Pas de grande révolution, mais une petite amélioration peut être, une fois établie la diagonalisabilité dans C. Le déterminant de A est un entier, mais c'est aussi le produit des valeurs propres, disons l1 et l2. On utilise alors le fait que le déterminant d'un produit est le produit des déterminants, on a donc (l1l2) ^12 = 1, donc l1.l2, qui est entier, est égal à 1 ou -1, d'où l2 = 1 / l1 ou son opposé. On obtient alors le résultat de façon identique au cas complexe conjugué en utilisant le fait que l1 et l2 sont des racines de l'unité inverses l'une de l'autre (au signe près), ce qui évite de faire un cas particulier pour l1 = 1 ou -1 .
@ La dernière phrase était un peu rapide. Je voulais dire que l on termine comme dans la vidéo pour le cas des racines complexes conjuguées, l’inversion d une racine de l unité revenant à sa conjugaison. J ai édité mon post en ce sens
En plus d'être un outil théorique fondamental, l'algèbre linéaire est indispensable par exemple dans le traitement de l'image, du son, la mécanique, etc etc etc... ou encore récemment l'intelligence artificielle...
L’algèbre linéaire ne sert presque à rien en pratique (si ce n’est pour les concours). Les ordis peuvent faire ça facilement.. et on peut s’en servir sans avoir besoin de comprendre comment ça marche .. L’analyse, c’est autre chose ..
@noorlu5209 c'est une blague ? Les applications de l'algèbre lineaire sont innombrables... y compris en analyse (par exemple pour les ED) La questions ce serait plutôt de savoir où ça ne sert pas... 😅
Merci pour ce beau cadeau de Noël en avance ! J'avais une stratégie plus laborieuse pour la fin (je listais comme un relou tous les polynômes caractéristiques possibles). J'imagine que connaître la structure de SL2(Z) peut donner un gros raccourci mais je n'ai pas essayé vu qu'on n'y a pas droit.
@@UnNimois Hello Ô Nimois ! Et merci Ah oui c'est vrai SL2(Z) est engendré par S et T où ... etc... mais je sais comment ça aide parce que c'est pas commutatif non ? 🤔
On peut le faire avec les polynômes cyclotomiques (programme M1). chaque valeur propre est racine d'un polynôme cyclotomique; ces polynomes sont irréductibles sur Q donc les valeurs propres sont des racines d'un poly cyclotomique de degré 1 ou 2, le n ième polynome cyclotomique est de degré phi(n). phi(n)=1 ou 2 ssi n=1,2,3,4,6. Donc le polynôme cyclotomique associé une vp va toujours diviser X^12-1, donc chi(A) aussi
@@alexisbaudour2337intéressant Je comprends pas l'argument "de degré 1 ou 2" ? 🤔 Les polynomes irréductibles dans Q peuvent pourtant être de degré qcq. Faut passer par le polynome minimal qui est de degré 1 ou 2 et dans Q[X] et divisé X^n- 1, donc divisible par un polynome cyclotomique c'est ça ?
Merci, je pense que ça marche pour une matrice à coefficients rationnels et même pour une matrice de taille 3 je crois qu'il y a forcément une vp=1 ou -1. Et oui chi(A) va être un produit de polynômes cyclotomiques ce qui donne une majoration sur l'ordre de A dans GL(n).
J'ai une autre solution à proposer : Le polynôme caractéristique de A est de la forme X^2 + aX + b avec a et b appartenant à Z. De plus, ses racines sont dans Un. Or, en regardant la matrice compagnon de ce polynôme et les disques de Gershgorin, on en déduit que a ne peut prendre que 0, +-1 ou +-2 comme valeur. Toujours avec l'arguments des disques de Gershgorin, si a = 2 alors 1 est racine double, si a = -2, -1 est racine double. Si a =0, alors la valeur absolue de b est 1. Donc b = +-1. Donc les racines sont soit 1 et -1 ou i et -i. Enfin si a=+-1, on retrouve les racines en e^(iPi/3)
@@clementpealat7571 Hello ! Merci pour cette solution. Ça marche en effet. Bon après, utiliser les disque de Gershgorin plutôt que la trace, avouons que cela peut paraître un peu snob 😁. Mais ça a l'avantage de nous faire réviser Gershgorin (d'ailleurs j'ai une vidéo la dessus), et de l'appliquer sur un cas simple. Bonne fêtes 🥳
Très bonne vidéo mais j'avais une question, cela pouvait tout aussi bien marcher avec A^6, parce que au vu de l'énoncé on pourrait penser que le 12 a une certaine importance ?
Bonjour tout le monde et joyeuses fêtes. Donc finalement dans M_2(Z), si A^n = I, alors un peu plus précisément : A⁴ = I ou A⁶ = I. On a le même résultat dans M_3(Z) : 4 ou 6. En revanche, dans M_4(Z), la matrice compagnon du polynôme X⁴ + X³ + X² + X +1 vérifie A⁵ = I. Donc là, en dimension 4, on a : A⁵ = I ou A¹² = I. Mais là, c'est un vrai A¹² = I, pas au choix 4 ou 6 ! (pas d'autre solution si je ne m'abuse) Donc en tout, A⁶⁰ = I. Dans M_5(Z), je pense que c'est comme dans M_4(Z).
@@marsupilable Merci encore un commentaire qui envie de bois ! 🙏🙏 oui en taille 3, le polynome caracteristique etant a coeff reels, une des 2 vp est 1 ou -1, donc les 2 autres sont de même ou alors conjuguées dans S^1. Donc avec la trace on se ramène au même cas. Pas eu le temps de regarder la taille 4 j'avoue,... Mais on peut donc se poser les questions suivante en taille "n"quelconque si A^p=In et A à ceff dans Z : 1/ alors il existe un entier "m" universel ne dépendant que de n tq A^m=I ??? -2/ si c'est le cas alors trouver le min de ces "m"... ??? Bref il s'agit de majorer l'ordre d'un élément du groupe (SLn(Z),×), qui n'est pas fini mais finiment engendré (de mémoire)... sans être commutatif 🤔... Autant ce que je dis est trivial pour les connaisseurs de SLn(Z) (ce qui n'est pas mon cas). J'en suis désolé à l'avance... Bref cette étude fait bien sur penser au cas des matrices nilpotentes ou lorsqu'une puissance de A vaut 0, alors A^n vaut zéro en dim n...
Si tu aboutis au résultat et que c’est pas trop technique, ça serait tres cool d’en faire une autre vidéo, je suis curieux. Peut être que l’on peut au moins encadrer le min des m par n.
Je l'ai fait d'une autre manière, mais je ne sais pas vraiment si elle est plus courte : Comme A est à coefficient dans Z, son polynome caracteritique que je note P_A est dans Z[X] et unitaire. - Si n=1, alors A est l'identité et donc on a bien A^12=I_2. - Si n>=2, alors je considère la division euclidienne de X^n par P_A. Je note le reste R qui est un polynome de degré 1. Comme A^n=I_2, on a alors que I_2=R(A) par cayley-hamilton. Je note R(X)=mX+p et A=(a, b a la ligne c, d). On obtient alors le système suivant : - 1=ma+p - 0=mb - 0=mc - 1= md+p. Si m=0, alors on a I_2=pI_2 et donc p=1. Finalement on a donc A^n=I_2, qui est vrai en particulier quand n=12. Sinon, on a alors b=0 et c=0. A est alors diagonale. De l'egalite de base A^n=I_2, on a a^n=1 et d^n=1. Comme a et d sont dans Z, on a que a et d sont égales à+-1. Et donc on a que comme 12 est paire, a^12=1 et d^12=1. Donc on a bien A^12=I_2. Cqfd. Merci pour tes vidéos, je commente rarement, mais j'apprécie beaucoup ton contenue 🎉. Bonne fêtes de fin d'année ! Edit : c'est faux puisque les relations sont vraies pour un n en partciulier et pas seulement pour n'importe quel n, je suis vraiment mauvais 😅. Je modifirai si je trouve une solution qui marche en partant de cette methode.
@@Isometric57 oui y a un bug. Il te faudrait dire que si k est entier alors A^k est CL de A et I2 avec des coeff ak et bk... puis peut etre trouver une relation de reccurence et utiliserble fait que ce sont des entiers... que pur k=n an=0 et bn=1... je viens d'essayer mais je n'aboutis pas à grande chose 🤷 Sinon le polynome caractéristique est X-tr(A)X+ det(A) avec det(A)=1 ou -1 ... mais bon Bref vaut mieux passer par les vp quand même.
Bel exercice et super vidéo! Je dois avouer que sans les indications j'avais du mal à partir... Sans avoir planché dessus j'ai le sentiment que: 1/la propriété reste juste si A est dans M_3[Z] (le polynôme caractéristique impose det(A), tra(A), tr(com(A)) dans Z et delà je pense que cela impose qu'une des valeurs propres (toutes racine n-ieme de l'unité) soit +/-1 et la discussion sur les deux restantes est identique à celle de la dimension 2) 2/devient fausse si A est dans M_4[Z] (on doit pouvoir prendre deux paires de racines n-ième de l'unité conjuguées deux à deux pour un n grand au besoin premier avec 12). J'en appelle aux neurones de la communauté: Un avis, une demo pour 1/ ? Un contre exemple explicite pour 2/ ?
A^3=I pour A=1, -1// 1,0 (en ligne). Par exemple. Il faut A^2+A+I=0. Donc tr(A)=-1 et det(A)=1 + coeff dans Z Oui pour n=4, il suffit de choisir la matrice de rotation d'angle 2pi/4=pi/2 qui est à coeff entiers
@@CassouMathPrepaok deux exemples concrets dans M_2[Z], c’est toujours bon à prendre. Mon questionnement était sur M_3[Z] et M_4[Z], mais @marsupilable a déjà plus qu’ebauché une réponse (même s’il saute pas mal d’étapes et que je ne sais pas remplir tous les blancs).
Super vidéo, comme d'habitude! J'ai juste une petite question, j'ai pas bien compris l'argument au début pour dire que la matrice est diagonalisable, quelqu'un serait d'accord de me l'expliquer ?
@@JoachimFavre "Une matrice est diagonalisable ssi elle possède un polyôme annulateur scindé à racine simple" , c'est un théorème de deuxième année de prépa, on peut le prouver avec le lemme des noyaux
Ah je l'avais eu en khôlle celui-là ; c'était donc déjà à la mode en en 2007/2008 ^^
Merci pour la super boulot comme d'hab :)
@@lyrian9263 oui ça fait une mode assez large en effet 🤣🤣... nous dirons donc plutôt "indémodable" 😁😁
Super vidéo cette fois ci c'est très bien expliqué.
plus d'exercice X-ENS MP svpp !
Pas de grande révolution, mais une petite amélioration peut être, une fois établie la diagonalisabilité dans C. Le déterminant de A est un entier, mais c'est aussi le produit des valeurs propres, disons l1 et l2. On utilise alors le fait que le déterminant d'un produit est le produit des déterminants, on a donc (l1l2) ^12 = 1, donc l1.l2, qui est entier, est égal à 1 ou -1, d'où l2 = 1 / l1 ou son opposé. On obtient alors le résultat de façon identique au cas complexe conjugué en utilisant le fait que l1 et l2 sont des racines de l'unité inverses l'une de l'autre (au signe près), ce qui évite de faire un cas particulier pour l1 = 1 ou -1 .
Hum... si les 2 racines sont conjuguées le produit vaut 1. On ne peut pas en déduire directement le résultat A^12=I. 🤔
@ La dernière phrase était un peu rapide. Je voulais dire que l on termine comme dans la vidéo pour le cas des racines complexes conjuguées, l’inversion d une racine de l unité revenant à sa conjugaison. J ai édité mon post en ce sens
@@gholler1 ok
A diagonalisable est une question flash ultra classique.
Bien vu merci
Me concernant il s’agit donc d’une langue étrangère .😅qu’elle peut être l’application utile pour la vie courante?
En plus d'être un outil théorique fondamental, l'algèbre linéaire est indispensable par exemple dans le traitement de l'image, du son, la mécanique, etc etc etc... ou encore récemment l'intelligence artificielle...
Merci pour votre réponse c’est fascinant
L’algèbre linéaire ne sert presque à rien en pratique (si ce n’est pour les concours). Les ordis peuvent faire ça facilement.. et on peut s’en servir sans avoir besoin de comprendre comment ça marche ..
L’analyse, c’est autre chose ..
@noorlu5209 c'est une blague ? Les applications de l'algèbre lineaire sont innombrables... y compris en analyse (par exemple pour les ED)
La questions ce serait plutôt de savoir où ça ne sert pas... 😅
Merci pour ce beau cadeau de Noël en avance ! J'avais une stratégie plus laborieuse pour la fin (je listais comme un relou tous les polynômes caractéristiques possibles). J'imagine que connaître la structure de SL2(Z) peut donner un gros raccourci mais je n'ai pas essayé vu qu'on n'y a pas droit.
@@UnNimois Hello Ô Nimois ! Et merci
Ah oui c'est vrai SL2(Z) est engendré par S et T où ... etc... mais je sais comment ça aide parce que c'est pas commutatif non ? 🤔
Bonnes fêtes à toi ! 🥳
On peut le faire avec les polynômes cyclotomiques (programme M1). chaque valeur propre est racine d'un polynôme cyclotomique; ces polynomes sont irréductibles sur Q donc les valeurs propres sont des racines d'un poly cyclotomique de degré 1 ou 2, le n ième polynome cyclotomique est de degré phi(n). phi(n)=1 ou 2 ssi n=1,2,3,4,6. Donc le polynôme cyclotomique associé une vp va toujours diviser X^12-1, donc chi(A) aussi
@@alexisbaudour2337intéressant
Je comprends pas l'argument "de degré 1 ou 2" ? 🤔
Les polynomes irréductibles dans Q peuvent pourtant être de degré qcq.
Faut passer par le polynome minimal qui est de degré 1 ou 2 et dans Q[X] et divisé X^n- 1, donc divisible par un polynome cyclotomique c'est ça ?
OK c'est bon j'ai fini par comprendre
Fallait que je révise un peu mes polynomes cyclotomiques
Bravo c'est très élégant 👍👍👍
Ce qui est étrange c'est qu'on n'utilise pas que la matrice est à coefficients entiers mais juste rationnels non ? 🤔
Merci, je pense que ça marche pour une matrice à coefficients rationnels et même pour une matrice de taille 3 je crois qu'il y a forcément une vp=1 ou -1. Et oui chi(A) va être un produit de polynômes cyclotomiques ce qui donne une majoration sur l'ordre de A dans GL(n).
J'ai une autre solution à proposer :
Le polynôme caractéristique de A est de la forme X^2 + aX + b avec a et b appartenant à Z.
De plus, ses racines sont dans Un. Or, en regardant la matrice compagnon de ce polynôme et les disques de Gershgorin, on en déduit que a ne peut prendre que 0, +-1 ou +-2 comme valeur. Toujours avec l'arguments des disques de Gershgorin, si a = 2 alors 1 est racine double, si a = -2, -1 est racine double. Si a =0, alors la valeur absolue de b est 1. Donc b = +-1. Donc les racines sont soit 1 et -1 ou i et -i. Enfin si a=+-1, on retrouve les racines en e^(iPi/3)
@@clementpealat7571 Hello !
Merci pour cette solution. Ça marche en effet. Bon après, utiliser les disque de Gershgorin plutôt que la trace, avouons que cela peut paraître un peu snob 😁.
Mais ça a l'avantage de nous faire réviser Gershgorin (d'ailleurs j'ai une vidéo la dessus), et de l'appliquer sur un cas simple.
Bonne fêtes 🥳
Très bonne vidéo mais j'avais une question, cela pouvait tout aussi bien marcher avec A^6, parce que au vu de l'énoncé on pourrait penser que le 12 a une certaine importance ?
I^6=-1 et pas 1 😉
@@CassouMathPrepa ah oui effectivement merci
Bonjour tout le monde et joyeuses fêtes.
Donc finalement dans M_2(Z), si A^n = I, alors un peu plus précisément : A⁴ = I ou A⁶ = I.
On a le même résultat dans M_3(Z) : 4 ou 6.
En revanche, dans M_4(Z), la matrice compagnon du polynôme X⁴ + X³ + X² + X +1 vérifie A⁵ = I.
Donc là, en dimension 4, on a : A⁵ = I ou A¹² = I.
Mais là, c'est un vrai A¹² = I, pas au choix 4 ou 6 !
(pas d'autre solution si je ne m'abuse)
Donc en tout, A⁶⁰ = I.
Dans M_5(Z), je pense que c'est comme dans M_4(Z).
@@marsupilable
Merci encore un commentaire qui envie de bois ! 🙏🙏
oui en taille 3, le polynome caracteristique etant a coeff reels, une des 2 vp est 1 ou -1, donc les 2 autres sont de même ou alors conjuguées dans S^1. Donc avec la trace on se ramène au même cas.
Pas eu le temps de regarder la taille 4 j'avoue,...
Mais on peut donc se poser les questions suivante en taille "n"quelconque si A^p=In et A à ceff dans Z :
1/ alors il existe un entier "m" universel ne dépendant que de n tq A^m=I ???
-2/ si c'est le cas alors trouver le min de ces "m"... ???
Bref il s'agit de majorer l'ordre d'un élément du groupe (SLn(Z),×), qui n'est pas fini mais finiment engendré (de mémoire)... sans être commutatif 🤔...
Autant ce que je dis est trivial pour les connaisseurs de SLn(Z) (ce qui n'est pas mon cas). J'en suis désolé à l'avance...
Bref cette étude fait bien sur penser au cas des matrices nilpotentes ou lorsqu'une puissance de A vaut 0, alors A^n vaut zéro en dim n...
Si tu aboutis au résultat et que c’est pas trop technique, ça serait tres cool d’en faire une autre vidéo, je suis curieux. Peut être que l’on peut au moins encadrer le min des m par n.
Je l'ai fait d'une autre manière, mais je ne sais pas vraiment si elle est plus courte :
Comme A est à coefficient dans Z, son polynome caracteritique que je note P_A est dans Z[X] et unitaire.
- Si n=1, alors A est l'identité et donc on a bien A^12=I_2.
- Si n>=2, alors je considère la division euclidienne de X^n par P_A. Je note le reste R qui est un polynome de degré 1. Comme A^n=I_2, on a alors que I_2=R(A) par cayley-hamilton.
Je note R(X)=mX+p et A=(a, b a la ligne c, d). On obtient alors le système suivant :
- 1=ma+p
- 0=mb
- 0=mc
- 1= md+p.
Si m=0, alors on a I_2=pI_2 et donc p=1. Finalement on a donc A^n=I_2, qui est vrai en particulier quand n=12.
Sinon, on a alors b=0 et c=0. A est alors diagonale. De l'egalite de base A^n=I_2, on a a^n=1 et d^n=1. Comme a et d sont dans Z, on a que a et d sont égales à+-1.
Et donc on a que comme 12 est paire, a^12=1 et d^12=1. Donc on a bien A^12=I_2. Cqfd.
Merci pour tes vidéos, je commente rarement, mais j'apprécie beaucoup ton contenue 🎉. Bonne fêtes de fin d'année !
Edit : c'est faux puisque les relations sont vraies pour un n en partciulier et pas seulement pour n'importe quel n, je suis vraiment mauvais 😅. Je modifirai si je trouve une solution qui marche en partant de cette methode.
@@Isometric57 oui y a un bug. Il te faudrait dire que si k est entier alors A^k est CL de A et I2 avec des coeff ak et bk... puis peut etre trouver une relation de reccurence et utiliserble fait que ce sont des entiers... que pur k=n an=0 et bn=1... je viens d'essayer mais je n'aboutis pas à grande chose 🤷
Sinon le polynome caractéristique est X-tr(A)X+ det(A) avec det(A)=1 ou -1 ... mais bon
Bref vaut mieux passer par les vp quand même.
Bel exercice et super vidéo! Je dois avouer que sans les indications j'avais du mal à partir... Sans avoir planché dessus j'ai le sentiment que:
1/la propriété reste juste si A est dans M_3[Z] (le polynôme caractéristique impose det(A), tra(A), tr(com(A)) dans Z et delà je pense que cela impose qu'une des valeurs propres (toutes racine n-ieme de l'unité) soit +/-1 et la discussion sur les deux restantes est identique à celle de la dimension 2)
2/devient fausse si A est dans M_4[Z] (on doit pouvoir prendre deux paires de racines n-ième de l'unité conjuguées deux à deux pour un n grand au besoin premier avec 12).
J'en appelle aux neurones de la communauté: Un avis, une demo pour 1/ ? Un contre exemple explicite pour 2/ ?
oupsi, je n'avais pas vu le commentaire de @marsupilable
A^3=I pour A=1, -1// 1,0 (en ligne). Par exemple. Il faut A^2+A+I=0. Donc tr(A)=-1 et det(A)=1 + coeff dans Z
Oui pour n=4, il suffit de choisir la matrice de rotation d'angle 2pi/4=pi/2 qui est à coeff entiers
@@CassouMathPrepaok deux exemples concrets dans M_2[Z], c’est toujours bon à prendre. Mon questionnement était sur M_3[Z] et M_4[Z], mais @marsupilable a déjà plus qu’ebauché une réponse (même s’il saute pas mal d’étapes et que je ne sais pas remplir tous les blancs).
@@CassouMathPrepa: Peut-être plus une réponse pour la laconique question de cainabel2553 ? Bref, assez de commentaires pour un 24/12, bon réveillon !
De tête, je vois du 4 mais je n'arrive pas du tout à voir d'où on sort le 3 et quel exemple a du 3. LOL
Super vidéo, comme d'habitude!
J'ai juste une petite question, j'ai pas bien compris l'argument au début pour dire que la matrice est diagonalisable, quelqu'un serait d'accord de me l'expliquer ?
Le polynôme X^n - 1 annule M or ce polynôme est scindé à racine simple dans C
@pineapplez2154 Yes, ça je suis d'accord. Mais comment est-ce qu'on conclut que la matrice est diagonalisable à partir de là?
@@JoachimFavre "Une matrice est diagonalisable ssi elle possède un polyôme annulateur scindé à racine simple" , c'est un théorème de deuxième année de prépa, on peut le prouver avec le lemme des noyaux
@@JoachimFavreapprend ton cours peut être ?
Oui c'est du cours. Mais vous l'avez peut-être pas encore vu. Y a des prof qui séparent réduction, puis polynomes d'endomorphismes.