Potęgowanie i "najpiękniejszy wzór matematyki" | Zacznijmy od zera #4
ฝัง
- เผยแพร่เมื่อ 13 มิ.ย. 2024
- Obok czterech podstawowych działań arytmetycznych - dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia - istnieje jeszcze piąte: potęgowanie. O ile łatwo zrozumieć, na czym polega podnoszenie do potęgi o wykładniku wymiernym, to już wykładniki NIEwymierne mogą sprawić problem (no bo ile to niby jest dwa do potęgi pi?). Ale dlaczego ograniczać się do liczb rzeczywistych - co z wykładnikami zespolonymi? Czy da się na przykład obliczyć "dwa do potęgi i", albo nawet "i do potęgi i"? Odpowiedź okazuje się dość zaskakująca, i ma związek ze wzorem uważanym za najpiękniejszy w całej matematyce... Zapraszamy na - tym razem nieco dłuższą - wycieczkę po świecie liczb zespolonych!
Dofinansowano z programu „Społeczna odpowiedzialność nauki” Ministra Nauki i Szkolnictwa Wyższego w ramach projektu „Otwarta Nauka w Centrum Kopernika".
0:00 Wprowadzenie
3:15 Wykładniki naturalne
5:23 Wykładniki całkowite
6:22 Wykładniki wymierne
8:00 Wykładniki rzeczywiste
21:06 Wykładniki zespolone
33:55 Podsumowanie
#matematyka #potęgowanie #ZacznijmyOdZera - วิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
![จังหวะนี้ - เม้ก อภิสิทธิ์ [ Official MV ] จอนนี่มิวสิค](http://i.ytimg.com/vi/4gQRZCkRyiU/mqdefault.jpg)
UWAGA, BŁĄD! Jak słusznie zauważył @Michał Kaczmarczyk, do końcowego wzoru na potęgę zespoloną wkradł się błąd: Po prawej stronie w wykładniku e wyraz "-2kπ" powinien być jeszcze pomnożony przez v. Błąd wkradł się dokładnie w 28:46, przy otwieraniu nawiasów w wykładniku. Jednocześnie, gdy później liczę e^(iπ), korzystam z poprawnego wzoru, i dlatego w wykładniku pojawia się na końcu π^2, a nie π (@Konrad Kosiba). Przepraszam za zamieszanie i dziękuję za czujność! TM
O nie, i co teraz xD
@@trailblazingfive teraz koniec. Zwolnienia, brak emerytury, ostracyzm społeczny.
Uff, dobrze, że od około 20 minuty niewiele rozumiałem, więc niewiele w moim przypadku ten błąd zmienił :)
Też we wzorze na e^(iπ) nie wiem skąd kwadrat przy π. I ja bym napisał -(e^(-2πk)) bo inaczej można pomyśleć że to (-e)^(-2π🙄²🤨k). Ale proszę się nie przejmować 😉
Ta seria ma bardzo małe grono odbiorców, mimo to jest kontynuowana z ogromną starannością. Dzięki wielkie za Waszą robotę!
Matematyczny youtuber kariery nie zrobi.
@@dominikkurek1155 Obczaj kanał 3BlueBrown
Ale rzeczy dobre będą miały z zasady małe grono odbiorców xD zawsze mnie irytują takie komentarze
Za dużo wymagasz od ludzi. Matematyka jest zbyt trudna do pojęcia dla większości a co dopiero tak zawansowana.
@@dominikkurek1155 nie prawda. Matematyczne kanały tylko po angielsku są bardzo popularne. Niestety na 1 kraj faktycznie dużej popularności się nie osiągnie.
Elegancja matematyki jest tak wielka, ze ktos kto ją dostrzega z przyjmoscia obcuje z takim wykladem nawet gdy czasem nie do konca ogarnia to merytorycznie
Gość jest naprawdę dobry.
Jeszcze nie było filmu, w jego wykonaniu, który byłby słaby.
Ma talent!
sorry ale talent to ma ten facet th-cam.com/video/cC0fZ_lkFpQ/w-d-xo.html
πękny i bardzo interesujący wykład. Nawet błąd w mnożeniu nawiasów i przy analizowaniu przykładów był intrygujący, bo zmusił mnie do sięgnięcia po papier, ołówek aby wykonać mnożenie samemu - dopiero potem zajrzałem do komentarzy. Proszę o więcej, bo to świetna gimnastyka dla umysłu i wspaniały sposób na propagowanie piękna matematyki. Wykład i wykładowca na 6+.
Od połowy jest ciężko, ale kurcze Miller jak Ty coś opowiadasz to się słucha z wypiekami na twarzy, do końca :)
Nie jestem matematykiem, niewiele z tego rozumiem, ale jest w tym piękno
Przestałem rozumieć w połowie, obejrzałem do końca 😀 Nawet ja, matematyczny głąb, dostrzega piękno tych wzorów i pokazanych operacji. Ech, gdyby ktoś tak tłumaczył mi matematykę w szkole...
Dziękuję za ciekawy wykład, czekam na kolejne i pozdrawiam serdecznie 🤓
Tylko dogłębne zrozumienie i długie studiowanie takich wzorów pozwala dostrzec ich piękno, niestety.
@@wokoolski2630 To jest kłamstwo
Gdyby ktos ci tak tlumaczyl to tak samo bys sie zgubil i na kogo wtedy zrzucil bys wine ?
To jest moja ulubiona seria na tym kanale :)
Czekałam na powrót tej serii :)
Cześć Patrycja!
😉
Ja tylko proszę, by nie kazać nam zbyt długo czekać na kolejny odcinek. Dzięki Panu nadrabiam braki z matematyki i tworzę ciąg przyczynowo-skutkowy między skrawkami wiedzy, które posiadam. Fantastyczne wykłady, dziękuję :)
Wymyśliłem suchar!
-Jaki jest ulubiony wykładnik kowala?
-O stopniu q-tym!
Na maszynach elektrycznych na studiach obliczaliśmy wartość Qrwa ;P
Pomieszaliście w tym iloczynie zjawiska fizyczne z jednostkami?
Bruh! Nie wykładnik a pierwiastek, jeśli już...
Uwielbiam tę serię, pierwsze odcinki pozwoliły mi inaczej spojrzeć na liczby a ten zmienił moje spojrzenie na potęgowanie, proszę o jak najczęstsze nowe epizody. Jesteście świetni.
Jak bym miał takiego nauczyciela na studiach to było by dużo łatwiej. Nie sądziłem że są jeszcze ludzie z takim powołaniem i umiejętnością przekazywania wiedzy a przy tym chęciami. Pozdrawiam
Piszę komentarz raz na kilka lat i w końcu nastała ta chwila: najlepsza seria na kanale, a trzeba zauważyć, że konkurencja jest spora. Kocham matematykę od zawsze, a nigdzie indziej nie widziałem tak ładnie skondensowanej wiedzy na temat królowej nauk. Muszę koniecznie obejrzeć z dziewczyną, może to zaszczepi w Niej miłość do matematyki. Czekam! :)
Zaprosić dziewczynę żeby wspólnie obejrzeć wykład z matematyki to lepsze jak (za moich czasów) zaprosić dziewczynę żeby wspólnie obejrzeć klaser z kolekcja znaczków pocztowych:-)
Lepiej tego nie rób. Dziewczyna może uciec.
@@sator666666 nie doceniasz dziewczyn jeśli uważasz że nie podejrzewają że zaproszenie na wykład z matematyki lub np. oglądanie kolekcji znaczków pocztowych we dwoje jest celem samym w sobie:-)
@@HomoVlator proponuję zaprosić dziewczynę na: 1) przedmiotowy wykład z matematyki, 2) dla rozluźnienia zaimponować kolekcja znaczków pocztowych 3) rozstawić deskę szachowa i tłumacząc zasady ukazać piękno tej strategicznej królewskiej gry.
To byłby prawdziwy test na wytrwałość :-)
Kiedyś próbowałem tłumaczyć żonie złotą proporcję. Skomentowała to krótko. - "Phi" . Od tamtego czasu matematyka jest dla mnie kochanką. Żonie nic nie mówię .
Rewelacja. Dr Millera słucha się z czystą przyjemnością.
Uwielbiam te matematyczne żarty typu "najszczęśniejsze nietrudno ją znaleźć". Pamiętam, że na studiach wprowadzona była konstrukcja "łatwo widać", ale na kolokwium nie można było jej używać :P
Właśnie odkryłem wasz profil, fajnie, że istnieje tak merytoryczne źródło informacji :D
Znakomita seria. Panie Tomku, musi być Pan świetnym wykładowcą. Pozdrawiam!
To jest coś pięknego... nie wszystko rozumiem i jak oglądnę jeszcze raz to będę miał pytania do konkretnych momentów filmu ale na tą chwile bardzo dziękuję oraz prosze by ta seria trwała jak najdłużej
Kompletnie nic z tego nie rozumiem, więc mogę delektować się formą, zamiast skupiać się nad treścią i właśnie dlatego, mogę oglądać w nieskończoność.
Powiem szczerze że gdybym nie znał jak wygląda rozwinięcie liczby e w szereg Taylora to bym przez długi czas zastanawiał się skąd się tam to e wzięło. krok w min 18:27 wydaje się bardzo dużym skrótem myślowym I dla wielu osób może być niezrozumiałym ale i tak świetnie wytłumaczone
uwielbiam serię i jestem po ogromnym zachwytem nad pięknem matematyki, które przekazuje Pan Doktor. wspaniała wiedza, rozumowanie i podejscie. ja zaś własnie 3 raz rezygnuję z tego odcinka, ale jeszcze tu wrócę (pewnie dziś) by postarać się to zrozumieć
O Mistrzowie, jak dawno nie było doktora Millera na kanale Copernicus. Coś pięknego.
Panie Tomaszu jest Pan jednym z moich ulubionych człowieków.
A nie ulubionym ludziem?
Prof. Andrzej Dragan mówi że "łysą małpą" 😂 (tak dokładniej, to że wszyscy jesteśmy)
WOW, mega! Rzeczywiście najpiękniejszy wzór
Zjarałem się ziółkiem i sobie tak Ciebie słucham już pół godziny
Pomogło w zrozumieniu tajemnicze ziółko?
Jak ten Pan świetnie opowiada 😃. Nie lubie matmy, ale tej opowieści slucham z zapartym tchem
Jak dla mnie, nawet gdyby pan mówił bzdury też bym w to uwierzył. Czarna magia:))))))
Ucieszyłem się na nowy odcinek. Ucząc się tych rzeczy w szkole (niestety na pamięć) dziś dzięki p. Tomaszowi mogę je łatwo zrozumieć. Gdybym mógł cofnąć czas studiowałbym matematykę. Dziś dostrzegam, że niektóre wzory matematyczne są ekstatycznie piękne, szczególnie te pokazujące przepis na rzeczywistość w najogólniejszej postaci. Pozdrawiam
@Darek tak ale nie tylko ;-)
Wspaniałą robota bardzo jasno i ciekawie omówiona matma
Super wykład ! Moje odkrycie w tym tygodniu. Pozdrawiam i wsłuchuję sie w kolejny wyk lad
Faktycznie, w królowej wszystkich nauk, matematyce, która tak naprawdę jawi się jako język tudzież swego rodzaju kod w najdrobniejszych detalach opisujący strukturę Wszechświata, jest coś tak fascynującego, że trzeba by szukać nowych słów, sklejać nowe zdania, aby móc opisać takowe wrażenia i mój zachwyt na jej temat. Matematykiem nie jestem; cóż, prędzej mi do teorii i wiedzy ścisłej z fizyki niż tej praktycznej - i chodzi mi tu o ,,praktyczny i trudno rozumowany aparat matematyczny". W ten odcinek wsłuchuję się wnikliwie; może i nie rozumiem wszystkiego, ale jestem zafascynowany tym, jak skomplikowana wydaje się być matematyka. Jest jednocześnie urzekająca, również podkreślająca to, że sam Wszechświat to odpowiednio usystematyzowana i rozpisana matematyka i informacja!
Świetny wykład! Uświadomił mi, jak wiele już z głowy wyparowało 😬 Ale może uda się znów to powbijać i poukładać ponownie! 😉
Świetny materiał! Mam nadzieję, że na kolejny odcinek nie będziemy musieli długo czekać. :-)
Pięknie tłumaczone! Wspaniale!
W innym odcinku były jeszcze też takie fajne odniesienia do historii, np. sytuacji życiowej Hamiltona. To było super.
Ta seria miiwykładów to istne cudo. Chcemy więcej!
Super odcinek! Będę musiał obejrzeć jeszcze raz prawdopodobnie, ale bardzo mi się podoba!
super film a i dzięki potęgowaniu do wykład. rzeczywistego zrozumiałem dedekindowska konstrukcje liczb rzeczywistych:)
Pięknie 👍
Oj to trzeba na spokojnie.. obejrzałem odcinek i na pewno nie wyciągnąłem z niego tyle co bym chciał. Ach te liczby urojone.. potrafią namieszać w głowie :D
To lepsze niż liczenie baranów przed snem ;) A tak na marginesie - definicje matematyczne są jak techniczny opis budowy młotka. Bardziej interesuje mnie praktyczne zastosowanie tego narzędzia.
wspaniały wyklad!
Świetna seria, czekam na więcej!
Wreszcie !!! :)
Mózg mi wyparował. Dzięki 😄
Jestem człekiem starej daty i muszę się podzielić pewnym spostrzeżeniem. Mianowicie jakieś 45 lat temu jako dziecko dostałem mój wymarzony kalkulator z funkcjami. Zdaje się "Lolek". Jedno z pierwszych działań jakie na nim wykonałem to własnie potęgowanie. Zero podniosłem do kwadratu i jakie było moje zdziwienie... Otrzymałem ERROR a spodziewałem się zera.. Tak uczono mnie w szkole. Już pakowałem kalkulator do reklamacji :) Potem dowiedziałem się, że tak ma być i że kalkulator stosuje w/w wzór który ma wspomnianą dziurę.
Ten najpiękniejszy wzór matematyczny znałem dotychczas co najmniej od 1996 roku z książki "Śladami Pitagorasa" lub "Lilavati" Szczepana Jeleńskiego jednak w postaci e^(-iπ) + 1=0 - zawiera wszystkie stałe matematyczne i znaki...... Czyżbym się mylił???
Uważam że dlatego matematyka odstrasza większość ludzi juz od młodych lat bo jest problem z szybkim czytaniem z głębokim zrozumieniem jej zapisów. To jak gdyby poznającym dopiero litery kazać szybko i że zrozumieniem czytać skomplikowane zdania złożone i dziwić się że przecież zna pojedyncze litery a nie rozumie kontekstu tych zdań. Za każdym równaniem czy zapisem ważnego prawa matematycznego stoi rzeczywistość!. A nauczyciele i książki nie potrafią tego zobrazować i zaciekawić tylko skaczą od tematu do tematu żeby pamięciowo rozwiązywać zadanka. Jak się zaczyna w taki sposób w szkole podstawowej to w przyszłości ludzie uciekają od takiej nieprzyjemnej, oderwanej i nikomu nie potrzebnej nauki. A to przecież jest na odwrót. Pozdrawiam
Super, już myślałem, że koniec serii
Super wykłady ☝️
Dziękuję za odcinek. 😊
Rewelacyjny jest Pan 👌
Ratujesz mi głowę
Panie Tomku od rana chodzilem jakis poddenerwowany. Juz wiem dlaczego. Pozdrawiam ogladajacych i prowadzacego
Warto było czekać. Cymesik 😏
Dobry program w zyciu bylem chemikiem w wojskowosci szkoda ze wtedy nie znalem tych wzorow czolem wszystkim
Pozdrawiam serdecznie i życzę miłego dnia
dobre przypomnienie :)
Mega! :)
Najpiękniejszy wzór jaki jeszcze nie odkryli to wzór na poprawne świecenie staremu latarką a nie sobie. Jak ktoś go odkryje Nobel gwarantowany
o super
Czekalem na to
Mam pytanie odnośnie "większej siostry" potęgowania - tetracji. (wykładnik zapisujemy w górnym, lewym indeksie)
4
2 = 2^ [2^ (2^2) ] = 65536
Czy można policzyć tetrację z wykładnikiem wymiernym? np
7/2
3 ??
Bardzo dobre pytanie! Okazuje się, że tetrację też można "dość naturalnie" rozszerzyć na podstawy i wykładniki zespolone (i zrobiono to dopiero niedawno). Można o tym poczytać tutaj myweb.astate.edu/wpaulsen/tetcalc/tetcalc.html Jest tam nawet kalkulator dla kilku wybranych podstaw. Podstawy 3 akurat tam nie ma - w tym celu trzeba ściągnąć cały kod w Mathematice. Wychodzi na to, że tet_3(7/2) to ok. 1,06*10^617
dla zasięgu
Veritasium ostatnio wypuścił na ten/powiązany temat odcinek:
th-cam.com/video/cUzklzVXJwo/w-d-xo.html
"Only by giving up math's connection to reality, could it guide us to a deeper truth about the way the universe works." Łał
Życzę jeszcze lepszego materiału. (pisane przed premierą)
O, podobne zdanie pada w poprzednim odcinku (tym o liczbach zespolonych)
we wzorze na potęgowanie zespolone zamiast -2πk powinno być -2πvk
Każdy błądzi
13:20
Można prosić o namiar co do tej klasy (czysto z ciekawości :D). Na polibudach nadal mówi się o ciągłości
Już myślałem że trafił Pan do więźnia.
Nie wiem co do mnie mówisz ale lubię Cię.
Bardzo szanuję tę "ładniejszą wersję" wymowy łacińskiej
Ciekawy wykład tylko trochę za wolno Pan mówił, ale po ustawieniu prędkości na 1.75 było już ok.
Pozdrawiam 🙂
Gdzie są granice mojego szklanego sufitu? Już dawno przekroczone, a ja nadal patrzę jak wół w malowane wrota
ja ten pieprzony sufit przebiję!
Wszystko ładnie z tymi sinusami, ale skąd wiadomo, że jedyne funkcje, które spełniają tożsamości trygonometryczne to właśnie sin(x) i cos(x)?
Bardzo ładnie, choć zabrakło mi nazwiska i portretu Brooka Taylora -- takie hasła to klucze do wyszukiwania dalszych informacji.
32:02 dlaczego po podstawieniu wyszło w wykładniku PI do kwadratu?? czy nie powinno być e^(i PI) = .... = -e^(-2 PI k) ??
dla k=1 powinno wyjść e^(i PI) =~ -535.4916.. ??? czy -373791533.22..
Zacznijmy od zera! Oto jestem, w czym mogę pomóc ?
Ile to jest zero do potęgi zero?
Matematyka szkolna liczb zespolonych jest podana - jak dla mnie - bardziej zjadliwie.
Głowa mnie boli ale było warto
miałem to na teorii obwodow ale w ogóle sie nie zastanawiałe po prostu wlejałem żeby rozwionzać zadanie nawet nie wiedziałem że w przebiegu odkształconym to nie ma zastosowania
Po pierwsze: świetny wykład.... ale nic nie jest idealne (a może bardziej "de gustibus..."). :)
Brakuje mi tutaj wyjaśnienia użycia (i nazywania funkcjami) relacji nie będących funkcjami (Exp i Ln). Funkcjami w standardowym pojęciu (działającymi na elementach zbiorów a nie na podzbiorach).
.W sumie, przydałoby się (gwoli mniejszego mieszania w głowach niezorientowanych) przypomnienie ograniczania dziedziny dla zachowania własności funkcji (arcusy, pierwiastki, ...), oraz to kiedy jest to sensowne w praktyce (np. exp(z) vs. Ln(z)).
Ciekawe, że a^x może być mniejsze od jeden. Żeby tak było ln(a) musi być ujemny, ale wtedy jest zawsze tylko taki ujemny żeby ten cały ciąg, który wyraża potęgę był zbieżny do wartości dodatniej 🤯(dla a i x rzeczywistego)
11:00 Nie rozumiem dlaczego suma tych wszystkich ma doprowadzić do tego wyniku. Moze iloczyn skalarny czy coś. Coś tam nie tak chyba jest.
16:46 jak użyć szeregu Taylora nie używając szeregu Taylora
To może jeszcze uzupełnienie o e do potęgi macierzy :-)
Jaki ja jestem głupi dziękuje za uświadomienie mi tego
jest potęga w tych potęgach xD
Czemu ustalamy a do 0 na zalozeniu wzoru ? Skad wiemy ze ten wzor jest prawdziwy?
Jest szansa na standardowe, drukarskie (typograficzne) cudzysłowy („”), dla pełni profesjonalizmu? (-:
Może zrobicie polski Numberphile ?
32:51 Dlaczego faza tutaj to PI/2 ? Zakładam że jest dobrze ale nie zgadza mi sie z moim rozumowaniem i = (0 + i1) a tym czasem mamy i = (1 + iPI/2)
Faza siedzi pod funkcjami trygonometrycznymi: i = 0 + i1 = cosϕ + isinϕ, a zatem ϕ = π/2
Gdyby ktoś powiedziałby mi, że z własnej woli będę ślęczał nad wzorami to zabiłbym go śmiechem, a tu proszę..... Przykuwa Pan uwagę niczym śpiew syreny 🤣. Pozdrawiam Serdecznie!
Takim uczniom nauczyciele powinni też kazać się do siebie zwracać w jakiś wymyślny sposób. Np. ich imię, to wynik notacji strzałkowej z dwiema strzałkami cyfr składających się na zastaną minutę. Jak nie poda prawidłowego wyniku w danym momencie, to pozew, że nie szanuje nauczyciela. :)
Łoo Panie, ja na to za głupi jestem!
3.37 s Wskaż mi ujemne liczby naturalne.
Ujemnych liczb naturalnych nie ma, ale jest jedna niedodatnia: zero.
Nie pasuje mi Pańskie wyjaśnienie sprzeczności, która pojawia się na filmie od chwili 33:00. Najbardziej czytelny jest problem z ostatnią równością. Pierwiastek z -1 to jednostka urojona i z definicji jej kwadrat wynosi -1. Nie ma tam miejsca na +1. Z definicją trudno dyskutować.
No właśnie nie do końca. Jednostka urojona i faktycznie jest zdefiniowana poprzez własność i*i = -1, ale jednocześnie nie jest prawdą, że pierwiastek kwadratowy z -1 jest równy i, albowiem "równie dobrym" wynikiem jest tu -i. Pierwiastek kwadratowy jest funkcją dwuwartościową. W liczbach rzeczywistych można jeszcze się umówić, że tak nie jest i zdefiniować pierwiastek "arytmetyczny" z liczby nieujemnej jako liczbę nieujemną. W liczbach zespolonych już się tak jednak nie da - trzeba tam wybierać tzw. gałąź funkcji wielowartościowej. Dopóki trzymamy się jednej wybranej gałęzi, dopóty faktycznie ostatnia równość będzie spełniona.
Świetna seria, ale ten odcinek dla szarego człowieka jest nie do ogarnięcia
Najpiękniejsze równanie matematyki to 21=3*7
Ten wzór jest paskudny. Prawdziwe piękno kryje się w exp(i*tau)=1. Używanie pi w dydaktyce sprawia, że jestem smutny.
Czy Matematyka posiada liczby losowe?
W rachunku prawdopodobieństwa są tzw. zmienne losowe, które tak się interpretuje
@@rigelheron9997 wykładałem płytki na ujęcie w budowlane jestem wykładowca na ujęcie. To nie odpowiedź 😁
@@andrzej9618 Ale o co chodzi? Rachunek prawdopodobieństwa naprawdę zajmuje się matematycznym modelowaniem zjawisk losowych... Czy mógłbyś w takim razie doprecyzować pytanie? Do czego chciałbyś takie "liczby losowe" stosować?
@@rigelheron9997 mówi się że MATEMATYKA opisuje świat i że za jej pomocą można np. Opisać świat ale bez wzór tworzącego liczby losowe a nie opisujące liczby losowe nie da się tego zrobić. Czy liczby mogą opiewać wyniki tylko w przepuszczeniu lub w przybliżeniu wynik działania. Taki absurd myślowy. Nie uda mi się bardziej sprecyzować.
@@andrzej9618 Hmm, "wzór tworzący liczby losowe" to chyba oksymoron, więc nic dziwnego, że czegoś takiego nie ma. Ale okazuje się, że losowe aspekty świata daje się skutecznie opisywać matematycznie innymi strukturami niż logicznie niemożliwe "wzory tworzące liczby losowe". Służą do tego miary probabilistyczne, zmienne losowe, procesy stochastyczne,...