[EM#23] Théorème des valeurs intermédiaires (Démonstration)
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- เผยà¹à¸žà¸£à¹ˆà¹€à¸¡à¸·à¹ˆà¸ 1 à¸.พ. 2020
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📗 Le petit manuel de la khôlle:
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Dans cette émission, je présente une démonstration du théorème des valeurs intermédiaires basée sur un raisonnement par dichotomie. En introduisant une fonction auxiliaire, on se propose démontrer qu'une fonction s'annule. Pour cela, la stratégie consiste à réduire progressivement la zone de recherche, puis de s'emparer d'un objet limite, tel un prédateur qui bondit sur sa proie 🤦â€â™‚ï¸.
La démonstration du théorème des valeurs intermédiaires est la démonstration que j'utilise pour illustrer bon nombre de concepts dans mon livre, le petit manuel de la khôlle. Si tu souhaites comprendre, entre autres, pourquoi et comment apprendre une démonstration, cela constituera presque sûrement une excellente lecture 👨â€ðŸ«.
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âœ’ï¸ Notions abordées: théorème des valeurs intermédiaires, introduction d'une fonction auxiliaire, segments emboîtés, théorème des suites adjacentes, raisonnement par dichotomie, continuité d'une fonction de la variable réelle.
🌞 Bonne écoute !
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![[EM#24] Théorème des bornes | Fonction continue sur un segment (Démonstration)](http://i.ytimg.com/vi/LMSLj3pgYeI/mqdefault.jpg)
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8:50 c'est le milieu du segment [a_n, b_n] plutôt, non ?
Effectivement, c'est une coquille ! Merci de l'avoir signalée 👠!
Merci beaucoup pour l'interprétation ça m'a permis d'y voir plus clair sûr le sens réel de ce cours rien avoir avec les explications de mon professeur.
Au plaisir 🥳! Bon courage pour cette année 💪ðŸ»!
C'est d'une propreté et d'une finesse incroyable, c'est limpide, bravo 😊
Merci Paul ! En ce moment, j'essaie de moins parler sans que des éléments graphiques viennent appuyer mes propos. Cette émission m'a demandé un sacré temps à monter, du coup 😅 !
Votre chaine est une véritable pépite!!!! Continuez!!
Superbe ! Merci !
3 méthodes (ou pas...?)
1) Méthode algorithmique par dichotomie.
Très bien expliquée dans la vidéo. La récurrence est effectivement un peu délicate.
2) Méthode "analytique".
Spdg mettons ac>f(b). Posons m=inf(x tq f(x)
Purement topologique, ce n'est jamais tellement possible. En effet, j'ai bien l'impression que ce qu'on touche du doigt dans chacune démonstration, c'est la construction de la droite réelle, qui elle, est purement analytique 👨â€ðŸ”¬.
@@oljenmaths Oui, parfaitement 👠Merci
Vos vidéos m’inspirent énormément. Je dois dire que mon raisonnement mathématique a pas mal évolué depuis que j’y suis exposé. Je suis étudiant marocain en baccalauréat sciences mathématiques (équivalent terminal S) et je compte intégrer une prépa française dans l’année qui suit, mais je ne sais absolument pas sur quoi baser mes choix de prépa sur Parcoursup, ni comment optimiser mes chances d’admission sans être trop ambitieux. Pouvez vous alors me diriger au vu de vôtre expérience autant que prof, j’en serais vraiment reconnaissant!
th-cam.com/video/dO1pLi2Dedw/w-d-xo.html
th-cam.com/video/vF7XBykCoDM/w-d-xo.html
Christophe M merciii
En surcroît des émissions (très pertinentes) mentionnées par Christophe, voici quelques éléments de réflexion.
🔸 Ce que tu dois souhaiter, c'est d'avoir une classe préparatoire qui est "de ton niveau". En étant dans le milieu de classe, tu auras des camarades qui progresseront à ton rythme et tu bénéficieras d'une saine émulation.
🔸 Le mieux, pour toi, serait de parler à d'autres étudiants de ton lycée qui sont allés en France faire leurs études. Cela te permettra d'établir une correspondance approximative entre ton niveau et celui de quelques classes préparatoires françaises. À partir de là , tu pourras sans doute savoir à peu près le niveau de la classe dans laquelle il est pertinent de postuler.
@@christophem6373 Merci pour ces recommandations, c'est super sympa !
J'aimerais illustrer ce que pourrait faire un mathématicien et comme cela peut aboutir à des preuve « magiques ».
La preuve est intéressante mais trop complexe. Cette histoire de recherche dichotomique est inutilement compliquée. Simplifions.
1. Soit A l'image réciproque de ]0 +infini[ sur [a, b] par f. On sait que cet ensemble n'est pas vide car il contient b.
2. Soit c=min(A), c existe car R est complet.
3. Comme f est continue, si f(x) est non nul, alors il existe un petit interval autour de x sur lequel f est de signe constant. Donc a
C'est très bien illustré 🎨! Et pour aller encore plus loin dans la magie, on peut démontrer que les connexes de R sont les intervalles, puis enfoncer le clou en disant que l'image d'un connexe par une fonction continue est connexe 🧙ðŸ»â€â™‚ï¸. Mais effectivement, j'aurais été bien pantois devant une telle preuve, étudiant en terminale… 😇.
Une lecture en lien avec ces commentaires, pour les curieux:
🎥 [HP#16] Un cercle, c'est un rond ! - th-cam.com/video/uGgT2TpK93I/w-d-xo.html
Très bien mené, comme toujours ! Cette démonstration est exigible au bac ? Ça me semble assez ardu pour le coup de demander ça en terminale, ça ne peut que me réjouir !
Ah non, pas celle-ci ! Sur les miniatures, je mets des petits bandeaux en haut à gauche, et celle-là , je l'ai mise en "+1" 😋 ! Cela dit, il y en a quelques unes qui sont assez musclées, notamment celle où l'on démontre que exp(u) est une fonction dérivable si u l'est, et qu'on calcule, sans autres outils que ceux de terminale, sa dérivée. Incontestablement, ayant préparé l'ensemble des démonstrations par écrit, le niveau est remonté assez nettement.
@@oljenmaths D'accord ! Je trouve ça plutôt bien que le niveau soit remonté. Après j'ai aussi eu écho de nombreuses plaintes de lycéens et de professeurs trouvant la matière nouvelle formule trop difficile, peut-être faudrait-il créer deux options de mathématiques. Affaire à suivre...
Dans beaucoup de livres, ou même sur internet, le théorème des valeurs intermédiaires est énoncé en considérant une fonction dont la courbe coupe l'axe des abscisses (on part en disant que f(a) 0 et on dit qu'il existe p tq f(p) = 0). J'imagine que c'est pour éviter d'avoir à réaliser la première étape de ta démonstration. Mais du coup, qu'appelle-t-on théorème des valeurs intermédiaires ? Celui que tu proposes est beaucoup plus général.
Deuxième question : on est d'accord que peu importe la version utilisée, il est inutile d'invoquer l'hypothèse de la stricte monotonie pour énoncer le théorème ? Au lycée, on appelle théorème des valeurs intermédiaires ce qui, grâce à la stricte monotonie, permet d'établir l'existence d'une unique solution. En fait, c'est pas vraiment le théorème des valeurs intermédiaires ça, si ?
L'énoncé que tu écris est ce que j'appellerais "Théorème des valeurs intermédiaires - Forme faible". En réalité, il est équivalent à ce que je propose ici: c'en est un cas particulier, et on peut démontrer le cas général à partir de cette forme faible grâce à l'étape #1 présentée dans cette émission (sachant que la forme faible aura pu être démontrée par dichotomie, mais aussi autrement, cf. commentaire de Neloka).
L'argument de stricte monotonie, qui peut venir en surcroît, ne relève pas des valeurs intermédiaires. On peut simplement démontrer que dans ce cas, la solution trouvée par le théorème des valeurs intermédiaires est unique: si a et b sont deux réels tels que f(a) = f(b), alors par stricte monotonie de f, on a forcément a = b, ce qui établit au final l'existence et l'unicité d'une certaine solution.
Enfin, la combinaison du théorème des valeurs intermédiaires et de ce dernier argument s'appelle "Théorème de la bijection", que tu peux regarder ici:
📜 fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_la_bijection
Jamais trop été fan de la démonstration dichotomique qui est trop compliquée pour pas grand chose (on sait pas à l'avance sur quel point on va atterrir). Une démonstration qui me semble plus jolie c'est de se ramener à prouver que pour toute fonction continue f : [a,b] -> IR avec f(a) > 0 et f(b) < 0 admet une racine. Pour ça c'est simple, on considère E = { x | pour tout y € [a,x], f(y) >= 0 }, cet ensemble est majoré par b et contient a, on considère c sa borne sup qui vérifiera bien f(c) = 0 par continuité. :)
Ce faisant, on construit précisément la première racine qu'on trouve.
Ne pas savoir sur quel point atterrir n'est pas un problème: si, comme sur le dessin, il y a plusieurs zéros, il est toujours possible de restreindre le segment d'étude pour une meilleure localisation 🎯.
Merci pour cette démonstration, cela intéressera sûrement de futurs spectateurs !
J'ai commandé le manuel de la khôlle. Un moyen pour moi de vous soutenir et je suis certain que je vais me régaler en le lisant :)
Merci
Merci beaucoup, c'est vraiment chouette 🥳!!
Pourquoi il faut apprendre les démonstrations alors que les sujets de concours sont sur d'autres choses ?
Il ne "faut" pas les apprendre. Plutôt, l'entraînement qui consiste à les apprendre comme il se doit, ce qui est détaillé dans le livre, permet d'établir un lien très intéressant entre le cours et les exercices: on y retrouve par exemple des techniques classiques, des raisonnements, des passages de rédactions qui pourront être très utile pour traiter des sujets de concours. En bref, c'est un peu comme les gammes ou les études pour un pianiste, si la métaphore te parle 🎵.
C'est difficile de manipuler un outil mathématique dont on ignore l'origine. Comprendre et apprendre une démonstration permet justement d'avoir une fine maîtrise de l'outil dont il est question et de l'utiliser intensément plus efficacement !
Regarde le sujet du CAPES 2011 d'analyse
f(x)-c si f(a)>ou=f(b) ; -f(x)+c sinon
On peut tout à fait poser cette fonction, mais ça change le sens du dessin. Dans ce cas, c'est on aurait g(a) positif et g(b) négatif (ce qui n'est pas bien grave, entre nous soit dit).
@@oljenmaths merci beaucoup, je vous regarde depuis Haïti
@@pagenelwilson8751 Wow ! Si j'avais su, enfant, que j'allais produire des émissions de mathématiques regardées à l'autre bout du monde, je n'y aurais pas cru 😃 !
La vie nous réserve des surprises, en plus Vous êtes un excellent professeur