Une intégrale STUPÉFIANTE
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- เผยแพร่เมื่อ 6 มิ.ย. 2022
- Vidéo résumant un des échanges que j'ai eu avec un des abonnés en privé ! Je vous encourage vivement à venir discuter de choses qui vous tiennent à coeur via Insta, vous apporter des pistes de réflexion est ce qui me passionne le plus !
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ERRATUM : L'intégration par partie est bien au programme de Terminale depuis la réforme des spécialités visiblement. Ce n'était pas le cas avant, autant pour moi !
fr.wikipedia.org/wiki/Au_temps_pour_moi
* au temps pour moi.
Ah bon ?.... J'ai passé mon bac en 96 ( bien avant la réforme des spécialités j'imagine ! ^^ ;) ) et l'intégration par partie faisait parti du tronc commun... Moi en spé c'était les coniques, équation paramétrique etc ...
@@Rikenzi Bon ...... Je peux pas dire que c'est faux puisque l'académie française l'accepte.... Mais ça ne veut rien dire. Mais "autant pour moi" est logique, il signifie "pareillement pour moi".
La seule fois que j'ai entendu "au temps" ( et pas au temps pour moi ^^ ... ), c'est lorsque ma prof de rock me disant : "tu n'es pas au temps" ( sous entendu : tu n'es pas dans le temps, dans la cadence ( qui est beaucoup plus logique et claire ))
T'as fait une ENS ??????????
J'aime bien ton style punchy et rapide, contrairement à d'autres chaînes qui développent leeeeentement des calculs terme par terme.
Ce qui compte c'est le cheminement. Le détail on peut le refaire soi-même.
J'aime bien suivre leeeeeeennntteeeeemmeeeennntt.... Ça me permet d'apprendre
@@senbonzakurakageyoshi662 Bah justement, je pense que c'est pas forcément la "bonne manière" d'apprendre. C'est-à-dire que comme le dit ce commentaire, l'important, c'est le cheminement, les détails, c'est totalement secondaire, ça sert "à rien" de "perdre" du temps dessus.
j'en ai rien à faire des maths mais c'est tellement passionnant j'adore ta manière d'expliquer tu feras un très bon prof
Ce gamin intrépide est un artiste extrêmement habile et perspicace. Il est un peu énervant avec ses hoquets et ses familiarités et parle trop vite. Je m'abonne quand même car il le mérite et il faut encourager les petits gars de cet acabit qui en veulent et qui bossent fort comme on dit en Turquie.
C'est fou la façon dont à chaque fois je suis excité de voir que t'as sorti une nouvelle vidéo, surtout continue de les sortir avec le rythme qui te convient 👍 du moment que tu nous garantis cette qualité. Franchement tes vidéos son super agréables à regarder même si on a pas vraiment le niveau pour comprendre le sujet abordé. Je sais pas si t'as un vrai talent ou si j'adhère juste à ton humour et ta façon de parler (sûrement les deux) mais en tout cas c'est cool
Ha là là, si ce genre de chaîne avait existé "de mon temps" (genre y'a 30 ans :-( ) ça m'aurait été bien utile (en plus les sujets sont toujours intéressants). Super ton boulot!
Elle est top ta chaîne, j’avais lâché les maths depuis la fin de mon école d’ingénieurs, mais c’est un plaisir de m’y replonger à travers tes vidéos !
Hola :)
Eh bien j'ai découvert ta chaîne par hasard alors que toute ma vie j'ai détesté les maths car je n'ai pas eus la chance d'avoir des profs pour me présenter la matière comme tu l'as fais dans tes vidéos et pour la première fois de toute ma vie tu m'as donner cette envie de découvrir les maths réellement comme si c'était un univers où chaque notion etc est une petite pièce du rouages millénaire que sont les mathématiques. Tu m'as donner envie de tout ré apprendre de 0 bien que je sois déscolarisés depuis longtemps... Je t'assure que grâce à toi j'ai réussi a comprendre les équations et certaines fonctions complexes et même si j'ai le savoir d'un 6eme je suis heureux d'en apprendre grâce à toi ;)
Je vais regarder l'entièreté de tes vidéos et je te tire mon chapeau pour cette écrasante victoire sur medemathique ;)
Cette magnifique intégrale confirme de manière stupéfiante la beauté des maths 😉. Les maths restent et resteront toujours un extraordinaire jeu de l'esprit avant tout. C'est en tout cas comme ça que je l'enseigne depuis plus de 30 ans... Merci pour ce très beau partage 👍
La notification que j'attendais depuis un bon moment. Merci pour toutes ces superbes vidéos et bravo.
Waw !les matheux,vous m'avez assommé là, quelle passion bizarre, c'est extraordinaire que c'est grâce à ces calculs carrément abstrait qu'on a marché sur la lune.
Explications claires et précises, encore une très bonne vidéo malgré mes connaissances restreintes en trigo, merci !
L'intégration avec changement de variable c'est ce que j'aurais fais intuitivement en voyant l'intégral, mais je suis assez surpris qu'on leur donne ça en terminale perso j'aurais jamais réussi ya 2 ans. Eh comme d'hab très bonne vidéo tu gères. ✌🏻
Actuellement en terminale, les intégrations par partie sont au programme de terminale, nous ne les avons pas faites car classe trop dissipée donc manque de temps dans l'année mais c'est bien au programme
@@maximebree4360 comme c'est pas au programme du bac peut être que certains lycée bâcle ça
@@maximebree4360 oui s mais les changements de variables pas au programme mdr
J’avoue pour des terminâmes c’est chaud
Rien à rajouter de plus que les super commentaires précédents. Continue, même ton, même rythme, c'est top.
Je trouve impressionnantes ta prise de recul et ta vue d'ensemble sur chaque sujet. Bravo !
1:23 pourtant c'est au programme
J'ai adoré la (longue) parenthèse !!
C'est encore une superbe vidéo, bravo
Super tout ça ! ça me rappelle du bon temps. Je découvre ta chaîne je ne te lâche plus. Bravo tout est clair et toi clairvoyant !👍
Hello, félicitations pour cette vidéo. Cela fait un peu moins de 20 ans que j’ai finit mes études et ce genre de problème stimulant me manque. Je vais suivre tes autres vidéos avec beaucoup d’intérêt (et un stylo ;))
Ca faisait un bail que j'avais pas calculé d'intégrales, mais j'ai pensé direct à l'astuce du changement de variable trigonométrique. Pourquoi ? Souvenir de prépa : quand les bornes vont de 0 à 1, t'essaies de changer la variable par une fonction trigo.
J'ai bien aimé par contre comment tu fais réapparaître l'équation de cercle dans le schmliblick, ça éclaire le changement de variable. Merci !
Excellente vidéo. "Soyez observateurs" est un conseil que je répète souvent à mes élèves.
Tout le monde ne voit pas l'intégration par partie ? J'étais pas au courant c'est dommage parce que c'est pas si compliqué à appliquer et c'est super utile
Pas besoin de le voir avant bac+1
Je suis dans un lycée très moyen et on l'a vu, donc je vois pas trop pourquoi il dit qu'on doit être dans un bon lycée pour l'apprendre.
@@cattoothecat Je suis dans un bon lycée et ca dépendait des profs. Pas besoin d’être dans un bon lycée pour le voir (comme beaucoup de choses).
Mec dis moi que tu est Tanguy Carré stp !
@@kiura8185 dans un lycée moyen et tous les profs l'ont fait je pensais que c'était au programme
salut mec. J'ai découvert ta chaîne via mes recommandations. J'aime les maths depuis le lycée. J'ai fait une prépa et j'ai pris goût à cette discipline.
Je pense que tu auras pu faire beaucoup plus simple. Si tu poses x = sin²(u) on trouve exactement la même chose que la 6ème ligne (voir 9:43)
Naturellement, j'aurais utilisé la méthode de calcul par intégration, car je connais les outils.
Avec le recul :
Mais j'ai vu que la fonction était définie entre 0 et 1. Les valeurs extrêmes sont connues et valent 0 ( c'est le min). Généralement il y a une symétrie au milieu de l'intervalle ( le TVI). Si on translate la fonction 1/2 vers la droite ( u=x+1/2) on trouve l'équation d'un cercle et là, c'est simple.
Vidéo très sympa, et beaucoup plus inclusive que d'autres. Bravo, continue sur cette voie!
Super vidéo bg, continues le bon travail.
Une autre manière de faire mais qui n'est pas meilleure que la méthode montrée: on fait le changement de variable u=x(1-x) mais préalablement il faut se ramener à l'intervalle [0,1/2] pour intégrer (la fonction x->x(1-x) est croissante sur [0,1/2] et décroissante sur [1/2,1]) , ce qui est aisé l'intégrande est invariant par le changement de variable u=1-x (donc on coupe l'intégrale en deux à 1/2 et les deux morceaux sont en fait égaux). Ce changement de variable peut rendre des services à l'occasion.
Il y a une erreur pour la primitive de la tangente à 2:42, il manque un signe moins. Sa primitive est -ln(|cos(x)|) (ou éventuellement ln(|sec(x)|).
j'ai hâte de voir la vide sur Grothendieck et en apprendre plus sur la géométrie algébrique
Comme toujours vidéo super intéressante et sujet hyper bien amené
Continue !!
Un vrai plaisir à suivre toutes le démarches de résolution des Pbs d'intégration .
Bravo vraiment SUPER...Merci !
Bonjour. Merci beaucoup pour tes vidéos. Va de l'avant !
C'est des trucs de prépa ???
Purée, ça tombe à pique !!!!
Merci 😀
Salut à tous, petite question: es ce que c'est connu que l'intégrale d'un sin² ou d'un cos² c'est 1/2 × (b-a) avec a < b les bornes d'intégration ?
C'était vraiment une vidéo extrêmement enrichissante. Merci beaucoup!
Une intégrale stupéfiante comme dirait le dealer du coin !
Je suis bluffé par la qualité ! Un abonnée de plus. Aussi je vais montrer cette vidéo à mon prof de maths, haha, il va adorer !
Merci pour votre explication 🎉
C'est avec cette intégrale que Newton a trouvé une méthode pour calculer pi avec un max de décimales.
En intégrant de 0 à 1/2 et en transformant la fonction en dev. limité .
le polynome avec ses x^k ramène des (1/2) ^k de plue en plus petits.
En tout cas en tant que prof tu seras sûrement un extraterrestre, au bon sens du terme. Être capable comme ça de faire des maths sans que ça paraisse rébarbatif, c'est déjà très attractif. 👍👍👍
Extrêmement intéressant, merci 👍
Excellent ce genre de vidéos, continue gros bégé
Je suis en fin de MP c'est un sacré délire la méthode 1, petit bordel sympa
Oh c'est très intéressant !Je m'abonne
C'est très dur pour de la terminale, fun fact j'ai des collègues en MP qui l'ont eu en colle de physique et qui ont pas réussi à la faire. Le colleur c'était le prof de physique des MP* du coup en début il a demandé si c'était facile et les élèves ont pas trouvé immédiatement, il était un peu déçu 😅
Impeccable comme souvent 👍
Dans les années 80, en terminale, on connaissait par cœur nos relations trigo (angle double, angle moitié...), on connaissait notre trigo hyperbolique, on intégrait par parties et par changement de variable. Et on maîtrisait les équas diffs linéaires du premier et second ordre. Et on faisait de la relativité restreinte et des transformations de Lorentz. On connaissait donc le gamma, sans faire de la physique approfondie. Et on disait tout ce qui a trait, et non tout ce qui est attrait...
Je vous parle d'un temps que les moins de 20 ans ne peuvent pas connaître. Quand le bac ressemblait encore à quelque chose.
Oui oui avant vous étiez des génies en maths nous on est nul .
bien sûr la propagande des droitards🤣🤣
@@maitrephenix5976 T'as un petit complexe dis-moi. T'as été voir ton psy? Je te parle de programme de terminale. Pas d'autre chose.
Et quel est le rapport avec la droite ? Si exiger un minimum des élèves c'est être de droite, alors rassure-toi, la France est à l'extrême-gauche depuis 30 ans sur ce plan.
@@harrymattah418 🤣🤣 j'avais bien raison.
@@maitrephenix5976 Si ton niveau de mathématiques ressemble à tes capacités d'analyse politique, tu dois voler assez bas effectivement.
ça va vite………, excellent conseil qui m’a bien servi dans mon boulot, 👍
Ta chaîne est top. J'ai tjrs eu le sentiment que j'ai pas choisi la bonne carrière (ingénieur) du coup je vais me lancer dans l'auto didactie en mathématiques.
Bonjour. Je ne comprends que les parties "Sujet+verbe+complément" de tes vidéos mais j'aime beaucoup ta diction et le rythme que tu y mets alors je m’efforce de rester jusqu'au bout à chaque fois ! Merci.
Incroyable la vidéo
Woooow incroyable please sir we want some more of that 😋
Comme toujours très bonne vidéo
bonjour Axel ! juste un souci, sur le calcul de la deuxième intégral !! lorsque tu fais le changement de variable x=u² est ce que
√(u²)=u forcément ???
"vous l'aurez reconnu"
"comme vous le savez"
"vous vous en rappelez tous évidemment"
C'est cela oui...... 😅
c'est un truc de prof pour bien signifier que leurs élèves ou leurs étudiants ont une tendance à avoir une mémoire de poisson rouge... (et, entre les lignes, de leur dire d'aller réviser tout ça, et plus vite que ça...)
Bravo et merci 🙏
Bonne vidéo comme d'hab, je trouve super le fait que tu détailles les calculs, c'est important et bien expliqué 👌
😂
@@charlesd7886 ptdrrrr ça va mec
Super vidéo !
Très intéressant 👍
perso j'aurais directement posé u = sin²(u) et je gagnais quelques lignes.
Ou alors penser à utiliser la fonction Beta qui donne directement pi/8 en se souvenant que gamma de 1/2 vaut sqrt(pi)
la notif qui t'hérisse les poils
sinon vidéo folle, complète et si captivante
Incroyable
Encore un bon moment merci bg. D’ailleurs tu t’es spécialisé en quoi en master ?
une video brillante !
Moi qui suis nulle en math j’ai enfin l’impression de tout comprendre ! Tu es tellement intelligent et beau ! Je te verrais bien avec un collier ….. mes bras autour de ton cou par exemple
Continue on veut plus de vidéo !!!
Magnifique
j'avais eu un dm ya quelques mois en pcsi sur les calculs de longueur de graphe (l'intégrale de 1 + f'(t)^2) où on nous demandait explicitement de retrouver explicitement "par des considérations géométriques" pour f:t --> racine de 1-t^2 la longueur d'un cercle
et j'ai buggé sévère bien 5 min avant de me rappeler les équations de cercle
moi jai fait le changement de variable (1 + cos u)/2 et ensuite pour calculer une intégrale de sin 2 on peut remarquer que c est égale à l'intégrale de cos 2 et donc en sommant deux fois l'intégrale on est contents :) Sinon on peut s'amuser à reconnaitre une intégrale de Wallis, donc en effet une IPP d'ordre deux fonctionnera... On peut remarquer que le résultat doit etre plus petit que 1/2 en majorant par 1/2 * 1 et on a une fonction avec des derivées verticales en 0 et 1 et nulle en 1:2 donc on s'attend à qqchose de proche de 1/2 (du coup on est content une fois Pi /8 trouvé car c"est pas si loin de 1/2)
Salut super vidéo, pr l’intégrale tu pouvais poser x=cos(u)ˆ2 dès le début ca faisait moins d’étape
Merci pour cette vidéo, j'aime ce style très dynamique et percutant.
Autre conseil : regarder le GRAPHE de la courbe avant de vous lancer ... Là , le cercle saute aux yeux direct.
Stylé
Salut, il y a une théorie mathématique "classique" qui a motivé un (très) grand pan de l'algèbre, qui est proche de l'intégrale de la vidéo. Essentiellement la vidéo tourne autour de l'intégrale de sqrt( polynome de degré 2), et le calcul que tu fais résous très bien ça. On peut donc se demander: quid d'une intégrale de sqrt(polynome de degré 3) ? Bah c'est la théorie des intégrales elliptiques, ces intégrales ont de nombreuses interprétations physique, et leur étude a fait intervenir de nouveaux objets: les courbes elliptiques.
En gros à ma connaissance c'est cette théorie, motivée par des calculs d'intégrales, qui a donné le premier impetus de la géométrie algébrique ! Et aujourd'hui les courbes elliptiques ont de nombreuses applications en cryptographie (dans une contexte différent)
Je suis en terminale et je n’ai absolument pas ce niveau 😢. Sinon bravo à vous cette vidéo est affolante.
On est loin du niveau terminal moyen la
Les changements de variable ne sont pas au programme de terminale. L'exponentielle complexe ( et même les nombres complexes ) ne se font qu'en maths expertes.
je ne sais pas quel age tu as Axel, mais tu sembles brilliant, merci pour ces videos super interessantes! bravo
Meilleur notif
Dans l’intégration à la fin, qnd il y a sqrt(cos^2(x)), il ne doit pas avoir une valeur absolue du coup?
Excellent
Attention, lors des changements de variables il faut toujours faire attention au caractère bijectif des fonctions utilisées, c'est super important surtout lorsqu'on utilise des fonctions trigonométriques car périodiques. Ici, on a bien t -> sin t bijective sur [0,1]
Édit : j'ai oublié de préciser mais bijective de [0,1] dans [0,pi/2]
C'est utile que dans un sens de mes souvenirs.
@@maitrephenix5976 Je ne vois pas ce que tu entends par "sens"
Édit : Ce qui suit entre parenthèses est faux
(Mais pour te convaincre que ça ne marche pas, en prenant le changement de variable sin(pi*x) = t (ce qui revient à x = arcsin(t)/pi ) , les bornes deviennent 0 et 0 donc l'intégrale serait nulle.
Évidemment c'est faux car t -> arcsin(t)/pi n'est pas injective sur [0,1] bien que définie. )
Édit : Oulah, j'ai raconté n'importe quoi, arcsin(1) ça fait pas du tout 0 j'ai carrément craqué.
Pour avoir un exemple qui marche, il suffit de reprendre
u = sin(t) mais avec les bornes de 0 à pi
alors les nouvelles bornes sont bien 0 et 0
par exemple l'intégrale de 0 à pi de 1 fait pi
Or si mon changement de variable était juste ça ferait 0
L'erreur vient du fait que t->sin(t) n'est pas injective sur [0,pi]
@@cctr0264 il y a 2 manière de faire un changement de variable.
Dans un cas il faut avoir la fonction réciproque, dans l'autre pas besoin.
Après ca fait longtemps que je n'ai pas fait d'intégrale(meme pas dans le cours d'intégration 🤣).
@@maitrephenix5976 Ah oui, je vois où tu veux en venir.
En pratique j'ai jamais vu quelqu'un utiliser cette méthode, et c'est pas celle qu'on a utilisée.
La manière d'effectuer ce changement de variable est la suivante :
- Soit f une fonction intégrable et F une primitive de f
- Soit g une fonction derivable de dérivée integrable qu'on notera g'
- On remarque que F○g est une primitive de (f○g)×g'
- intégrale de g(a) à g(b) de f = F(g(b)) - F(g(a))
- intégrale de a à b de (f○g)×g' = F(g(b)) - F(g(a))
Dans ce cas là, il n'y a pas de condition d'injectivité
Sauf que la manière dont on l'utilise dans le cas pratique est la suivante, avec les mêmes notations et en notant h la reciproque de g, on part de
- intégrale de a à b de f = F(b) - F(a)
- intégrale de h(a) à h(b) de (f○g)×g' = F(g(h(b))) - F(g(h(a)))
puis g(h(x))= x parce-que g corestreinte à son image est bijective.
Et c'est bien cette méthode qu'on utilise car avec x=g(t), on change les bornes en posant t=h(x) (où x = a ou b)
Sinon avec l'exemple ci-dessus on arrive à des absurdités.
Bon à part ça quel sera le cours d'EDF dans 1 mois en approximant les probas ad'hoc (quelque soit le référenciel et le gamma qui va avec).
Dans les justifications de ton intégration, quand tu fais le changement de variable vers du trigo, ca peut etre bon de justifier qu'on ne met pas de valeur absolue parce que cos est positif sur ton intervale d'intégration (et pas juste bêtement ignorer la fonction valeur absolue)
5:22 : et pour avoir l'aproximation smooth de la partie du bas ? ('bleu puis rouge' au lieu de 'rouge puis bleu')
Cool ta vidéo. Sinon une troisième méthode pour l'intégrale : remarquer qu'il s'agit de la fonction bêta évaluée en (3/2,3/2), qu'on exprime ensuite en terme de fonction gamma, et si on connait les propriétés basiques de la fonction gamma et sa valeur en 1/2 on a le résultat directement (j'imagine que la réforme n'a pas ajouté les fonction gamma en terminale lol).
Effectivement. En fait même si on a pas Gamma(1/2) = sqrt(pi) on peut le retrouver immediatement avec la formule des compléments Gamma(1-z)Gamma(z) = pi/sin(z pi).
Mais dans le cadre du programme de terminal le reflexe selon moi est de symétriser l'intégrale pour se ramener à un segment centré sur 0. D'où ici le changement de variable t = 1-2x (ou t = 1/2 - x). L'intérêt de faire ça dans l'idée est d'avoir des raisonnements de parité ou imparité qui simplifient les choses
Superbe vidéo et je voulais savoir ce que tu faisais comme étude ducoup ?
Salut Axel, j'espère que tu auras le temps de me répondre ^^
Je ne comprend pas pourquoi tu conclues après avoir mise en évidence l'équation du cercle que la courbe de la fonction à intégrer est un demi cercle.
Est ce que ca vient du fait de l'implication à la première étape pcq on élève l'expression au carré ducoup on rassemble les 2 possibilités du carré alors qu'il n'y avait en fait que la solution positive ?
Si tu pouvais éclaircir (ou qqun d'autre qui a capté d'ailleurs) ce point ca me ferais plaisir. Je suis en terminale.
Bonne journée.
c'est le demi cercle car c'est toujours positif
Pour voir les choses un peu différemment, choisis un x quelconque entre 0 et 1/2 place le point (x,√x(1-x)), le point (x,0) et le point (1/2,0) sur un schéma. En appliquant Pythagore, on voit que la distance entre le point de la courbe d'abscisse x et le point (1/2,0) est 1/2. Pareil si x est entre 1/2 et 1. Ça montre bien que la courbe de la fonction est un cercle
Tu as la diction d'un prof de prépa c'est tellement intéressant d'écouter
Par symétrie, j'aurais fait un premier changement de variable y = x-1/2. Ca simplifie la suite.
La notif qui fais plaiiiiizzzzze
excellent
Je risque de regretter de m'écarter des maths
Superbe vidéo, merci
La valeur absolue ne suffit pas forcément pour le ln(|cos(x)|) pour les cas où on parcourt des valeur de x congrès à π/2 modulo π nan?
Pourquoi le fait de prendre la racine carré change le cercle en demi-cercle ?
J'adore les maths, ça y'a pas de problème, en revanche dans bon nombre de choses que j'ai fait en cours j'ai toujours trouvé que y'avais un part d'arbitraire. Par exemple le caractère multiplicatif de la racine(dans la deuxième intégrale), j'ai compris l'intérêt, en revanche ça me semble pas du tout logique de rajouter un "paramètre" qui conditionne l'équation et sa forme, comme si on disait d'un bijou plaqué or qu'il était uniquement fait du métal sur lequel repose la feuille d'or(alors que c'est évidemment faux, c'est un bout de metal avec de l'or dessus qui nous donne le "bijou").
Sinon super vidéo !
Salut. Est-ce que ce n'est pas plus simple de remplacer sqr(x*(1-x)) par (x*(1-x))^1/2 ?
Super
Hey ! J'ai adoré la vidéo, je viens de valider ma première année de licence (math-info). Donc je n'ai pas eus bcp de difficulté a tout comprendre. Mais que ce sois cette année ou en terminale, je n'ai jamais entendu parlé de "linéarisation du sinus".
Hey ! Alors tu à fait une double licence ?
Peut être que t’en as pas entendu parler sous ce nom là. C’est la même chose que les formules d’Euler
Tu sais on nous a appris à résoudre ce genre d’intégrale je peux te montrer notre méthode c’est en rapport avec la deuxième résolution du demi-cercle sans toutes le charabia juste deux formules et un changement de variable
Merci beaucoup pour ton contenu régulier et qualitatif 💥🔥
Une vidéo sur la transcendance de pi ça pourrait être un bon sujet !
Le coup du cercle je dis pourquoi pas mais je ne comprends pas pourquoi on passe à un demi cercle en prenant la racine de la fonction de base... apparemment c'est évident, j'ai dû louper quelque chose...
Cher Axel, je passe en terminal spe math et physique avec au dernier trimestre 14.5 et 14 dans ces matières respective..
J'capte jamais r à tes vidéos mais c est intéressant de fou continue la biz
Tkt pas, ça a l'air compliqué, mais je t'assure que en réalité, ça va tranquille 😂
C’est beau
J’ai rien compris, mais ça reste très intéressant donc je continue de regarder