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部分的別解ですが、t=sin^2θのようにするとルートが外せて簡単に最大値が出せますね
部分別解としては後半のtの関数を微分によって最大値を出すっていう解法もありますね
動画を見る前に自分で解いてみて、途中まで同じで、少し時間がかかりましたが、後半もシュワルツの不等式を使いました。t+√(3t-3t^2)=(1/2)+as+√(c-(bs)^2), s=t-(1/2), a=1, b=√3, c=3/4と書き換える。シュワルツの不等式より、0
5:00 この右辺に再びシュワルツの不等式を用いれば１つのルートにまとめられますね．
コーシーシュワルツを思いついてヤッターとなりましたが，最大値を微分で求めようとしてドツボにはまりました．t=(1+sinθ)/2と置換することで，与式≦(1+sinθ)/2±√3/2・cosθ=1/2+sin(θ±π/3) ・・・①（合成公式より）となり，θ±π/3=π/2，すなわちθ=π/6または5π/6，すなわち，sinθ=1/2のとき，すなわちt=3/4のときに①は最大値3/2をとるというふうに解きました．サイン置換は積分で使いますが，最大値を求める問題でも使えることがあるんですね．難しいですが，いろんなエッセンスがつまった良い問題だと思います．①=kとおいて，実数存在条件から求める方法は簡単で良いですね．ぜひ覚えてきたいとおもいます．アップありがとうございました！
x^2+y^2+z^2の最大値となればやはりシュワルツですね
微分法でも計算量は大したことないようです。~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~x+y+z=3t（0≦t≦1）…①と置き、先ずtを固定すると、 x(1-x) + y(1-y) + z(1-z) = 3t - (x^2 + y^2 + z^2)だから、与関数値が最大になるのは、x^2+y^2+z^2が最小になるとき。ここで、xyz直交座標空間における平面①と球面 x^2 + y^2 + z^2 = r^2 （r≧0）…②を考えると、①と②が共有点を持つようなr^2が最小になるのは両者が接するときで、その接点は、①と各座標軸との交点を３頂点とする正三角形の重心になるから（t,t,t）。これは、(x,y,z)の定義域に納まっているから実現可能。よってt（0≦t≦1）を固定したときの与関数の最大値は x=y=z=t のときの f(t) = t + √3 * √(t - t^2) 。次にtを動かしたときのf(t)の最大値を求めるために、微分法を用いる。（※以下暫く 0
解答として認められるかわかりませんが、予選決勝法のように考えたことをメモします。与式が対象式で変数が独立のため、たとえばxの一変数関数とみたときにx=αで最大値/最小値をとるなら、x=y=z=αで与式は最大値/最小値をとるはずです。これを前提に、変数をすべてxで置き換えたf(x)=x+√(3x-3x^2)を考えれば十分と思います。f'(x)=0とするとx=3/4が見つかるため、端点と極値のf(0)、f(3/4)、f(1)を求めて比較しました。
いちばんすっきりして早い。💯💯💯💯🙌ただし、微分が数3の範囲なので、出題者の予定していた解答とは違うかも。
自分の能力的には、部分点でもこれがベストに近いかなぁx,y,zの対称性より、同じ値を取りながら動くと考えて良い。とかなんとか宣う。
すごっ
@@aaabbbcccddd777 数3の範囲なの？？受験だし求められてるのは決して微分法だけでは無いと思いますよ。
ひぇ〜頭いい〜
見た目えぐいなぁ
テストで解けるかなー
センスのない作問です。シュワルツの不等式を使った問題をいじった。
たしかに誘導が欲しいですね
なんか模範解答とは違うやり方っぽいなー。上手く変形すれば色々できる気がするけど思いつかん。笑
部分的別解ですが、t=sin^2θのようにするとルートが外せて簡単に最大値が出せますね
部分別解としては後半のtの関数を微分によって最大値を出すっていう解法もありますね
動画を見る前に自分で解いてみて、途中まで同じで、少し時間がかかりましたが、後半もシュワルツの不等式を使いました。
t+√(3t-3t^2)=(1/2)+as+√(c-(bs)^2), s=t-(1/2), a=1, b=√3, c=3/4
と書き換える。シュワルツの不等式より、0
5:00 この右辺に再びシュワルツの不等式を用いれば１つのルートにまとめられますね．
コーシーシュワルツを思いついてヤッターとなりましたが，最大値を微分で求めようとしてドツボにはまりました．
t=(1+sinθ)/2と置換することで，
与式≦(1+sinθ)/2±√3/2・cosθ=1/2+sin(θ±π/3) ・・・①（合成公式より）
となり，θ±π/3=π/2，すなわちθ=π/6または5π/6，すなわち，sinθ=1/2のとき，すなわちt=3/4のときに①は最大値3/2をとる
というふうに解きました．
サイン置換は積分で使いますが，最大値を求める問題でも使えることがあるんですね．
難しいですが，いろんなエッセンスがつまった良い問題だと思います．
①=kとおいて，実数存在条件から求める方法は簡単で良いですね．ぜひ覚えてきたいとおもいます．
アップありがとうございました！
x^2+y^2+z^2の最大値となればやはりシュワルツですね
微分法でも計算量は大したことないようです。
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
x+y+z=3t（0≦t≦1）…①と置き、先ずtを固定すると、
x(1-x) + y(1-y) + z(1-z) = 3t - (x^2 + y^2 + z^2)
だから、与関数値が最大になるのは、x^2+y^2+z^2が最小になるとき。
ここで、xyz直交座標空間における平面①と球面
x^2 + y^2 + z^2 = r^2 （r≧0）…②
を考えると、①と②が共有点を持つようなr^2が最小になるのは両者が接するときで、その接点は、①と各座標軸との交点を３頂点とする正三角形の重心になるから（t,t,t）。これは、(x,y,z)の定義域に納まっているから実現可能。
よってt（0≦t≦1）を固定したときの与関数の最大値は x=y=z=t のときの
f(t) = t + √3 * √(t - t^2) 。
次にtを動かしたときのf(t)の最大値を求めるために、微分法を用いる。
（※以下暫く 0
解答として認められるかわかりませんが、予選決勝法のように考えたことをメモします。
与式が対象式で変数が独立のため、たとえばxの一変数関数とみたときにx=αで最大値/最小値をとるなら、x=y=z=αで与式は最大値/最小値をとるはずです。これを前提に、変数をすべてxで置き換えたf(x)=x+√(3x-3x^2)を考えれば十分と思います。f'(x)=0とするとx=3/4が見つかるため、端点と極値のf(0)、f(3/4)、f(1)を求めて比較しました。
いちばんすっきりして早い。💯💯💯💯🙌ただし、微分が数3の範囲なので、出題者の予定していた解答とは違うかも。
自分の能力的には、部分点でもこれがベストに近いかなぁ
x,y,zの対称性より、同じ値を取りながら動くと考えて良い。とかなんとか宣う。
すごっ
@@aaabbbcccddd777 数3の範囲なの？？受験だし求められてるのは決して微分法だけでは無いと思いますよ。
ひぇ〜頭いい〜
見た目えぐいなぁ
テストで解けるかなー
センスのない作問です。シュワルツの不等式を使った問題をいじった。
たしかに
誘導が欲しいですね
なんか模範解答とは違うやり方っぽいなー。
上手く変形すれば色々できる気がするけど思いつかん。笑