[EM#24] Théorème des bornes | Fonction continue sur un segment (Démonstration)
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- เผยแพร่เมื่อ 1 ส.ค. 2024
- Dans cette émission, je démontre que toute fonction de la variable réelle, à valeurs réelles, continue sur un segment, est bornée et atteint ses bornes, résultat qui est parfois appelé « théorème des bornes ». Pour ce faire, la tâche n'est pas simple: avant de démontrer l'existence d'un maximum, il s'agit déjà, au moins, de démontrer l'existence d'une borne supérieure…
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Merci bcp ! C'est plaisant de retrouver les démonstrations complètes de 1ère année en vidéo bien expliqué
Excellentes vidéos
Merci !
"Soit le bienvenu" merci 🥰
Et merci pour votre chaîne ! Je viens de la découvrir et elle va m'accompagner tout le long de cette année
Je pense savoir également quel livre me faire offrir pour Noël (PMK) 😉
Bonne continuation
Merci beaucoup pour ce message très chouette, bonne continuation de même 🙏!
J'ai cette démo en colle cette semaine, on a fait à peu près la même démo mais on a utilisé une méthode plus générale : 1ère étape on a montré que f était bornée (en faisant la négation de la phrase quantifiée de f bornée) et en 2ème étape on a montré que la borne inf puis la borne sup sont atteintes à l'aide de la caractérisation séquentielle de la borne inf/sup et d'une extractice phi (c'est quasiment identique à la 1ère étape)
On commence à atteindre un niveau de mathématiques où plusieurs options sont possibles, c'est le début des festivités ! En donnant un peu dans l'humour, il s'agit de deux profils psychologiques différents.
🔸 De mon côté, j'aime bien l'idée de feindre de ne traiter qu'un cas particulier puis, par une manipulation habile, traiter les cas laissés de côté (côté prestidigitation, feinte, magie).
🔸 De l'autre, je conçois aussi que l'idée de tout démontrer d'un coup puisse avoir de l'attrait (côté puissance, impétuosité, sans peur).
Bonjour et merci pour cette vidéo très claire et instructive !
J'ai une petite question concernant le point de départ du premier raisonnement par l'absurde qui vise à prouver que f(I) admet une borne supérieure. Je reconnais qu'il s'agit d'un détail qui peut paraître ennuyeux car d'une méticulosité poussée et m'en excuse d'avance.
Considérons les assertions ci-dessous :
A : f(I) est une partie non vide de R ;
B : f(I) est une partie majorée de R ;
C : f(I) admet une borne supérieure.
Le raisonnement par l'absurde nous dit qu'il faut partir de l'assertion (non C) et tenter d'aboutir à une contradiction. Cependant, et c'est peut-être une mauvaise compréhension de ma part, pour moi, (non C) n'implique pas (non B) a priori.
En effet, on a : A ET B => C (car R a la propriété de la borne supérieure), d'où sa contraposée : (non C) => (non A) OU (non B).
Donc, en toute rigueur, ne conviendrait-il pas de préciser qu'on suppose que A est vraie pour dire que :
((non C) => (non A) OU (non B)) (non C) => (non B) vers 1:20 dans la vidéo ?
Bonjour ! C'est tout à fait exact. Je m'en aperçois d'ailleurs à 5:20; j'ai supposé insidieusement que f(I) était non vide, en pensant que I l'était aussi, ce que je n'avais mentionné nulle part au préalable 🙃.
@@oljenmaths
Merci beaucoup !
Quelle étude avez-vous fait ??
MPSI/MP/Licence/Master/Agrégation/Thèse. Bref, la totale 👍🏻.
Bonjour, pourriez-vous faire une démonstration de "Toute partie non vide et majorée dans R admet une borne supérieure" ? Celles que l'on peut trouver ailleurs ne sont pas très intuitives...merci !
Bonjour ! Ce type de démonstration est délicat, parce qu'on touche ici la construction même de la droite réelle, dont une construction peut-être basée sur cette même propriété prise comme axiome. Je ferai une émission d'une bonne demi-heure sur la droite réelle quand je trouverai le temps, les projets ne manquent pas mais celui-ci est sur le haut de ma liste !
Bonjour,
Merci pour cette vidéo.
Ne faudrait-il pas préciser que A est strictement positif pour la deuxième étape?
Bonjour ! Si, tout à fait. Sinon, on se fait taxer de potentielle division par 0 et on s'expose aux ratures véhémentes et aux éclats de voix 🤣. Merci d'avoir repéré ça, j'en tiendrai compte si je fais une nouvelle version de cette émission un jour.
Bonsoir, merci pour la vidéo. Est-ce que s'il vous plait vous avez une démonstration générale de : -max (-f) = min (f) ?
Il suffit de revenir à la définition d'un minimum et d'un maximum pour obtenir cette égalité. En fait, si on part du minimum, on aura (...quantificateurs en masse... f(x) >= m), suite à quoi il suffira de multiplier l'inégalité par -1 de chaque côte pour conclure 👍.
@@oljenmaths merci monsieur.
bonjour et si l'intervalle n'est borné que de un coté ? on fait comment ? est ce qu'il est toujours max global ou min global ?
Le résultat du théorème n'est plus vrai: on peut penser à la fonction inverse sur ]0,1], par exemple 👨🏻🏫.
Bonsoir, dans quelle prépa enseignez vous ?
Institution des Chartreux, Lyon, France.
Bonjour, sur le net on stipule toujours que f doit être continue sur le segment [a,b] pour ce théorème. Peut-on affirmer que ce théorème est vrai pour les fonctions continues par morceaux ? (désolé si je dis des bêtises, je suis loin d'être un matheux ;) ).
Salutations ! Nul besoin d'être un matheux pour se stimuler le cerveau 🥳 ! La réponse est oui: le théorème reste vrai. L'idée principale d'une démonstration consisterait à appliquer le théorème des bornes sur chacun des tronçons où f est continue en fermant les bords pour expliquer que la fonction y est bornée 👍🏻.
svp vous pouvez me dire quel logiciel vous excerces dans vos vidéo cest superbe ?
Salutations 👋🏻! En réalité, j'utilise donc toute une panoplie de logiciels: GoodNotes pour la composition graphique, puis Photoshop, Audition et Premiere pour toute la suite, du découpage des vignettes au montage en passant par l'enregistrement du son. Rien n'est automatique et j'ai tout configuré à la main 😉.
Bonjour, j'aime bien vos videos, coté contenus et design, veuillez partager avec moi les logiciels que vous utilisez pour produire ces capsules.. Merciii
Merci ! Toutes les informations sont dans l'onglet "À propos" de ma chaîne.
@@oljenmaths :) merci bcp
Le logiciel d'écriture graphique n'est pas mensionné, le quel vous utilisez ?
@@racinededeux 📝 Screen recording: Camtasia + Photoshop
Dommage que ce soit écrit si petit. Merci pour tes vidéos.
Je parviens à lire chaque ligne sans forcer en 480p sur l'écran de mon téléphone portable (5,45 pouces)... Je te recommande sérieusement, et avec bienveillance, de ne surtout pas forcer sur ta vue et de vérifier si tu n'as pas perdu quelques points! Bon nombre de mes étudiants ont malheureusement vu leur vue se dégrader au fil de leurs études supérieures (fatigue, beaucoup de lecture toute la journée), et il vaut mieux prendre cela au plus tôt si c'est bien le cas!
@@oljenmaths Merci pour tes conseils et ta bienveillance. Oui j'ai des petits soucies au niveau de la vue mais tu ne peux pas malgrer tout augmenté la taille des phrases de tes vidéos pour celle à venir ?
@@hbx380 C'est assez difficile d'un point de vue technique, il faudrait que je change bon nombre de choses dans la configuration. Je ferai de mon mieux lorsque je reprendrai les vidéos. J'espère de tout cœur que tes problèmes pourront s'arranger!
@@oljenmaths Merci pour ton message.
3:21 vous avez dit que alpha appartient à I car I est un fermé, je n'arrive pas à comprendre pourquoi alpha est dans I ??
c'est une des définitions possibles d'un ensemble fermé : un sous-ensemble F de R est fermé si et seulement si toute suite convergente d'éléments de F converge vers une limite elle-même élément de F
Voici de quoi compléter la réponse de F5 (que je remercie !) pour quelqu'un qui n'a jamais fait de topologie.
🔸 Si l'on considère une suite à valeurs dans ]0,1[, par exemple celle des 1/n, on s'aperçoit que cette suite converge en tant que suite réelle, mais que sa limite, 0, n'appartient pas à ]0,1[. Il s'agit donc, déjà, de préciser quelque chose quant à la nature de l'intervalle dans laquelle la suite prend ses valeurs.
🔸 En première année, on explique ce phénomène et disant qu'en passant à la limite, les inégalités strictes deviennent des inégalités larges. Ainsi, même si une suite vérifie 0 < u_n < 1 pour tout entier naturel n, la limite de la suite est, a priori, dans [0,1], et non pas dans ]0,1[.
🔸 Pour revenir à l'émission, si l'intervalle I est fermé, et qu'on le note [a,b], alors tous les termes de la suite sont dans [a,b] (inégalités larges). En passant à la limite dans l'encadrement a
Je perd le fil au moment ou tu parle de contruire une suite. Est ce que tu as une video qui explique cette notion?
Hélas, non. Mais je peux toujours tenter un surcroît d'explications ; vu que, [pour tout A, il existe un x tel que f(x) > A], alors en appliquant cette propriété plusieurs fois (pour A = n, où n est un entier naturel), on récupère une collection de x, que j'indice par n, tels que f(x(n)) > A. C'est l'application une infinité de fois d'une seule et même propriété.