Oral Mines-Ponts équivalent d'une suite avec CESARO (sup)
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- เผยแพร่เมื่อ 1 ส.ค. 2024
- Voici un exercice modèle sur les suites récurrentes. D'abord on étudie la convergence, puis on utilise un corollaire classique du théorème de Césaro pour fournir un équivalent de la suite.
NB : en toute fin de vidéo je vous propose un petit défi : trouver un équivalent dans le cas d'une limite égale à l'infini.
00:00 Introduciton
00:22 Énoncé
01:32 Solution : étude de la convergence
13:54 Equivalent
25:33 Conclusion et petit défi
Bonjour, déjà merci pour votre travail !
Pour trouver l’équivalent de Un, on peut aussi se passer du TAF:
Lorsque l’on cherche (Un+1)^a - (Un)^a, connaissant l’expression de Un+1, on peut faire un DL de Un et chercher les valeurs de a pour lesquelles la différence est indépendante de Un
C’est sensiblement la même méthode sans avoir besoin d’invoquer le TAF
Merci encore pour votre travail !!
ah oui tiens c'est sympa aussi 👍😃
Sympa le t shirt
chasseur d'exos ! 😉
Pour le DEFI, quelques indications :
Il faut mq il existe un réel "a" tq u_n est équivalente à a^{2^n} (grosse vitesse quand meme)
1/ Poser v_n=[ln(u_n)]/2^n, et mq v_{n+1}-v_n=o(1/2^n}
2/ Usez d'un télescopage pour obtenir la convergence de v_n vers une certaine limite "l"
3/ posez a=exp(l) (...) et prouvez ce qui a été annoncé plus haut
Résolution explicite sur l'excellent site de David DELAUNAY : (exo6)
ddmaths.free.fr/section137.html
Merci à celles/ceux qui ont participé ! 😃
L'idée générale derrière tout ça c'est l'analogie avec l'équation différentielle y'=y^2. On adapte, de manière discrète, la méthode de résolution de cette équation différentielle. En particulier, le coefficient alpha sort naturellement.
🤔... hum... je vois bien le parallele
mais là on ne veux pas "resoudre" une equation. Il s'agit d'étudier un comportement asymptotique (?)
on prend alpha > 0 et par la suite on choisit alpha = -1 comment cela se fait il ?
Bien vu. C'est une coquille. On prend alpha non nul ! (je sais pas pk j'ai écrit positif dsl)
@@CassouMathPrepa ahhh d’accord c’est ce à quoi je pensais
pas réussi en +inf, une petite indication?
Sinon le théorème au programme c'est pas tout à fait Cesaro, c'est celui sur les sommations de relations de comparaison:
Si vn est positive que Somme vn(on va noter Sn(v)) diverge et que un = o(vn) alors
Sn(u) = o (Sn(v))
si la série converge on note les restes Rn(v) alors
Rn(u) = o(Rn(v))
On en déduit facilement Césaro et le lemme de l'escalier.
J'ai mis des indic pour le défi dans un commentaire à part (pour tout le monde)
Oui Césaro pas au programme, mais bon difficile à rater en prepa :)
un+1 = sin un est aussi un classico classique. prendre alpha = -2 :)
Yes ! Et aussi u_{n+1}=ln(1+u_n)... avec un petit DL à la clef
(Désolé j'ai regardé la vidéo sans le son, parce que je regarde la dissolution en même temps sur un autre écran)
Moi aussi j'adore la méthode des petits pas !
Généralement, la version plus corsée de ces exercices est de continuer le développement asymptotique jusqu'à trouver le premier terme qui dépend de la condition initiale u_0.
Oh, comment on pourrait aller plus loin dans ce cas ? Les équivalents sont vraiment mon point faible
"Je vais vous montrer une méthode qui marche à tous les coups, dans certains cas" 😅
Ca sent la maxime des Shadoks en effet 😂
Une autre méthode est de voir que (u_{n+1}-u_n)/u_n^2 = 1 donc, par croissance de x -> 1/x^2 sur R- on a:
(u_{n+1}-u_n)/u_{n}^2 (b^(2^n) - 2) pour tout n, avec b = 2.
Donc la série des e_n converge vers une constante C, et son reste est en O(1/b^(2^n))
D'ou v_n = v_0 + nln(2) + C + O(1/b^(2^n))
Dès lors ln(u_n) = C'*(2^n)*(1+O(1/b^(2^n))) = C'*(2^n) + O(2^n/b^(2^n))
D'où u_n = C''^(2^n)(1+O(2^n/b^(2^n))) d'où le résultat.
Super merci d'avoir relevé le défi (et d'avoir pris la peine de l'écrire ici, ce qui n'est pas aisé !)
Pour l'autre méthode, en fait une fois qu'on a eu l'idée d'envisager 1/u_{n+1}-1/u_n, alors la limite de cette quantité est triviale en mettant au meme dénominateur. Donc le coup du thm des AF (ou de l'intégrale que tu proposes), c'est juste pour pouvoir envisager la bonne quantité à laquelle on pourra appliquer le lemme de l'escalier
Soit α > 0, … je choisis α = -1, ça m’a un peu perdu
désolé, meme reponse qu'à Eliott, je sais pas pk j'ai ecrit alpha>0, dsl. C'est alpah non nul