2024年岩手県のラスボス 四面体の体積
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- เผยแพร่เมื่อ 23 ส.ค. 2024
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朝一計算は寝ぼけているため、底辺ＢＣＤ、高さAからの垂線で計算しました。１計算余分ですが、時間はさほど変わりません。
9:54 心の声がだだ漏れですｗ
AからBCDに垂線を引いて、のパターンだと計算が一つ増えるが、変な迷いはなくなる。
動画でもある通り、求めるものをV = 1/3＊（△BCD）＊（高さ）と書いておけば変なミスは無くなる。
次、
梨の配り方で、1-1-1, 2-1-0, 3-0-0のパターンを考える。桃は自動的に決まる。
考え方は△ABHの面積×DCの長さ6÷3（2つの三角錐）でいいいのかな？
辺AC AD BC BDは等しい 直線AH BH は辺DCに対して垂直
２辺と１角度が等しいから△ADH ACH BCH BDHは合同
直線AHとBHは等しい 点Hから辺ABに垂線を下す交点をｐとして
三平方の定理よりAHは√９×9-３×3=√72 同様にHPは√７２-３×3 =√63
△ABHの面積は√63×6/2=√63×3四面体ABCDは√６３×３×6/3（２つの三角垂として）
=６×√63 整理して
=６×√３×３×7
=１８√7
（見る前）
三角形BCDの面積があっさり求まるので、AからBHに垂線を引いて計算ごり押しして正解しましたが、ずっと簡単な方法がありましたね（汗）動画を見て思わず唸ってしまいました。
全ての面が合同な三角形でできている当面四面体ですかな？
9, 9, 6の長さの対角線を持つ長方形でできる直方体の対角線を
結んでできる四面体がそのまま求める立体A-BCDの体積となる。
縦, 横, 高さをx, y, zとでもおけば、三平方の定理から
x^2+y^2=36, y^2+z^2=36, z^2+x^2=36をといて
x=y=3√2, z=3√7
求める体積はこの直方体から四隅の三角錐を取り除いたものだから
直方体の1/3
よって3√2×3√2×3√7×1/3=18√7
外接球の半径も直方体の外接球の半径に等しいことから求められますね。
AからBHに垂線引いて求めましたが、
ABHで二つに分ければ二直線と平面の知識がなくても解けますね。
BHの長さはルート72のままにしておいたほうが楽じゃないですかね？
暗算チャレンジ成功❗
暗算厳しいわッ❗
これどうすればええねんって思ったが、垂線で真っ二つにするしかないやろなと思ったら、ほんまにそうするんや。
AからAHに垂線を引いても答えは出せたけど、本番だと計算ミスしそう
AからBHへの垂線ですね 計算ミスしました(^^;
さすがに、ラスボスですなぁ😅
基礎的な知識だけで、計算がややこしいだけかという考えが浅はかでした😅
ものの見事にAから△BDCに垂線を下ろしてしまいました😢
ただ、今回、面と線の垂直が理解できたので、次に応用がきくと思いました😅
いつも思うのですが、立体の問題は奥が深いですなぁ😅
AからBHに垂線を引く場合、交点をGとすると、AG=3/2 * √14
計算が面倒！！
有理化するから面倒になる。
3√7/√2のままにしておけば約分で消えてくれる
予告時点で気になってましたが，最初の話って
平面αと平面α上にない直線Lが垂直⇔平面α上の平行でない任意の2直線と直線Lが垂直
ってところなんですが，これって中学範囲で習うんでしたっけ？🤔
少なくとも厳密に証明含めて扱えるようになるには高校のベクトルの知識が必要で
中学では知るにしても丸覚えするしかないっていうイメージがありますねぇ…
空間図形の基礎の部分なので、もちろん中１で習いますよ。
平面と直線の関係がどういう時に『垂直』と呼ぶのかという定義みたいな部分なので、これを証明する必要はありません。
直線ｌと平面Ｐが交わらないとき、直線ｌと平面Ｐは『平行』であるという、とか、
点Ａから平面Ｐに下した垂線の足をＨとしたとき、線分ＡＨの長さを『点Ａと平面Ｐとの距離』という、などと同じレベルの用語の取り決め？（定義？）です。
@@springroll2624 さん
ご返信ありがとうございます。
なるほど、一応習うんですね。
自分の記憶違いでしたか
なら普通に中学生でも解けますね
次の問題は
数え上げた方が早かった💦
これは暗算でいけました。
次って……
｢梨の配り方｣と同義なんだよなぁ……
だから
3P2+3+1=10
切頭三角柱だと気づくのが普通。
︎︎
10
次回の問題
重複組み合わせかな？