【面白い算数の問題】円 面積 算数 中学入試
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- เผยแพร่เมื่อ 10 ก.ย. 2024
- 解けない所が出た場合に、着眼点を変えてみよう！
前田健太先生(
ma...
)
から問題をご提供いただきました！
オープンチャット「算数ネタ研究会」
line.me/ti/g2/...
という会もありますので、もし良ければ皆さんもご参加ください！
前田健太先生ありがとうございます！
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良い大人ですが昔から数学、算数が苦手です。
こういう問題を初見で目にした時に閃ける人って本当に尊敬します。
このテクニック(気づき)は数学問題を解く時のみではなく物事を色んな角度から見る事が大切なんだと教えてくれているんですね。
印象的な順番として、
1.「対象の図形だから、どっちか半分でいいか」
2.「全体からひこうかな？でも、うまくでなそう。」
3.「等積変形用いるパターンあるな」
って感じですかね。
20+70=90も目に入るし、平行とかも使いそうに見えるけど、それはフェイクみたいな感じですね
もう受験もクソもないけど、先生の講義を見るのが楽しいです
現役生は必死でしょうが、おじさんは一つのエンターテイメントとしてみてます
ほとんどの問題が先生の回答を聞かないとわかりませんが、たまに自力で解けたときの嬉しさは半端ないです
頭の体操になりますね
同感
別解を一つ．
中心O，円周上の４点を上から右回りにA,B,C,Dとする．
求める図形(面積)
＝扇OADー△OADー(扇OBCー△OBC)
＝扇OADー扇OBCー△OAD＋△OBC
＝扇OADー扇OBC（∵角AOD＋角BOCは補角で△OAD＝△OBC）
＝半径3，中心角40°の扇型
＝π
（追申）
発想は図形OBCを回転して図形OADと並べると半円図形ができる事．
「数学とは異なるものを同じとみなす技術である」とは正にこういったことですね
嬉しいコメントありがとね^ ^
ものすごく考えさせられる問題なのに最終的な計算がシンプル
問題作った人もだけどこれを初見で解く発想力を持っている小学生は天才だと思った。
なんだか、その表現は失礼に感じました。初見で解く発想力、確かに凄いと思います。でもそれは、そう発想出来る頭脳になる努力をしてきたからだと思うのです。それは毎日の予習復習や数々の問題集を解いたり等してきた結果の閃きだと思うのです。天才という言葉１つで、掛けてきた時間=努力をサラっと流してしまうのはどうかと。やっと話す事が出来るようになった子供が解いたなら天才といってもいいと思いますが、この場合私なら、初見で解く発想力を持っている小学生はかなり勉強してきたんだなと感心します。や、小学生の努力は尊敬に価します。と表現します。些細な事かもしれませんし、コメ主様もそんなつもりで無かったと思いますが、何だか引っ掛かったので長文失礼しました。どうもすみません。
「初見で」と言っても、その小学生はこの発想に至るまでに、補助線を引く、図形を移動させる、回転させる、合同・相似な図形がないか探す、等々のいろんなパターンの問題を解く練習をたくさんこなしているんですよ。
あなたはそこを無視しています。
何も勉強せずにいきなり解ける天才なんていません。
天才ラマヌジャンだって最初は数学の本を勉強してますよw
彼が生み出した公式はいったいどこから思いついたのか、さっぱりわかりませんけどw
中学受験生はこれはパターンで解いたことあるから解けるのが殆どです。
子供時代から算数が大好きでしたが、この先生と出会っていたらもっと好きになってたと思います。本当に楽しくて分かりやすくて退屈しない素晴らしい授業ですね♪
合同に気づいた時気持ち良過ぎた
問題作る人のセンスとかユーモアって凄いと思う。
あれだけ捏ねくり回して解いた答え、
回答欄に“π”の一文字だけとか。
なんか悔しい。
これ小学生が解くの？凄すぎ。
さらに出題者のセンスがもの凄くいい。
いろいろ凄すぎです。
直径通るように補助線引いて新しくできる扇形の三角形は中心角70で真ん中の三角形と合同で面積は中心角110の三角形と等しくなるから斜線以外の面積は70の扇形と等しいので、斜線は中心角40の扇形の面積と等しい。
長方形分割ですか！
これはびっくり！
意味が分からず図を書いて、コメントの意味を考えて試行錯誤してたら解き方のあまりの綺麗さに鳥肌が立ちました。
俺レベルでも分かり易いというか、感服というか脱帽というか。ただただ尊敬します
@@papanana459 さんへ、言葉で上手く説明できてなくてごめんなさい。あっと気付いて美しい解にたどり着いた時の快感は数学の楽しさですよね。とても辛い事があって落ち込んでたので、ポジティブなメッセージを読んで明るい気持ちになれました。ありがとう。貴殿にも良いことがありますように。
@@nb5sizenotes537
こちらこそ言葉足らずですいません。簡潔なコメントなのに要点をビシッと抑えた素晴らしい文章で、解法と相まってなおさら感激しました。と捉えてください(笑)
そちら様にもささやかどころじゃない良い事があるように願います
S=中心角110、半径3の扇形－頂角110、等辺の長さ3の二等辺三角形－斜線部の右側
=中心角110、半径3の扇形－頂角110、等辺の長さ3の二等辺三角形－(中心角70、半径3の扇形－頂角70、等辺の長さ3の二等辺三角形)
=中心角110、半径3の扇形－中心角70、半径3の扇形－頂角110、等辺の長さ3の二等辺三角形+頂角70、等辺の長さ3の二等辺三角形
ここで、中心角110、半径3の扇形－中心角70、半径3の扇形=中心角40、半径3の扇形
また、頂角110、等辺の長さ3の二等辺三角形と頂角70、等辺の長さ3の二等辺三角形は、三角形の等積変形により面積が同じになる。
よって
S=中心角40、半径3の扇形=3*3*π*40/360=π
解説見てなるほど！って納得するのが癖になります。算数はこんなに面白い教科だったのですね・・・！
この人子ども時代に出会えてたら算数や数学もっと好きになってたかもしれないな
解説がわかりやすかったです。算数・数学の解説って「なぜこうなる？」という部分を共感してくれてサクッと「こうだからこうなるんだよ」という説明がほどよくあると非常にわかりやすいですね。中には飛んでる方もいらっしゃるので。
等積変形使って結果答えは合ってたけど、解説の解法の方が断然スマートで泣けた。
ちなみにどこを等積変形したんですか？
これは良問 答えもいい感じ
30分かかってやっと出来ました…。答え合わせに動画を見ましたが考え方がまるで違くてビックリ驚きました。。。
勉強に集中できる生活環境ってありがたいですね、大人になってそう感じます。
今解けるか分からんけど、当時はこういう問題めっちゃ好きだったわ｡
勉強はもちろん嫌いで算数、数学も大嫌いだけど、面積とか体積求める問題はめっちゃ好きだった｡特にこういうパズルみたいに解いてくやつ好き｡
この問題、メッチャ面白い！かつ解き方に驚いて、鳥肌たった。
「鳥肌が立つ」の意味、用法を辞書で確かめてから使いましょう。
算数も大事ですが、母語を正しく使うことはもっと大事です。
少し解き方違いますが解けた時に感動しました！！
私は大きな扇から青色以外を引くという考えでやりました。
菱形の面積求める式を使って、円の中心から110°の三角形と70°の三角形の面積が同じと分かるので、110°の扇から70°の扇を引いた20°の扇2つ分の面積が青色と同じ面積になります。そこからは同じでした！！
全く一緒です、自分と！
円の半径を使った三角形は常に二等辺三角形なので、中心角110度で作られる三角形と中心角70度で作られる三角形が同じ大きさということがわかると
中心角110度の扇子の面積から中心角70度の扇子の面積を引くと斜線の面積になるっということですよね！
小学生のがこんなことできるなんてすごいなあ！
@@egami112451 一緒で嬉しいです🙌馬鹿なので中心角という言葉思い出せませんでした🤣めっちゃわかりやすい文で感動してます！！後110°でしたね！それも私間違ってました🙏
中学受験に頻繁に出題されるこうした視点を変えたり、補助線、図形分割をする問題、本当に面白いですよね。
こうした問題を自力で解けたときの喜びを感じることが出来るから、中学受験の算数や数学は、やめられません。（笑）
それにしても、とても良い問題ですし、講師の方の解説も、上手ですよね。とても腑に落ちました。どうも有難うございます。
勉強になりました。ノートに記載し、復習しておきます。合同な三角形を見出すことが出来れば解けますが、
それを見出す発想は、日ごろから取り組んでいないと解けるものではありません。
とても面白かったです！！
別解：70°の三角形を20°回転させて、40°の弧に片寄。70°錯角の平行線ができるので、平行線に沿って等積変形。40°の扇形の面積とわかる。
この方がきれいだよね
このテクニックは以前学んだので面白いように解けました。ボケ防止の老人の趣味で楽しんでいます。ありがとうございます。
嬉しいコメントありがとう😃
なんも分からなかったけど綺麗すぎてびっくりした
この問題は前提条件として「直角三角形の合同条件」を理解していないと、
この方式では解けません。
現行の義務教育だと中学２年の時に「直角三角形の合同条件」を学習することになっています。
中学入試の問題としてふさわしいかどうか含めて
色々と腑に落ちました。
問題を考える人を尊敬するわ。ちゃんと発想の手がかりの数値があるんだもの。
なんで２０度、なんで７０度って。
凄く見入っちゃう求め方の面白さに気付ける良い解説と教え方で、学生の頃の先生は教科書を読んでるだけで何故の部分が追いつけず辛いだけだったので求め方の気付いていれば算数も数学もやってるだけでも楽しかったと思いました
この先生スゲー。小学生の時 こんな先生だったら良かった。
誰も授業について行けなくて草
俺もこんな先生ならよかった、俺時の先生は所謂「外れ」先生だったから
どうやってこの解法に辿り着くか、そこの説明がお上手で感心いたしました。
まさかの合同…
良い問題ですね。説明もとても分かりやすかったです。
なるほどなー。自分の頭が先入観にとらわれていかに固くなっているかがよく分かる解説動画でした。
70度とか20度とか中途半端な角度しか出てこない時点で、三角形の面積が計算できない（計算の途中で相殺される）と感づくよね。
110度の扇形から三角引いた面積と70度の扇形から三角引いた面積の差が答え。
直径引いたら三角の面積が同じと分かるから扇形の面積求めるだけで答えが出る。
アラサーワイ、高3は政経コースだったから数学やった記憶がなく、おそらく高2から数学の類いをやってないので10年以上やってなかったが、
このチャンネルの解説見てると脳が活性化されてる気がする……（気がするだけ）
中学入試はいかに閃けるか。
高校入試はいかに基礎ができるか。
大学入試はいかに両方ができるか。
大学入試が一番ひらめきが要らないと思いますが
溶けていく解説を聞いててぞくぞくした
別解です。110°を頂角とする扇形の面積をR110, 70°を頂角とする扇形の面積をR70、110°を頂角とする三角形の面積をA110，70°を頂角とする三角形の面積をA70とする。求める面積 S =(R110−A110)-(R70-A70)=(R110-R70)-(A110-A70)
さて、A70の三角形を90°下に回転させるとA110の三角形とくっついた直角三角形ができるが、どちらも底辺3、高さは同じなのでA70=A110となり、Ｓの式の後項は0になる。従ってS=R110-R70=3x3x40/360xπ=π
この手の問題は、ずっと見てきたからすぐに答えが出ました!
凄すぎて草
あ～ぁ。納得するまで説明の画像を巻き戻したり、送ったりするように（繰り返し見る、見れる）何度も何度も腑に落ちない疑問に繰り返し繰り返し説明してくれてたら、数学落ちこぼれなかったのになぁ～😭 わかれば楽しいやん。数学も😭💦🧡
小学生の解法が思いつかず、sin使って解いたら答えが綺麗な数字だったので、何やらすごい仕組みになってるな…っと思い動画へ…
問題考える人がすごい
☆印の三角形・・・。参りました。解説も素晴らしいですね。そして美しい答え、問題作った先生もすごい！
12度78度12度だと12+39=51,残り39。赤い三角90+51+39。黄色い三角は39+90+51。同じ手が使えると思う
40歳になって算数がこんなにも楽しいものだと知りました‼️
すごくいい動画だと思います👍
2日間考えて分からなかった。答え見たらめっちゃ簡単やん。気付くかどうかですね。これは気付かんわ。これ気付ける人天才。
これを解ける人は算数のいろんなパターンの解法の引き出しが多い、ということでしょう。いきなり算数の知識ゼロから解けるわけではない。
近頃の若い衆は神とか天才とかいう言葉を安易に使い過ぎると思います。天才とはアーベルとかノイマンとかラマヌジャンとかいった人を指す言葉です。
言葉の濫用は慎みましょう。
15度75度15度だと15+37.5=52.5。残り37.5度。赤い三角52.5+90+37.5。黄色い三角は37.5+90+52.5。これも同じ手が使えると思います
林修が学問で最も重要なのは数学と言っているけど、
こんな問題何問も解いていけば、確かに世の中で求められる柔軟で多角的な視点持てるわ。
気持ち良い！！！！自力ではまだ解けないけど、解説聞いてワクワクした！感動をありがとうございます！
登録者の伸びが驚異的……！
7万人おめでとうございます🎉🎉
sin, cosで式を立てて、加法定理を使ったら、面倒な項がcos(35°+55°)=0 になったので美しい…と思ってたけど、解説の方法は鮮やかでした。合同気づかなかったわ〜
図形がいろいろありすぎて、この発想はなかなかできない。
小学生の時にこの問題を前にしたらきっと分からなくて投げ出してたけど今になってみると算数、数学の面白さに気付かされます
大人になってからようやく理解出来た気がします！
当時の先生は教科書通り過ぎて何言ってるか分からなかったこと多いのですが、考え方の転換に重きを置いた授業だったらもっと楽しかったなぁと
これ面白いですね
僕は合同じゃなくて等積変形で解きましたが
因みに僕は全円にした後、
20°を2等分する線を引くともう片方の20°の弦と並行になりかつ元の形を弦でとった等脚台形の脚の中点を通るようになります
したがって20°の扇の三角形を等積変形すると等脚台形の片側の脚ともう片側の脚の中点を結ぶ三角形になります
これは等脚台形の面積の1/2となるので以下略です
因みに等脚台形の面積の1/2になるのは中点連結定理から一応示せます（ここは中学範囲になるけど）
急におすすめに出てきて見てみたらハマりました笑
凄い！！！
やばい！！
こんな楽しい解説が子供の時にあったら良かったのになぁ〜
たまたま関連動画に出てきてちょっと見てみたら受験全く関係ない40歳のおっさんなのに見いってしまった、数学解けてこんなに気持ちいいとは思わなかった
等辺が同じ長さなので、頂角110°の二等辺三角形と頂角70°の二等辺三角形が同じ面積ってして解いたわ
解法が一つじゃないのも数学の面白さの一つですね
自力じゃ解けないけど、解き方と答えが気持ち良すぎるｗ
凄いわかりやすい！！
いつも勉強のあ今の休憩に見てます！
これが中学入試。小学生が解く問題。
うちの周りの高校生はほとんど解けないですね。
でも面白い問題です。合同に気づいた時は鳥肌が立ちました。
中学の娘と毎日1問楽しみながら見ています❗頭が柔らかくないととけないー💦
中学数学の知識使ったとしてもなかなか難しいw
算数でわからんかったから数学で
全体=3×3×π×110/360
大きい白いとこ
1/2×3×3×sin110
小さい白いとこ
3×3×π×70/360−1/2×3×3×sin70
全体−白いとこで赤いとこ！！
π+9/2(sin70-sin110) =π
教え方マジ上手い！スッキリした！
いい問題だけど、これを受験中に閃くのは俺には不可能・・・
過去問解きまくってたらその類題だな～ってなるのかな
この動画を見てると、もう一度受験したくなる。次こそは志望校に合格できそうな気がする。
嬉しいコメントありがとねーー
最初から当たり付けるのもなかなか難しいから、発想としては、
知ってる公式で解けるように作ってあるはずだから、直接求められない変な形なら、簡単な扇形と三角形・四角形に置き換えられる(等積変形)はずだ！と思うしかなさそうですね
そして公式が使えるように垂線下ろす＆隠れた等辺・等角を見つけて、同じ面積を見つける！
しかしまさか合同を使うとはw
3年前のセンターでお世話になりました、、久しぶりに動画見つけて懐かしくなってまた登録しました、、やっぱわかりやすい
こういうことか！
ピンク三角 ＝ イエロー三角
ピンク三角とイエロー三角は同じ形で同じ大きさ
ピンク三角 − ☆ ＝ あ
イエロー三角 - ☆ ＝ い
あ ＝ い
だから、形は違えど同じ大きさから同じ大きさの面積を引いたら、同じ面積が残る
つまり、
あ + ♡ ＝ い + ♡
になる
一番求めるのが簡単そうな「あ+♡」を考えれば、青色の面積が分かる！
やったー
小中学校のときこの人みたいな先生に出会いたかった
学校には居なかったかもしれないけど、進学塾にはゴロゴロしてたんでしょうねぇ…
中学の時の塾の先生はこのレベルだったなぁ。勉強が楽しかったし、偏差値２５くらい上がった。
進学してから落ちぶれたのは言うまでもない。一応進学校だったけど、自主的にやれっていう感じだったし。
これは良問。
子供の学習塾で「中学受験はしますか？」って訊かれたけど
Yesって答えてたらこういう勉強をするコースになってたのか。
すご！
確かに。。
数学嫌いが更に嫌になりそうな計算だと思っていたのに、
こんなにカンタンに解けちゃうなんて！
個人的には美しく感じない問題でした。
「なんとなく線を引きました」「移動できたらいいな」「たまたま合同でした」みたいな説明という印象が拭えない。
小学校の時の中学受験でも同じ感覚でした。
最終的に合同があるから線を足した、〝結論ありき〟の考え方では？
この説明を受けたり、問題を解いた子どもたちも「結論ありきじゃない？」って違和感を感じるのでは？
発想の転換というより、これ用の傾向問題を予習した子が受験で解ける問題のように感じる（受験なので当然ではあるが...）
めちゃくちゃ分かりやすい... 感動
凄く分かりやすくて楽しめる、最高です
閃きと想像力…。
ただ目の前に見えているものだけ、今までの経験だけ、今まで教えられてきた事だけ…しか見えてない人には、到底見えてこないモノですね。
社会に出てから、ある意味一番求められているものかも…。
私も当然………全く解りませんでした💦
補助線の大切さが解る問題ですね
一つ線を引くだけで見たことがあるものになるから面白いなあー
まだ一度も解けない。馬鹿の壁は高いけど、いつか必ず超えてみる。
5日とかで登録者2万人くらい増えてるのすごい
手計算で20°、70°の扇形から引きたい三角形の底辺、高さを求めることできないので、30°、60°に代えて計算してみると縦横ひっくり返したような状態になって、いわゆる合同条件を使っていることがわかりました。
この考えに至る小学生に会ってみたい。
これなんのヒントもなしに気づいたら脳汁が止まらないだろうなぁ。
すげー気持ちいい！
すごい！！！！！
ためになります！！！
やっぱり基礎が頭に入ってても閃がなければなぁ(俺には無い🥺)
やっぱり問題を解きまくるしかないのかなぁ
中心角O、円周上の点を上からA、B、C、Dとすると三角形AOCと三角形BOCの面積が同じ(どちらも底辺3センチ、高さ3センチ)
あとは等積変形して中心角20°の扇形2つ分
Sin70°＝sin110°から攻めれば合同に気づかないまま式変形だけで解けちゃう
でもこの図形て90°回転させると三角関数の定義で書く単位円のグラフと同じ形してるし、本質的にはやってること同じなんだろうか
なるほど・・・
こりゃあすごい。合同を証明できるシーンいやぁ、参りました。
大人になってやっと受験算数の面白さを知るという。。。
( ｀・ω・´)ﾉ わかりみです。自粛中でゴロゴロしながら算数やってて家族に怒られてます。迫田先生の問題は大学入試～小学生ルール縛りと幅広いので楽しいですよね。
これは素晴らしい😭
一番上の交点から、上から4番目の交点に補助線引いて円周角の定理（中学受験ではやらなそう）使ったら、中心角20°のおうぎ2つ分になるから暗算できそう。
算数が苦手な人はこの手の問題を見た時点で諦めるだろうけど、算数が好きな人はとりあえずいろんな線を引いてみる。そこから導き出せる可能性はグッと上がる。両者の違いは線1本分なんだよな。
やっとへーってなったのに、最後の計算で公式忘れてるせいで分からなくなった。小学生すごい
よくわかる。おもしろかった。算数が楽しくなる。
聞くと分かるんだけど、同じ三角形じゃ無いかと予測が出来ない。。
凄くよくわかる、その気持ち
折り返し線の一手のイメージを持たせることが出来る指導が難しいよね。
発想がめちゃめちゃ面白いですね！