Merci beaucoup pour votre vidéo. J'ai une petite question. Vers 5:10 vous écrivez "soit ε", or j'ai cru comprendre que l'on utilise "soit..." quand il s'agit de démontrer une propriété universelle. Du coup on peut écrire "soit..." quand il s'agit d'une propriété existentielle ?
L'emploi du "soit" dans ces circonstances ne dépend pas vraiment de cela, et il y a effectivement quelque chose d'intéressant à souligner. 🔸 L'assertion écrite sur le tableau de gauche me dit "qu'il existe ε tel que...". Toutefois, dans cette phrase, la variable ε est une variable locale qui n'a de sens que cette assertion logique. 🔸 Par conséquent, si je souhaite utiliser un tel ε par la suite, la moindre des choses est de l'introduire une fois pour toutes, raison pour laquelle j'écris "Soit ε", comme j'aurais pu écrire "On choisit ε". Il est habituel de rencontrer des abus où l'existence d'un objet est ainsi assurée, sans qu'on sache pour autant si un tel objet est choisi par la suite. 🔸 Les phrases du type "quitte à (...), on peut choisir (...)" laissent le lecteur dans le flou. Certes, on peut choisir, mais rien ne dit que cela est fait dans ce qui suit. 🔸 Je le fais moi-même à 8:10 par une habitude que j'essaie de changer, en disant "On peut en extraire une sous-suite". Une bien meilleure rédaction serait "On extrait une sous-suite convergente de (un), dont l'existence est assurée par le théorème de Bolzano-Weierstrass". 🎥 Référence: Jean-Pierre Serre - How to write mathematics badly th-cam.com/video/tJZpdXWm4Gg/w-d-xo.html
Merci beaucoup pour vos vidéos, je viens de les découvrir et étant en MPSI depuis septembre, celles-ci sont les bienvenues et accueillies à leur juste valeur soyez en sûr
Super. Quel rythme, tu nous régales ! Dans les micros améliorations pas trop chronophages, ça peut être sympa d'avoir une date de première démonstration lorsqu'elle est connue (1872 pour le théorème de Heine).
Merci 👍🏻 ! Je prends note de ces potentielles améliorations, c'est très précieux pour moi. D'ailleurs, ça ouvre immédiatement la porte vers des émissions qui, elles, me demanderaient plus de recherches mais qui seraient très intéressantes: agencer plusieurs théorèmes sur un thème donné dans une perspective historique. Comme je l'expliquerai très bientôt, pour la nouvelle année, ce ne sont pas les idées qui manquent !
Bonjour.j’ai une petite question à propos du théorème énnoncé comme suit :. Si f est uniformément continue sur un segment ab alors f est continue sur le segment ab. esqu’il’s’agit de la réciproque du théorème de Heine? Et puis pour 7:59 si I est bornée qu’es ce qui garantit que la suite xn sera bornee ? Et pour 8:54 la première méthode que vous avez cité qu’es ce qui nous garantis que les deux suites extraires des deux autres suites extraites convergeront vers la mm limites ? .et merci
Bonjour ! Pour l'implication entre l'uniforme continuité et la continuité, c'est la réciproque, triviale, du théorème de Heine. En effet, si « il existe un η tel que pour tout », alors « pour tout, il existe un η »: il suffit de prendre le η qui convient pour tout. 7:59 - C'est parce que la suite (un) est à valeurs dans I. Ainsi, si I est borné, la suite (un) aussi, par définition d'une suite bornée. 8:54 - Je ne me suis pas « remis dans la vidéo », donc cette réponse est à prendre avec des pincettes, mais, je ne pense pas que les deux suites extraites des suites extraites convergeraient forcément vers la même limite. Il me semble que j'ai lancé cette idée, comme ça, avant de l'écarter avant complications parce qu'il y a bien plus simple. Et merci d'avoir donné les repères temporels, ça aide beaucoup 😄.
@@oljenmaths j'ai compris et je vous remercie beaucoup,vous ne pouvez pas imaginer combien votre contenu nous aide en prépa ,à chaque fois que je ne comprends pas la dém d'un théorème énnoncé en cours direction maths en finesse.
Merci pour votre excellent travail prof. Mais a propos de 5:07 j'ai pas bien compris pourquoi en prenant delta plus en plus petit la distance entre f(x) et f(y) devient plus grande. Ça me semble que cette distance devient plus petit.
Au plaisir ! Mmh, je ne suis plus tellement dedans. Dans la définition de la continuité, si le delta rapetisse, la distance entre f(x) et f(y) devrait aussi avoir tendance à rapetisser. Par la suite, dans la démonstration, c'est une logique inverse qui est à l'œuvre : on démontre que le delta peut rapetisser autant qu'il veut, la distance reste toujours plus grande que epsilon, et c'est ce qui donne la contradiction. J'espère que ce message aura pu aider 😇.
Je pense avoir compris, la réponse est non car dans la preuve par l'absurde, on pourrait avoir les suites extraites de x et du y qui convergent vers des points de l'adhérence de I privée de I(les bornes ouvertes) et f n'est pas continue en ces points donc on peut pas appliquer la caractérisation séquentielle de la continuité.
Oui, c'est une raison pour laquelle la preuve ne fonctionne pas. Et pour un contre-exemple très visuel, la fonction qui à x associe sin(1/x) sur ]0,1] convient: on comprend qu'un η qui conviendrait de partout est impossible à choisir.
Merci beaucoup pour cette vidéo, mais est-ce que ce théorème s'applique aussi pour la fonction x^2? qui n'est pas uniformément continue sur R dans R sachant que R est localement compact, par exemple si on considère qu'elle est définie sur [0,2], si on prend un écart entre deux points sur [0,2] est-ce que cet écart dépendra uniquement de l'écart entre les images de ces deux points?
Oui, on peut l'appliquer à la fonction carré sur tout segment de R. Quant à mesurer cet « écart », cela peut se faire au moyen de ce qu'on appelle le « module de continuité »: 📚 fr.wikipedia.org/wiki/Module_de_continuit%C3%A9 Par définition, il va dépendre à la fois de l'écart entre les points et entre leurs images 👍🏻.
Bonjour, Merci encore pour votre travail! Je ne suis pas sur d’avoir compris d’où vient le problème de continuité dans la première demonstration. On est pas sur que x et y appartiennent à I c’est pour ca?
Bonjour ! Sur la tableau de gauche, dans la tentative de démonstration qui se termine à 7:21, j'utilise les "limites" des suites (xn) et (yn) créées auparavant. Cela dit, on n'a pas démontré que ces suites convergent, et pour cause; a priori, elles n'ont aucune raison de converger. Cela dit, si elles convergeaient, leurs limites seraient bel et bien dans I, puisque I est fermé, argument qui est repris par la suite dans la "vraie" démonstration.
Merci pour votre réponse. J’ai pensé à tord que les suites convergeaient vers une même limite, mais en fait les suites sont juste de plus en plus proche sans jamais être assuré d’avoir une valeur commune
@@Fred-me3jt Tout à fait. On peut d'ailleurs l'imaginer sur le dessin: lorsque n devient grand, xn et yn se rapprochent, mais c'est bien tout. Lorsque n grandit, ils pourraient tout à fait se balader un peu partout sur l'axe des abscisses. C'est d'ailleurs en cela qu'on comprend vraiment comment utiliser ce théorème de Bolzano-Weiestrass, qui nous permet d'obtenir malgré tout un argument de convergence. Je reprendrai ce thème dans d'autres démonstrations, par exemple dans le théorème des bornes (toute fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes).
Bonjour, Merci pour cet excellent travail que vous fournissez pour produire des vidéos de qualité. Par ailleurs, quel outil utilisez vous pour écrire sur un écran ? S’agit il d’une tablette ? Si oui laquelle ? Merci d’avance
L'uniforme continuité est plus exigeante, on demande un caractère universel à une certaine constante. Je pense que le mieux, pour comprendre ça, c'est de regarder cette émission là, j'ai vraiment mis en scène ce qu'on exige de la constante en question: 🎥 [ETI#4] th-cam.com/video/8jhV6Wl8bos/w-d-xo.html
Pourquoi on a mis l'idée selon laquelle xn et yn converge respectivement vers x et y . Moi je pensais que x et y sont des variables et xn et yn sont des valeurs possibles de x et y .
C'est un peu plus complexe (sans jeux de mots). On se sert du raisonnement par l'absurde pour sortir plein de couples (x,y) qui vérifient certaines propriétés (j'ai numéroté ces couples par la lettre n). Ce que je dis ensuite, c'est que si les suites (xn) et (yn) ainsi créées avaient le bon goût de converger, j'arriverais alors à une contradiction. Ça ne fonctionne pas en l'état, mais heureusement, Bolzano et Weierstrass sont là 😇.
Vous pouvez simplement considérer la fonction qui à x associe x² et voir cela graphiquement. Plus on s'éloigne de l'origine, plus le « delta_x » va devenir grand (à epsilon fixé), puisque le graphe décolle de plus en plus vite. Ainsi, trouver un delta qui conviendrait pour tout x est impossible. Et la fonction étant simple, on peut même procéder à un raisonnement par l'absurde, disons avec epsilon = 1, pour montrer que l'existence d'un tel delta serait contredite 👨🏻🏫.
@@oljenmaths AH OUI l'exemple de la fct x^2 est bien un contre-exemple, je vois maintenant, Merci beaucoup..(Rectification : delta x va devenir petit en s'éloignant de l'origine)
Bonsoir ! Je dois dire que je n'ai pas une compréhension exceptionnelle des tribus, me voir en faire une émission est possible mais peu probable. Néanmoins, voici quelques explications très simples qui m'ont suffi, étudiant. 🔸 Quand on fait des probabilités, on veut souvent calculer des probabilités d'événements, d'unions/intersections dénombrables et de complémentaires. 🔸 Une tribu est l'outil formel qui permet de faire ces calculs avec un cadre mathématique rigoureux: par définition, on dispose d'une stabilité passage au complémentaire, par union dénombrable, et par propriété, par intersection dénombrable.
Il sert à montrer que toute fonction continue par morceaux est approchable par une fonction en escalier : th-cam.com/video/5S-bzfXJ9QI/w-d-xo.htmlfeature=shared et ce résultat est utilisé pour construire l'intégrale : L'intégrale d'une fonction continue par morceaux est par définition la limite d'une suite intégrale de fonctions en escaliers. L'aire sous la courbe d'une fonction en escalier c'est l'aire d'un rectangle : bsse*hauteur
![[EM#23] Théorème des valeurs intermédiaires (Démonstration)](http://i.ytimg.com/vi/-ggaOOdadkU/mqdefault.jpg)
![[EM#23] Théorème des valeurs intermédiaires (Démonstration)](/img/tr.png)
![[EM#35] Théorème d'approximation de Weierstrass (Démonstration)](http://i.ytimg.com/vi/oRctyTekZlM/mqdefault.jpg)
Merci beaucoup pour votre vidéo. J'ai une petite question. Vers 5:10 vous écrivez "soit ε", or j'ai cru comprendre que l'on utilise "soit..." quand il s'agit de démontrer une propriété universelle. Du coup on peut écrire "soit..." quand il s'agit d'une propriété existentielle ?
L'emploi du "soit" dans ces circonstances ne dépend pas vraiment de cela, et il y a effectivement quelque chose d'intéressant à souligner.
🔸 L'assertion écrite sur le tableau de gauche me dit "qu'il existe ε tel que...". Toutefois, dans cette phrase, la variable ε est une variable locale qui n'a de sens que cette assertion logique.
🔸 Par conséquent, si je souhaite utiliser un tel ε par la suite, la moindre des choses est de l'introduire une fois pour toutes, raison pour laquelle j'écris "Soit ε", comme j'aurais pu écrire "On choisit ε".
Il est habituel de rencontrer des abus où l'existence d'un objet est ainsi assurée, sans qu'on sache pour autant si un tel objet est choisi par la suite.
🔸 Les phrases du type "quitte à (...), on peut choisir (...)" laissent le lecteur dans le flou. Certes, on peut choisir, mais rien ne dit que cela est fait dans ce qui suit.
🔸 Je le fais moi-même à 8:10 par une habitude que j'essaie de changer, en disant "On peut en extraire une sous-suite". Une bien meilleure rédaction serait "On extrait une sous-suite convergente de (un), dont l'existence est assurée par le théorème de Bolzano-Weierstrass".
🎥 Référence: Jean-Pierre Serre - How to write mathematics badly
th-cam.com/video/tJZpdXWm4Gg/w-d-xo.html
Øljen - Les maths en finesse merci beaucoup pour votre réponse c'est beaucoup plus clair. 👍🏻
@@z-ed8053 Ce sont les maths en finesse !
Merci beaucoup pour vos vidéos, je viens de les découvrir et étant en MPSI depuis septembre, celles-ci sont les bienvenues et accueillies à leur juste valeur soyez en sûr
Super. Quel rythme, tu nous régales ! Dans les micros améliorations pas trop chronophages, ça peut être sympa d'avoir une date de première démonstration lorsqu'elle est connue (1872 pour le théorème de Heine).
Merci 👍🏻 ! Je prends note de ces potentielles améliorations, c'est très précieux pour moi. D'ailleurs, ça ouvre immédiatement la porte vers des émissions qui, elles, me demanderaient plus de recherches mais qui seraient très intéressantes: agencer plusieurs théorèmes sur un thème donné dans une perspective historique.
Comme je l'expliquerai très bientôt, pour la nouvelle année, ce ne sont pas les idées qui manquent !
Bonjour.j’ai une petite question à propos du théorème énnoncé comme suit :. Si f est uniformément continue sur un segment ab alors f est continue sur le segment ab.
esqu’il’s’agit de la réciproque du théorème de Heine? Et puis pour 7:59 si I est bornée qu’es ce qui garantit que la suite xn sera bornee ?
Et pour 8:54 la première méthode que vous avez cité qu’es ce qui nous garantis que les deux suites extraires des deux autres suites extraites convergeront vers la mm limites ? .et merci
Bonjour ! Pour l'implication entre l'uniforme continuité et la continuité, c'est la réciproque, triviale, du théorème de Heine. En effet, si « il existe un η tel que pour tout », alors « pour tout, il existe un η »: il suffit de prendre le η qui convient pour tout.
7:59 - C'est parce que la suite (un) est à valeurs dans I. Ainsi, si I est borné, la suite (un) aussi, par définition d'une suite bornée.
8:54 - Je ne me suis pas « remis dans la vidéo », donc cette réponse est à prendre avec des pincettes, mais, je ne pense pas que les deux suites extraites des suites extraites convergeraient forcément vers la même limite. Il me semble que j'ai lancé cette idée, comme ça, avant de l'écarter avant complications parce qu'il y a bien plus simple.
Et merci d'avoir donné les repères temporels, ça aide beaucoup 😄.
@@oljenmaths j'ai compris et je vous remercie beaucoup,vous ne pouvez pas imaginer combien votre contenu nous aide en prépa ,à chaque fois que je ne comprends pas la dém d'un théorème énnoncé en cours direction maths en finesse.
Merci pour votre excellent travail prof. Mais a propos de 5:07 j'ai pas bien compris pourquoi en prenant delta plus en plus petit la distance entre f(x) et f(y) devient plus grande. Ça me semble que cette distance devient plus petit.
Au plaisir ! Mmh, je ne suis plus tellement dedans. Dans la définition de la continuité, si le delta rapetisse, la distance entre f(x) et f(y) devrait aussi avoir tendance à rapetisser. Par la suite, dans la démonstration, c'est une logique inverse qui est à l'œuvre : on démontre que le delta peut rapetisser autant qu'il veut, la distance reste toujours plus grande que epsilon, et c'est ce qui donne la contradiction. J'espère que ce message aura pu aider 😇.
bon contenu je vous félicite. et j'aimerai bien voir des autres vidéo . merci beaucoup
SI on avait pris I un intervalle borné mais pas forcément fermé (ex :]a;b[), le théorème s'applique aussi??
Je pense avoir compris, la réponse est non car dans la preuve par l'absurde, on pourrait avoir les suites extraites de x et du y qui convergent vers des points de l'adhérence de I privée de I(les bornes ouvertes) et f n'est pas continue en ces points donc on peut pas appliquer la caractérisation séquentielle de la continuité.
Oui, c'est une raison pour laquelle la preuve ne fonctionne pas. Et pour un contre-exemple très visuel, la fonction qui à x associe sin(1/x) sur ]0,1] convient: on comprend qu'un η qui conviendrait de partout est impossible à choisir.
@@oljenmaths Merci pour votre réponse rapide! :)
Merci beaucoup pour cette vidéo, mais est-ce que ce théorème s'applique aussi pour la fonction x^2? qui n'est pas uniformément continue sur R dans R sachant que R est localement compact, par exemple si on considère qu'elle est définie sur [0,2], si on prend un écart entre deux points sur [0,2] est-ce que cet écart dépendra uniquement de l'écart entre les images de ces deux points?
Oui, on peut l'appliquer à la fonction carré sur tout segment de R. Quant à mesurer cet « écart », cela peut se faire au moyen de ce qu'on appelle le « module de continuité »:
📚 fr.wikipedia.org/wiki/Module_de_continuit%C3%A9
Par définition, il va dépendre à la fois de l'écart entre les points et entre leurs images 👍🏻.
@@oljenmaths Merci beaucoup
Bonjour, Merci encore pour votre travail! Je ne suis pas sur d’avoir compris d’où vient le problème de continuité dans la première demonstration. On est pas sur que x et y appartiennent à I c’est pour ca?
Bonjour ! Sur la tableau de gauche, dans la tentative de démonstration qui se termine à 7:21, j'utilise les "limites" des suites (xn) et (yn) créées auparavant. Cela dit, on n'a pas démontré que ces suites convergent, et pour cause; a priori, elles n'ont aucune raison de converger. Cela dit, si elles convergeaient, leurs limites seraient bel et bien dans I, puisque I est fermé, argument qui est repris par la suite dans la "vraie" démonstration.
Merci pour votre réponse. J’ai pensé à tord que les suites convergeaient vers une même limite, mais en fait les suites sont juste de plus en plus proche sans jamais être assuré d’avoir une valeur commune
@@Fred-me3jt Tout à fait. On peut d'ailleurs l'imaginer sur le dessin: lorsque n devient grand, xn et yn se rapprochent, mais c'est bien tout. Lorsque n grandit, ils pourraient tout à fait se balader un peu partout sur l'axe des abscisses.
C'est d'ailleurs en cela qu'on comprend vraiment comment utiliser ce théorème de Bolzano-Weiestrass, qui nous permet d'obtenir malgré tout un argument de convergence. Je reprendrai ce thème dans d'autres démonstrations, par exemple dans le théorème des bornes (toute fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes).
Bonjour,
Merci pour cet excellent travail que vous fournissez pour produire des vidéos de qualité. Par ailleurs, quel outil utilisez vous pour écrire sur un écran ? S’agit il d’une tablette ? Si oui laquelle ?
Merci d’avance
Bonjour et merci ! J'utilise ce modèle:
✍️ Tablette graphique: amzn.to/32Pe1VY
Quelle est la différence entre continue et uniformément continue
L'uniforme continuité est plus exigeante, on demande un caractère universel à une certaine constante.
Je pense que le mieux, pour comprendre ça, c'est de regarder cette émission là, j'ai vraiment mis en scène ce qu'on exige de la constante en question:
🎥 [ETI#4] th-cam.com/video/8jhV6Wl8bos/w-d-xo.html
Merci beaucoup c’est super bien expliqué
Pourquoi on a mis l'idée selon laquelle xn et yn converge respectivement vers x et y . Moi je pensais que x et y sont des variables et xn et yn sont des valeurs possibles de x et y .
C'est un peu plus complexe (sans jeux de mots). On se sert du raisonnement par l'absurde pour sortir plein de couples (x,y) qui vérifient certaines propriétés (j'ai numéroté ces couples par la lettre n). Ce que je dis ensuite, c'est que si les suites (xn) et (yn) ainsi créées avaient le bon goût de converger, j'arriverais alors à une contradiction. Ça ne fonctionne pas en l'état, mais heureusement, Bolzano et Weierstrass sont là 😇.
Malgré qu'on a appliqué le theoreme de Bolzano-Weistrass, je n'arrive pas à me convaincre pourquoi on ne peut pas utiliser ce theoreme dans R.
Vous pouvez simplement considérer la fonction qui à x associe x² et voir cela graphiquement. Plus on s'éloigne de l'origine, plus le « delta_x » va devenir grand (à epsilon fixé), puisque le graphe décolle de plus en plus vite. Ainsi, trouver un delta qui conviendrait pour tout x est impossible.
Et la fonction étant simple, on peut même procéder à un raisonnement par l'absurde, disons avec epsilon = 1, pour montrer que l'existence d'un tel delta serait contredite 👨🏻🏫.
@@oljenmaths AH OUI l'exemple de la fct x^2 est bien un contre-exemple, je vois maintenant, Merci beaucoup..(Rectification : delta x va devenir petit en s'éloignant de l'origine)
Merci beaucoup!
Bonsoir, est ce que vous avez prévu de faire une vidéo sur es tribus boreliennes svp, notion très flou et dur à saisir
Bonsoir ! Je dois dire que je n'ai pas une compréhension exceptionnelle des tribus, me voir en faire une émission est possible mais peu probable. Néanmoins, voici quelques explications très simples qui m'ont suffi, étudiant.
🔸 Quand on fait des probabilités, on veut souvent calculer des probabilités d'événements, d'unions/intersections dénombrables et de complémentaires.
🔸 Une tribu est l'outil formel qui permet de faire ces calculs avec un cadre mathématique rigoureux: par définition, on dispose d'une stabilité passage au complémentaire, par union dénombrable, et par propriété, par intersection dénombrable.
Merci ✌🏿✌🏿
Et quelles applications le théorème de Heine a-t-il ?
Il sert à montrer que toute fonction continue par morceaux est approchable par une fonction en escalier : th-cam.com/video/5S-bzfXJ9QI/w-d-xo.htmlfeature=shared
et ce résultat est utilisé pour construire l'intégrale :
L'intégrale d'une fonction continue par morceaux est par définition la limite d'une suite intégrale de fonctions en escaliers. L'aire sous la courbe d'une fonction en escalier c'est l'aire d'un rectangle : bsse*hauteur
merci prof
Magnifique
Merci !
i like it thanks a lot
Wow ... Très clair . Bien-sûr après deux visionnages attentifs ... Lol
Merci
👍
Super vidéo encore une fois
Merci, ami des mathématiques nocturnes 🙃 !
Quelle Heine.
..
Le Yvan Monka des études sup' ! 😆
Tonton Monka c'est le king 👑! Je ne peux pas encore m'asseoir à sa table 🤣!
I!?? I fermé borné
Intervalle fermé borné, plus précisément.