К 2:02 - анекдот (а может быть и правда было). Парень демобилизовался со срочной службы и решил поступить в инженерный институт. На вступительных экзаменах надо было изобразить на доске чертеж с окружностью. Он взял мел и начертил идеально ровную окружность. Его спрашивают: - Как вы смогли так ровно нарисовать окружность без циркуля? - Опыт! Я целый год в армии на кухне крутил мясорубку.
Как бы это все запомнить?Буду записывать для внуков.С уважением,Славик.55 лет😂 Валерий,спасибо.Около года сижу на Вашем кокаине.Даже бегать по вечерам начал.
Спасибо тренеру! Кто на канале давно, уже знает этот тип задач, поворачиваем!!! АДМ вокруг А против часовой на 90 градусов. При этом т.Д переходит в т.В, а т.М - в т. М1 на продолжении ВС влево. Тр-к М1АМ - равнобедренный прямоугольный с боковой стороной 10, основанием 10√2 и высотой 5√2. Нас интересует только половина этой площади = 25.
@@ДмитрийИвашкевич-я8т Я нашел небольшой листок бумаги) С предложенным вариантом решения совсем не обязательно доказывать, что угол АКМ=90 градусов. Достаточно доказать равенство тр-ков АМ1К и АМК (по двум сторонам и углу между ними), и увидеть, что угол М1АМ - прямой, откуда, учитывая равенство М1А = МА, а также М1К = МК, следует, что АК - высота равнобедренного прямоугольного. Далее - по тексту решения
Полезная задача! Чего только не нашёл в этом чертеже! Пока не разыскал в интернете этот лукавый признак описанного 4угольника через равные "вписанные" углы к виртуальной хорде! Дальше -- элементарно: АМ=10, АК=КМ=5\/2. Sakm=25😪
Немного пришлось потрудиться в выкладках, но тем не менее... Направим ось x вправо, ось y вниз, тогда координаты интересующих нас точек таковы: A(0; 8), M(8; 2), K(x; x) Координаты векторов: AM = {8; -6}, AK = {x; x - 8} Скалярное произведение = 8x - 6(x - 8) = 2x + 48 С другой стороны оно же равно: 10•√(x² + (x - 8)²)•√2/2 = = 10√(x² - 8x + 32) Приравниваем, сводим к квадратному уравнению: 3x² - 31x + 28 = 0, которое имеет два корня: x = 28/3 и x = 1. При желании можно найти смысл первого корня: при нём точка K лежит за пределами квадрата, но нас устраивает только второй корень. Площадь ищем как полупроизведение сторон на синус угла между ними. И так как sin 45° = cos 45°, то произведение сторон на синус угла равно произведению сторон на косинус угла, т.е. скалярному произведению = 2x + 48 = 2•1 + 48 = 50. А площадь равна половине его, т.е. 25.
Конечно, через окружность просто блестящее, аристократическое решение!!! Альтернативное решение (скучное). 1. Диагонали ч-ка AKMD пересекаются в т. О. Тогда из тр-ка ADM: AM равно 10, а АО и ОМ - 40/7 и 30/7, соответственно (по св-ву биссектрисы OD). 2. По ф-ле биссектрисы, или по т-ме Стюарта находим OD равно 24*sqrt(2)/7 3. Тр-ки AKO и DOM подобны по двум углам, отсюда находим AK=10/sqrt(2) 4. Находим Площадь AKM по известной ф-ле (две стороны и синус угла между ними), получаем 25 кв. ед.
А мы не ищем легких путей. Ставим начало координат в вершину А, абсцисса - AD, ордината AB. Находим уравнение прямой AM, от неё - уравнение прямой АK (как повёрнутой на угол PI/4), потом находим уравнение прямой BD, и координаты точки пересечения K. Далее находим длину AK, AM (по теореме Пифагора) и искомую площадь, как площадь треугольника с известными двумя сторонами и углом между ними. Решение получается слишком громоздкое. Куда сложнее, чем предложенное. Но, до простого я не додумался.
Без высоты проще. В прямоугольном треугольнике кавдрат гипотенузы с^2=а^2+в^2. В нашем случае с^2=2*а^2=100 S=½a*в. S=½a^2 откуда S=½*½*с^2=¼*с^2=¼*100=25
Треугольник ADM египетский с гипотенузой 10. Угол MAD равен arcsin(6/10) или же arccos(8/10). Теперь найдем синус угла BAK. Для этого из pi/2 вычтем pi/4 (угол KAM) и угол MAD. Тогда sin(BAK) = sin(pi/4 - MAD). Синус этого угла равен sqrt(2)/10, косинус же будет равен sqrt(98)/10. Теперь ищем синус угла AKB. Для этого из pi (сумма углов треугольника BAK) вычтем pi/4 (угол ABK) и угол BAK. Тогда sin(AKB) = sin(pi - pi/4 - BAK). Синус этого угла равен 4/5. Теперь для этого же треугольника используем теорему синусов для нахождения AK. Из этой теоремы следует, что AK = ABsin(ABK)/sin(AKB). подставляя числовые значения, получим, что AK = 5sqrt(2). Теперь по формуле полупроизведения сторон и синуса угла между ними находим искомую площадь, которая равна 25. Ответ: 25
К сожалению это не так. Просто тр. AKM равнобдренный и прямоугольный. Никого квдарта он не образует. Это сильная олимпиадная задача и "сразу понятно" здесь не катит.
Поворот ADM на 90 градусов против часовой стрелки вокруг т.A. Далее соединяя M1 и т.K получаем прямоугольный треугольник M1MA, который в 2 раза больше AKM. Сторону M1A находим из прямоугольного M1AB. M1A=10. Sm1ma=M1A*AM/2=10*10/2=50. Sakm=1/2(Sm1ma)=50/2=25
АМ=10... tgMAD=3/4... из тчк К проведем вверх в влево перпендикуляры к сторонам, обозначим сторону квадратика за х... тогда cotBAK=(8-x)/x=tg(45+MAD)=(1+3/4)/(1-3/4)=7... x=1... AK^2=49+1...АК=5√2.. S=1/2*10*5√2*sin45=25
Два равных угла. опирающихся на один отрезок (вершины углов с одной стороны от отрезка) составляют вписанный 4-ёхугольник. Эта тема звучала в Ваших задачах уже раз десять за год. Кстати, необязательно, чтоб эти углы были по 45 градусов. А вот задачей на построение в Вашем клубе Весёлых и Доходчивых объяснений я не припоминаю. А они, с Вашим умением рисовать, выглядели бы красиво. Извините, если я не прав.
Правы, конечно, меняются зрители, меняются темы. Их то не очень много. Чтобы ученик запомнил идею иногда 10 раз и приходится повторить. 60% не подписаннных смотрят, пришел - ушел. Задачи на построение - да, супер. Я книжку в свое время написал по ним. Но лучше Орловского сложно. Нет профи для таких задач.
@@GeometriaValeriyKazakov Спасибо! Для нормальных средних учеников Повторение - мать учения. А для слабоватых и, может быть, очень сильных Повторение - мать мучения. Всем никогда не угодишь.
Где-то упустил нить доказательства. Я построил на стороне АМ квадрат вниз-вправо и у меня оказалось, что зелёный= четвертинке квадрата. Вот мне строгое доказательство искать или вас смотреть? . Ладно, по-другому Поворачиваем (хоть и не люблю) АВК по часовой на 90° вокруг А. Проводим МК'. Треугольники АКМ и АК'М равны по первому признаку. Угол КАК'=90° и АК=МК'. АКМК' -- квадрат площадью 50 Ответ: 25
Открыл видео, поставил на паузу. Думаю, но опять же "обманет" господин Казаков, обязательно "обманет". 🙂 Зная манеру решения задач господина Казакова решил искать окружность и таки нашёл её, как в видео. Посмотрел камменты, вроде всё перебрали и алгебру и тригонометрию. Но всё же добавлю своё. Проведём перпендикуляры из точки К на стороны квадрата ВА и ВС, обозначим полученные отрезки, как х. Такое построение в камментах есть, но тригонометрия у меня будет несколько иная. КМ^2=(2-х)^2+(8-x)^2, AK^2=(8-x)^2+x^2, AM^2=10, по теореме косинусов из треугольника АКМ АК^2+AM^2-2AK*AM*Cos45°=КМ^2, (8-x)^2+x^2+100-2 *10*√2/2 *√((8-x)^2+x^2)=(2-x)^2+(8-x)^2, после сокращения, переноса корня в одну сторону, всё остальное в другую, возведения в квадрат и раскрытия скобок (всю алгебру здесь описывать не имеет смысла), получаем (96+4х)^2=200((8-x)^2+x^2) и окончательный вид уравнения 3x^2-31x+28=0, где Х1=1, Х2=28\3> 8 нам не подходит. Перед тем, как найти площадь сделал следующий финт. Так как синус и косинус 45 градусов равны между собой, то первоначальное уравнение косинусов переписал так АК^2+AM^2-4SΔакм=КМ^2, окончательно получается х+24=SΔакм. Искомая площадь равна S=25.
ВТОРОЙ КАНАЛ (ШКОЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ) : www.youtube.com/@kazakovgeom
К 2:02 - анекдот (а может быть и правда было). Парень демобилизовался со срочной службы и решил поступить в инженерный институт. На вступительных экзаменах надо было изобразить на доске чертеж с окружностью. Он взял мел и начертил идеально ровную окружность. Его спрашивают:
- Как вы смогли так ровно нарисовать окружность без циркуля?
- Опыт! Я целый год в армии на кухне крутил мясорубку.
Красивое, подробное решение. Спасибо.
Где вы были?
да, с окружностью классная фишка) браво!
Спасибо.
Как бы это все запомнить?Буду записывать для внуков.С уважением,Славик.55 лет😂
Валерий,спасибо.Около года сижу на Вашем кокаине.Даже бегать по вечерам начал.
Я по утрам бегаю.
Спасибо тренеру! Кто на канале давно, уже знает этот тип задач, поворачиваем!!!
АДМ вокруг А против часовой на 90 градусов. При этом т.Д переходит в т.В, а т.М - в т. М1 на продолжении ВС влево. Тр-к М1АМ - равнобедренный прямоугольный с боковой стороной 10, основанием 10√2 и высотой 5√2. Нас интересует только половина этой площади = 25.
хотя, кое-что нужно будет все-таки попутно доказать, но… «слишком мало места на полях» )
Что бы доказать, что М1М проходит через К, нужно доказать, что
Все равно супер!
@@sergeybezhenov7174
@@ДмитрийИвашкевич-я8т Я нашел небольшой листок бумаги)
С предложенным вариантом решения совсем не обязательно доказывать, что угол АКМ=90 градусов. Достаточно доказать равенство тр-ков АМ1К и АМК (по двум сторонам и углу между ними), и увидеть, что угол М1АМ - прямой, откуда, учитывая равенство М1А = МА, а также М1К = МК, следует, что АК - высота равнобедренного прямоугольного. Далее - по тексту решения
Нажал на Вашу синюю ссылку и подписался на Наглядную Геометрию. Дело на 5 секунд.
Супер, спасибо.
Полезная задача! Чего только не нашёл в этом чертеже! Пока не разыскал в интернете этот лукавый признак описанного 4угольника через равные "вписанные" углы к виртуальной хорде! Дальше -- элементарно: АМ=10, АК=КМ=5\/2. Sakm=25😪
Отлично.
Немного пришлось потрудиться в выкладках, но тем не менее...
Направим ось x вправо, ось y вниз, тогда координаты интересующих нас точек таковы:
A(0; 8), M(8; 2), K(x; x)
Координаты векторов:
AM = {8; -6}, AK = {x; x - 8}
Скалярное произведение = 8x - 6(x - 8) = 2x + 48
С другой стороны оно же равно:
10•√(x² + (x - 8)²)•√2/2 =
= 10√(x² - 8x + 32)
Приравниваем, сводим к квадратному уравнению:
3x² - 31x + 28 = 0,
которое имеет два корня: x = 28/3 и x = 1. При желании можно найти смысл первого корня: при нём точка K лежит за пределами квадрата, но нас устраивает только второй корень.
Площадь ищем как полупроизведение сторон на синус угла между ними. И так как sin 45° = cos 45°, то произведение сторон на синус угла равно произведению сторон на косинус угла, т.е. скалярному произведению = 2x + 48 = 2•1 + 48 = 50.
А площадь равна половине его, т.е. 25.
Супер!
Красиво! Я решила через подобие. Спасибо!
Отлично.
Конечно, через окружность просто блестящее, аристократическое решение!!!
Альтернативное решение (скучное).
1. Диагонали ч-ка AKMD пересекаются в т. О. Тогда из тр-ка ADM: AM равно 10, а АО и ОМ - 40/7 и 30/7, соответственно (по св-ву биссектрисы OD).
2. По ф-ле биссектрисы, или по т-ме Стюарта находим OD равно 24*sqrt(2)/7
3. Тр-ки AKO и DOM подобны по двум углам, отсюда находим AK=10/sqrt(2)
4. Находим Площадь AKM по известной ф-ле (две стороны и синус угла между ними), получаем 25 кв. ед.
Да, именно так спасибо.
Красиво !!! Спасибо!!!
А мы не ищем легких путей. Ставим начало координат в вершину А, абсцисса - AD, ордината AB. Находим уравнение прямой AM, от неё - уравнение прямой АK (как повёрнутой на угол PI/4), потом находим уравнение прямой BD, и координаты точки пересечения K. Далее находим длину AK, AM (по теореме Пифагора) и искомую площадь, как площадь треугольника с известными двумя сторонами и углом между ними.
Решение получается слишком громоздкое. Куда сложнее, чем предложенное. Но, до простого я не додумался.
Отлично.
Решение с описанным четырехугольником безусловно наилучшее. Но, если вылетело из головы это свойство, то можно решить с помощью теоремы синусов.
Пусть
Тригонометрия - отлично!
Буду краток. S = 8×8 -- (1+4×7/2+6×8/2) = 25. Поздравляю уважаемого мэтра с новым каналом!
Другой вариант: Тр. АВК и АСМ подобны по двум углам. Из этого следует подобие тр. АВС и АКМ -- по двум сторонам и углу. И т.д.
Согласен.
Достроила треуг. АКМ до квадрата АКМN. AM=10 его диагональ, тогда сторона квадрата АК=5 корней из2, площадь треуг.АКМ равна его половине. Ответ 25
Отлично.
Без высоты проще.
В прямоугольном треугольнике кавдрат гипотенузы с^2=а^2+в^2.
В нашем случае с^2=2*а^2=100
S=½a*в.
S=½a^2 откуда S=½*½*с^2=¼*с^2=¼*100=25
Музыкальная школа видна 😊
Изящно!
Согласен.
Обозначим: AD = a, CM = m ⟹ AM² = a² + (a - m)². ∡AMK = 45° (доказано). *S(AKM) = AM²/[2∙(ctg45° + ctg45°)] = [a² + (a - m)²]/4 = (64 + 36)/4 = 25.*
Треугольник ADM египетский с гипотенузой 10. Угол MAD равен arcsin(6/10) или же arccos(8/10). Теперь найдем синус угла BAK. Для этого из pi/2 вычтем pi/4 (угол KAM) и угол MAD. Тогда sin(BAK) = sin(pi/4 - MAD). Синус этого угла равен sqrt(2)/10, косинус же будет равен sqrt(98)/10. Теперь ищем синус угла AKB. Для этого из pi (сумма углов треугольника BAK) вычтем pi/4 (угол ABK) и угол BAK. Тогда sin(AKB) = sin(pi - pi/4 - BAK). Синус этого угла равен 4/5. Теперь для этого же треугольника используем теорему синусов для нахождения AK. Из этой теоремы следует, что AK = ABsin(ABK)/sin(AKB). подставляя числовые значения, получим, что AK = 5sqrt(2). Теперь по формуле полупроизведения сторон и синуса угла между ними находим искомую площадь, которая равна 25. Ответ: 25
Поворот АВК вокруг А по часовой на 90*, АКМВ1 квадрат с диагональю 10, S= 25.
Проводим СК , обозначаем АН=КН=Х , АК=\/2хХ , АК=СК ( тр-ки АВК = ВСК - ВС=АВ , ВК-общая и углы между ними по 45*) . Угол ДАМ =а , AM=\|8*2+6*2=10 , Cosa=8/10=4/5 , Sina=6/10=3/5 , углы ВАК=ВСК=45*-а , угол КСМ=90*-(45*-а)=45*+а , Cos(45*+a)=Cos45*xCosa-Sin45*xSina=\|2/2(4/5-3/5)=\|2/10 . Из тр-ка КСМ по теореме косинусов - КМ*2=
СК*2+СМ*2-2СКхСМхCos(45*+a)=(\|2xX)*2+2*2-2x\|2xXx\|2/10=2X*2-(4/5)X+4 , из тр-ка НКМ по теореме Пифагора - КМ*2=КН*2+МН*2 (МН=10-Х) , 2Х*2-(4/5)Х+4=Х*2+(10-Х)*2 , 2Х*2-(4/5)Х+4=Х*2+100-20Х+Х*2 , 20Х-(4/5)Х=96 , Х=5 , АК=\/2хХ=5\/2 . Из тр-ка АКМ - S=(АКхАМхSin45*)/2=(5\/2х10х\/2/2)/2=25 .
Отлично.
Так там сразу и понятно, что зелёный треугольник- это повернутый треугольник- половина квадрата, диагональ которого АМ=10.
К сожалению это не так. Просто тр. AKM равнобдренный и прямоугольный. Никого квдарта он не образует. Это сильная олимпиадная задача и "сразу понятно" здесь не катит.
Есть второй канал попроще: www.youtube.com/@kazakovgeom
Поворот ADM на 90 градусов против часовой стрелки вокруг т.A. Далее соединяя M1 и т.K получаем прямоугольный треугольник M1MA, который в 2 раза больше AKM. Сторону M1A находим из прямоугольного M1AB. M1A=10. Sm1ma=M1A*AM/2=10*10/2=50. Sakm=1/2(Sm1ma)=50/2=25
Отлично.
АКМ звучит очень -- очень
АМ=10... tgMAD=3/4... из тчк К проведем вверх в влево перпендикуляры к сторонам, обозначим сторону квадратика за х... тогда cotBAK=(8-x)/x=tg(45+MAD)=(1+3/4)/(1-3/4)=7... x=1... AK^2=49+1...АК=5√2.. S=1/2*10*5√2*sin45=25
супер.
Два равных угла. опирающихся на один отрезок (вершины углов с одной стороны от отрезка) составляют вписанный 4-ёхугольник. Эта тема звучала в Ваших задачах уже раз десять за год. Кстати, необязательно, чтоб эти углы были по 45 градусов. А вот задачей на построение в Вашем клубе Весёлых и Доходчивых объяснений я не припоминаю. А они, с Вашим умением рисовать, выглядели бы красиво. Извините, если я не прав.
Правы, конечно, меняются зрители,
меняются темы. Их то не очень много. Чтобы ученик запомнил идею иногда 10 раз и приходится повторить. 60% не подписаннных смотрят, пришел - ушел. Задачи на построение - да, супер. Я книжку в свое время написал по ним. Но лучше Орловского сложно. Нет профи для таких задач.
@@GeometriaValeriyKazakov Спасибо! Для нормальных средних учеников Повторение - мать учения. А для слабоватых и, может быть, очень сильных Повторение - мать мучения. Всем никогда не угодишь.
Где-то упустил нить доказательства. Я построил на стороне АМ квадрат вниз-вправо и у меня оказалось, что зелёный= четвертинке квадрата.
Вот мне строгое доказательство искать или вас смотреть?
.
Ладно, по-другому
Поворачиваем (хоть и не люблю) АВК по часовой на 90° вокруг А. Проводим МК'. Треугольники АКМ и АК'М равны по первому признаку. Угол КАК'=90° и АК=МК'. АКМК' -- квадрат площадью 50
Ответ: 25
Ну, вот, сами справились.
Опять египетский треугольник😊
Да, но о\н то здесь ни при чем. Возьмите 7 и 2. Будут радикалы, только и всего.
Открыл видео, поставил на паузу. Думаю, но опять же "обманет" господин Казаков, обязательно "обманет". 🙂 Зная манеру решения задач господина Казакова решил искать окружность и таки нашёл её, как в видео. Посмотрел камменты, вроде всё перебрали и алгебру и тригонометрию. Но всё же добавлю своё. Проведём перпендикуляры из точки К на стороны квадрата ВА и ВС, обозначим полученные отрезки, как х. Такое построение в камментах есть, но тригонометрия у меня будет несколько иная. КМ^2=(2-х)^2+(8-x)^2, AK^2=(8-x)^2+x^2, AM^2=10, по теореме косинусов из треугольника АКМ АК^2+AM^2-2AK*AM*Cos45°=КМ^2, (8-x)^2+x^2+100-2 *10*√2/2 *√((8-x)^2+x^2)=(2-x)^2+(8-x)^2, после сокращения, переноса корня в одну сторону, всё остальное в другую, возведения в квадрат и раскрытия скобок (всю алгебру здесь описывать не имеет смысла), получаем (96+4х)^2=200((8-x)^2+x^2) и окончательный вид уравнения 3x^2-31x+28=0, где Х1=1, Х2=28\3> 8 нам не подходит. Перед тем, как найти площадь сделал следующий финт. Так как синус и косинус 45 градусов равны между собой, то первоначальное уравнение косинусов переписал так АК^2+AM^2-4SΔакм=КМ^2, окончательно получается х+24=SΔакм. Искомая площадь равна S=25.
Отлично. Но у нас все по-честному.
Все углы можно найти алгебраически
Можно. Более интересен факт, что при любом раскладе AKM - равнобедренный прямоугольный.
А что сестра?
"в клеточку". Из А четыре клетки по диагонали вверх- вправо, 3 вверх-влево. Видим прямоугольно-равнобедренный с египетской гипотенузой 10. Ответ 25
Райское наслаждение
Я так и думал, когда в уме решил эту задачу!
Да, ум - сила!
Ответ 25.
Точно!
Нашел стороны треугольника 10 и 10/sqrt(2), последнюю из подобия трех разных треугольников, угол между ними 45°. Все что надо, чтобы получить 25.