Периметр и площадь равны 30, найдите стороны треугольника
ฝัง
- เผยแพร่เมื่อ 29 ก.ย. 2024
- Найдите стороны прямоугольного треугольника, периметр и площадь которого равны 30.
Предыдущее видео: • Главное - знать на что...
Valery Volkov / valeryvolkov
Наш семейный канал: / @arinablog
Почта: uroki64@mail.ru
Можно ещё площадь посчитать через периметр по формуле->получим ещё одно уравнение.Которое ни к чему хорошему не приведёт:)Решение красивое!
Выразим c из первого уравнения c=30-(a+b), возведём в квадрат и подставим в третье aa+bb=900-60(a+b)+aa+2ab+bb, подставим из второго 2ab=120 и приведём подобные, 60(a+b)=1020, a+b=17. Выразив b=17-a, подставим во второе, получим тоже квадратное уравнение aa-17a+60=0 и те же Ответы. Спасибо за интересное видео.
Прикольно, я решал почти так же)
красивая задача!
А если по формуле Герона?
Нужно решить систему уравнений a+b+c=30, a^2+b^2=c^2, ab/2=30.
Пусть s=a+b, p=ab.
c=30-s, c^2=(30-s)^2=s^2-2p, p=60.
900-60s+2p=0, 60s=900+2*60=1020, s=17.
a,b - корни уравнения x^2-sx+p=0, x^2-17x+60=0, D=289-240=49, x1=12, x2=5. Тогда a и b равны 12 и 5 в каком-то порядке. c=30-s=13.
Ответ: 5, 12 и 13
Можно достроить до прямоугольника. Площадь 60 и стороны 5 и 12, а дальше по теореме.
Ну ничего себе... Не знал, что их всех возможных чисел произведение 60 дают только 5 и 12... Вот это да
Ничего себе...и так каждый раз для новой площади считать приходится? Наверняка есть зависимость между площадью и периметром в виде графика.
Вот только есть нюанс.
Периметр зависит от трёх сторон
Площадь от двух
При этом сами стороны связаны между собой функциональной зависимостью трёх переменных.
Построение такого графика довольно затруднительно.
P=a+b+c
S=ab/2
c=√a²+b²
P=a+b+√a²+b²
Ну и тут на ваше усмотрение.
a=P-b-√a²+b²
S=(P-b-√a²+b²)/2
Избавиться от всех входящих, насколько я вижу не представляется возможным. Поэтому да, каждый раз систему решать)
S=P(P-2c)/4 (c - гипотенуза)
@@СергейМацько-д8в так все равно 2 переменные остались
@@РусланАстамиров-е8ц Да. Прямой зависимости нет. Но, зная Р и S, легко найти с.
@@СергейМацько-д8в ну это хорошо, но человек график хотел. Понятно, что а пространстве можно поизощраться, но как-то ну его нафиг
Я зачем-то выражал площадь через полупериметр и стороны, но как-то решил
Это мои ответи я сам решал
Очень подробно расписали. Сам решил в уме за минуту, просто подставив 5 и 12 под a и b. Но тут задача такая, с очевидным ответом, у вас более универсальнре решение. Спасибо за просвещение!
Как всегда на высоте!)
Пифагорова тройка
Валерий, как всегда спасибо👍! Смотрю с удовольствием))
Спасибо Вам! :)
Метод чайника: раз площадь и периметр известны, то известен и радиус вписанной окружности, он равен 2S/P = 2. С другой стороны радиус вписанной окружности у прямоугольного треугольника ищется по формуле r = (a + b - c)/2, откуда a + b - c = 4
Это равенство складываем с периметром и вычитаем из периметра. Отсюда a + b = (30 + 4)/2 = 17, c = (30 - 4)/2 = 13. Тем самым сводим задачу к решению прямоугольного треугольника по его гипотенузе и сумме катетов, уже решённую на канале.
✍prof. Valery Volkov,
un buon esercizio algebrico che tuttavia può essere risolto anche considerando alcune proprietà geometriche relative al cerchio inscritto al triangolo retto che generano coppie di tangenti .
Nel caso in esame l'Area →30=(ab)/2,→ quindi →30=3*10 oppure 2*15 =2*3*5 dove 2; 3; sono tangenti geometriche sul cateto minore e dove 2 è anche raggio del cerchio inscritto r=1/6(b)=12/6=2
Poi il cateto→ a=2+3=5 (cateto minore); infine la coppia delle tangenti sull'ipotenusa valgono c=( 3+10) mentre il loro prodotto (3*10)= 30 =area triangolo.
Prof.Valery! sembra proprio che sia emersa una formula ignota ai geometri del passato e del presente ma che non si può ignorare?
Teorema delle due tangenti sull'ipotenusa (c=13) di triangoli retti A= t(3/10)t=(3/10)t^2 =(3*10)=30
Dasvidania☯
joseph ♒😌( 23/5/24)⏳
Nice👍👍👍
prof. Valery,✍ (segue intervento precedente)
-- è interessante notare, inoltre, che dividendo il triangolo (5-12-13)con una parallela al cateto a=5 si ottiene un trapezio ed un triangolo simile a quello (5,12,13); la base del triangolo minore simile a quello maggiore vale → a‟=(5*8)/12= 10/3 che sono le tangenti geometriche sull'ipotenusa c=13.
Infine l'area del trapezio vale Atrap:= 5/9 mentre quella →A triangolo.= 4/9.
Consegue che il rapporto fra dette Aree→(5/9)/(4/9)= 1,25
𝞅= (3-2)/2 ±√(1,25=±→(1,618..) e →(-0,618..)→ dove ((3-2) è la differenza delle Tangenti geometriche sul cateto a=5, mentre 2 è la tangente minore .
Veramente sorprendente?
Cordiali saluti Valery.
Joseph(pitagorico)
li,( 24/5/24)
👍
Формула Герона: √(15×(15-а)×(15-б)×(15-с)) = 30;
а + б + с = 30;
а×б/2 = 30 => а×б = 60;
Первое уравнение возвожу в квадрат, раскрываю скобки и привожу подобные.
15^3 - 15^2 × (а+б+с) + 15(бс + ас + (аб)) - (аб)с = 60
аб = 60, а+б+с = 30 по условию.
15^3 - 15^2 × 30 + 15(бс + ас + 60) - 60с = 60 | :15
15^2 - 15×30 + бс + ас + 60 - 4с = 4
бс + ас - 4с = 4 - 15^2 + 15×30 - 60
с × ((а + б) - 4) = 169
а + б = 30 - с
с × (30 - с - 4) = 169
- с^2 + 26с - 169 = 0
с^2 - 2×13с + 13^2 = (с - 13)^2 = 0
с = 13.
а + б = 30 - 13 = 17
(а + б)^2 = 17^2
а^2 + 2аб + б^2 = 289
аб = 60
а^2 + 2аб + б^2 -4аб = 289 -4аб
а^2 - 2аб + б^2 = 289 - 240 = 49
(а - б)^2 = 7^2
|а - б| = 7; пусть а не меньше б, тогда
а - б = 7
а + б =17
2а = 24 => а = 12
б = 12 - 7 = 5
(Если б > а, то б = 12, а = 5)
Ответ: 5, 12, 13.
А в общем виде решается? Просто "площадь прямоугольного треугольника равна периметру, без указания конкретной величины, найти стороны"?
У меня вышло
a + b = x/2 +2
Где х - числовое значение периметра и площади, когда они равны между собой.
Неплохая задачка. Несложная, но я считаю такую смело можно добавлять в ОГЭ вторую часть. Ведь она проверит не только "зазубренные формулы", но и покажет их практическое применение.
5. 12. 13.легко
Ну очень вкусненькая задачка и я её раскусила с удовольствием, СПАСИБО! 😊-это я, а это Вам ❤
Нашёл "с" немного иначе, воспользовался упрощённой формулой c=(P/2)-2S/P
А можно напомнить что это за формула такая клёвая, как называется?
@@voidweaver5926 Упростил выражение и получил такую формулу, проверял для каждого случая
Для а, b тоже имеются формулы, но они громоздкие. Кстати, если Р=S, как в нашем примере 30, то с=Р:2-2. Следовательно в данном случае с=30:2-2=15-2=13.
а=5 б=12 с=13
Я сам дальше первых 3 уравнений не продвинулся. Правда, у меня бумажки не было, в уме пытался. "А и было того ума не великие закрома"(с)
Уважаемый Валерий, извините не знаю отчества, зачем мои мысли читаете. Как только увидел задачу, сразу понял как решать.
5, 12, 13.
a,b,c={12; 5; 13} or {5; 12; 13}
Очень быстрое объяснение, ничего не понятно, пожалуйста, можно поподробнее? 🙏🙏🙏
Бедный. У меня часто такие же проблемы возникают 😢
Измените скорость воспроизведения☝️
@@galinameerson8804 многие шаги решения пропускаются, в этом низкая скорость не поможет
ab/2=30, a+b+c=30, a^2+b^2=c^2
Подставлял, получил квадратное уравнение, где b получилось 3 и -20, отриуатенкя длина нам не подходит. Тогда a=20, c=7
Хотя тогда это не треугольник)) сторона а больше суммы сторон в и с)
Пойду ещё крутить
13, 12, 5 через теорему Герона и формулу S.
Задача от подписчика :) Максимальная площадь 4-угольника, у которого все стороны 1?
Четырехугольник у которого 4 стороны равны, называется ромбом, его площадь можно вычислить по-разному. Воспользуемся следующей формулой: S =t²*sin(a), где t - сторона ромба, a - один из его углов. Подставим в формулу t = 1, получим S = sin(a), максимизируем полученное выражение, максимальное значение синуса это 1, и в этом случае ромб становится квадратом. Ответ: 1
Это разминочная задача. Правильная задача вот: Максимальная площадь 4-угольника, у которого три стороны равны 1?
То же самое происходит с любой Пифагоровой тройкой?
Не со всеми.
Ну, таким способом их найти можно, но площадь и периметр будут равны другим числам.
Нашёл у себя ошибку.
Взял с = 30-а-b и воткнул в а^2+b^2=c^2
Тогда после раскрытия скобок слева у нас а^2+b^2, а справа
900-60а-60б+2аб+а^2+b^2
а^2+b^2 сокращаются
Вместо аб подставляем 60 и всё сокращаем на 60
Тогда получается а+б=17
И первое аб=60
Дальше Виет нам в помощь для подбора
смотрим пифагоровы тройки и находим подходящую: 5+12+13 = 30 - это периметр, (5*12)/2 = 60/2 = 30 - это площадь
ответ: 5,12,13
Та ну, сидя на толчке решить можно
Берем теорему пифагора, дальше заменяем a^2+b^2 на (a+b)^2 - 2ab. Дальше выходит (30-с)^2 - 120 = c^2
Дальше и расписывать смысла нет
2:07--теорема,обратная теореме Виета.
а если в общем виде?
Когда площадь=периметр=Z (целое). Всегда будут получаться пифагоровы тройки? И вообще всегда ли есть решения?
В таком случае целые решения получатся не всегда. min Z=24. Toгда будет 3-угольник (6, 8, 10); следующий будет (5, 12, 13) при Z=30.
решила устно, спасибо. за 1 минуту
как?
@@JohnDoe-jb6xq произведение катетов =60, это 5 и 12, гипотенуза = 30-12-5
Ну, я и сам так бы решал. Но не стал, решил сразу посмотреть видео в ожидании какого-то более изящного решения: провести там что-либо неочевидное или ещё как-то, но чтобы решилось сразу и без системы. Как-то уже привык, что Валерий - большой мастер по всяким оригинальным изяществам. Но в этот раз облом... В видео оказалась та же система...
Хорошее и понятное объяснение! Спасибо, Валерий!😁😁
Красивая задача, изящное решение!