三次方程式の虚数解はどこに存在する?数学の不思議な世界
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- เผยแพร่เมื่อ 1 มี.ค. 2023
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■三次方程式の虚数解とは？
前回紹介した二次方程式に引き続き、三次方程式の虚数解についても調べてみましょう。
二次方程式と違い、三次関数は点対称のグラフになるので、グラフとx軸がどこかで一か所は必ず交わります。
グラフとx軸が交わるということは、実数解を持つことになります。
どんな三次関数も、必ず1つは実数解を持つのですね。
すると、その実数解をαと置くと、三次関数f(x)は（x-α）を因数に持つことになるので、
f(x)=(x-α)g(x)
と因数分解できることになります。
このとき、g(x)は二次式になります。
つまり、三次方程式の解のパターンは、二次方程式の解のパターンに実数解αを足しただけということになります。
さて、虚数解を図示するためには、前回と同様に複素数の範囲まで定義域を広げる必要があります。
果たして三次関数はどのような軌道を描くのでしょうか？
#数学 #虚数
この人、編集が上手すぎて数学って美しいなと思わせる事ができると同時に分かり易すぎて数学の理解を深める事ができるから好き
なんか、頭が良くなったと錯覚しちゃう
コメ主さんの名前硫化バリウムじゃんw
H₂Oさんも居ないかな…
@@owateru残念！！ 硫酸化とは言わない
@@YIFIGY 残念！！ 硫酸化とはどこにも書いてない😊
@@user-qb8ji7qi3y 笑ったw
文系でも楽しめるのでありがたい。受験勉強の休憩などででこういう豆知識を摂取して気分転換するときにお世話になりました。
お互い頑張ろうね！！
y^2=x^3～系統の楕円曲線をグラフ化すると曲線パターン＋独立した水滴状の輪っかが1つのグラフに登場するという面白いネタとなりますので解説動画化へのご検討願います。
もうただ美しいとしかいえない
毎回数学の美しさに惹き込まれてしまう
これまでのグラフ、ツールから自作だったの凄すぎる
UnityとかBlenderとか使ってるのかなくらいに思ってた(もちろん専用ツールがあることなんて知らなかった)
unityは、左手座標系で、blenderは、z軸が上方向だから数学的なグラフを表すのにむいてない。
なぜ、そのツールと考えたのかなと疑問。
@@user-go8kg3hh1j 別にzが上だろうと回転させれば同じだが
@@user-go8kg3hh1j UnityもBlenderも使ったことはないですが、3Dオブジェクトを作る応用で十分作れるものだとは思いますが？
どういうマウントの取り方をしたいのかが謎い
実際に使ってみたら分かるが使い難い。
unityは、内部演算も左手座標系の計算が使用されているから動画の数字的な説明と違う計算をしないと動画の様な表示ができない。blenderは、もっと使い勝手が悪くそもそもY軸を上方として扱う仕様になっていない。
ここまで使い勝手が悪い物を選択するなら別のソフトを選ぶ。
それこそ、WebGLとスクリプトの方が簡単。
他にもスクリプトから図を作成する無料のソフトが多くあるのに、使い難い物を選んで選択したのは何故かと思ただけ。
@@user-go8kg3hh1j 別に普段このようなソフトを扱わない人間が思い浮かぶソフトが上記2つというだけで特別な理由もないように思いますが
毎回面白い
もっと伸びて欲しい
代数を図形っぽく見れると奥深い発見に繋がって良いものですね
いつもありがとうございます 数学が面白いで！と感じられるようになれました 編集がうますぎてほんとにわかりやすいです！
久しぶりに動画来た！毎回面白い動画ありがとうございます！
従来の学校教育だと紙に印刷された平面のグラフしか取り扱うことができなかったけれど、もしXRやホログラフィック技術が教育現場でも一般化されたら学生たちがより柔軟な発想を持つことが出来るようになるのではないだろうか
今、２次元上で３次元を投影出来るように、３次元空間を直接プロットする技術が確立出来れば、３次元空間上に４次元空間を投影出来るようになるかもしれませんね。
PCやタブレットが学校授業にも一部導入されたんだっけ
This is quite interesting, it's the first time for me to see video like this explain complex roots more than x^2 geometrically, and this video really shows de moivre's theorem and the position of those complex roots in different powers.
もうヒヨコイにすらついて行けない…😂
た😊かたなか
ただただ感動しました。ありがとうございます。今は良い時代ですね。当時はカルダーノの解法を知るだけでも図書館であれこれ調べないと分からなかったです。３次方程式の解法にハマっていた高校時代の自分に教えてあげたい。
ちなみに解がちょうど120°回転する理由は
Z^3=1
を満たすような複素数Zはどうなるか考えるとわかります。
この「n次方程式はn個の解をもつ」という代数学の基本定理そしてガロアの理論など上位の理論にもつながります。
自分の自由帳でやってたことがあたってたから、すごく感動した…！！！
x軸側を実数(1次元)に固定して y軸を複素数(2次元)にした 立体グラフにすると
y=√x のグラフの左側は？？？
y=(-1)^x の振動の本当の理由
y=(-2)^x もし指数関数の底が負だったら
などなど、様々な美しいものが見られると思います！やってみて下さい！
このチャンネルのこういうのみてると、この世界の最新の数学、限りなく四次元に近い世界の話を見ている気分になる
素晴らしい‼
こうやって眺めると数学の授業でといていた三次方程式は、ややこしい話にふれない、ややこしくない問題ばかりだったんだなって思います。すごくおもしろいです。
めっちゃ知りたかったやつおすすめに出てきて感動した
すごい、この動画すごいよ
相変わらず編集がうますぎるw
今みるとわくわくしすぎて寝られなくなるに違いないからまた今度みることにしよう。
ヒヨコイの立ち位置変わりましたね(笑)
まあ仕方ないと思いますけど
グラフ楽しいのでまた待ってます
ヒヨコイさん、頭良すぎる！
尊敬します。
お茶が無くても、喉は渇かないんですね。
多次元の関数のグラフの虚数範囲の部分が同じ角度の間隔で並んで組み合わさっているというのを目の当たりにすると高校数学なんかでやる三乗根オメガや複素数平面の極形式みたいなものと関連づいてそうな感じがしてワクワクしますね(実際に関係あるのかはわかりませんが)
これ複素数平面知ってるとめっちゃニヤニヤできる
凄い👏👏👏。主なら懸賞金のかかった未解決問題をアッサリ解いちゃいそう😍
プログラムだと既にあるものをわざわざ作ることを車輪の再発明って馬鹿にされますけど、仕事じゃなくて趣味ですから気にする必要はないですねw
それに一度でも自作すると、どんなものでも広く使われているものはすごいなと実感できます😆
こういうのを見てると、自分たちの生活に存在する『軸』が3本しかないのがホント悔やまれるな……
さては二次関数の時のやつから味をしめたな？
本当にありがとうございます
13:04 同感
超弦理論と関わってくるのかね...
絶対値で見るのうまいなぁ感心
親鳥さんすごい，数学界のTOKIOかもしれない
数学って、、美しいんですね😮
すごい！学校で見せるべき
数学を好きになる人が出てくる
四次元といえば三次元に時間を加えたもの、三次元空間を図視してyの虚部を時間経過の変化として加えたタイムラプスで表現自体は理論上できるはずだが、凄い計算量になって凄いPCが必要になって個人では難しいんだろうな。五次関数のグラフの時点で線が角張ってんだよね。
11:57 五次関数のグラフが興味深い。緑の線を見ても明確なように、青色の線にぶつかると緑・赤・紫・赤紫の4本の線が急に折れ曲がる。それも折れ曲がる角度だけで分類すると、緑や赤の線のグループと、紫や赤紫の線のグループに分類できる。
ハーマンミラー社の椅子のようなグラフだな。
面白い
視聴者を置いてけぼりにしていくスタイル好き
これに美を感じるか否かが数学的センスの分かれ目であると思う。
これまでいろんな人に会った経験則だが。
12:50
あなた、天才ですか!?
1/ｘや1/ｘ＾２、ｙ＾２＝ｘ＾２などのグラフが三次元的にどう広がってるのかちょっと気になる
やはりGrapesは最強ソフ卜だった
第４の軸を時間軸にして動画化すれば実数と虚数のすべてを可視化できませんかね？
全く同じこと思いましたw
動画でグラフを見てみたいですよね
四次元空間で二次、三次関数の複素数まで拡張したグラフ見てみてーー！
yが実数になる条件の平面が立ち上がったとき感動した
流石にむずいな😆
うぽつです＿|＼○＿！！
馬鹿な僕でもすごいわかりやすい
x^2+y^2=1の虚部も見てみたいです。長年の疑問。
円と双曲線が現れます
ブログラミングの教材にしたいので、ツールを公開してほしいです！一人で作った分凝ってなくてわかりやすいと思います！
俺らが言うことでは無いとは思うのですが、他人の時間(成果)を只で使いたいと言うのはどうかと思います。
3brown1blue（だっけ?）のチャンネルで使われているスクリプトは無料で使えるようになってたはずだからそっちの方がいいかと
3つとも虚数解の3次方程式もあるんじゃないか？
実数側だと見えないってだけで。
解が3つとも虚数だと係数が虚数になっちゃう
この動画を見て新たな疑問が生まれたのですが、虚数解を使えるなら、x^2+y^2+1=0のグラフも描写できるってことですか？
全く見当違いというか、無意味なことを質問しているかもしれないので、もしそうでしたごめんなさい。
z=x^2+y^2+1 と置いてみると、
x,yが実数の範囲ならzはxとyの2変数関数として定義できて、zも当然実数になる(1変数で表せる)ので(x,y,z)の3次元空間に描画できます。
その関数zとz=0平面(つまりxy平面)の交点(交線)が求める解になって視覚的に理解できます！
四次方程式やそれ以上の高次方程式だとどういうグラフが描かれるのかド変態グラフィッカー(自称乙)としてはめっちゃ氣になる
4次元空間に住みたい。マジで。
四次元パースペクティブ作ってた人がいたなぁ。
初めてみた。これが当時の受験時代にあればどれほどありがたかったか
むじゅかちぃ…。
高校生の時にみたかった
ガロア理論と関係しますか？
ド・モアブルの定理ってやつかな
虚数界怖い…
なにそれ怖い
波の関数がeの虚数乗の和で表せるのがずっと不思議なんですが、この方法で可視化できたらスッキリしそう
動画で一秒を1センチとか定義すると、XとYに虚数を含んだグラフを作れるのだろうか。ぼんやりと想像。
(*´д`*)これですよー！ この120度に配置された３本脚＝「五徳」！ こいつが脳内だけじゃなく描画可視される時代が来た！ できれば３つの解をｘ平面の円周上に120度間隔で存在してるのが分かるように円を表示して欲しかったかな、１とω・ω^2のような配置が見えれば大勝利♪
実解３個の場合の残り２本がどうなってるかは脳内じゃ追えなかったけど、歪んで跳ねてるんですね！ 生きてるうちに知れてよかったｗ、満足じゃ〜 (*´∀｀*)
４次関数も一緒にやってくれてありがとうございます！ ｙ＝ｘ^2とｙ＝ｘ^4、平面上じゃなんか似てるグラフだけど、実際は虚数空間でこんなに猛り狂ってるんだぞー！という正体を白日に晒け出せましたね♪ ±１と±ｉが織り成す90度ワールドと、45度捻った下半身をお楽しみ下さいｗ
そして５次関数、ここから先は大体お察しがつきそうでもありますが、解の公式を持たないという性質がグラフに何か影響を与えたりするんでしょうか？('A｀) そこだけ生きてる内に知りたいな〜ｗ
最早出てくるもの全て自分で作ってるんじゃないかって疑うほど自分で作ってますよね…w
グラフは偉大。
Grapesはいいぞ
『これで理解でき(てい)るか』と言われるとそうではないのですが、やはり虚数について色々勉強になることには変わりなく、とても参考になります♪♪♪
それと、本が一昨日届きました♪♪♪じっくり読まさせていただきます( ・∇・)
私は、ある程度のスローペースなら構わないので、これからも色んな数学の‘知識・パズル・世界観’諸々をご教授下さい♪
π次関数を考えようとしたけど頭がこんがらがってやめた
「それ、数学で証明できます。～」本日無事到着、πのクリアファイルは・・・い、いいです😅
1次方程式の虚数って、どんな感じだろ？
1本の直線になるから
多分何も出てこない
普通に一次方程式のままだと思います。
案件じゃない・・・だと！？
yの虚部を色で表現できないかしら
サムネ似てて気づかんかった笑
関係ないけど、僕、カルダノとはまた考え方が少し違う三次方程式の解の公式作ったんですよ(どうでもいい)
すごいね
@@pizzapizza114 🥰
ぜひ！教えて欲しい！(by高2文系
@@user-jg9vs7xq7n 現在ゆっくりボイスでの解説の動画作ってる段階だけど大雑把に言うと
x³-ax²-bx-c=0において
1.x=y+a/3とすると、2次の項が消える
2.そのyの三次方程式の1次の項をPとし、y=z+P/3zとすると、z³に関する2次方程式になる。
3.それを解き、z³=uとするとz=³√u,³√u・ω,³√u・ω²になることから、代入していくと完成！
ただしωは1の虚数の三乗根( (-1-√3 i)/2 )
僕なんて立方完成してax^3+bx^2+cx+d=0という形の式をAx^3+Cx+D=0と直した(A,C,Dだけ内包してる式がオーバーヒートして過労死)だけで満足だぞ
高校生の時、こんなのを観ていたらもう少し成績が良かったかも。
ふむ。分かった（分からん）
これ、回転行列を使えば、5次以上の方程式の解を求められない？
複素数の世界の者です。
あまりちょっかいださないでください
動画投稿いつもお疲れ様です！
２乗すると０になるが０でない数「ε双対数」の動画、なんで消しちゃったんですか＞＜
めちゃ好きだったので見れるようにして欲しいです、、、！
なるほど 投稿頻度が下がった原因はこれだたんですね～ 餅は餅屋に任せろですね
（みんな数学推してるけど
昔の謎解き戻ってきてほしい…
taka-Tさんのことも忘れてるのかな…
謎解きは新しくチャンネル(実写)を作ってそちらでやります！
3月中には動画を投稿する予定ですので、しばしお待ち下さい。
@@nazotokilab
なるほど！わかりました
ご報告ありがとうございます）
できれば最初にどこかで「実係数の」と言ってほしかったかな（姑っぽい？）
なんで0って実数なんだろう
実数でもあり虚数でもあるとか、原点って言うならわかる
虚数を｢実数でない複素数｣と定義したからだろうね
でも正の数と負の数みたいな関係っぽく感じる気持ちも分かる
@@user-js6fb2yi7j これって勝手な物差しで0を正の数と言ってるようなもんだよなぁ
虚数ベクトルにいきなり実数が現れるのはちょっと可笑しいような気がする
@@PawatarMan 大学だと逆に0を自然数に入れることもあるしなー
拡張の順番の問題だろうか
頭が悪い自分ですが、答えが、縦、横の線上にあって見えなかっただけというのだけは分かった。
ei兀
お
結局、複素平面などというのはXYZ軸と何も変わらない。3次元空間にそれっぽい曲線を描いただけ。