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很尊重李老师和真正看懂视频内容的观众。我查阅了本视频提及洪加威“几何例证法”论文《能用例证法来证明几何定理吗》，为了使得例证法证明严格，证明过程依赖视频中所省略的几何作图语句、自由度、计算精确度等概念，而视频中将几何问题转换为代数问题的过程就是上述省略内容的核心。所以仅凭“一个三角形内角和是180°”这一句话证明“所有三角形内角和是180°”自然没有任何数学工作者会认为证明严格，甚至正确的。能理解上述概念的读者数学水平自然能区分推理、归纳和例证的区别。希望目前尚不能区分的小学家长不要错误理解“几何例证法证明的严格性”来上升到哲学高度，更不要以此教育小孩，干扰学校老师教学。
李老师的方法是针对有逻辑思维的家长和能理解的孩子的，最后的解说甚至上升到了哲学的层次。对于尚未形成数学思维或者不求甚解的孩子，这套理论确实要小心使用，怕带偏了。
是的，以第一個一元二次多項式而言，因為有代數基本定理，才可以僅取三個正確的例子，就算證明完畢。太強調『舉幾個例子正確就能得證』的想法，容易誤導學生。
本质上视频中方法是反证法，即演绎法的一种，是严格地。李永乐确实应该说清楚，可以通过例子证明一个定理和光举几个例子试图证明一个定理之间有很大的区别。当然，大家都明白，这个视频的目的是鼓励小学生勇于思考，大胆创新，更近一步。但确实应该花一段篇幅把这层意思讲清楚。
謝謝老師，難得重溫一下小時候發現新世界的那種快樂，不要總是那麼害怕數學。我覺得，像老師這樣以學科不以恐嚇有心想學習學生的老師是最美的老師。
但是老師不把醜話說前頭，有時學生還會衝過頭。舉例：喜歡解題的同學，不要學得太高深，因為數學到後來都是證明題居多。
醒！年轻人们醒悟这个时代趋势。这个时代有这个时代的中华文字发展趋势！唤醒大家是时候让世界容易学习中文，跟上国际大成员的中华简体文字发展步伐，没有必要一直复杂复杂的旧体的繁体的。复杂旧体的繁体留给专家呀！ 群众聪明一起跟上中华近代文字发展步伐的简体中文,让世界容易学习，加油！
我对归纳演绎的说法非常赞同，作为李老师粉丝，不过我还是说一下这个证明的Gap：1. 边角边：这个在国内被称为公理，事实上只是欧几里得5大Axiom的推论。被称为定理等更加合适，因为不是最本质无法推导的东西。2. 坐标系假设（重要）：这是一个非常容易被忽略的假设。为什么这个假设成立？成立的前提是 从 R * R -> 到“平面”有个一对一的 “连续”映射。 反问小朋友一下，球面有这个映射存在码？不行吧，所以呢，这个其实是 欧几里得第五公理使用的地方。这个可不容易证明。其实综上看来，例证在这个里面其实不是三角形180度最核心本质的东西，更像是绕了一个大弯路，绕过了本质，故意套用的感觉。
不過，台灣好像常常這樣，真病假病混在一起，只要拿張病歷證明，不論真假，都享有公務員考試錄取優待的福利，考績一般都在各類團體的警告下被主管評選為甲等，沒啥主管敢對這些人給乙等或丙等的考評，怕被告，怕被說歧視啥的進行司法糾纏以致沒完沒了...於是，不論真病還是假病，這些人沒幾年官階就升級一等，沒幾年就在病歷證明與相關利益團體的護航下混上主管職，掌握龐大資源....有病沒病真病假病在本質上是不一樣，但是在套用的時候，看他們玩起來都是一個樣，好像也沒差多少，沒遇到像你這樣警覺性高的去踢到鐵板的話，一般都行得通~~.
@@user-bu2bu7xf9v 樓主說的是對的，然後人家在講數學你在講什麼李永樂老師說的是對的，只是繞了圈子而已不懂就別亂比喻，笑死這就跟拿量子物理跟道教經典作比喻一樣不知所謂
欧几里得五大公理只是公理体系之一，而且并不完备。希尔伯特曾经提出了20条完备公理体系，但过于复杂。中学教材里的边角边公理也是可以作为公理的，并不需要从欧几里得公理推出。
@@TchLiyongle 哈哈，终于拿到老师回复啦。开心！我记得就是解析几何这个东西的前提中学教材里确实没有，讲的话了比较复杂。另外期待老师讲讲最近的物理诺奖！
@@TchLiyongle 太棒了，我都想去上學。（我曾經是翹課學渣，原來是沒遇見名師！😜😜😜😜😜）
其实语言逻辑上也有deduction和induction的区别，李老师说得好，这两者之间是相互补充的关系。演绎用好了，就是一叶知秋；用坏了，就是以偏概全。
所以…兩岸的問題不論怎樣「演譯」或者「演譯」多久，最終必然是統一的~
感觉那个小朋友是最厉害的，知道所有答案但不说破
那个小朋友太「假」了🤣🤣🤣
很多這種例子 小孩做得與眾不同但不一定他是錯的
@@user-un3wk6cq8u說小朋友假 你再說 假嗎？
我觉得这是每个小朋友第一时间会想到的
小盆友应该问回老师，怎么证明一根直线 不是曲线。。
小朋友用觀察加思考作答，就算最後的答案是錯，也是值得鼓勵的，因為這是通往未知的答案。假我們只要答對已知的答案，人類是不會進步的。
李老師, 其實也可以只試一個數都可以証明恆等. 這個數需要非常大(與系數的和比較). 若放入很大的數, 第二和第三不能canel 的第一項. 若代入結果是0, Ax^2 + Bx + C 便是恆等於0.
不行的，这个方法的重点是例子的个数要足够多。一个例子是不够的。
這樣做應該是可以問題是沒有意義如果知道係數那就不用這個方法了直接拆出來恆等就好了
@@Steven-ov4no 這就是其中一個方法用計算機証明恆等的方法，這些A, B, C 是可以用一些方法找到上限，再安全一點，將這個上限再乘以10。這便可。不過，當中的方法，需要complex analysis 去証明。
李老師說的好🎉我自己的工作實例反證法是程式設計中常見的用法用不成立來限制電腦行為例證法就是if 函數的應用例子不需要多 因為i = num數值都可以是任意數當然範圍是在實數中
李永樂老師教學方法有趣有料,用科學方法解釋（以偏概全+一葉知秋）
謝謝老師 看看2岸3地的學生 來這後不在爭吵 . 反而討論學術 這裡顯然充滿和平
这不就钓到了
@@user-fs4vk4vc7z 南京大屠铩没把你铩掉，还是铩得太少
5:38写成了3x9=9😂
我觉得李永乐老师说的不对，虽然之前很多视频都挺赞同，但这个视频问题颇多。数学归纳法是具有普遍意义的严格推广，逻辑是没有漏洞的，而且是在某一个情况下单独进行归纳。但这种“举例子证明”的方法，显然不能算做是数学归纳法。这里面的“例子”，实际上是有一个隐含条件--例子数量比抽象的数学问题的多元函数根+1之后的乘积要多，这是利用了多元函数的根是有限的数量，而足够的例子可以利用“矛盾不成立”的反证法，得到例子证明该恒等式成立。这里面的核心是反证法，不是归纳法。如果一个学生不能明白三角形的内角和是180度，后续的几何知识会更难，基本不可能理解数形结合的多元方程、化简方程同时利用其根的数量有限，进而利用反证法在4个角取值去进行证明。李永乐老师最后使用的是4个角落的点，得到的是等腰直角三角形的内角和为180（4个根的组合，只有两个直角三角形，没有等边三角形）--该学生如果采用此方法举例子，也应该说等腰直角三角形在这个情况下是180度内角和，而且4种情况只能形成一种三角形（有2种情况没有形成三角形）。学生是不可能这样举例子的，这个时候的学生，甚至不知道需要几个例子。一般来说，证明三角形的内角和为180度，都是在几何上使用相似三角形，做平行线，利用内错角相等和直线夹角定义为180度（其实视频里的图也画出来了，只不过条件不同，没有用这个方法），就可以证明。这个问题很简单，理解也不难。但是采用“举例子”的方法证明，需要有“多元方程的根是有限的” “超过根的组合的例子”可以反证对应的方程是恒等式，这是简单问题复杂化，缘木求鱼，南辕北辙，甚至有点故弄玄虚，会让学生失去对科学的美的理解，甚至产生一些恐惧感。我们一直向北走，不改变方向，的确可以到达南极，因为地球是球形，这种南辕北辙，真不是我们所需要的。也许某些时候，我们需要舍近求远，曲折前进，这是归纳法的核心。但举例子不是这样的，举例子适合反证法--李永乐老师在此视频里面所使用的，其实核心也是反证法。（BTW，李永乐老师在视频里有一个3x9=9的书写小纰漏，老师居然没察觉，感觉是压力很大啊）
李永樂老師是透過一個簡單的問題去說明不同的思考方式，你只看這麼個問題當然說他是把簡單問題複雜化了，但這種證明思路推廣之後你會發現一堆難度爆表的數奧幾何問題都可以用能進行代數運算的電腦證明了。科學的美更不只是表面上的做法簡潔，我更認為從完全不同的思路去解決同個問題更是一種多樣性的美的體現。
@@432v01 问题的核心不只是简单问题复杂化，而是“反证法” 的内核，被当做归纳法，逻辑有问题。这里头容易把人绕晕，但仔细想，我觉得还是算反证法（用不能与既有的定理冲突，反推恒等式成立，但这个反推的条件是比较复杂的，并不是可以不断推广或者步步递推的），不能算归纳法或者递推法。
李永乐老师只是用例子说明例证法有时可用，不是任何情况都可用。尤其在其他科学如物理，只用演绎法无法推导出许多物理定律，只能用归纳法来证明物理定律的正确性。
反證法在很多定理都很實用感謝永樂老師的分享上大學後很多基本定理或是圖論的公式有超過8成都是用到反證法的概念的
老师讲的“例证法”背后需要“代数基本定理”的支撑。我是这么理解的。
例证法，难度不在于举例，而是凭什么举例。这个凭什么，就是定理。
引用其他定理是没问题的只要不改变公理系统
沒有假設，難以證明
昨天刷到一篇王小东的视频，里边针对例证法来大谈政治，我怎么就先天有点反感。然后又来看了李老师的视频，发现所罗列的例证法都是有基础数学理论的约束的，没毛病啊，根本就不是王小东说的什么美国为了政治正确照顾智商相对低下的学生，而对数学教育放水搞出来的教育方法。例证法很好，通过掌握更少的基础数学知识，能够找到一条证明更高深数学知识的简单方法有什么不好？反而可以让学生深刻理解基础公理的威力而对生活有所帮助。
而且还有一点其实老师并没有讲，如果你要证明三角形内角和为180°，你怎么能知道等腰直角三角形另外两个角都是45°的呢，因为一个角是90°是直角的定义，但是另两个角相等是等腰三角形的性质，但是你不能用（180-90）/2 去求得45°，因为180°是要求证的。我能想到的方法是通过反三角函数来求得，即tan底角的值为1，然后反函数得到底角为45°加180°的倍数，然后在通过内角小于180°可知为45°。
其實核心是解多元線性方程，而且裡面有些細節，例如要保證寫開後的方程組要互相獨立，要不然無法論證存在的解及是唯一，在低維的時候容易看出方程是否獨立，高維的時候就變得困難起來，至少會變成一個某個行列式的非零問題
這些例證的背後都是更嚴謹的定理，所以general來說我還是不同意直接用舉例法是正確的。以這題來說，邏輯順序是先說明代數基本定理跟三角形全等的性質，最後才能宣稱只要一個例子就能證畢。若憑空搬出一個例子就宣稱所有三角形內角和等於180度，那顯然就是老師說的以偏概全 (即使它是對的)
看到评论里很多人说SAS全等利用了内角和180证明。我们中学老师在讲全等条件的时候使用的是作图法，简单来说就是先做一个角，顶点为O, 然后圆规取长度a，交角的一边于点A, 再取长度b, 交角另一边于点B,O,A,B形成唯一的三角形，因此若两个三角形，一边长度为a，另一边长度为b，a,b夹角为角O,必然只能为同一个三角形，因此两个三角形全等。同理作图法证明SSS，ASA，AAS，等全等条件。SSA是不行的因为做角O, 取长度为a，交角一边于A, 再取长度b，以A为圆心做弧，会交角另一边于两点，此时做出两个三角形并不全等。即给定长度a,b和非夹角O,可以做出的两个不一样的三角形，因此不能当作全等条件。所以不知道以上的证明过程是哪里用到了内角和为180°这一结论，所以中学的数学认为全等条件为公理。
三角形内角和为180度，利用的是同位角相等的两条线平行的公里。边角边相等为全等三角形本身就利用了三角形内角和180度。
我觉得也是，SAS定理本身就需要证明。
@@zhangyang7282 但实际上SAS定理本身的证明不需要180度条件，《希尔伯特几何基础》里面用的是反证法
这两个例子都用到了代数基本定理，n次方程最多n个根，所以最多只需要举n+1个例子。但对于更一般的问题，没有理论支撑例子的上限在哪，所以举例子证明显然是不严谨的。
显然你的结论是不显然的
显然你没看完视频
中學時候常常對自己不會正規解法只能以代入法湊答案是行徑頗有罪惡感，現在看了李老師的視頻後，我的罪惡感頓時消失😂，謝謝李老師！
看了一分钟，不吐不快的是，遇到一个好老师可太重要了，要不然就会像视频中的学生一样，被大家耻笑，甚至留下一生的隐形，有些老师真的没有师德，不以教书育人为目标，净做些PUA学生，或者以权压人的行径，这才应当令人不齿，感谢好老师们，也庆幸我遇到的大多都是好老师。
讲数学证明应该先说清楚已知和未知，而不是某个地方需要了突然拿一个东西出来直接作为已知条件就开始乱推演一通，没有黑李老师的意思，往期视频很多也都挺喜欢的，只是这次的感觉太不严谨，不太好（比如证明代数基本定理需要什么条件，不需要因式分解吗？为了证明一个多项式的恒等式而拿出代数基本定理，会不会有循环论证呢？）
版主不是數學專業，所以搞錯基本觀念。一，請搞清楚多項式及多項式函數的根本區別，我從數學系畢業多年之後，才瞭解其根本區別。搞不清楚的話，大學代數白學了。二，不是代數基本定理，而是依照整域或整環(integral domain)的性質才能用例證法。請自行了解。
老师绝对没教过, 就算教过我也不会承认的 !
😅😅😅
三角形內角和並非都是180度。反例： 一架飛機從某非洲赤道國家飛到北極極點再飛到某亞洲赤道國家再飛回原地。 因為任何經線皆等長，所以其飛行路徑所形成之平面為等腰三角形。 又因為任何經線與赤道皆垂直，故等腰的兩個底角皆為90度，再加上極點的角度的話，內角和便大於180度了！
你说的这个是球面几何。。。
这。。。你举的例子也是有条件的啊，你还得找到并证明这些条件啊。比如x-y=0，你举三个例子，(1,1) (2,2) (3,3)，就证明它是恒等式了？
应该是举4个，期待李永乐老师答复
必须是固定x后取两个不同的y。
呃，既然都挪角了，挪到下边来不是直接就证出来了吗……内错角相等同位角相等不是比边角边更基础吗……
3*9=9是李老師講課到目前為止,有錯誤然後我又看出來的唯一一次
我只听说过3x9=3（地球上的星星）。
有错吗？
我記得他好像以前在講虛數的時候有加錯過3+5=7
@@philipha9104 3×3=9，筆誤了
我想了解更多關於演繹法和例證法兩者之間是如何在高等邏輯一致，有延伸閱讀資料嗎？
代数基本定理的证明要用到一些基本公式，而用它再去证明比如平方差公式有循环论证的嫌疑
取x和y值的时候，是不是需要保证计算的斜率不为0？
5:37 3*9=9老师做高难度的运算做多了简单的不会了
這種舉例子的方式讓我再也不敢舉例子了😂😂
为了解释一叶知秋和以偏概全，李老师也是拼了。。。
把问题转化成模空间上的函数 然后利用这个函数的刚性 转化成举例的问题
任意三角形abc三點, 在a點畫出一條和bc點平行的直線, 同位角証明abc三角相加等於直線等於180度, 好像不用先証明內角和?
老師，請問靠問圖可以証明？取一正方形，在內分一大正形，一小正方形和兩長方形。計算他們的關係，便可証明显X平方-Y平方=想象(x+y)(x-y); 同理亦可証明X平方+y平方的公式。
我前幾年小5就是這樣證明的，應該沒問題
X跟Y是負數怎麼辦
@@No4Baouzakeruga 負數平方=正數，這裡面X和Y只有平方的，所以應該沒問題
@@someone0623 那大正方形怎麼畫
@@No4Baouzakeruga 不知道。。應該你知道負負得正畫一個正數邊的正方形就OK了（e.g. X=-2 就畫一個變長2單位的正方形）
李老师讲的是思考方式开头的小朋友完全不会有李老师这种思考方式真的小学生或者初中生考试卷子上出现证明所有三角形内角和都是180度的题目你用一个等腰三角形和等边三角形为例来证明除非他把后面那一大串都写出来不然你看考试得不得分😂
李老师，有玩板的小朋友想问这两年比较好的陆冲板能扭动能前进的原理，还有双翘滑板豚跳ollie，尖翻等原理。谢谢🤟🤟🤟
归纳法让我想到了数学归纳法，当时高中的时候老师讲的我就听的有点云里雾里，总感觉证了又像没证。现在想起来发现的确有这种共通点，也是数学逻辑的妙思。
多元多项式那个定理不对吧。 比如一个二元多项式F(x1, x2) = x1 - x2, 我们有F(1, 1) = 0, F(2, 2) = 0, F(3, 3) = 0 等等无穷多个零解， 但是这个多项式并不恒等于零。关键是多元多项式没有代数学基本定理，可以有无穷多个解。
他说的是固定x或者y的情况下例证另一个n+1次--这种情况下相当于把其中一个当作常数，二元多项式变成一元就满足基本定理了。所以在你的例子里应该例证f(0,0) f(0,1) f(0,2)，显然不成立
讲到数学定理的证明。李老师可以出一期讲一讲100年前希尔伯特跟布劳威尔的争论，存在性是不是意味一定可以被构造。排中律够不够证明。
5:45 三乘九等于九？李老师是不是写错了，还是我没看懂‘’‘’‘’‘’‘
如何证明等腰直角三角形的内角和是180度？
讲得太投入真的会忘了错别字的存在😂3x9=9
所以证明哥德巴赫猜想的关键在于搞清楚质数和偶数之间的究极逻辑关系，这需要颠覆性的思想
也许哥德巴赫猜想是不对的，但是在一定范围内是对的，我们也可以直接使用。能不能证明，基本上在需要使用的时候都是可以直接使用哥德巴赫猜想的，实际中具体的数字中可以把它当做一个定理，因为能用到的数字，基本都可以拆解到哥德巴赫猜想的那个情况（目前确实没发现反例）。如果能用这种“举例子证明”，那哥德巴赫猜想早就被证明了，实际上根本行不通，哥德巴赫猜想的方程并不是那么复杂，“1+1” 和 “1+2” 能写出来的方程并不是无限的，但是数学归纳法无法应用。李永乐老师这里所讲述的“举例子”，核心是反证法（利用例子的数量大于方程的根的数量，证明恒等式成立，否则就矛盾），而不是数学归纳法。从这个角度来说，没法证明哥德巴赫猜想，基本可以宣告“举例子”这个做法是没法作为严格的归纳法。例证法，一般是用于反证法，能找到反例就证明不成立。
全等不是用内角定理推出的吗？ 这么讲不是又把结论当前提了？？
邊角邊全等角是對頂角 一定相等
讲得好。第一次听说。不过这种例证法本质上还属于演绎法，是基于一元n次方程有n个根这个基础的演绎推理。并不是真正的归纳法，也不是归纳法与演绎法的综合。
老師，能講講這次的諾貝爾物理獎嗎？新聞講的都看不懂，什麼貝爾不等式，量子糾纏。拜託
这节课醍醐灌顶…没错我之前就是那个会嘲笑别人只会举例子的人 现在知错了李老师
中学生最重要的概念升级就是学会“数学证明”是个什么东西，而不是只会举例子。这个视频真的误导人。
！太有用了，最近做算法题，其实发现了一些规律，但是因为给不出一个逻辑上的证明就觉得自己找到的规律是错的
几十年来第一次知道这个知识点，感谢李老师
感觉全等三角形的边边角是定理而不是公理。欧式几何只有5个公理。全等三角形边边角是利用了三角形内角和180的定理，有循环证明的嫌疑。
老师，最近 赵文卓 踢剑 的视频比较火，大家都在论它的真假，我结合自己的知识总认为无法做到，老师是否可以根据数学与物理的知识，评估下 是否有这样的可能性。就是横向施加一个力到一个旋转的棍子的1/3处，棍子会垂直向上飞起。
可以的，能理解到这个层面，已经很厉害了。
讲讲 量子纠缠呀》 小朋友想知道这个。 系统的讲一下，这次证明对现代科学有哪些影响，对现代科技还会有哪些影响，小朋友想知道。想学习
那在三角形内角和等于180度待证的情况下，怎么证明等腰直角三角形的内角和是180度呢？
实践是检验真理正确与否的唯一标准，这里的真理主要说的是社会科学
感谢李老师 希望国内多一些李老师这样的知识丰富的老师 也多一些有创造力又可以刨根问底的学生
可以拜託李老師解說有關德布羅意的物質波嗎
想起以前学数学的时候，我经常用直觉加推测得出答案后，再通过答案反推过程，这个过程代入其他数值，也可以得到相应的答案，然后十次有九次是被老师说答案对但是过程不对，但是问起老师过程错在哪，很多时候都得不到一个让我信服的解释。
这个一叶知秋很明显的超出了小朋友的理解范围，很容易跟以偏概全相互混淆，所以老师没教也是对的，我们也不应该鼓励让真·小朋友去学习和使用。
絕對不能教的啊，除非課程內容教完還有很多很多很多時間，但是會想聽的太少了，其他人估計會神遊
“射手”假说:有一名神枪手，在一个靶子上每隔十厘米打一个洞。 设想这个靶子的平面上生活着一种二维智能生物，它们中的科学家在对自己的宇宙进行观察后，发现了一个伟大的定律:“宇宙每隔十厘 米，必然会有一个洞。”它们把这个神枪手一时兴起的随意行为，看成了自己宇宙中的铁律。 “农场主假说”:一个农场里有一群 火鸡，农场主每天中午十一点来给它们喂食。火鸡中的一名科学家观察这个现象，一直观察了近一年都没有例外，于是它也发现了自己宇宙中 的伟大定律:“每天上午十一点，就有食物降临。”它在感恩节早晨向火鸡们公布了这个定律，但这天上午十一点食物没有降临，农场主进来把它们都捉去杀了。
當我們發現世上所有的定理，其實都是魔法😅
最后有提到：归纳法的证明需要有逻辑支撑。你说的这些假说都是单纯的归纳，并没有逻辑支撑，自然也就站不住脚
不是看了本三体就天下无敌了
@@NicZhang_14 无敌与否不重要，至少你无法证明假说为假。。而以往许多看似坚不可摧的结论定理，随着时间被证伪了，比如120年前人类还认为时空均匀分布，70年前还认为宇称完全守恒。。
所以本質上講科學就是確立一種信仰的手段而已，並不是真理的本體。這個哲學問題其實已經存在很久了
共線我的直覺就是斜率相等
为此啊，他感觉到非常羞愧，一连几天都抬不起头。但是啊，我要告诉这位小朋友的是，你的做法其实是对的，就应该低着头一连羞愧好几天😂
这个很有意思，问题是很多问题未必可以转化为多项式问题比如NP问题，想要用例证法必须证明问题本身可以转化为多项式问题。
我认为讲的太好了。i think it is awesome speaking
李老师，赵文卓空中踢刀的视频通过慢放来看，刀绕着重心旋转、且重心已经开始下落的情况下，踢刀的一脚从方向上来看并无向上的分量，而刀的整体却再次上扬。请问这是怎样做到的呢？
李老师，有人说赵文卓踢剑表演是反物理，有时间讲讲呗
以三角形的外心劃一個三角形的外接圓 三角形的三角和等於一個圓周的圓周角和 180 度
感覺這些根本談不上是獨立的方法，就是反證法的一部分。獨立出來取個名字感覺有點無聊。受此啓發，我也可以發明方法，比如用高斯求和法做1+2+...+100.我先用高斯做2+3+...+99，然後再加101. 這個做法獨樹一幟，取名為掐頭去尾高斯求和法。LOL
great presentation, applause from hongkong
高中一开始介绍比较复杂的函数时 老师就用例证法呀 算出很多个点 画在坐标上 练成线就是函数曲线了嘛
啊，以前我也想过这个问题。我当时想的是在三角形中随便一个顶点，然后做一条与底边平行的线。根据平行角相等、三个内角和是一个平角。所以是 180 度，是我想太简单了吗？
李老師,能不能說一下今年的諾貝爾獎嗎?
幾何學裡的三角形內角之和為180度 是不能用舉例或測量證明的 理由如下 幾何學是完全抽象的 是根據兩個假設 1 兩個平行線永遠不向交 2 直線的角度為180 度 用邏輯推導出來的 是絕對的 在幾何學裡線的寬度是0 這在實際物理世界中不存在的 如果你可以去測量 那麼你的測量儀器是什麼 精度是多少？ 如果是在一個球面如地球那麽內角一定大於180 度
0:00，字幕出現「我是李永樂的老師」差點想說：你這個人太假了🤣🤣🤣
有个问题，倒是跟例证法本身无关。那就是如何在不用“三角形内角和等于180度”这个性质，得到“等边三角形和等腰直角三角形的内角和等于180度”这两个结论呢？
經歷了一場邏輯饗宴，感謝李永樂老師
这不是纯代数证明，证明过程中仍然用了几何定理（全等三角形）。如果用纯代数的话，就要用到三角函数，就不是多项式了。另外，（0， 0）不能作为例子，因为它不构成三角形
感觉是循环论证。都用上多项式的根数量等于次数的结论了，还需要证明多项式展开式？
這一集好棒啊，看了好舒服
神奇，太神奇了中國的數學教育很少將舉例子視為證明方式的但這期視頻證明了這樣做有何不可呢李老師的神奇黑板
說的是，不過，二戰後，東亞地區教育家普遍採用愚民政策在捆縛人們的腦袋、壓縮人們的思考空間不是嗎？那些吃裡扒外的教育專家與情治單位打一開始就架構偽知識體系在浪費他人生命為樂事、把那些接受其出版資料洗腦的人耍得團團轉，不是嗎？在東亞各地區間徹底實施的資訊封殺跟愚民政策這些點你別漏了才好呀！畢竟，閣下是要吸引富裕階級與菁英份子海外留學或移民置產才有利頭錢賺的不是嗎？海內外教育體系的良窳對比可是吸納移民與各界菁英份子的一大賣點呢！井底之蛙、孤陋寡聞、偏知偏見...這些都是二戰後東亞各地區官辦與民辦學校教育一貫的特色，那些中文圈的教育專家唱黑臉以搞砸人們對中文圈出版界生產出來的資料信任度為目標，而你們不是應該唱白臉，抓緊機會強調海外留學具備真實可靠、輕鬆自由、及作研究可爭取資源挹注（只是可能賠上了技術專利權而不自知、像台積電張忠謀被德州儀器高管聯手設局坑了那樣）...這些優越性嗎？.
这办法太非主流了,对初中生难度可真不低.
例证法对使用者有个很严格的要求：知识广度足以举出恰当的例子这就很难……
@@fuckgooglefuckusa 呵呵，知识广度要足以证明 例证法适用于 当前的问题。
这节课 听了 对 Rhino + Grasshopper 多曲面生成编程 有帮助
虽然说举例子可以证明一些事情，但是想要正确使用，这背后其实代表着扎实的学术水平，一般的学生是无法正确掌握并灵活应用在新场景上的。
07:31 三角形内角和180° 这个证明过程是有漏洞的。边角边全等三角形是定理，不是公理。边角边全等三角形定理成立的前提是所有三角形的内角和相等（不一定要是180度）。另外，整个解释几何都是建立在勾股定理上的，而勾股定理是建立在三角形内角和180度上的。一上来，就是循环证明了。所以说，无论是反证法还是例证法，使用起来要非常非常的小心。一个不小心，就会陷入循环证明。我建议，李老师重新做着一个视频来介绍例证法。而且要跟小朋友们说清楚，这种方法使用时的危险和麻烦。不要鼓励中学阶段的孩子使用这种方法。
李老师讲的是思考方式开头的小朋友完全不会有李老师这种思考方式真的初中生哪里搞得清楚什么时候能用例证法，什么时候不能用真的小学生或者初中生考试卷子上出现证明所有三角形内角和都是180度的题目他用一个等腰三角形和等边三角形为例来证明除非他把后面那一大串都写出来不然你看考试得不得分😂不得分难道让改卷老师看李老师的视频？
@@304394254 说的就是思考方式。反证法、例证法这些东西，用起来要很小心。稍不注意，就陷入循环论证。介绍给小朋友时，要把陷阱讲清楚。
想問這與identity theorem是否相關？
感覺……就是為了讓例子也能證明，加繞了幾個圈，
顶一个，终于看到一个我能大致看懂的李老师的教学视频了
能用演绎法证明的叫一叶知秋，不能用演绎法证明的叫以偏概全。那么最终还是需要演绎法证明啊，不是吗？
李老师为何没主持今晚的诺奖化学奖直播讨论？
还有，李老师对三角形内角和是180°的证明，所举的例子不失一般性，对C点的选取是任意的，因此是完成了对所有情况的归纳，而不是枚举。
全能的李永乐老师啥时候聊聊尼安德特人，聊聊今年诺贝尔奖。
能否证明这个三点共线式不蕴含欧几里得内积形式？否则就是循环论证
这个3*9=9真的太吸引我的目光了
一叶知秋和以偏概全，总结的太好了！
证明三角形内角和180°用到了三角形全等，后者是根据“边角边”推导出的全等，然而，当不承认内角和为180°时，“边角边→全等”并不显然。真要讲逻辑，恐怕李老师还需要给出一个不依赖“三角形内角和为180°”的“边角边→全等”的证明。注意到，全等的定义包含三个角都相等，这恐怕至少要依赖“三角形的内角和都想等”。若我们承认“三角形内角和都想等”，在证明此值是180°，则可以举例证明，但过于无趣。
在初中教材里，边角边全等是公理
在不知道三角形内角和是180°的前提下，怎么得出正三角形每个角都是60°的
如果假设一个圆的角度是420度，那么等边三角形的一个内角就是70度。正三角形的内角的三倍一定是一直线，对这个例子来说就是210度。
很尊重李老师和真正看懂视频内容的观众。
我查阅了本视频提及洪加威“几何例证法”论文《能用例证法来证明几何定理吗》，为了使得例证法证明严格，证明过程依赖视频中所省略的几何作图语句、自由度、计算精确度等概念，而视频中将几何问题转换为代数问题的过程就是上述省略内容的核心。
所以仅凭“一个三角形内角和是180°”这一句话证明“所有三角形内角和是180°”自然没有任何数学工作者会认为证明严格，甚至正确的。
能理解上述概念的读者数学水平自然能区分推理、归纳和例证的区别。希望目前尚不能区分的小学家长不要错误理解“几何例证法证明的严格性”来上升到哲学高度，更不要以此教育小孩，干扰学校老师教学。
李老师的方法是针对有逻辑思维的家长和能理解的孩子的，最后的解说甚至上升到了哲学的层次。对于尚未形成数学思维或者不求甚解的孩子，这套理论确实要小心使用，怕带偏了。
是的，以第一個一元二次多項式而言，因為有代數基本定理，才可以僅取三個正確的例子，就算證明完畢。太強調『舉幾個例子正確就能得證』的想法，容易誤導學生。
本质上视频中方法是反证法，即演绎法的一种，是严格地。李永乐确实应该说清楚，可以通过例子证明一个定理和光举几个例子试图证明一个定理之间有很大的区别。
当然，大家都明白，这个视频的目的是鼓励小学生勇于思考，大胆创新，更近一步。但确实应该花一段篇幅把这层意思讲清楚。
謝謝老師，難得重溫一下小時候發現新世界的那種快樂，不要總是那麼害怕數學。我覺得，像老師這樣以學科不以恐嚇有心想學習學生的老師是最美的老師。
但是老師不把醜話說前頭，有時學生還會衝過頭。舉例：喜歡解題的同學，不要學得太高深，因為數學到後來都是證明題居多。
醒！年轻人们醒悟这个时代趋势。这个时代有这个时代的中华文字发展趋势！唤醒大家是时候让世界容易学习中文，跟上国际大成员的中华简体文字发展步伐，没有必要一直复杂复杂的旧体的繁体的。复杂旧体的繁体留给专家呀！ 群众聪明一起跟上中华近代文字发展步伐的简体中文,让世界容易学习，加油！
我对归纳演绎的说法非常赞同，作为李老师粉丝，不过我还是说一下这个证明的Gap：
1. 边角边：这个在国内被称为公理，事实上只是欧几里得5大Axiom的推论。被称为定理等更加合适，因为不是最本质无法推导的东西。
2. 坐标系假设（重要）：这是一个非常容易被忽略的假设。为什么这个假设成立？成立的前提是 从 R * R -> 到“平面”有个一对一的 “连续”映射。 反问小朋友一下，球面有这个映射存在码？不行吧，所以呢，这个其实是 欧几里得第五公理使用的地方。这个可不容易证明。
其实综上看来，例证在这个里面其实不是三角形180度最核心本质的东西，更像是绕了一个大弯路，绕过了本质，故意套用的感觉。
不過，台灣好像常常這樣，真病假病混在一起，只要拿張病歷證明，不論真假，都享有公務員考試錄取優待的福利，考績一般都在各類團體的警告下被主管評選為甲等，沒啥主管敢對這些人給乙等或丙等的考評，怕被告，怕被說歧視啥的進行司法糾纏以致沒完沒了...
於是，
不論真病還是假病，這些人沒幾年官階就升級一等，沒幾年就在病歷證明與相關利益團體的護航下混上主管職，掌握龐大資源....
有病沒病真病假病在本質上是不一樣，但是在套用的時候，看他們玩起來都是一個樣，好像也沒差多少，沒遇到像你這樣警覺性高的去踢到鐵板的話，一般都行得通~~
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@@user-bu2bu7xf9v
樓主說的是對的，然後人家在講數學你在講什麼
李永樂老師說的是對的，只是繞了圈子而已
不懂就別亂比喻，笑死
這就跟拿量子物理跟道教經典作比喻一樣不知所謂
欧几里得五大公理只是公理体系之一，而且并不完备。希尔伯特曾经提出了20条完备公理体系，但过于复杂。中学教材里的边角边公理也是可以作为公理的，并不需要从欧几里得公理推出。
@@TchLiyongle 哈哈，终于拿到老师回复啦。开心！我记得就是解析几何这个东西的前提中学教材里确实没有，讲的话了比较复杂。另外期待老师讲讲最近的物理诺奖！
@@TchLiyongle 太棒了，我都想去上學。（我曾經是翹課學渣，原來是沒遇見名師！😜😜😜😜😜）
其实语言逻辑上也有deduction和induction的区别，李老师说得好，这两者之间是相互补充的关系。演绎用好了，就是一叶知秋；用坏了，就是以偏概全。
所以…兩岸的問題不論怎樣「演譯」或者「演譯」多久，最終必然是統一的~
感觉那个小朋友是最厉害的，知道所有答案但不说破
那个小朋友太「假」了🤣🤣🤣
很多這種例子 小孩做得與眾不同
但不一定他是錯的
@@user-un3wk6cq8u
說小朋友假 你再說 假嗎？
我觉得这是每个小朋友第一时间会想到的
小盆友应该问回老师，怎么证明一根直线 不是曲线。。
小朋友用觀察加思考作答，就算最後的答案是錯，也是值得鼓勵的，因為這是通往未知的答案。假我們只要答對已知的答案，人類是不會進步的。
李老師, 其實也可以只試一個數都可以証明恆等. 這個數需要非常大(與系數的和比較). 若放入很大的數, 第二和第三不能canel 的第一項. 若代入結果是0, Ax^2 + Bx + C 便是恆等於0.
不行的，这个方法的重点是例子的个数要足够多。一个例子是不够的。
這樣做應該是可以
問題是沒有意義
如果知道係數那就不用這個方法了
直接拆出來恆等就好了
@@Steven-ov4no 這就是其中一個方法用計算機証明恆等的方法，這些A, B, C 是可以用一些方法找到上限，再安全一點，將這個上限再乘以10。這便可。不過，當中的方法，需要complex analysis 去証明。
李老師說的好🎉
我自己的工作實例
反證法是程式設計中常見的用法
用不成立來限制電腦行為
例證法就是if 函數的應用
例子不需要多 因為i = num
數值都可以是任意數
當然範圍是在實數中
李永樂老師教學方法有趣有料,用科學方法解釋（以偏概全+一葉知秋）
謝謝老師 看看2岸3地的學生 來這後不在爭吵 . 反而討論學術 這裡顯然充滿和平
这不就钓到了
@@user-fs4vk4vc7z 南京大屠铩没把你铩掉，还是铩得太少
5:38写成了3x9=9😂
我觉得李永乐老师说的不对，虽然之前很多视频都挺赞同，但这个视频问题颇多。
数学归纳法是具有普遍意义的严格推广，逻辑是没有漏洞的，而且是在某一个情况下单独进行归纳。
但这种“举例子证明”的方法，显然不能算做是数学归纳法。这里面的“例子”，实际上是有一个隐含条件--例子数量比抽象的数学问题的多元函数根+1之后的乘积要多，这是利用了多元函数的根是有限的数量，而足够的例子可以利用“矛盾不成立”的反证法，得到例子证明该恒等式成立。这里面的核心是反证法，不是归纳法。
如果一个学生不能明白三角形的内角和是180度，后续的几何知识会更难，基本不可能理解数形结合的多元方程、化简方程同时利用其根的数量有限，进而利用反证法在4个角取值去进行证明。李永乐老师最后使用的是4个角落的点，得到的是等腰直角三角形的内角和为180（4个根的组合，只有两个直角三角形，没有等边三角形）--该学生如果采用此方法举例子，也应该说等腰直角三角形在这个情况下是180度内角和，而且4种情况只能形成一种三角形（有2种情况没有形成三角形）。学生是不可能这样举例子的，这个时候的学生，甚至不知道需要几个例子。
一般来说，证明三角形的内角和为180度，都是在几何上使用相似三角形，做平行线，利用内错角相等和直线夹角定义为180度（其实视频里的图也画出来了，只不过条件不同，没有用这个方法），就可以证明。这个问题很简单，理解也不难。
但是采用“举例子”的方法证明，需要有“多元方程的根是有限的” “超过根的组合的例子”可以反证对应的方程是恒等式，这是简单问题复杂化，缘木求鱼，南辕北辙，甚至有点故弄玄虚，会让学生失去对科学的美的理解，甚至产生一些恐惧感。
我们一直向北走，不改变方向，的确可以到达南极，因为地球是球形，这种南辕北辙，真不是我们所需要的。
也许某些时候，我们需要舍近求远，曲折前进，这是归纳法的核心。但举例子不是这样的，举例子适合反证法--李永乐老师在此视频里面所使用的，其实核心也是反证法。
（BTW，李永乐老师在视频里有一个3x9=9的书写小纰漏，老师居然没察觉，感觉是压力很大啊）
李永樂老師是透過一個簡單的問題去說明不同的思考方式，你只看這麼個問題當然說他是把簡單問題複雜化了，但這種證明思路推廣之後你會發現一堆難度爆表的數奧幾何問題都可以用能進行代數運算的電腦證明了。科學的美更不只是表面上的做法簡潔，我更認為從完全不同的思路去解決同個問題更是一種多樣性的美的體現。
@@432v01 问题的核心不只是简单问题复杂化，而是“反证法” 的内核，被当做归纳法，逻辑有问题。这里头容易把人绕晕，但仔细想，我觉得还是算反证法（用不能与既有的定理冲突，反推恒等式成立，但这个反推的条件是比较复杂的，并不是可以不断推广或者步步递推的），不能算归纳法或者递推法。
李永乐老师只是用例子说明例证法有时可用，不是任何情况都可用。尤其在其他科学如物理，只用演绎法无法推导出许多物理定律，只能用归纳法来证明物理定律的正确性。
反證法在很多定理都很實用
感謝永樂老師的分享
上大學後很多基本定理或是圖論的公式
有超過8成都是用到反證法的概念的
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老师讲的“例证法”背后需要“代数基本定理”的支撑。我是这么理解的。
例证法，难度不在于举例，而是凭什么举例。这个凭什么，就是定理。
引用其他定理是没问题的只要不改变公理系统
沒有假設，難以證明
昨天刷到一篇王小东的视频，里边针对例证法来大谈政治，我怎么就先天有点反感。然后又来看了李老师的视频，发现所罗列的例证法都是有基础数学理论的约束的，没毛病啊，根本就不是王小东说的什么美国为了政治正确照顾智商相对低下的学生，而对数学教育放水搞出来的教育方法。例证法很好，通过掌握更少的基础数学知识，能够找到一条证明更高深数学知识的简单方法有什么不好？反而可以让学生深刻理解基础公理的威力而对生活有所帮助。
而且还有一点其实老师并没有讲，如果你要证明三角形内角和为180°，你怎么能知道等腰直角三角形另外两个角都是45°的呢，因为一个角是90°是直角的定义，但是另两个角相等是等腰三角形的性质，但是你不能用（180-90）/2 去求得45°，因为180°是要求证的。我能想到的方法是通过反三角函数来求得，即tan底角的值为1，然后反函数得到底角为45°加180°的倍数，然后在通过内角小于180°可知为45°。
其實核心是解多元線性方程，而且裡面有些細節，例如要保證寫開後的方程組要互相獨立，要不然無法論證存在的解及是唯一，在低維的時候容易看出方程是否獨立，高維的時候就變得困難起來，至少會變成一個某個行列式的非零問題
這些例證的背後都是更嚴謹的定理，所以general來說我還是不同意直接用舉例法是正確的。
以這題來說，邏輯順序是先說明代數基本定理跟三角形全等的性質，最後才能宣稱只要一個例子就能證畢。
若憑空搬出一個例子就宣稱所有三角形內角和等於180度，那顯然就是老師說的以偏概全 (即使它是對的)
看到评论里很多人说SAS全等利用了内角和180证明。我们中学老师在讲全等条件的时候使用的是作图法，简单来说就是先做一个角，顶点为O, 然后圆规取长度a，交角的一边于点A, 再取长度b, 交角另一边于点B,O,A,B形成唯一的三角形，因此若两个三角形，一边长度为a，另一边长度为b，a,b夹角为角O,必然只能为同一个三角形，因此两个三角形全等。同理作图法证明SSS，ASA，AAS，等全等条件。SSA是不行的因为做角O, 取长度为a，交角一边于A, 再取长度b，以A为圆心做弧，会交角另一边于两点，此时做出两个三角形并不全等。即给定长度a,b和非夹角O,可以做出的两个不一样的三角形，因此不能当作全等条件。所以不知道以上的证明过程是哪里用到了内角和为180°这一结论，所以中学的数学认为全等条件为公理。
三角形内角和为180度，利用的是同位角相等的两条线平行的公里。边角边相等为全等三角形本身就利用了三角形内角和180度。
我觉得也是，SAS定理本身就需要证明。
@@zhangyang7282 但实际上SAS定理本身的证明不需要180度条件，《希尔伯特几何基础》里面用的是反证法
这两个例子都用到了代数基本定理，n次方程最多n个根，所以最多只需要举n+1个例子。但对于更一般的问题，没有理论支撑例子的上限在哪，所以举例子证明显然是不严谨的。
显然你的结论是不显然的
显然你没看完视频
中學時候常常對自己不會正規解法只能以代入法湊答案是行徑頗有罪惡感，現在看了李老師的視頻後，我的罪惡感頓時消失😂，謝謝李老師！
醒！年轻人们醒悟这个时代趋势。这个时代有这个时代的中华文字发展趋势！唤醒大家是时候让世界容易学习中文，跟上国际大成员的中华简体文字发展步伐，没有必要一直复杂复杂的旧体的繁体的。复杂旧体的繁体留给专家呀！ 群众聪明一起跟上中华近代文字发展步伐的简体中文,让世界容易学习，加油！
看了一分钟，不吐不快的是，遇到一个好老师可太重要了，要不然就会像视频中的学生一样，被大家耻笑，甚至留下一生的隐形，有些老师真的没有师德，不以教书育人为目标，净做些PUA学生，或者以权压人的行径，这才应当令人不齿，感谢好老师们，也庆幸我遇到的大多都是好老师。
讲数学证明应该先说清楚已知和未知，而不是某个地方需要了突然拿一个东西出来直接作为已知条件就开始乱推演一通，没有黑李老师的意思，往期视频很多也都挺喜欢的，只是这次的感觉太不严谨，不太好（比如证明代数基本定理需要什么条件，不需要因式分解吗？为了证明一个多项式的恒等式而拿出代数基本定理，会不会有循环论证呢？）
版主不是數學專業，所以搞錯基本觀念。
一，請搞清楚多項式及多項式函數的根本區別，我從數學系畢業多年之後，才瞭解其根本區別。搞不清楚的話，大學代數白學了。
二，不是代數基本定理，而是依照整域或整環(integral domain)的性質才能用例證法。請自行了解。
老师绝对没教过, 就算教过我也不会承认的 !
😅😅😅
三角形內角和並非都是180度。
反例： 一架飛機從某非洲赤道國家飛到北極極點再飛到某亞洲赤道國家再飛回原地。
因為任何經線皆等長，所以其飛行路徑所形成之平面為等腰三角形。
又因為任何經線與赤道皆垂直，故等腰的兩個底角皆為90度，再加上極點的角度的話，內角和便大於180度了！
你说的这个是球面几何。。。
这。。。你举的例子也是有条件的啊，你还得找到并证明这些条件啊。比如x-y=0，你举三个例子，(1,1) (2,2) (3,3)，就证明它是恒等式了？
应该是举4个，期待李永乐老师答复
必须是固定x后取两个不同的y。
呃，既然都挪角了，挪到下边来不是直接就证出来了吗……内错角相等同位角相等不是比边角边更基础吗……
3*9=9是李老師講課到目前為止,有錯誤然後我又看出來的唯一一次
我只听说过3x9=3（地球上的星星）。
有错吗？
我記得他好像以前在講虛數的時候有加錯過3+5=7
@@philipha9104 3×3=9，筆誤了
我想了解更多關於演繹法和例證法兩者之間是如何在高等邏輯一致，有延伸閱讀資料嗎？
代数基本定理的证明要用到一些基本公式，而用它再去证明比如平方差公式有循环论证的嫌疑
取x和y值的时候，是不是需要保证计算的斜率不为0？
5:37 3*9=9
老师做高难度的运算做多了简单的不会了
這種舉例子的方式讓我再也不敢舉例子了😂😂
为了解释一叶知秋和以偏概全，李老师也是拼了。。。
把问题转化成模空间上的函数 然后利用这个函数的刚性 转化成举例的问题
任意三角形abc三點, 在a點畫出一條和bc點平行的直線, 同位角証明abc三角相加等於直線等於180度, 好像不用先証明內角和?
老師，請問靠問圖可以証明？取一正方形，在內分一大正形，一小正方形和兩長方形。計算他們的關係，便可証明显X平方-Y平方=想象(x+y)(x-y); 同理亦可証明
X平方+y平方的公式。
我前幾年小5就是這樣證明的，應該沒問題
X跟Y是負數怎麼辦
@@No4Baouzakeruga 負數平方=正數，這裡面X和Y只有平方的，所以應該沒問題
@@someone0623 那大正方形怎麼畫
@@No4Baouzakeruga 不知道。。應該你知道負負得正畫一個正數邊的正方形就OK了（e.g. X=-2 就畫一個變長2單位的正方形）
李老师讲的是思考方式
开头的小朋友完全不会有李老师这种思考方式
真的小学生或者初中生考试卷子上出现证明所有三角形内角和都是180度的题目
你用一个等腰三角形和等边三角形为例来证明
除非他把后面那一大串都写出来
不然你看考试得不得分😂
李老师，有玩板的小朋友想问这两年比较好的陆冲板能扭动能前进的原理，还有双翘滑板豚跳ollie，尖翻等原理。谢谢🤟🤟🤟
归纳法让我想到了数学归纳法，当时高中的时候老师讲的我就听的有点云里雾里，总感觉证了又像没证。现在想起来发现的确有这种共通点，也是数学逻辑的妙思。
多元多项式那个定理不对吧。 比如一个二元多项式F(x1, x2) = x1 - x2, 我们有F(1, 1) = 0, F(2, 2) = 0, F(3, 3) = 0 等等无穷多个零解， 但是这个多项式并不恒等于零。关键是多元多项式没有代数学基本定理，可以有无穷多个解。
他说的是固定x或者y的情况下例证另一个n+1次--这种情况下相当于把其中一个当作常数，二元多项式变成一元就满足基本定理了。所以在你的例子里应该例证f(0,0) f(0,1) f(0,2)，显然不成立
讲到数学定理的证明。李老师可以出一期讲一讲100年前希尔伯特跟布劳威尔的争论，存在性是不是意味一定可以被构造。排中律够不够证明。
5:45 三乘九等于九？李老师是不是写错了，还是我没看懂‘’‘’‘’‘’‘
如何证明等腰直角三角形的内角和是180度？
讲得太投入真的会忘了错别字的存在😂3x9=9
所以证明哥德巴赫猜想的关键在于搞清楚质数和偶数之间的究极逻辑关系，这需要颠覆性的思想
也许哥德巴赫猜想是不对的，但是在一定范围内是对的，我们也可以直接使用。
能不能证明，基本上在需要使用的时候都是可以直接使用哥德巴赫猜想的，实际中具体的数字中可以把它当做一个定理，因为能用到的数字，基本都可以拆解到哥德巴赫猜想的那个情况（目前确实没发现反例）。
如果能用这种“举例子证明”，那哥德巴赫猜想早就被证明了，实际上根本行不通，哥德巴赫猜想的方程并不是那么复杂，“1+1” 和 “1+2” 能写出来的方程并不是无限的，但是数学归纳法无法应用。
李永乐老师这里所讲述的“举例子”，核心是反证法（利用例子的数量大于方程的根的数量，证明恒等式成立，否则就矛盾），而不是数学归纳法。
从这个角度来说，没法证明哥德巴赫猜想，基本可以宣告“举例子”这个做法是没法作为严格的归纳法。
例证法，一般是用于反证法，能找到反例就证明不成立。
全等不是用内角定理推出的吗？ 这么讲不是又把结论当前提了？？
邊角邊全等
角是對頂角 一定相等
讲得好。第一次听说。不过这种例证法本质上还属于演绎法，是基于一元n次方程有n个根这个基础的演绎推理。并不是真正的归纳法，也不是归纳法与演绎法的综合。
老師，能講講這次的諾貝爾物理獎嗎？新聞講的都看不懂，什麼貝爾不等式，量子糾纏。拜託
这节课醍醐灌顶…没错我之前就是那个会嘲笑别人只会举例子的人 现在知错了李老师
中学生最重要的概念升级就是学会“数学证明”是个什么东西，而不是只会举例子。
这个视频真的误导人。
！太有用了，最近做算法题，其实发现了一些规律，但是因为给不出一个逻辑上的证明就觉得自己找到的规律是错的
几十年来第一次知道这个知识点，感谢李老师
感觉全等三角形的边边角是定理而不是公理。欧式几何只有5个公理。全等三角形边边角是利用了三角形内角和180的定理，有循环证明的嫌疑。
老师，最近 赵文卓 踢剑 的视频比较火，大家都在论它的真假，我结合自己的知识总认为无法做到，老师是否可以根据数学与物理的知识，评估下 是否有这样的可能性。就是横向施加一个力到一个旋转的棍子的1/3处，棍子会垂直向上飞起。
可以的，能理解到这个层面，已经很厉害了。
讲讲 量子纠缠呀》 小朋友想知道这个。 系统的讲一下，这次证明对现代科学有哪些影响，对现代科技还会有哪些影响，小朋友想知道。想学习
那在三角形内角和等于180度待证的情况下，怎么证明等腰直角三角形的内角和是180度呢？
实践是检验真理正确与否的唯一标准，这里的真理主要说的是社会科学
感谢李老师 希望国内多一些李老师这样的知识丰富的老师 也多一些有创造力又可以刨根问底的学生
可以拜託李老師解說有關德布羅意的物質波嗎
想起以前学数学的时候，我经常用直觉加推测得出答案后，再通过答案反推过程，这个过程代入其他数值，也可以得到相应的答案，然后十次有九次是被老师说答案对但是过程不对，但是问起老师过程错在哪，很多时候都得不到一个让我信服的解释。
这个一叶知秋很明显的超出了小朋友的理解范围，很容易跟以偏概全相互混淆，所以老师没教也是对的，我们也不应该鼓励让真·小朋友去学习和使用。
絕對不能教的啊，除非課程內容教完還有很多很多很多時間，但是會想聽的太少了，其他人估計會神遊
“射手”假说:
有一名神枪手，在一个靶子上每隔十厘米打一个洞。 设想这个靶子的平面上生活着一种二维智能生物，它们中的科学家在对自己的宇宙进行观察后，发现了一个伟大的定律:“宇宙每隔十厘 米，必然会有一个洞。”它们把这个神枪手一时兴起的随意行为，看成了自己宇宙中的铁律。
“农场主假说”:
一个农场里有一群 火鸡，农场主每天中午十一点来给它们喂食。火鸡中的一名科学家观察这个现象，一直观察了近一年都没有例外，于是它也发现了自己宇宙中 的伟大定律:“每天上午十一点，就有食物降临。”它在感恩节早晨向火鸡们公布了这个定律，但这天上午十一点食物没有降临，农场主进来把它们都捉去杀了。
當我們發現世上所有的定理，其實都是魔法😅
最后有提到：归纳法的证明需要有逻辑支撑。你说的这些假说都是单纯的归纳，并没有逻辑支撑，自然也就站不住脚
不是看了本三体就天下无敌了
@@NicZhang_14 无敌与否不重要，至少你无法证明假说为假。。
而以往许多看似坚不可摧的结论定理，随着时间被证伪了，比如120年前人类还认为时空均匀分布，70年前还认为宇称完全守恒。。
所以本質上講科學就是確立一種信仰的手段而已，並不是真理的本體。這個哲學問題其實已經存在很久了
共線我的直覺就是斜率相等
为此啊，他感觉到非常羞愧，一连几天都抬不起头。但是啊，我要告诉这位小朋友的是，你的做法其实是对的，就应该低着头一连羞愧好几天😂
这个很有意思，问题是很多问题未必可以转化为多项式问题比如NP问题，想要用例证法必须证明问题本身可以转化为多项式问题。
我认为讲的太好了。i think it is awesome speaking
李老师，赵文卓空中踢刀的视频通过慢放来看，刀绕着重心旋转、且重心已经开始下落的情况下，踢刀的一脚从方向上来看并无向上的分量，而刀的整体却再次上扬。请问这是怎样做到的呢？
李老师，有人说赵文卓踢剑表演是反物理，有时间讲讲呗
以三角形的外心劃一個三角形的外接圓 三角形的三角和等於一個圓周的圓周角和 180 度
感覺這些根本談不上是獨立的方法，就是反證法的一部分。獨立出來取個名字感覺有點無聊。
受此啓發，我也可以發明方法，比如用高斯求和法做1+2+...+100.
我先用高斯做2+3+...+99，然後再加101. 這個做法獨樹一幟，取名為掐頭去尾高斯求和法。LOL
great presentation, applause from hongkong
高中一开始介绍比较复杂的函数时 老师就用例证法呀 算出很多个点 画在坐标上 练成线就是函数曲线了嘛
啊，以前我也想过这个问题。我当时想的是在三角形中随便一个顶点，然后做一条与底边平行的线。根据平行角相等、三个内角和是一个平角。所以是 180 度，是我想太简单了吗？
李老師,能不能說一下今年的諾貝爾獎嗎?
幾何學裡的三角形內角之和為180度 是不能用舉例或測量證明的 理由如下 幾何學是完全抽象的 是根據兩個假設 1 兩個平行線永遠不向交 2 直線的角度為180 度 用邏輯推導出來的 是絕對的 在幾何學裡線的寬度是0 這在實際物理世界中不存在的 如果你可以去測量 那麼你的測量儀器是什麼 精度是多少？ 如果是在一個球面如地球那麽內角一定大於180 度
0:00，字幕出現「我是李永樂的老師」
差點想說：你這個人太假了🤣🤣🤣
有个问题，倒是跟例证法本身无关。那就是如何在不用“三角形内角和等于180度”这个性质，得到“等边三角形和等腰直角三角形的内角和等于180度”这两个结论呢？
經歷了一場邏輯饗宴，感謝李永樂老師
这不是纯代数证明，证明过程中仍然用了几何定理（全等三角形）。如果用纯代数的话，就要用到三角函数，就不是多项式了。另外，（0， 0）不能作为例子，因为它不构成三角形
感觉是循环论证。都用上多项式的根数量等于次数的结论了，还需要证明多项式展开式？
這一集好棒啊，看了好舒服
神奇，太神奇了
中國的數學教育很少將舉例子視為證明方式的
但這期視頻證明了這樣做有何不可呢
李老師的神奇黑板
說的是，不過，二戰後，東亞地區教育家普遍採用愚民政策在捆縛人們的腦袋、壓縮人們的思考空間不是嗎？
那些吃裡扒外的教育專家與情治單位打一開始就架構偽知識體系在浪費他人生命為樂事、把那些接受其出版資料洗腦的人耍得團團轉，不是嗎？
在東亞各地區間徹底實施的資訊封殺跟愚民政策這些點你別漏了才好呀！
畢竟，
閣下是要吸引富裕階級與菁英份子海外留學或移民置產才有利頭錢賺的不是嗎？
海內外教育體系的良窳對比可是吸納移民與各界菁英份子的一大賣點呢！
井底之蛙、孤陋寡聞、偏知偏見...
這些都是二戰後東亞各地區官辦與民辦學校教育一貫的特色，
那些中文圈的教育專家唱黑臉以搞砸人們對中文圈出版界生產出來的資料信任度為目標，
而你們不是應該唱白臉，
抓緊機會強調海外留學具備真實可靠、輕鬆自由、及作研究可爭取資源挹注（只是可能賠上了技術專利權而不自知、像台積電張忠謀被德州儀器高管聯手設局坑了那樣）...這些優越性嗎？
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这办法太非主流了,对初中生难度可真不低.
例证法对使用者有个很严格的要求：知识广度足以举出恰当的例子
这就很难……
@@fuckgooglefuckusa 呵呵，知识广度要足以证明 例证法适用于 当前的问题。
这节课 听了 对 Rhino + Grasshopper 多曲面生成编程 有帮助
虽然说举例子可以证明一些事情，但是想要正确使用，这背后其实代表着扎实的学术水平，一般的学生是无法正确掌握并灵活应用在新场景上的。
07:31 三角形内角和180° 这个证明过程是有漏洞的。边角边全等三角形是定理，不是公理。边角边全等三角形定理成立的前提是所有三角形的内角和相等（不一定要是180度）。
另外，整个解释几何都是建立在勾股定理上的，而勾股定理是建立在三角形内角和180度上的。一上来，就是循环证明了。
所以说，无论是反证法还是例证法，使用起来要非常非常的小心。一个不小心，就会陷入循环证明。
我建议，李老师重新做着一个视频来介绍例证法。而且要跟小朋友们说清楚，这种方法使用时的危险和麻烦。不要鼓励中学阶段的孩子使用这种方法。
李老师讲的是思考方式
开头的小朋友完全不会有李老师这种思考方式
真的初中生哪里搞得清楚什么时候能用例证法，什么时候不能用
真的小学生或者初中生考试卷子上出现证明所有三角形内角和都是180度的题目
他用一个等腰三角形和等边三角形为例来证明
除非他把后面那一大串都写出来
不然你看考试得不得分😂
不得分难道让改卷老师看李老师的视频？
@@304394254 说的就是思考方式。反证法、例证法这些东西，用起来要很小心。稍不注意，就陷入循环论证。介绍给小朋友时，要把陷阱讲清楚。
想問這與identity theorem是否相關？
感覺……就是為了讓例子也能證明，加繞了幾個圈，
顶一个，终于看到一个我能大致看懂的李老师的教学视频了
能用演绎法证明的叫一叶知秋，不能用演绎法证明的叫以偏概全。那么最终还是需要演绎法证明啊，不是吗？
李老师为何没主持今晚的诺奖化学奖直播讨论？
还有，李老师对三角形内角和是180°的证明，所举的例子不失一般性，对C点的选取是任意的，因此是完成了对所有情况的归纳，而不是枚举。
全能的李永乐老师啥时候聊聊尼安德特人，聊聊今年诺贝尔奖。
能否证明这个三点共线式不蕴含欧几里得内积形式？否则就是循环论证
这个3*9=9真的太吸引我的目光了
一叶知秋和以偏概全，总结的太好了！
证明三角形内角和180°用到了三角形全等，后者是根据“边角边”推导出的全等，然而，当不承认内角和为180°时，“边角边→全等”并不显然。真要讲逻辑，恐怕李老师还需要给出一个不依赖“三角形内角和为180°”的“边角边→全等”的证明。注意到，全等的定义包含三个角都相等，这恐怕至少要依赖“三角形的内角和都想等”。若我们承认“三角形内角和都想等”，在证明此值是180°，则可以举例证明，但过于无趣。
在初中教材里，边角边全等是公理
在不知道三角形内角和是180°的前提下，怎么得出正三角形每个角都是60°的
如果假设一个圆的角度是420度，那么等边三角形的一个内角就是70度。正三角形的内角的三倍一定是一直线，对这个例子来说就是210度。