 0,1 wieder steigt. Man kann jetzt noch die Schritte immer feiner machen und stellt dann fest, dass die Reihe einen Tief- bzw. Wendepunkt bei x=1/e (Euler) hat, wobei gerundet y=0,6922 herauskommt. Wie dem auch sei, je näher man mit x der 0 kommt, desto naher kommt y der 1. Nun haben wir zwei Argumente für 0^0=1 aber nur ein Argument für 0^0=0. Was nun?
Was ist denn 5 ^ 4 dividiert durch 5 ^ 2 ? (5 * 5 * 5 * 5) / (5 * 5) ... da kann ich 2 5en rauskürzen, es bleibt 5 ^ 2. => (x ^ y) / x ^ z = x ^ (y-z). => 5 ^ 0 = 5 ^ 3 / 5 ^ 3 = 1, weil eine Zahl dividiert durch sich selbst ist 1. Diese Überlegung auf 0 ^ 0 angewendet : 0 ^ 0 wäre dann zB sowas wie 0 ^ 3 / 0 ^ 3. 0 * 0 * 0 = 0. 0 / 0 ... Upsiiii, wir landen in einer Division durch 0.
@@pharithmetik Freut mich, wenn ich dein Leben bereichern konnte. Du hast das jedenfalls bei mir gemacht, da ich noch nie auf die Idee kam, Null zu potenzieren. Dass 2 hoch 0 EINS ist, finde ich auch bemerkenswert. Danke!
Hallo alle zusammen, nachdem ich mir das Video angeschaut habe (das ich ausgesprochen gut finde), möchte ich zu einem speziellen Punkt etwas sagen, der mit dem Problem im Video, nämlich, was denn eigentlich 0⁰ ist, nichts oder nur sehr wenig zu tun hat. Es geht um das, was im Video, Permanenzreihe genannt wird. Genauer möchte ich an dieser Stelle von einer Aufgabenstellung sprechen, bei der eine vogegebene, endliche Anzahl an Werten nacheinander angegeben werden und jetzt das sogenannte »logische Folgeglied« gefunden werden soll. Nehmen wir folgende Zahlen: 8, 9, 10, 11, 12 Was wäre jetzt das logische Folgeglied? Auf den ersten Blick 13, weil von einem Glied der Reihe zum nächsten immer 1 dazuaddiert wird. Aber ist das die einzige mögliche Lösung? Angenommen, es handelt sich um Zahlen auf dem Ziffernblatt einer Uhr. Dann folgt auf die 12, ebenso »logisch«, die 1. Es gibt hier also mehr als eine Lösung. Natürlich ist auch die Argumentation mit dem Ziffernblatt einer Uhr am Ende exakt mathematisierbar, so, dass sich ein entsprechendes Bildungsgesetz formulieren lässt. Im Grunde ist es so: für jede beliebige endliche Reihe an Zahlen lässt sich jede beliebige Zahl als »logisches Folgeglied« definieren und das entsprechende Bildungsgesetz dazu finden. Das geht mit Interpolationspolynomen (bitte googeln!). Das bedeutet folgendes: Eine bestimmte endliche Reihe an Zahlen hat im Grunde genommen gar keine Struktur, jedenfalls solange, wie wir nicht das der Reihe zugrunde liegende Problem kennen. Dieses Problem ist es, das eine Struktur hat. Genauso ist auch im Video argumentiert worden. Es wurde zunächst von einem Problem ausgegangen, das zu einer bestimmten Reihe führt. Dieses Problem hat eine Struktur, die erkannt werden kann und die dann zu einem Bildungsgesetz führt, dass mit den bekannten Zahlen übereinstimmt. Es ist aber immer das Problem, dass eine Strukrur hat. Diese Struktur wird dann mittels Zahlen erfasst. Nicht umgekehrt. Viele Grüße Marcus 😎
Moin Chrischaan, dazu fällt mir gerade ein: Vor etwa 45 Jahren hat unser Mathelehrer an der Tafel den Beweis erbracht, dass 3,9999999999 (Periode) = 4,0 ist! Eigentlich ja grotesk! Aber am Ende seines Beweises stand eine eindeutige Gleichung, bei der das Ergebnis eine glatte Zahl (4) war. Kriegst Du das hin? Ich hab‘ die Beweisführung inzwischen leider vergessen. Nur der Aha-Effekt blieb in Erinnerung. 🙈😂 Wäre super! Vielen Dank vorab und viele Grüße, Doc Mabuse
@@pharithmetik Danke Dir, Christian!! Hätte ich mir fast denken können, dass Du Dir diese Kuriosität schon mal vorgenommen hast. Tatsächlich kann man gegen die Rechenschritte nix sagen. Und doch kommen in mir die Zweifel von damals hoch: 0,(Periode 9) wird für mich kopftechnisch immer kleiner sein als eins. Aber sorry, mit Mathe stand ich schon immer auf Kriegsfuß - Volkswirt hin oder her. Deine Art, den Stuff zu beackern, find' ich dennoch extrem kurzweilig! Wünschte, es hätte damals einen Prof gegeben, der es mir auf Deine Art ins Hirn gehämmert hätte! Vielleicht wäre der Groschen dann irgendwann gefallen. 😂 Noch mal danke für den Hinweis! Gruß Doc
@@drmabuse1134Um wieviel kleiner als 1 sollte denn 0, (Periode)9 sein? Antwort: Um irgendwas, das auf jeden Fall kleiner ist als 0,1 und kleiner als 0,01 und kleiner als 0,001 usw., also kleiner als jede noch so kleine positive Zahl. In den reellen Zahlen (auf der Zahlengeraden) kann das nur 0 sein. Also folgt, dass 0,(Periode)9 gleich 1 ist.
@@WK-5775 😵💫😵💫😵💫 Ok, Gegenfrage eines ehemals eher mittelmäßigen Matheschülers: Wenn 0,(Periode)9 gleich eins ist: Warum gibt es denn überhaupt den Wert 0,(Periode)9 überhaupt und belässt es nicht einfach beim Wert 1?! Aber bei mir dreht sich gerade wieder alles - ein vertrautes Gefühl aus dem Klassenzimmer! 🙈😄Ist wohl tatsächlich nicht meine Welt - aber superinteressant allemal! 👍👍
Ich betrachte 0 als "nichts". Und mit "nichts" kann man sonstwas anstellen, es kann nur nichts dabei rauskommen. Ich finde, hier fehlt einfach nur die entsprechende Formel... Anders gesagt scheint 0 ein Problem an sich zu sein!
@@berndkruJaja stimmt schon. Letztlich kommt es darauf an, entlang welcher Trajektorie man im x^y-Diagramm die beiden Variablen x und y gegen 0 schickt.
Wenn man die Gegenüberstellung der drei Varianten überblickt, dann fällt auf, dass die Zuordnungen beim zweiten Fall (also Null hoch Null gleich Null) nicht funktionieren würden, da Division durch Null nicht zulässig ist. Also kann gemäß dieser Erklärung im Video nur 1 richtig sein
@@wollek4941Nein, ohne Widerspruch lässt sich 0 nicht durch 0 teilen. Siehe das ein paar Tage alte Video dazu auf diesem Kanal und die zugehörigen Kommentare.
herrlich, danke ! So - mit einem solchen Gedankenspiel der besten Denkschule, der Mathematik, den Tag zu beginnen: Perfekt! Nun, die Einlassungen zur Quantenphysik sind hier treffend und Funktionen, Reihen mit Null (0) bekommen mit dieser oft Unstetigkeiten oder in der EDV "flippt ein Bit" und führt zum "Ende der Vernunft". ;-) .
Ohne das Video gesehen zu haben: Wenn 0⁰ nicht explizit gleich am Anfang eines Rechenwegs definiert wird, zum Beispiel so, dass 0⁰ per definitionem gleich 1 gesetzt wird, dann ist 0⁰ undefiniert. Der Grund ist, dass nicht durch Null geteilt werden darf. Implizit ist das bei 0⁰ der Fall, wie folgende Rechnung zeigt: 0⁰ = 0¹⁻¹ = 0¹ ‧ 0⁻¹ = 0 ‧ frac(1)(0) = frac(0)(0) = undefiniert Brüche schreibe ich hier so: frac(Zähler)(Nenner) So, und jetzt schaue ich mir das Video an. Viele Grüße Marcus 😎
@p0gr meint, ich hätte den Bruch »reingeschummelt«. Das habe ich nicht. Es sei denn, Du beweist, dass irgendeiner der von mir gemachten Rechenschritte falsch ist. Im Einnzelnen: Schritt 1: 0⁰ = 0¹⁻¹ Das darf ich offensichtlich machen, denn 1 - 1 = 0. Schritt 2: 0¹⁻¹ = 0¹ · 0⁻¹ Das folgt der Regel xᵃ · xᵇ = xᵃ⁺ᵇ, ist also ein erlaubter und mathematisch korrekter Schritt. Schritt 3: 0¹ · 0⁻¹ = 0 · frac(1)(0) Dass 0¹ gleich 0 ist, brauche ich hoffentlich nicht zu begründen. Negative Exponenten zeigen an, dass der Kehrwert der Potenz mit dem additiven Inversen des Exponenten gemeint ist. Zum Beispiel ist 4⁻² = frac(1)(4²) = frac(1)(16) oder (frac(2)(3))⁻⁴ = (frac(3)(2))⁴ = frac(3⁴)(2⁴) Das kannst Du mit Wolfram Alpha überprüfen. Da das so geht, ist auch dieser Schritt mathematisch richtig. Und hier kommt bereits die Regel ins Spiel, dass durch Null nicht geteilt werden darf. Schritt 4 0 · frac(1)(0) = frac(0)(0) Für den Zweck, zu zeigen, dass 0⁰ zu einer Division durch Null führt, ist dieser Schritt eigentlich nicht mehr notwendig. Nichtsdestotrotz ist er mathematisch richtig, denn a · frac(b)(c) = frac(a · b)(c) So. Und jetzt sag mir bitte, wo ich etwas »reingeschummelt« haben soll. Viele Grüße Marcus 😎
@@marcusgloder8755 schritt 2 gilt doch offensichtlich nicht fuer 0. kuck mal in die voraussetzungen des satzes, den du da anwenden willst. vermutlich ist da die rede von einer positiven basis.
@p0gr Das Ganze ist ein RAA, ein Beweis durch Widerspruch. Ich nehme an, dass 0⁰ definiert sei und zeige, dass diese Annahme zu einem Widerspruch führt, nämlich zu einer Division durch 0. Durch 0 darf nicht dividiert werden. Etwas genauer ließe sich das so schreiben: Bedingung: x ≠ a ‧ frac(1)(0) (Diese Bedingung sagt, dass durch 0 nicht dividiert werden darf.) Annahme: x = 0⁰ (Ich nehme also an, dass 0⁰ einen bestimmten, definierten Wert hat, den ich x nenne.) Das führt zu x = 0¹⁻¹ x = 0¹ · 0⁻¹ (0⁻¹ ist undefiniert) x = 0 · frac(1)(0) x ≠ 0 · frac(1)(0) (Wegen der Bedingung) 👉 Widerspruch Oder noch einmal anders erklärt: Ich fange damit an, dass ich *annehme*, dass 0⁰ einen definierten Wert hat. Unter dieser *Annahme* gelten die gewöhnlichen Portenzgesetze auch für 0 als Basis. Die Anwendung dieser Potenzgesetze auf die Basis 0 führt unweigerlich zu einer Division durch 0. Durch Null darf nicht dividiert werden. 👉 Widerspruch. Damit führt die *Annahme*, 0⁰ habe einen definierten Wert, zu einem Widerspruch. Deshalb muss diese Annahme fallen gelassen werden. Daher gilt: 0⁰ ist undefiniert. So, und jetzt kannst Du natürlich sagen, auf 0 als Basis dürfen die Potenzgesetze nicht angewendet werden, weil das zu Widersprüchen führt. Nur triffst Du damit natürlich nicht meine Argumentation. Denn bei meiner Argumentation ist es ja so, dass ich annehme, dass 0⁰ einen definierten Wert hat. Und nur unter dieser Annahme können die Potenzgesetze auch auf 0 als Basis angewendet werden. Der Zweck ist, zu zeigen, dass die Annahme, 0⁰ habe einen definierten Wert, zu einem Widerspruch führt, nämlich zu einer Division durch 0, die nicht gemacht werden darf. Und deshalb ist 0⁰ undefiniert. Ist das so klarer? Viele Grüße Marcus 😎
@@marcusgloder8755 und wieder wendest du das potenzgesetz falsch an, hast du meine vorige antwort nicht gelesen? x^a * x^b = x^(a+b) gilt fuer a,b aus Z nicht fuer x=0. und aus einem falsch angewendeten satz kann man natuerlich nichts folgern.
In der Geschichte haben die Menschen lange gebraucht, die 0 zu erfinden (demnächst gibt es ein Video dazu), aber nichtsdestotrotz war das eine sehr nützliche Erfindung!
@pharithmetik 🤣🤣🤣 Weißt, was auf YT fehlt? Geschichten Erzähler. Zum Bsp. die, die ich aus einem Lehrbuch Analysis kenne. Wo ausgerechnet ein Pythagoräer sich zuviel Gedanken um "Wurzel aus 2" gemacht hat und darum eine Kreuzfahrt spendiert bekam. Den Beweis für R kann ich immer noch. Er wusste zuviel😂 Und dann die ganzen Krisen wegen solcher Fragen. Bin ja weg von dem Zeugs. Zu abgefahren. Aber die Geschichten, Tricksereien und Notpflaster sind schon interessant. Wenn auch wenig vertrauenserweckend😉
Wenn Division durch NULL nicht "erlaubt" ist (weil es Blödsinn ist, denn man teilt ja nichts), sollte man doch auch sagen können/dürfen, daß PLUS, MINUS und MAL mit NULL auch Blödsinn ist und daher nicht "erlaubt".
Null hoch Null ist Glaubenskrieg oder zumindest Definitionsproblem Denn X hoch null ergiebt nach der Kontinuität 1 also zb 1/1; 2/2 etc für jede Zahl außer Null ohne Problem, ist es definiert. Jedoch 0 hoch 0 also 0/0 wäre vom Prinzip her wiederum nicht definiert, gilt als verboten! (obwohl logischerweise 1 rauskommen würde, denn setzt mal für 0 zb (x*0) also (x*0)/(x*0) liese sich die Null herauskürzen und man hätte 1 was wiederum nur für gleichartige Nullen möglich ist also für 0 hoch 0 aber man könnte auch x rauskürzen und wäre beim alten Problem. 🙂 1/0; 2/0 etc ergeben einen Wert größer als unendlich was nicht definiert ist (also verboten), 0/ 0 in Form von 0 hoch 0 wäre bei der Betrachung jedoch gleich, da die Null oberhalb des Buchstriches gleich der Null unter dem Bruchstrich ist hier wäre die Kontinuität der Definitionslücke durch Nichtvorliegen eines unlogischen Ergebnisses also größer als unendlich gebrochen. Also hat man beschlossen dieses zu verbieten damit sich Mathematiker nicht gegenseitig umbringen. 🙂 Wer in der Schule oder Studium ist sollte es lassen und sich mit der "Definitionslücke" rausreden.
Und wenn zwei hoch x = Null ergebeben soll ? Wie sieht dann der Exponent aus ? Keine Ahnung ? Ich weiß ja daß es allgemein so anaerkannt ist . Aber mehr als eine willkürliche Deffinition ist es in meinen Augen nicht . Ich sag auch weiterhin Schraubenzieher und Fahrraddecke und Fahrradmantel . Und entdecke weiterhin Einheitstheorien und so und lass mich von der wirklichen Wahrheit nicht abbringen .
Wir wissen doch aus dem Video, warum man nicht durch 0 teilen darf und dass das Ergebnis undefiniert ist. Dem nach wäre die Mitte grundsätzlich falsch und auf Grund dessen auch links bzgl 0 . Aber ja, der menschliche Verstand sagt, klingt logisch und plausibel und dem nach kann es nicht falsch sein kann
Grundsätzlich falsch ist keines von beiden. Die Argumentation in der Mitte ist: Für alle n>0 gilt 0^n=0. Das wird als Analogie fortgesetzt für n=0, also 0^0=0. Die Argumentation links ist: Für alle Zahlen x≠0 gilt x^0=1. Das wird als Analogie fortgesetzt für x=0, also 0^0=1. Durch 0 geteilt wurde dabei in keinem Fall.
@WK-5775 Meiner bescheidenen Meinung nach, hat er auf der linken Seite, durch null geteilt, auch wenn es nicht gezeigt wurde. Denn er hat es an dem Beispiel 2 gezeigt und dann als Analogie zur 0 gemacht. Dem nach hat er die 0 durch 0 geteilt. Es wurde nur die Zahl gedanklich geändert aber nicht die Operation Gezeigt wurde: 1. 2^(n) = x 2. 2^(n-1) = x/2 ... Bis wir das Ergebnis 1 erhalten Dieser Logik nach wäre auch 0^0 = 1, hier wurde nur die Basis geändert aber nicht die Operation. Und das stößt bei mir auf Unverständnis, da er im Video zuvor gezeigt hat, warum man nicht durch 0 teilen kann.
@@yipman9952 Nein, auf der linken Seite wird nicht 0^0=1 aus 0^1=0 abgeleitet (indem etwa beide Seiten durch 0 geteilt werden - denn das ist ja Unsinn). Das Argument ist einfach: Für alle Zahlen a≠0 gilt a^0=1. Deswegen wird das für a=0 analog dazu definiert (und eben nicht durch eine verbotene Operation abgeleitet).
Wenn ich freudestrahlend nach Hause komme und meiner Frau mitteile, daß sich mein Einkommen potenziert hat, hält sie mich sowohl bei "hoch1" als auch bei "hoch0" für einen Idioten, oder?
Aber die mittlere Reihe passt dann nicht. 2 hoch 3 sind 3 Zweier, die multipliziert werden. 2 hoch 2 sind 2 Zweier, die multipliziert werden. 2 hoch 1 ist ein Zweier. Also in der Mitte ist immer ein Zweier weniger Also müste doch bei 2 hoch null kein Zweier in der Mitte stehen. Das Ergebnis wäre doch dann 0 🤔🥴
Vielen Dank für die Antwort. Ich glaube, mein Gehirnknoten besteht darin, das aus Null, das ich als mit "nichts" assoziiere irgend etwas Zählbares erwachsen kann. Mit diesem Denken konnte ich dem Thema "nicht durch Null teilen können" folgen. Hier aber nicht mehr. So ist mir bspw nicht klar, wie man eine Permanentreihe mit der Potenzierung von Null überhaupt erstellen, bzw. aus "hoch Null" zurückrechnen kann, wenn man nicht durch Null teilen kann. Was wäre die Umkehrrechnung von Null hoch Null? Entschuldige die wahrscheinlich aus sicht eines Mathematikers wahrscheinlich etwas naiven Fragen.
Da hamwa den Salat. Und weil der liebe Gott auch nicht wusste, was 0^0 ergibt, hat er mal rumprobiert und ZACK!!!! Urknall! Aus 0 wird 1. Von wegen Mathematik hat keinen täglichen Nutzen :)
0^0=1 erscheint mir seltsam. Wäre das korrekt, dann wäre 0^0 eine reelle Zahl und nicht negativ. Damit müsste man die Gleichung logarithmieren können, also log(0^0) = log(1). Jetzt ist aber log(0^0)=0*log(0)=0*(-unendlich) und damit ein unbestimmter Ausdruck. Die rechte Setie der Gleichung ist einfach log(1)=0. Entweder habe ich hier etwas fundamental nicht verstanden (kann sein....:-) oder da passt was nicht. mfg.
Jede Festlegung von 0^0 führt zu einem Widerspruch. Wenn man es für bestimmte Zwecke dennoch tun, dann nur, weil man für bestimmte Funktionen keine Ausnahmeregelungen treffen will und die möglichen Widersprüche in Kauf nimmt.
Dein Video war cool, bis Du gegendert hast!!!! Wenn Du Videos zur Mathematik aufnimmst, sollte dir der Zustand 0 bzw.1 benannt sein!!! ...und Tschüß!!!
Das haben wir damals (vor 100 Jahren) schon während meiner HTL-Zeit im Mathe-Unterricht diskutiert - wir wollten ja unsere Mathe-Prof aushebeln 😅 Er hat das sehr ähnlich erklärt - Mathe ist nicht absolut, man muss definieren wenn man nicht wirklich zu einem einem logischen Ergebnis kommt.
kann man gerne machen, hat aber nichts mit der hiesigen frage zu tun. der grenzwert definiert ja nicht 0^0, sondern man kann dann eben sehen, ob es gegen 0^0 konvergiert oder nicht.
Aus informationstechnischer und physikalischer Sicht würde ich 0 hoch 0 = 0 sagen. Es ist ein Zustand von Nichts. Für mich also nichts unbestimmtes, aber auch erst Recht nicht 1, da 1 eine Menge an Energie enthält!
Ganz ehrlich: wenn ich 5 oder 12 oder 42 null Male multipliziere kommt auch null raus und nicht eins. Also mit der Argumentation wäre jede beliebige Basis zu null verdammt. Ergibt Sinn und zugleich keinen Sinn
An diesem Beispiel zeigt sich der klassische Elfenbeinturm der Mathematik. Was Null hoch Null ergibt, oder ob das undefiniert ist, interessiert mich in meinem Leben nicht die Bohne.
Ich kann das wirklich nachvollziehen. Es gibt aber viele Menschen, die auch an Dingen interessiert sind, die keine unmittelbare praktische Bedeutung in ihrem Leben haben.
So hab ich das noch nie betrachtet....cool und sehr interessant! Da tut sich die Frage auf: gibt es da noch mehr solcher "Unbestimmtheiten" in der Mathematik? Das würde mich jetzt wirklich interessieren!🤔 Vielen Dank vorab für einen Hinweis!😃
Klar gibt es die. Löse mal 1 + x = x nach x auf. Kommt was echt Paradoxes raus. Selbst mit komplexen Zahlen kommst du da auf nichts vernünftiges. Wenn du dich mit Analysis etwas auskennst, gibt es das Gabriels Horn. Ein Kegel der Innen ein bestimmtes Volumen hat, die Fläche der äußeren Mantelung des Kegels aber unendlich groß ist. Mit anderen Worten: Würdest du in diesen Kegel Farbe gießen, würdest du sehen wie er voll wird, während wenn du ihn von außen streichen würdest, würdest du niemals fertig werden. Es gibt das Hilbert Hotel mit unendlichen Gästen und Räumen. Dazu hat Christian Spannagel auch schon Videos aufgenommen. Nicht wirklich ein Paradox, aber auf jeden Fall ein komischer Fakt ist dass das Ergebnis von i^i eine Reele Zahl ist. i ist die Imaginäre Zahl welche als Wurzel aus -1 definiert ist. Hierfür gibt es nämlich keine Reele Lösung. i ist also eine Zahl welche in unserem physischen Universum nicht existiert. Ich kann 5 Stifte haben, ich kann 1/2 Stifte haben, ich kann pi Stifte haben, ich kann -5 Stifte haben, was bedeutet ich schulde 5 Stifte, ich kann aber nicht i Stifte haben. Die Tatsache also das bei i hoch i, zwei imaginäre Zahlen, ein Reeles Ergebnis rauskommt, ist faszinierend. Da kommt etwa 0,21 raus. Also ja, Paradoxe und faszinierende Ergebnisse kommen in der Mathematik immer wieder vor.
@@LS-Moto Puuuh, das muss ich erst mal geistig sacken lassen....nein, hätt ich nicht gedacht, dass es da soo viele beispiele gibt! 1000 Dank für deine ausführliche Antwort, die gleichzeitig "Inspiration" für mich sein wird🙄🤔😜 Die anderen Beispiele, die du aufgeführt hast, guck ich mir noch genauer an, aber kann man bei deinem ersten Beispiel nicht einfach "zwingend logisch" sagen, eine Gleichung mit nur einer Variablen und wo auf jeder Seite der Gleichung dieselbe Variable steht, ist nicht definiert, immer unlösbar bzw. ist nur lösbar, wenn man statt "=" das Ungleichheitszeichen verwendet?! Beste Grüße
Bei Minute 4 : Es wird immer mit einer 2 weniger multipliziert. Also bei 2^1 wird schon nicht mehr multipliziert. Bzw ist die Darstellung falsch. Richtig logisch wäre : 2^3 = 1*2*2*2 2^2= 1*2*2 2^1 = 1*2 LOGISCHERWEISE gilt bei 2^0 dann 2^0 = 1* 0 wieder wird mit einer 2 weniger multipliziert. Und das ist 0 . ---- Hier wird wieder mit 2 verschiedenen Logiken betrachtet. Links wird die logische Festlegung gemacht das man mit kleiner werdendem Exponaten immer mit einer 2 weniger multipliziert wird . Gleichzeitig wird eine logische Folge im Ergebnis gesucht. Beide werden nun verwendet um eine logische Lösung für 2^0 zu suchen. Also 2 völlig unterschiedliche logische Reihen sollen vereint werden. Abgesehen davon kann man es umgekehrt betrachten: Man definiert nicht x^0 = 1 sondern man definiert das man 1 als x^0 schreiben darf , wobei x nicht 0 sein darf. Das wäre aber nur interessant für die Potenzgesetze. Nette spielerei ohne nutzen für den Alltag, auser zum Zeitvertreib 🙃 Lg
![[LIVE] : ONE ลุมพินี 88 | คู่เอก "ป้อมเพชร vs อัสลามจอน"](http://i.ytimg.com/vi/1ZqTVVbMgbo/mqdefault.jpg)
Einerseits lädt ihr Video zum Mitdenken ein und andererseits machen Sie das als Dozent wirklich gut. Strahlen Ruhe, Geduld und enormes Interesse aus. Gefällt mir, obwohl ich Angewandte Informatik studiere und mathematisch interessiert bin.
Danke 🙏😊
Früher hieß es mal, Informatik wäre angewandte Mathematik. Also studierst du jetzt angewandte angewandte Mathe? Is ja gruselig.
Das Konstruktionsprinzip bei der Permanenzreihe, welche die 0 als Basis hat, würde - wenn man es analog zur Permanenzreihe aller anderen Zahlen anwendet - eine Division durch 0 beinhalten. Die ist bekanntlich nicht erlaubt. Also kann man dieses Prinzip im Fall der 0 nicht anwenden.
Wenn man keine allgemeingültige Alternative für die Begründung der Permanenzreihe findet, fällt das Argument aus der zweiten Spalte weg und 0^1 wäre demnach 1.
Es gibt andere Prinzipien, die zur 0 führen, z.B. lim 0^x = 0 für x->0.
Bitte weitermachen. Nicht nur didaktisch sehr schön aufgebaut (Permanzreihe, Einbeziehen der Zuschauer), sondern auch für mich immer wieder inspirierend als Mathelehrer, um meinen Unterricht ähnlich zu gestalten oder auch Übergänge von Schule zu Studium zu gestalten. Das ist m. E. sehr sinnvoll und fehlt..... Vielen Dank!!!!
Danke für dein liebes Feedback! 🙏 Alles klar, wir machen weiter! 😊
Was ist mit deinen langen Haaren passiert und mit deinem Dark-Style? Den fand ich cool.
Im Übrigen, ein gutes Video!
Die Haare mussten weichen, aber dark bin ich immer noch 🦇
Interessant ist auch die Fortsetzung der reihe mit negativen Exponenten. 2^-1=2^0/2
Was ist dann 0^-1? Antwort: 1/0^1 = 1/0, ergibt eine Division durch 0, unendlich oder eben undefiniert?
Undefiniert! bzw.: Division durch 0 ist nicht möglich
Ungeachtet dessen, dass man es unterschiedlich definieren kann, gibt der Exponent ja die Anzahl der Faktoren an. Und in jeder Multiplikation gibt es ja auch den Faktor 1. Insofern spricht schon viel dafür, dass bei 0⁰ kein Faktor 0 auftaucht und deshalb der Faktor 1 im Ergebnis übrig bleibt.
Siehe mein Kommentar von gerade eben.
Schönes Video. Aber auch seltsam, vor fünf Jahren fand ich Mathe furchtbar und hätte mir niemals sowas angeschaut und heute schaue ich mir sowas an, weil es mich wirklich interessiert. Schon spannend, wie sich Dinge verändern und ich frage mich, wie es wäre, wenn man dieses Interesse schon eher gehabt hätte, beispielsweise in der fünften Klasse oder wenigstens im Abitur.
Aber wie man so schön sagt: es ist niemals zu zeitig etwas zu lernen, aber auch nur selten zu spät.
Und deswegen muss Mathematikunterricht so gestaltet sein, dass er das Interesse weckt!
@ definitiv. Und allgemein braucht es natürlich eine lernfreundliche Atmosphäre, in der schon mal keine Angst besteht, bei Probleme eine Frage zu stellen. (ich habe die Theorie, dass man zunächst schon mal sehr weit kommt, wenn man alles negative/störende des Lernprozesses beseitigt. "Invert, always invert.") Darauf aufbauend ist Lebensweltbezug und allgemeine Motivation, natürlich super wichtig um wirklich das Opimale rauszuholen und Menschen zu lebenslangen „Lernmaschinen“ zu machen.
Im Chat kam die Frage, ob das also nur mit Muster und nichts mit Multiplikation zu tun hätte.
Doch, es hat mit Multiplikation zu tun. Für eine Operation gibt es ein neutrales Element; das ist bei Addition die Null und bei Multiplikation die Eins.
Entsprechend ist die leere Summe = 0 und das leere Produkt = 1.
Werden bei x hoch Null keine Faktoren multipliziert, bleibt es beim leeren Produkt 1. Man könnte besser schreiben:
2^0 = 1
2^1 = 1 * 2
2^2 = 1 * 2 * 2
Multipliziere die 1 so oft mit der Basis wie im Exponenten angegeben.
sehr gut. genau so ist es. man muss echt aufpassen, dass man mit seinen didaktischen reduktionen (sowas sind permanenzreihen) nicht die zuschauer verwirrt. man muss einordnen, was man da tut, und das geht nur, wenn man es selber verstanden hat.
@@p0gr Insofern wäre auch für 0^0 das leere Produkt 1 naheliegend. Die Funktion x^x hat einen Grenzwert 1 bei x -> +0 und einen Tiefpunkt bei ca. (0,37|0,69). Dazwischen ist sie stetig und streng monoton fallend und danach streng monoton steigend gegen unendlich. Wollte man sich also auf eine einzige Definition einigen, wäre 1 am plausibelsten. Will man bei "der einen Definition" viele Fälle der angewandten Mathematik nicht unnötig verkomplizieren, wäre eine Definitionslücke noch ein Kompromiß, aber damit auch nicht viel gewonnen. Also kann man damit leben, daß die Trinität den Weg aus der Religion in die Mathematik geschafft hat. :)
@@pinkeHelga von welchen vielen faellen redest du hier?
Grenzwert-Betrachtung:
f(x) = ((positive Zahl < 1) hoch x), wobei die positive Zahl gegen 0 läuft, endet in f(x)= positive y-Achse, die Kurve schmiegt sich immer mehr der positiven y-Achse an, bis sie schließlich die y-Achse selbst ist, bei "positiver" Zahl = 0.
f(x) = ((negative Zahl > 1) hoch x), wobei die negative Zahl gegen 0 läuft, endet in f(x) = negative x-Achse, die Kurve schmiegt sich immer mehr der negativen y-Achse an, bis sie schließlich die y-Achse ist, bei "negativer" Zahl = 0.
0 hoch 0 wäre damit die y-Achse und damit unbestimmt. 0 hoch 0 = 0 und auch 0 hoch 0 = 1 wären damit Sonderfälle.
Kann man hier eine Grenzwertbetrachtung von lim(x-->0) x^x =1 auch als Begründung nutzen, dass eher die 1 als die 0 wahrscheinlicher ist?
Ja, solche Grenzwertspielereien kann man machen, und mal kommt man bei 0, mal bei 1 raus 😜
In der Kardinalzahlarithmetik ist 0^0 = 1 und diese ist das Fundament für unser Rechnen mit Zahlen. Wieso wird da also ein Problem draus gemacht? 0^0 ist 1 und Aus.
So einfach ist das nicht. Was ist der Grenzwert von 0 hoch x mit x gegen 0?
@@pharithmetik Ja, ok, es gibt viele - nennen wir es mal struktur-ästhetische - Gründe für alternative Sichtweisen, aber rein logisch basiert alles auf ZFC und damit Mengen und alles Rechnen basiert auf, ja „ist“, Kardinalzahlarithmetik, oder? Und dort ist 0^0 = 1. Mir kommt es ein wenig so vor, wie wenn man darüber diskutiert, woher die Kinder kommen und einige vertreten, dass sie von oben kommen, weil der Storch oben fliegt und andere widersprechen, weil Störche auch auf Wiesen herumlaufen, aber dabei wird völlig vergessen, dass das nur Shortcuts und Merkhilfen sind, um die eigentlichen biologischen Tatsachen zu verdeutlichen. Auf die käme es doch an. Und wäre das hier nicht ZFC und Kardinalzahlarithmetik?
@@pharithmetik doch so einfach ist es. und es ist verdammt traurig zu sehen, dass mathe profs das nicht verstehen. was hat denn dieser grenzwert damit zu tun, was dieser algebraische ausdruck bedeutet? nichts! man kann den grenzwert berechnen und dann sehen, ob er 0^0 ist, oder nicht. es gibt keinen a priori grund, warum dieser grenzwert 0^0 sein sollte. ist das schwer? als professor? oder ist das nur eine didaktikprofessur?
Der Ausdruck (Null hoch Null) ist in der Mathematik umstritten. In vielen Kontexten wird 0000 als undefiniert betrachtet, weil es sowohl aus der Sicht der Potenzierung als auch der Grenzwertbetrachtung zu Widersprüchen führen kann.
Allerdings gibt es auch Bereiche, in denen 0000 den Wert 1 zugewiesen bekommt, insbesondere in der Kombinatorik und bei bestimmten mathematischen Definitionen, da es in diesen Kontexten sinnvoll ist, die leere Menge als einen Weg zu betrachten.
In der Praxis hängt die Interpretation also oft vom Kontext ab.
Es ist meistens angenehmer, es als 1 zu definieren. Wenn man polynome aufschreibt und deren Auswertungen, müsste man sonst extra aufpassen, dass man x = 0 als Sonderfall hat. Oder man sieht x^0 als das leere Produkt an, das ist nach Definition immer 1. Ich finde, es vereinfacht Sachen, aber du hast natürlich Recht, dass das nicht allgemein so definiert ist
😄
"Nicht definiert" war das erste, was ich dachte, als ich die aufgabe sah. Und war dann verwundert, wie man auf "1" kommen kann. War es am Ende doch richtig. Und ich habe jetzt in 14 Minuten mehr begriffen, was "n.d." heisst als in 14 Jahren Schule. Es gibt mehrere Arten von "richtig" (!!!). Vielleicht sollte man gleich auf eine Uni gehen?
Also das Wichtigste, was man ganz ketzerisch aus der Lektion mitnehmen könnte, wäre: Mathematik ist gar keine Naturwissenschaft. Man kann sich beliebig definieren, was man als richtig haben will, wie in der Genderwissenschaft oder sowas? Und wenn keine Faktenchecker bestimmen, wer Recht hat, bleibt es unentschieden. Das ist "nd"...
Mathematik ist definitiv keine Naturwissenschaft. Ihr Gegenstand ist nicht die Natur! Mathematik ist eine Struktur- oder Formalwissenschaft
anhänger der präastronautik behaupten dass multiplikationen mit 0 immer 0 ergeben
Option 1:
Es hört schon bei hoch 2 auf, weil hoch 1 dasselbe ist, weil unsinnig, wie zB. das Streichen überm und unterm Bruchstrich gleicher Werte.
Option 2:
9:25 Scheint operativ gelungener, statt mit geteilt durch 2 die Aussage zu erzwingen.
12:08 Anm.: Manchmal macht etwas anderes Sinn, mit dieser Unklarheit müssen wir leben, es gibt keine Lösung.
Wie das Erzwingen der Aussage bei Primzahlen, dass die "2" zur einzigen, geraden Zahl wird.
Ich hätte hier mal eine Überlegung, die m.E. eindeutig für 0^0 = 1 spricht. Und zwar: x^y bedeutet in natürliche Sprache übersetzt: "mein Term enthät y mal den Faktor x",
Die Aussage "mein Term enhält null mal den Faktor 2" trifft auf den Term 4*3 zu, da die 2 ja tatsächlich null mal enthalten ist. Ich kann diese Null-Aussage wiederrum in mathematische Symbolik übersetzen und Term
anfügen, es folgt daher 4*3=4*3*2^0, also 2^0 = 1. Beide Seiten der Gleichung lassen sich eindeutig durch die Aussage "mein Term besteht aus 0 mal den Faktor 2, einmal den Faktor 4 und einmal den Faktor 3"
beschreiben. Das lässt sich auch auf 0^0 anwenden. Die Aussage "mein Term besteht aus 0 mal den Faktor 0, einmal den Faktor 4 und einmal den Faktor 3" bedeutet 4*3*0^0, bedeutet aber nach der vorherigen Argumentation
genauso 4*3, somit gilt 4*3*0^0 = 4*3, ergo 0^0=1.
Das ist eine interessante Argumentation!
Ich finde, diese Argumentation ist genau richtig.
(Auch wenn das so gelungen haben könnte, ist meiner Meinung nach der Kommentar von @pharithmetik nicht ironisch gemeint.)
Wenn ich im Alltag drüber stolpere, dass es einen sinnvollen Wert annehmen muss, dann ist meistens 1 die Wahl, da es ein leeres Produkt ist.
Kleine Frage: wo genau im Alltag ( Zähneputzen, Einkauf, Autofahren...)
braucht man 0^0 ?
Bei mir kam es in 50 Jahren nicht im Alltag vor 🙂
LG
@@Thomas-w8p4q In meinem Alltag kam es schon oft vor. Mathematik wird nicht im Hinblick auf bestimmte Anwendungen im Alltag betrieben, aber es ergeben sich daraus immer wieder wichtige und unverzichtbare Anwendungen. Die Lösung jedes scheinbar unwichtigen Problems kann zu wichtigen Erkenntnissen führen.
Ich habe in der Schule gelernt 0hoch 0 ergibt 1, ist aber ca. 50 Jahre her 😂
damals hat die schule noch was getaugt. seitdem geht es abwaerts und das immer schneller. jetzt erzaehlen schon die professoren den lehrern unsinn, die es dann als multiplikatoren an die schueler weitertragen. armes deutschland.
Was ist mit einer Grenzwertbetrachtung von x^x?
Die kann man auch zu Rate ziehen!
@@pharithmetik nein! die ist hier irrelevant! denken vor dem schreiben! was haben grenzwertbetrachtungen mit algebraischen zusammenhaengen zu tun? das ist derselbe fehlschluss wie mite den permanenzreihen. erst, wenn man weiss, was 0^0 ist, kann man sich fragen, ob x^x in null stetig ist z.b., nicht andersrum!
Ich erinnere mich in einer Klassenarbeit vor Jahren einfach mal einen Spass erlaubt. Wir sollten eine Kurvendiskussion durchführen mit irgendeiner unspektakulären Funktion 3. Grades in der Form ax^3 + bx^2 + cx + d. Da man für die Unterschiedlichen Ermittlungen von Extrema, Wendestellen, die Richtungen der Wendestellen etc. die Ableitungen immer wieder = 0 setzen muss, und die Zahl 0 einfach immer wieder vorkommen wird, hab ich einfach als aller ersten Schritt die Variable x geändert indem ich gesagt habe "Lasse x = O sein", einfach weil ichs kann 😅. War das ein Salat an 0-en und O's. Meine Lehrerin meinte sie musste das 5 mal kontrollieren um sicherzustellen, das auch die Rechenwege gepasst hat. Ich hab die Aufgabe gelöst, aber einen Punkt hat mir die Lehrerin abgezogen wegen ihren Nerven😅. Sie hat es mit Humor genommen, aber auch unter die Aufgabe geschrieben "Bitte mach das nie wieder". In der nächsten Klassenarbeit schrieb dann meine Lehrerin in die Aufgabenstellung, dass wir O nicht als Variable benutzen dürfen 😅
Die Haare gingen, die Weisheit bleibt ..... 👍
Gottseidank!
Null hoch null ist eins. Es gibt genau eine Abbildung von der leeren Menge in die leere Menge. q.e.d.
x^0 = 1, für beliebige x. Das gilt für Mathematik, die auf der Mengenlehre oder modernerer Foundations aufgebaut ist.
Auch im ISO-Standard wird mittlerweile 0^0=1 gesetzt.
Wir sollten daraus eine Extra-Folge „Big Bang Theory“ machen, an der am Ende Penny sagt „null hoch null“ heißt auf jeden Fall „kein Sex“ und ist damit überflüssig. Das ist dann die Antwort!
So habe ich das noch nie betrachtet. 2^(-1)=1/2, 2^(-2)=1/4,... und das geht so weiter, wie in der Struktur vorgebeben. Bei 0^1=0 stimmt die Aussage noch aber für 0^(-1) ist es nicht definiert.
Option 4: 0 hoch 0 ist = 0,5 und somit der Schnitt aus Opton 1 & 2 🙂
Also könnte man auch durch 0^0 teilen, wenn man 0^0 = 1 definiert???
Da spricht nichts dagegen
@@pharithmetik NEEEEEIIIIN! Aus den beiden Permanzzreihen in Ihrem Video ergibt sich die Potenzregel, die Sie ebenfalls im Video vorgestellt haben, nach welher man bei Multiplikation gleicher Basen die Exponenten addiert. Bei Divisionen zieht man die Exponenten natürlich voneinander ab, so dass z.B. x^3/x^3=x^(3-3)=x^0=1 ergibt. Für bedeutet dies 0^1/0^1=0^0=1 statt 0^1/0^1=0^0=0/0=n.d. Wenn man nun noch gestattet, 0 zu kürzen, wäre man natürlich beim Ersten. Dann jedoch müsste man auch gestatten, durch 0 zu teilen, wobei dann im Ergebnis abhängig vom Vorzeichen im Zähler +-Unendlich stehen würde.
@@nichtvonbedeutung 0 kuerzen ist nicht ok. ein ring, in dem 0 ein inverses hat, ist zwangsweise {0}, es gibt also keine interessante art, aus 0^{-1} sinn zu machen.
@@p0gr 0^(-1) ist nicht 0/0 sondern 1/0 (und damit die Definition für Unendlich). 0^0 wäre 0/0, denn x^0 ist stets x/x=1 - bisher wird die 0 daraus jedoch exkludiert.
@@nichtvonbedeutung ohje. dann kann man wohl nichts hinzufuegen, ex falso quodlibet.
Wenn die Mathematik die Wissenschaft der Muster und Strukturen ist, bedeutet das dann, dass sie im Grunde immer Aussagen über Analogien macht?
Damit meine ich, dass sich z.B. rechnen mit Birnen analog zum Rechnen mit Wassermelonen oder Steinen oder ... verhält.
Dazu hätte ich noch eine weitere Frage: Gibt es so etwas wie ein Verzeichnis der Struktur- bzw. Mustertypen der Mathematik. Die Permanzreihe kennen wir ja schon. Welche Muster/Strukturen gibt es noch? Ist das Verzeichnis, sofern es eins gibt, abgeschlossen oder offen? Anders ausgedrückt: Ist die Zahl der Muster endlich oder unendlich?
Strukturen in der Mathematik sind über Axiome definiert, in denen festgelegt wird, welche Eigenschaften die Elemente dieser Struktur haben. Nehmen wir z.B. die Vektorräume. Dort sind Vektoren zusammen mit ihren Eigenschaften, möglichen Rechenoperation usw. definiert. Ein Vektor muss aber nicht unbedingt das sein, man man sich als geometrischen Vektor vorstellt. Das ist lediglich ein spezifisches Modell eines Vektorraumes. Auch die Menge der Polynome lässt sich als Vektorraum auffassen, das ist ein anderes Modell eines Vektorraumes. Es kommt immer nur darauf an, ob eine vorliegende Struktur die Axiome eines Vektorraum erfüllt, dadurch werden die Elemente dieser Struktur zu Vektoren. Zu der letzten Frage: Die Menge der in der Mathematik definierten Strukturen ist sicher endlich. Gruppen, Körper, Ringe und Mengen z.B. sind sicher Strukturen, mit denen ein Student der Mathematik sehr schnell in Berührung kommt. Jeder Professor in der Forschung ist frei, neue Strukturen zu definieren und zu erforschen, daher gibt es sicher kein abgeschlossenes Verzeichnis.
@@berndkru Vielen Dank für die umfangreiche Antwort.
Ich möchte ergänzen: du hast viele algebraische Strukturen aufgezählt. Muster und Strukturen zeigen sich schon in kleineren Situationen, etwa wenn ich eine Zahlenfolge habe wie 1,2,4,8,16,... Auch hier gibt es ein Muster!
0^0=0^1*(1/0)=0^1*0^(-1)=0^(1+(-1))=0^0
allgemein: a/a=1 ausser 0/0=0*(1/0)=0*unendlich=unbestimmt
allgemein: 0*a=0 auch 0*0=0, somit muesste auch 0*(1/0)=0 sein, was ein Widerspruch zu 0/0=1 ist, da a/a=1 ist.
Einige deiner Umformungen kann man nicht machen, weil man nicht durch 0 teilen kann
Im Übrigen sind die Gesetze der Arithmetik in Bezugnahme mit der "Null", außerhalb von Addition und Subtraktion, eindeutig immer Null, es sei denn, die 10 (20; 30; 100; 1000 ect.) ist auch eine Null und es geht erst mit der 11 weiter. 😆
Aber das Argument mit dem Muster ist doch keine hinreichende Erklärung, da man ja im Alltag wohl kaum so eine Reihe vor sich haben wird, wo man einfach aus den vorherigen Ergebnissen auf das gewünschte Ergebnis kommt..und außerdem funktioniert das Muster bei 0 als Basiszahl ja auch nicht, da ja 0 hoch 1 = 0 ist.
Ja. Man kann aber Permanenzreihen hernehmen um zu schauen, was plausibel ist. In diesem Fall führen aber unterschiedliche Reihen zu unterschiedlichen Ergebnissen.
Was passiert wenn ich es umkehre, also die Wurzel zieh? Vor 50 Jahren habe ich gelernt Division mit 0 ist nicht definiert.
Welche Wurzel woraus?
@@pharithmetik okay, hoch 0 ist für uns - mein Rechenschieber, da geht gar nichts, und mich - zu hoch. Trotzdem interessanter Beitrag, muss ich wohl dranbleiben!
Du meinst, die nullte Wurzel von x ist x hoch 1/0?
... Mathe shit egal! Hauptsache richtig gegendert (13:10)! Dann passt schon alles!
Richtig erkannt!
Es ist im Endeffekt auch kein reales Problem. Eine Null im Exponent tritt bei Problemstellung ja nicht auf, weil sich nichts in unserer Welt mit einer 0 im Exponent beschreiben lässt.
Es ist ein Problem, das sich stellt, weil man eine Operation erfunden hat (potenzieren) und dann schauen muss, ob das für alle Zahlen funktioniert und ob es irgendwelche Sonderfälle gibt.
Mann kann Mathematik auch einfach erklärt erklären.
Das noch nicht gesehene in Form von zahlen , weil da werden sich Worten nicht mehr reichen oder etwa exacte Gedanken in taten umsetzbar trotzdem vorstellbar erklären.
Die Argumentation in der mittleren Permanenzreihe hinkt. Warum den Exponenten nicht weiter absenken, damit müsste nach der Argumentation 0 exp -1 ebenfalls 0 sein. 0 exp-1 ist aber 1/0 und das ist nicht Null.
Die erste Permanenzreihe kann man einfacher haben. Allgemein gilt: a exp x / a exp x ist 1 da Zähler und Nenner gleich sind. a exp x im Nenner ist aber a exp -x wenn im Zähler stehend, also a exp x mal a exp -x. x-x ist 0. Also ist a exp 0 gleich 1. Egal welches a. Und egal welches x.
Mich würde mal interessieren: Ist das Problem ein Beweis für Gödel's Zweiten Unvollständigkeitssatz?
Nein, hat damit überhaupt nichts zu tun. Hier geht es nicht um die Widerspruchsfreiheit irgendwelcher Systeme, sondern lediglich um die mögliche Ausführbarkeit bestimmter Operationen.
0∆O = 0∆0
Das bedeutet die Lösung oder keine Lösung+ oder - 0∆0 in diesem Fall transparent, weil 0∆0= und ungleich 1 Mathematisch gesehen ist blanko also 1auch drin.
In Wahrheit kann nur 1 =1 ergeben oder was 1 alles mögliche Möglichkeiten wieder 1 ergibt. Hoffe ihr versteht was ich meine mit Mathematik etwas näher bringen. Normalerweise sind alle Gleichungen und Anwendungen= Definition eine Bedeutung.
Könnte man eine Fourierreihenentwicklung von x^0 machen? Nach dem Video kann man ja annehmen, dass 0^0 nicht unendlich ist. Da würde vermutlich rauskommen, dass 0^0 = 1 ist.
Das Problem ist, dass einerseits lim x^x=1 ist, wenn x->0 geht. Andererseits ist lim 0^x = 0, wenn x->0 geht. Egal wie ich es definiere - es führt immer zu einem Widerspruch. Das ist der Grund, weshalb CAS-Systeme 0^0 als undefiniert ausweisen.
Man könnte sich ja in der Mitte treffen. Wenn einmal 0^0=1 und einmal 0^0=0 ist, dann wäre die Mitte 0,5 bzw 1/2 😅
Um auch die schlechteste aller Möglichkeiten zu nennen ;-)
@berndkru 😅👍
Wir haben aber 2 Argumente für 0⁰=1 und nur 1 Argument für 0⁰=0 gefunden. Die Lösung sollte also 2/3 sein.
@@felixstuber8046 die Argumente müssen vlt. auch qualitativ bewertet werden 🤔
In Mathematikersprache: betrachtet man die Funktion f(x) = x^x für x > 0 aus den reellen Zahlen und möchte sie für x = 0 stetig ergänzen, so muss man den Wert für 0^0 mit 1 definieren. Oder: die o.g. Funktion strebt gegen 1 für x gegen 0. Interessanterweise hat diese Funktion aber nicht ihr Minimum bei 0. Kann übrigens jeder mal mit einem Taschenrechner überprüfen, was herauskommt, wenn man ganz kleine Zahlen hoch sich selbst eingibt. Nur bei 0 selbst streikt der Rechner.
Die Funktion x^x ist aber für reelle Zahlen kleiner als 0 nicht stetig, weil nicht definiert, sondern nur für reelle Zahlen größer als 0. Wenn die Funktion aber in der Epsilon-Umgebung von 0 nicht definiert ist, kann sie auch nicht durch ergänzen von f(0)=1 an der Stelle 0 stetig sein.
@@felixstuber8046 Die Funktion ist aber in ihrem Definitionsbereich (x >= 0) stetig. Ich habe keine Aussage gefunden, dass Funktionen mit einem linksgeschlossenen Definitionsbereich grundsätzlich nicht stetig sind am linken Rand. Die Epsilon-Umgebung kann ja auch nur vollständig im Definitionsbereich liegen, die negativen Zahlen liegen nicht im Defintionsbereich.
P.S.: Auf Studyhelp wird explizit auf die Problematik des abgeschlossenen Intervalls im Definitionsbereich eingegangen: "Die beiden anderen Funktionswerte müssen nicht definiert sein (z.B. am Rand eines abgeschlossenen Intervalls des Definitionsbereichs)."
D.h. es reicht für die Stetigkeit die einseitige Grenzwertbetrachtung, wenn beispielsweise die andere Seite gar nicht definiert ist: "Daraus ergibt sich, dass Funktionen in isolierten Punkten automatisch stetig sind .". Der isolierte Punkt ist der Extremfall, da gibt es von beiden Seiten keinen "Grenzwert". Das dortige Beispiel ist ansonsten nahezu identisch mit dem Fall hier. Die Aussage dort lautet: die Funktion f(x) = x ^ 1/2 (Wurzel aus x) für den Defintionsbereich [0;unendlich) ist stetig im Punkt x = 0 mit f(x) = 0. Das ist exakt das gleiche Konstrukt, die Funktion ist für negative reelle Zahlen nicht definiert, dennoch im Nullpunkt stetig.
@@felixstuber8046 Wenn eine Funktion an einer Stelle nicht definiert ist, stellt sich die Frage nach Stetigkeit oder Unstetigkeit nicht. Die Aussage, dass eine Funktion an einer nicht definierten Stelle unstetig ist, ist also falsch.
@@berndkru
Seine Idee war ja, die Funktion an dieser Stelle zu definieren und so eine stetige Funktion zu erhalten. Beispielsweise hat die Funktion f(x) = (x²-1)/(x+1) an der Stelle -1 auch eine Definitionslücke und ist dort dementsprechend unstetig. Die Funktion g(x) = {-2 für x = -1; (x²-1)/(x+1) sonst} hat hingegen keine Definitionslücken und ist stetig für alle x aus den reellen Zahlen.
Seine Idee war es jetzt etwas ähnliches für die Funktion x^x zu machen.
@@rhalleballe
Die Funktion wäre dann rechtsseitig stetig. Man könnte aber den Definitions- und Wertebereich auch auf die komplexen Zahlen erweitern, dann ist es nicht mehr so eindeutig, wie man die Erweiterung durchführen kann. Ich meine mich zu erinnern, dass es dazu mal ein Video von Numberphile gab, in dem das thematisiert wurde.
Ich würde ja mit 2^1 beginnen 😅
Ich nehme in solchen Fällen einfach den Mittelwert. 0^0= (0+1):2= 0,5
Was ist 0^-1?
Das ist nicht definiert, weil man nicht durch 0 teilen kann
Die Herleitung 0^0=1 mittels des Musters der Divisionsreihe hat einen Haken ;)
Division ist keine Grundrechenart sondern Multiplikation mit dem Inversen. Da aber die 0 kein multiplikatives Inverses hat darf man auch nicht so einfach (0^1) * (1/0) = 0 * 1/0 = 1 schlussfolgern. /0 ist nicht definiert und lässt sich mit dem Prinzip der Permanenzreihe auch nicht reparieren.
Deshalb habe ich die Permanenzreihe nicht mit der 0, sondern mit der 2 vorgeführt, um zu zeigen, dass "etwas hoch 0" gleich 1 ist und dann zu schlussfolgern, dass auch 0 hoch 0 gleich 1 sein könnte
@@pharithmetik Der Konjunktiv ist mir aufgefallen, und das ist auch gut so. :) Man könnte auch argumentieren: 0^4=0, 0^3=0, 0^2=0, 0^1=0 folglich 0^0=0.
Es gibt da so eine Reihe y=x^x, wobei x zwischen 1 und 0 liegt. Wenn man die Reihe durchrechnet, fällt einem auf, dass sie von 0,9 bis 0,4 fällt und von 0,3 bis 0,1 wieder steigt. Man kann jetzt noch die Schritte immer feiner machen und stellt dann fest, dass die Reihe einen Tief- bzw. Wendepunkt bei x=1/e (Euler) hat, wobei gerundet y=0,6922 herauskommt. Wie dem auch sei, je näher man mit x der 0 kommt, desto naher kommt y der 1. Nun haben wir zwei Argumente für 0^0=1 aber nur ein Argument für 0^0=0. Was nun?
Welche Argumente wiegen stärker? 😊
@@pharithmetik Bisher allgemein noch Keines. Halt nur solange man 0 nicht kürzen darf.
👍👍
Was ist denn 5 ^ 4 dividiert durch 5 ^ 2 ?
(5 * 5 * 5 * 5) / (5 * 5) ... da kann ich 2 5en rauskürzen, es bleibt 5 ^ 2. => (x ^ y) / x ^ z = x ^ (y-z).
=> 5 ^ 0 = 5 ^ 3 / 5 ^ 3 = 1, weil eine Zahl dividiert durch sich selbst ist 1.
Diese Überlegung auf 0 ^ 0 angewendet :
0 ^ 0 wäre dann zB sowas wie 0 ^ 3 / 0 ^ 3. 0 * 0 * 0 = 0. 0 / 0 ... Upsiiii, wir landen in einer Division durch 0.
...und was ist mit den Mathematikern außen?
Du, das ist so lustig! Und ich höre den Witz zum ersten Mal!
@@pharithmetik Freut mich, wenn ich dein Leben bereichern konnte. Du hast das jedenfalls bei mir gemacht, da ich noch nie auf die Idee kam, Null zu potenzieren. Dass 2 hoch 0 EINS ist, finde ich auch bemerkenswert. Danke!
Hallo alle zusammen,
nachdem ich mir das Video angeschaut habe (das ich ausgesprochen gut finde), möchte ich zu einem speziellen Punkt etwas sagen, der mit dem Problem im Video, nämlich, was denn eigentlich 0⁰ ist, nichts oder nur sehr wenig zu tun hat. Es geht um das, was im Video, Permanenzreihe genannt wird.
Genauer möchte ich an dieser Stelle von einer Aufgabenstellung sprechen, bei der eine vogegebene, endliche Anzahl an Werten nacheinander angegeben werden und jetzt das sogenannte »logische Folgeglied« gefunden werden soll.
Nehmen wir folgende Zahlen:
8, 9, 10, 11, 12
Was wäre jetzt das logische Folgeglied? Auf den ersten Blick 13, weil von einem Glied der Reihe zum nächsten immer 1 dazuaddiert wird. Aber ist das die einzige mögliche Lösung? Angenommen, es handelt sich um Zahlen auf dem Ziffernblatt einer Uhr. Dann folgt auf die 12, ebenso »logisch«, die 1. Es gibt hier also mehr als eine Lösung. Natürlich ist auch die Argumentation mit dem Ziffernblatt einer Uhr am Ende exakt mathematisierbar, so, dass sich ein entsprechendes Bildungsgesetz formulieren lässt.
Im Grunde ist es so: für jede beliebige endliche Reihe an Zahlen lässt sich jede beliebige Zahl als »logisches Folgeglied« definieren und das entsprechende Bildungsgesetz dazu finden. Das geht mit Interpolationspolynomen (bitte googeln!).
Das bedeutet folgendes: Eine bestimmte endliche Reihe an Zahlen hat im Grunde genommen gar keine Struktur, jedenfalls solange, wie wir nicht das der Reihe zugrunde liegende Problem kennen. Dieses Problem ist es, das eine Struktur hat.
Genauso ist auch im Video argumentiert worden. Es wurde zunächst von einem Problem ausgegangen, das zu einer bestimmten Reihe führt. Dieses Problem hat eine Struktur, die erkannt werden kann und die dann zu einem Bildungsgesetz führt, dass mit den bekannten Zahlen übereinstimmt. Es ist aber immer das Problem, dass eine Strukrur hat. Diese Struktur wird dann mittels Zahlen erfasst. Nicht umgekehrt.
Viele Grüße
Marcus 😎
Moin Chrischaan, dazu fällt mir gerade ein: Vor etwa 45 Jahren hat unser Mathelehrer an der Tafel den Beweis erbracht, dass 3,9999999999 (Periode) = 4,0 ist! Eigentlich ja grotesk! Aber am Ende seines Beweises stand eine eindeutige Gleichung, bei der das Ergebnis eine glatte Zahl (4) war. Kriegst Du das hin? Ich hab‘ die Beweisführung inzwischen leider vergessen. Nur der Aha-Effekt blieb in Erinnerung. 🙈😂 Wäre super! Vielen Dank vorab und viele Grüße, Doc Mabuse
Schau mal hier: th-cam.com/video/emnL5x6nvfE/w-d-xo.htmlsi=1VwQOf6JFBUmxjkU
@@pharithmetik Danke Dir, Christian!! Hätte ich mir fast denken können, dass Du Dir diese Kuriosität schon mal vorgenommen hast. Tatsächlich kann man gegen die Rechenschritte nix sagen. Und doch kommen in mir die Zweifel von damals hoch: 0,(Periode 9) wird für mich kopftechnisch immer kleiner sein als eins. Aber sorry, mit Mathe stand ich schon immer auf Kriegsfuß - Volkswirt hin oder her. Deine Art, den Stuff zu beackern, find' ich dennoch extrem kurzweilig! Wünschte, es hätte damals einen Prof gegeben, der es mir auf Deine Art ins Hirn gehämmert hätte! Vielleicht wäre der Groschen dann irgendwann gefallen. 😂 Noch mal danke für den Hinweis! Gruß Doc
@@drmabuse1134 Ja, Zweifel sind durchaus berechtigt! :) Und danke für dein Lob! 🙏
@@drmabuse1134Um wieviel kleiner als 1 sollte denn 0, (Periode)9 sein?
Antwort: Um irgendwas, das auf jeden Fall kleiner ist als 0,1 und kleiner als 0,01 und kleiner als 0,001 usw., also kleiner als jede noch so kleine positive Zahl. In den reellen Zahlen (auf der Zahlengeraden) kann das nur 0 sein. Also folgt, dass 0,(Periode)9 gleich 1 ist.
@@WK-5775 😵💫😵💫😵💫 Ok, Gegenfrage eines ehemals eher mittelmäßigen Matheschülers: Wenn 0,(Periode)9 gleich eins ist: Warum gibt es denn überhaupt den Wert 0,(Periode)9 überhaupt und belässt es nicht einfach beim Wert 1?! Aber bei mir dreht sich gerade wieder alles - ein vertrautes Gefühl aus dem Klassenzimmer! 🙈😄Ist wohl tatsächlich nicht meine Welt - aber superinteressant allemal! 👍👍
Ich betrachte 0 als "nichts". Und mit "nichts" kann man sonstwas anstellen, es kann nur nichts dabei rauskommen. Ich finde, hier fehlt einfach nur die entsprechende Formel...
Anders gesagt scheint 0 ein Problem an sich zu sein!
Definitiv!
Wenn man es als Grenzwert x->0 der Funktion x^x auffasst, müsste es gegen 1 gehen (einfach mal x^x mit Wolfram Alpha plotten).
Das ist ja nur die eine Seite: Wenn man es als Grenzwert von 0^x für x->0 auffasst, dann geht es gegen 0. Deshalb gibt es keinen definierten Wert.
@@berndkruJaja stimmt schon. Letztlich kommt es darauf an, entlang welcher Trajektorie man im x^y-Diagramm die beiden Variablen x und y gegen 0 schickt.
Man sollte zuerst einfach klarstellen , dass 0 ^0 nur als Grenzwert auftreten kann , und dann ist alles möglich.
Wenn man die Gegenüberstellung der drei Varianten überblickt, dann fällt auf, dass die Zuordnungen beim zweiten Fall (also Null hoch Null gleich Null) nicht funktionieren würden, da Division durch Null nicht zulässig ist.
Also kann gemäß dieser Erklärung im Video nur 1 richtig sein
@@ericpman Man kann aber Null durch null teilen ohne Widerspruch. In allen anderen Fällen ist es nicht definiert, weil es zu Widersprüchen führt.
@@wollek4941Nein, ohne Widerspruch lässt sich 0 nicht durch 0 teilen. Siehe das ein paar Tage alte Video dazu auf diesem Kanal und die zugehörigen Kommentare.
Durch Null teilt man erst bei negativen Exponenten!
Ja , prima . Und wie oft wird die zwei jetzt mit sich selbst malgenommen bei zwei hoch null ?
herrlich, danke ! So - mit einem solchen Gedankenspiel der besten Denkschule, der Mathematik, den Tag zu beginnen: Perfekt!
Nun, die Einlassungen zur Quantenphysik sind hier treffend und Funktionen, Reihen mit Null (0) bekommen mit dieser oft Unstetigkeiten oder in der EDV "flippt ein Bit" und führt zum "Ende der Vernunft". ;-) .
Ohne das Video gesehen zu haben:
Wenn 0⁰ nicht explizit gleich am Anfang eines Rechenwegs definiert wird, zum Beispiel so, dass 0⁰ per definitionem gleich 1 gesetzt wird, dann ist 0⁰ undefiniert. Der Grund ist, dass nicht durch Null geteilt werden darf. Implizit ist das bei 0⁰ der Fall, wie folgende Rechnung zeigt:
0⁰ =
0¹⁻¹ =
0¹ ‧ 0⁻¹ =
0 ‧ frac(1)(0) =
frac(0)(0) =
undefiniert
Brüche schreibe ich hier so:
frac(Zähler)(Nenner)
So, und jetzt schaue ich mir das Video an.
Viele Grüße
Marcus 😎
das ist falsch, die division kommt da nicht vor, die hast du da reingeschummelt.
@p0gr meint, ich hätte den Bruch »reingeschummelt«.
Das habe ich nicht. Es sei denn, Du beweist, dass irgendeiner der von mir gemachten Rechenschritte falsch ist.
Im Einnzelnen:
Schritt 1:
0⁰ = 0¹⁻¹
Das darf ich offensichtlich machen, denn 1 - 1 = 0.
Schritt 2:
0¹⁻¹ = 0¹ · 0⁻¹
Das folgt der Regel xᵃ · xᵇ = xᵃ⁺ᵇ, ist also ein erlaubter und mathematisch korrekter Schritt.
Schritt 3:
0¹ · 0⁻¹ = 0 · frac(1)(0)
Dass 0¹ gleich 0 ist, brauche ich hoffentlich nicht zu begründen. Negative Exponenten zeigen an, dass der Kehrwert der Potenz mit dem additiven Inversen des Exponenten gemeint ist. Zum Beispiel ist
4⁻² = frac(1)(4²) = frac(1)(16)
oder
(frac(2)(3))⁻⁴ = (frac(3)(2))⁴ = frac(3⁴)(2⁴)
Das kannst Du mit Wolfram Alpha überprüfen. Da das so geht, ist auch dieser Schritt mathematisch richtig. Und hier kommt bereits die Regel ins Spiel, dass durch Null nicht geteilt werden darf.
Schritt 4
0 · frac(1)(0) = frac(0)(0)
Für den Zweck, zu zeigen, dass 0⁰ zu einer Division durch Null führt, ist dieser Schritt eigentlich nicht mehr notwendig. Nichtsdestotrotz ist er mathematisch richtig, denn
a · frac(b)(c) = frac(a · b)(c)
So. Und jetzt sag mir bitte, wo ich etwas »reingeschummelt« haben soll.
Viele Grüße
Marcus 😎
@@marcusgloder8755 schritt 2 gilt doch offensichtlich nicht fuer 0. kuck mal in die voraussetzungen des satzes, den du da anwenden willst. vermutlich ist da die rede von einer positiven basis.
@p0gr Das Ganze ist ein RAA, ein Beweis durch Widerspruch. Ich nehme an, dass 0⁰ definiert sei und zeige, dass diese Annahme zu einem Widerspruch führt, nämlich zu einer Division durch 0. Durch 0 darf nicht dividiert werden. Etwas genauer ließe sich das so schreiben:
Bedingung:
x ≠ a ‧ frac(1)(0)
(Diese Bedingung sagt, dass durch 0 nicht dividiert werden darf.)
Annahme:
x = 0⁰
(Ich nehme also an, dass 0⁰ einen bestimmten, definierten Wert hat, den ich x nenne.)
Das führt zu
x = 0¹⁻¹
x = 0¹ · 0⁻¹ (0⁻¹ ist undefiniert)
x = 0 · frac(1)(0)
x ≠ 0 · frac(1)(0) (Wegen der Bedingung)
👉 Widerspruch
Oder noch einmal anders erklärt:
Ich fange damit an, dass ich *annehme*, dass 0⁰ einen definierten Wert hat.
Unter dieser *Annahme* gelten die gewöhnlichen Portenzgesetze auch für 0 als Basis.
Die Anwendung dieser Potenzgesetze auf die Basis 0 führt unweigerlich zu einer Division durch 0.
Durch Null darf nicht dividiert werden.
👉 Widerspruch.
Damit führt die *Annahme*, 0⁰ habe einen definierten Wert, zu einem Widerspruch. Deshalb muss diese Annahme fallen gelassen werden. Daher gilt: 0⁰ ist undefiniert.
So, und jetzt kannst Du natürlich sagen, auf 0 als Basis dürfen die Potenzgesetze nicht angewendet werden, weil das zu Widersprüchen führt. Nur triffst Du damit natürlich nicht meine Argumentation. Denn bei meiner Argumentation ist es ja so, dass ich annehme, dass 0⁰ einen definierten Wert hat. Und nur unter dieser Annahme können die Potenzgesetze auch auf 0 als Basis angewendet werden.
Der Zweck ist, zu zeigen, dass die Annahme, 0⁰ habe einen definierten Wert, zu einem Widerspruch führt, nämlich zu einer Division durch 0, die nicht gemacht werden darf. Und deshalb ist 0⁰ undefiniert.
Ist das so klarer?
Viele Grüße
Marcus 😎
@@marcusgloder8755 und wieder wendest du das potenzgesetz falsch an, hast du meine vorige antwort nicht gelesen? x^a * x^b = x^(a+b) gilt fuer a,b aus Z nicht fuer x=0. und aus einem falsch angewendeten satz kann man natuerlich nichts folgern.
... deshalb diskutiert man ja auch, ob Null überhaubt eine Zahl ist. Nicht überall gibt es eine Null...
In der Geschichte haben die Menschen lange gebraucht, die 0 zu erfinden (demnächst gibt es ein Video dazu), aber nichtsdestotrotz war das eine sehr nützliche Erfindung!
... in der Digitaltechnik, wäre keine Null undenkbar...
Eigentlich diskutiert niemand unter den ernstzunehmenden Mathematikern und Mathematikerinnen darüber, "ob Null überhaupt eine Zahl ist".
Fragen, die die Welt nicht braucht😅. Ist die Menge der normalen Mengen normal oder nicht?🤪
meinst du jetzt normalerweise oder was? 🤣
@pharithmetik 🤣🤣🤣 Weißt, was auf YT fehlt? Geschichten Erzähler. Zum Bsp. die, die ich aus einem Lehrbuch Analysis kenne. Wo ausgerechnet ein Pythagoräer sich zuviel Gedanken um "Wurzel aus 2" gemacht hat und darum eine Kreuzfahrt spendiert bekam. Den Beweis für R kann ich immer noch. Er wusste zuviel😂 Und dann die ganzen Krisen wegen solcher Fragen. Bin ja weg von dem Zeugs. Zu abgefahren. Aber die Geschichten, Tricksereien und Notpflaster sind schon interessant. Wenn auch wenig vertrauenserweckend😉
Was ist unendlich hoch unendlich? (Ja, ich weiß, unendlich)
Und wenn wir schon dabei sind: Was ist die unendliche Wurzel aus unendlich?
All das kann man nicht berechnen, weil unendlich keine Zahl ist ;)
Laut Knödner kann ein solches Element niemals den Quotienten 1 annehmen ,ergo ergibt sich 0
Dann ist 0 hoch 0 halt ein halb😂
Wenns nützt! 🤣
Wenn Division durch NULL nicht "erlaubt" ist (weil es Blödsinn ist, denn man teilt ja nichts), sollte man doch auch sagen können/dürfen, daß PLUS, MINUS und MAL mit NULL auch Blödsinn ist und daher nicht "erlaubt".
Es ist kein Blödsinn. Es geht einfach nicht. Null addieren kann man aber beispielsweise ohne Weiteres.
Null hoch Null ist Glaubenskrieg oder zumindest Definitionsproblem
Denn X hoch null ergiebt nach der Kontinuität 1 also zb 1/1; 2/2 etc für jede Zahl außer Null ohne Problem, ist es definiert.
Jedoch 0 hoch 0 also 0/0 wäre vom Prinzip her wiederum nicht definiert, gilt als verboten! (obwohl logischerweise 1 rauskommen würde, denn setzt mal für 0 zb (x*0) also (x*0)/(x*0) liese sich die Null herauskürzen und man hätte 1 was wiederum nur für gleichartige Nullen möglich ist also für 0 hoch 0 aber man könnte auch x rauskürzen und wäre beim alten Problem. 🙂
1/0; 2/0 etc ergeben einen Wert größer als unendlich was nicht definiert ist (also verboten), 0/ 0 in Form von 0 hoch 0 wäre bei der Betrachung jedoch gleich, da die Null oberhalb des Buchstriches gleich der Null unter dem Bruchstrich ist hier wäre die Kontinuität der Definitionslücke durch Nichtvorliegen eines unlogischen Ergebnisses also größer als unendlich gebrochen.
Also hat man beschlossen dieses zu verbieten damit sich Mathematiker nicht gegenseitig umbringen. 🙂
Wer in der Schule oder Studium ist sollte es lassen und sich mit der "Definitionslücke" rausreden.
Und wenn zwei hoch x = Null ergebeben soll ? Wie sieht dann der Exponent aus ? Keine Ahnung ? Ich weiß ja daß es allgemein so anaerkannt ist . Aber mehr als eine willkürliche Deffinition ist es in meinen Augen nicht . Ich sag auch weiterhin Schraubenzieher und Fahrraddecke und Fahrradmantel . Und entdecke weiterhin Einheitstheorien und so und lass mich von der wirklichen Wahrheit nicht abbringen .
Wir wissen doch aus dem Video, warum man nicht durch 0 teilen darf und dass das Ergebnis undefiniert ist. Dem nach wäre die Mitte grundsätzlich falsch und auf Grund dessen auch links bzgl 0 .
Aber ja, der menschliche Verstand sagt, klingt logisch und plausibel und dem nach kann es nicht falsch sein kann
Grundsätzlich falsch ist keines von beiden.
Die Argumentation in der Mitte ist: Für alle n>0 gilt 0^n=0. Das wird als Analogie fortgesetzt für n=0, also 0^0=0.
Die Argumentation links ist: Für alle Zahlen x≠0 gilt x^0=1. Das wird als Analogie fortgesetzt für x=0, also 0^0=1.
Durch 0 geteilt wurde dabei in keinem Fall.
@WK-5775
Meiner bescheidenen Meinung nach, hat er auf der linken Seite, durch null geteilt, auch wenn es nicht gezeigt wurde.
Denn er hat es an dem Beispiel 2 gezeigt und dann als Analogie zur 0 gemacht. Dem nach hat er die 0 durch 0 geteilt. Es wurde nur die Zahl gedanklich geändert aber nicht die Operation
Gezeigt wurde:
1. 2^(n) = x
2. 2^(n-1) = x/2
...
Bis wir das Ergebnis 1 erhalten
Dieser Logik nach wäre auch 0^0 = 1, hier wurde nur die Basis geändert aber nicht die Operation.
Und das stößt bei mir auf Unverständnis, da er im Video zuvor gezeigt hat, warum man nicht durch 0 teilen kann.
@@yipman9952 Nein, auf der linken Seite wird nicht 0^0=1 aus 0^1=0 abgeleitet (indem etwa beide Seiten durch 0 geteilt werden - denn das ist ja Unsinn). Das Argument ist einfach: Für alle Zahlen a≠0 gilt a^0=1. Deswegen wird das für a=0 analog dazu definiert (und eben nicht durch eine verbotene Operation abgeleitet).
Der Grenzwert von x**x für x gegen 0 ist Null.
was wäre denn = hoch minus 1
Wenn ich freudestrahlend nach Hause komme und meiner Frau mitteile, daß sich mein Einkommen potenziert hat, hält sie mich sowohl bei "hoch1" als auch bei "hoch0" für einen Idioten, oder?
Ich würde das abhängig davon machen, worüber du dich sonst so freust. 🤣
Aber die mittlere Reihe passt dann nicht.
2 hoch 3 sind 3 Zweier, die multipliziert werden.
2 hoch 2 sind 2 Zweier, die multipliziert werden.
2 hoch 1 ist ein Zweier. Also in der Mitte ist immer ein Zweier weniger
Also müste doch bei 2 hoch null kein Zweier in der Mitte stehen. Das Ergebnis wäre doch dann 0 🤔🥴
habe ich mich auch gefragt... jedenfalls gemäss der Erklärung, wie Potenz funktioniert.
Ja, und die Struktur der Permanentreihe besagt, dass das nächste Ergebnis immer halb so groß ist wie das vorherige
Vielen Dank für die Antwort. Ich glaube, mein Gehirnknoten besteht darin, das aus Null, das ich als mit "nichts" assoziiere irgend etwas Zählbares erwachsen kann. Mit diesem Denken konnte ich dem Thema "nicht durch Null teilen können" folgen. Hier aber nicht mehr. So ist mir bspw nicht klar, wie man eine Permanentreihe mit der Potenzierung von Null überhaupt erstellen, bzw. aus "hoch Null" zurückrechnen kann, wenn man nicht durch Null teilen kann. Was wäre die Umkehrrechnung von Null hoch Null? Entschuldige die wahrscheinlich aus sicht eines Mathematikers wahrscheinlich etwas naiven Fragen.
Da hamwa den Salat. Und weil der liebe Gott auch nicht wusste, was 0^0 ergibt, hat er mal rumprobiert und ZACK!!!! Urknall! Aus 0 wird 1.
Von wegen Mathematik hat keinen täglichen Nutzen :)
Hut ab! So muss es gewesen sein! 👍
1
0^0=1 erscheint mir seltsam. Wäre das korrekt, dann wäre 0^0 eine reelle Zahl und nicht negativ. Damit müsste man die Gleichung logarithmieren können, also log(0^0) = log(1). Jetzt ist aber log(0^0)=0*log(0)=0*(-unendlich) und damit ein unbestimmter Ausdruck. Die rechte Setie der Gleichung ist einfach log(1)=0. Entweder habe ich hier etwas fundamental nicht verstanden (kann sein....:-) oder da passt was nicht. mfg.
Jede Festlegung von 0^0 führt zu einem Widerspruch. Wenn man es für bestimmte Zwecke dennoch tun, dann nur, weil man für bestimmte Funktionen keine Ausnahmeregelungen treffen will und die möglichen Widersprüche in Kauf nimmt.
Was nicht passt, ist der Schritt log(0^0) = 0 * log(0).
Das Gesetz log(a^b) =b*log(a) gilt eben nur für a>0.
Super Vortrag, bis auf die Stelle, wo von Mahtematiker*innen gesprochen wird.
du armer
Oh man.
Dein Video war cool, bis Du gegendert hast!!!!
Wenn Du Videos zur Mathematik aufnimmst, sollte dir der Zustand 0 bzw.1 benannt sein!!!
...und Tschüß!!!
Es ist einfach wirklich traurig, dass Menschen Content nur wegen gendersensibler Sprache ablehnen. Tschüß!
@pharithmetik ...ideologiesensibel!!
@@erth7177ich bin sensibel bei mehr als einem Ausrufezeichen. Insofern nochmal: Tschüss!
Ich gendere übrigens, weil ich damit einem Wunsch von Minderheiten nachkomme. Das hat mir Ideologie gar nichts zu tun.
Aber sehr gut erkärt - chapeau bas
Das haben wir damals (vor 100 Jahren) schon während meiner HTL-Zeit im Mathe-Unterricht diskutiert - wir wollten ja unsere Mathe-Prof aushebeln 😅
Er hat das sehr ähnlich erklärt - Mathe ist nicht absolut, man muss definieren wenn man nicht wirklich zu einem einem logischen Ergebnis kommt.
🙏
0
Wie wäre es mit einer Grenzwertbetrachtung?
lim x^0, x->0 oder lim 0^x, x->o oder vielleicht ( e^(ln 1/x))^1/x, x-> oo.😀
Und was kommt jeweils raus?
kann man gerne machen, hat aber nichts mit der hiesigen frage zu tun. der grenzwert definiert ja nicht 0^0, sondern man kann dann eben sehen, ob es gegen 0^0 konvergiert oder nicht.
Ich dachte mir schon dass hier zwei Rechengesetze kollidieren.
Bäm!
das ist unfug, welche rechengesetze denn?
@p0gr
Sorry ich meinte Potenzgesetze
was für ein Aufwand, wo die Antwort doch bereits bekannt ist.
42 dp.
Schöne Herleitung :-)
Aus informationstechnischer und physikalischer Sicht würde ich 0 hoch 0 = 0 sagen. Es ist ein Zustand von Nichts. Für mich also nichts unbestimmtes, aber auch erst Recht nicht 1, da 1 eine Menge an Energie enthält!
Glücklicherweise ist das keine mathematische Sicht ;-)
Ganz ehrlich: wenn ich 5 oder 12 oder 42 null Male multipliziere kommt auch null raus und nicht eins. Also mit der Argumentation wäre jede beliebige Basis zu null verdammt. Ergibt Sinn und zugleich keinen Sinn
Und den Faktor 1 in jeder Multiplikation haben wir vergessen?
1 ist jedenfalls nicht nix.
An diesem Beispiel zeigt sich der klassische Elfenbeinturm der Mathematik. Was Null hoch Null ergibt, oder ob das undefiniert ist, interessiert mich in meinem Leben nicht die Bohne.
Ich kann das wirklich nachvollziehen. Es gibt aber viele Menschen, die auch an Dingen interessiert sind, die keine unmittelbare praktische Bedeutung in ihrem Leben haben.
So hab ich das noch nie betrachtet....cool und sehr interessant! Da tut sich die Frage auf: gibt es da noch mehr solcher "Unbestimmtheiten" in der Mathematik? Das würde mich jetzt wirklich interessieren!🤔 Vielen Dank vorab für einen Hinweis!😃
Klar gibt es die. Löse mal 1 + x = x nach x auf. Kommt was echt Paradoxes raus. Selbst mit komplexen Zahlen kommst du da auf nichts vernünftiges.
Wenn du dich mit Analysis etwas auskennst, gibt es das Gabriels Horn. Ein Kegel der Innen ein bestimmtes Volumen hat, die Fläche der äußeren Mantelung des Kegels aber unendlich groß ist. Mit anderen Worten: Würdest du in diesen Kegel Farbe gießen, würdest du sehen wie er voll wird, während wenn du ihn von außen streichen würdest, würdest du niemals fertig werden.
Es gibt das Hilbert Hotel mit unendlichen Gästen und Räumen. Dazu hat Christian Spannagel auch schon Videos aufgenommen.
Nicht wirklich ein Paradox, aber auf jeden Fall ein komischer Fakt ist dass das Ergebnis von i^i eine Reele Zahl ist. i ist die Imaginäre Zahl welche als Wurzel aus -1 definiert ist. Hierfür gibt es nämlich keine Reele Lösung. i ist also eine Zahl welche in unserem physischen Universum nicht existiert. Ich kann 5 Stifte haben, ich kann 1/2 Stifte haben, ich kann pi Stifte haben, ich kann -5 Stifte haben, was bedeutet ich schulde 5 Stifte, ich kann aber nicht i Stifte haben. Die Tatsache also das bei i hoch i, zwei imaginäre Zahlen, ein Reeles Ergebnis rauskommt, ist faszinierend. Da kommt etwa 0,21 raus.
Also ja, Paradoxe und faszinierende Ergebnisse kommen in der Mathematik immer wieder vor.
Da gibt es mehrere: 0/0, oo/oo, 0*oo, oo - oo, 1^oo, oo^0 - "oo" steht für Unendlich.
@@LS-Moto 1+x=x hat keine Lösung, ganz simpel.
@@LS-Moto Puuuh, das muss ich erst mal geistig sacken lassen....nein, hätt ich nicht gedacht, dass es da soo viele beispiele gibt! 1000 Dank für deine ausführliche Antwort, die gleichzeitig "Inspiration" für mich sein wird🙄🤔😜 Die anderen Beispiele, die du aufgeführt hast, guck ich mir noch genauer an, aber kann man bei deinem ersten Beispiel nicht einfach "zwingend logisch" sagen, eine Gleichung mit nur einer Variablen und wo auf jeder Seite der Gleichung dieselbe Variable steht, ist nicht definiert, immer unlösbar bzw. ist nur lösbar, wenn man statt "=" das Ungleichheitszeichen verwendet?! Beste Grüße
@@berndkru Ja, weil 1=0 rauskommt.
Bei Minute 4 :
Es wird immer mit einer 2 weniger multipliziert.
Also bei 2^1 wird schon nicht mehr multipliziert.
Bzw ist die Darstellung falsch. Richtig logisch wäre :
2^3 = 1*2*2*2
2^2= 1*2*2
2^1 = 1*2
LOGISCHERWEISE gilt bei 2^0 dann
2^0 = 1* 0
wieder wird mit einer 2 weniger multipliziert.
Und das ist 0 .
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Hier wird wieder mit 2 verschiedenen Logiken betrachtet.
Links wird die logische Festlegung gemacht das man mit kleiner werdendem Exponaten immer mit einer 2 weniger multipliziert wird .
Gleichzeitig wird eine logische Folge im Ergebnis gesucht.
Beide werden nun verwendet um eine logische Lösung für 2^0 zu suchen.
Also 2 völlig unterschiedliche logische Reihen sollen vereint werden.
Abgesehen davon kann man es umgekehrt betrachten:
Man definiert nicht x^0 = 1 sondern man definiert das man 1 als x^0 schreiben darf , wobei x nicht 0 sein darf.
Das wäre aber nur interessant für die Potenzgesetze.
Nette spielerei ohne nutzen für den
Alltag, auser zum Zeitvertreib 🙃
Lg
2⁰ ist einfach nur 1, nicht 1x0. Die Null gibt die Anzahl der Faktoren zur Basis an. Die Basis ist 2, nicht 0.
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