Vidéo très sympa et pédagogique. Ce genre de méthodes sont utilisées en Physique et Ingénierie même pour des systèmes plus complexes. Ta réflexion sur la dérivation est pertinente et mériterait presque une vidéo. En traitement du Signal (et Automatique), la dérivation coupe les basses fréquences (BF) et amplifie les hautes fréquences (HF). Comme, en général, l'info du signal est contenue dans les BF, si on les coupe on perd de l'info. Bien sûr, il y a d'autres explications (ici, sur les constantes et on retrouve le même prb en Automatique sur les CI's). Pour celles et ceux que ça intéresse, le Schaum's outline on "Theory and problems of differential equations" de Frank Ayres Jr est assez cool. Certains exos sont accessibles dès la TS alors que d'autres, demandent plus de technique (Master 1). Mais attention, c'est américain et ce n'est pas le même formalisme qu'en France!
@@CassouMathPrepa De rien. Mais ce n'est pas trop des maths applis. Je dirais plus des outils mathématiques adaptés à l'ingénierie, automatique ou traitement du signal. Les thèses en maths applis, c'est autres chose (et je ne parle pas des thèses en maths pures) 😅 C'est plutôt à moi de te remercier. Grâce à tes vidéos, je revois ce que j'ai vu en DEUG il y a 25 ans et comprends comment ces théories s'articulent dans la recherche appliquée 👍👍
Mes prépa sont vieille de 40 ans, mais c'est toujours avec plaisir que je regarde. Plaisir un petit peu sadique, voir un prof travailler, mais bon… je constate en general que le programme s'est un petit peu étoffe depuis cette époque. Pour le premier exercice, j'avais comme idée de définir la fonction paire a(x)=f(x)+f(-x) et la fonction b(x)=f(x)-f(-x) pour obtenir des équations sur a et b
Lol. Perso ce travail ne me derange pas :) Ah oui je vois l'idée : partie paire /impaire de f. Bon reflexe, mais pas gagné que ca aboutisse, car si tu regardes la solution, on trouve une fonction qui n'est ni l'un ni l'autre. Ca matche pas bien avec la multiplication de l'équation.
Bonjour Merci pour vos vidéos!!!! J’ai 2 questions : 3:54 : vous dites « on remplace x par -x », un argument de bijection n’est pas nécessaire? 19:35 : la liberté de la famille (cos x , sin x) est valable?
Bonjour 3:54 non pas besoin de bijection. Vrai pour tout x. Donc pour -x 19:35 Je n'utilise pas l'alimenter de (cos,sin) meme dnsi on pourrait. Je le fais à la main (comme ça les 1eres années peuvent suivre)
11:14 bon celle là déjà en manipulant un peu les fonctions trigo on sait que les éléments de vect(sin) vont être des solutions On voit assez rapidement que l’équation peut se réécrire f’(pi-x) = f(x) Du coup si tu derive l’égalité (ce que tu dois avoir le droit de faire puisque ton membre de droite est dérivable) tu trouves f’’(x) = f’(pi-x) = f(x) Donc tes solutions sont dans vect(sin,cos) les seules marchant bien étant celles de vect(sin), j’ai un peu fait un raisonnement par synthèse-analyse m’enfin y’a toujours la double inclusion donc ça marche 😅
Le dernier (je regarde depuis la miniature) on remarque que : • f’(1/x) = f(x) par symétrie • f’’(x) = -f’(1/x)/x^2 parce que le terme de droite est dérivable Donc f(x) /x^2+ f’’(x) = 0 Et la on s’est ramené à une équation diff homogène de degré deux mais avec coefficient non constant, mais sans dérivée première, ça doit pas être trop dur à résoudre.
Ouah 0:05 je regarde et je galère ! Si on suppose f(-x) non nulle sur un compact on a : f’(x) = 1/f(-x) ou f(-x) = 1/f’(x) f’’(x) = f’(-x)/f(-x)^2 = f’(-x) f’(x)^2 Ce qui nous fait encore tourner en rond… pareil si on dérive (f(-x)f’(x))… Si on fait la dérivée logarithmique, f’’(x)/f’(x) - f’(-x)/f(-x) = 0, On a un peu augmenté l’information, là : f’’(x)f(-x) = f’(-x)f’(x) f’(-x)f’(x)^2 f(-x) = f’(-x)f’(x) f’(x) = f’(x) woohoow 😭 f’(-x)/f(-x) = f’(-x)f’(x) f’(-x) = f’(-x) genial 😬 Je vais réfléchir un peu mieux x)
1:30 je vais finir par trop polluer les commentaires mais vrm je trouve pas 😂 Peut être en écrivant l’égalité pour x et pour -x : f’(x)/f(x) = f’(-x)/f(-x) ln(|f(x)|) = ln(|f(-x)|) + c |f(x)| = C|f(-x)| Si on inverse le signe |f(-x)| = C|f(x)|, donc C = 1 Donc à x fixé f(x) = +-f(-x), par continuité de la dérivée la fonction est paire ou impaire (par morceaux) - si elle est paire sur un intervalle, on a (f(x)^2 /2)’ = (x+c)’, donc f(x) = sqrt(2x+ B), ce qui n’est pair pour aucun B, donc f est impaire partout (ce qui cause un problème en 0). - si f est impaire sur un intervalle, (f(x)^2/2)’ = (c-x)’ f(x) = sqrt(B-2x) qui n’a pas tellement l’air plus impaire que ça… Du coup ce serait impossible ? Je suis perdu
0:27 si f est paire alors on a (f(x)^2 /2)’ = (x)’ f = sqrt(x) Or ça c’est pas pair, c’est pas défini sur les nombres négatifs, dcp c’est un peu triste
La solution de l equation differentielle est: f(x)=x [ln²x-ln x + K] avec K appartenant à R Pour résoudre l equ d Euler, il f faut utiliser le chgt de variable proposé dans la vidéo, puis ensuite la méthode de variation de constante une fois la,solution de l equ homogène trouvée.
Bonjour, 0) Notons que pour la toute première équation, on remarque que f mais aussi f' ne s'annulent jamais, ce qui met sur la piste de l'exponentielle. Sion, on s'en tire bien en dérivant, l'idée venant du fait que cela élimine le 1 qui est une constante. On se retrouve alors avec f''(x).f(-x) - f'(x).f'(-x) = 0 ou encore f''(x)/f'(x) = f'(x)/f(x) soit en intégrant ln f' = ln f + cste exo1) y'' + 4y = 2x + 1 avec comme solution f(x) = a (sin(2x) + cos (2x)) +x/2 + 1/4 exo2) y'' + y = exp(x) + exp (-x) f(x) = a (sin(x) - cos (x)) + ch(x) exo3) x2y'' - xy' + y = 2x. Notons que l'équation caractéristique en z(t) = y(exp(t)) a une racine double donc on chercher la sol. particulière sous la forme bt2exp(t). Solution y(x) = x(ln2x+alnx+b)
Merci pour le commentaire. 😃 Pour l'exo 3, oui, sans l'indication, on peut redériver (du moment que l'on prend la peine de mq que f est 2 fois dérivable, ce qui est assez simple). J'avais pensé pareil au debut Les résultats des 3 exos sont bons ! 👍👍👍👍Il manque juste le resultat final pour l'exo 3 mais laissons cela à qqun d'autre ! 😉
Merci pour avoir joué le jeu ! 😃 1er exo : ok, mais on attend plutot les soutions reelles 2eme exo : parfait ! 👍 3eme exo : c'est le bonne EDL, mais petit pb avec la solutions finale 🙃
@@CassouMathPrepa Bigre! Pour la troisième, ça doit être cosx - sinx. Pour la première, les parties réelles et imaginaires, cosx - sin(a-x) et sinx + cos(a-x). Mais du coup, j'ai un espace de solutions de dim 2? J'ai un doute.
1:57 g’(x) = f’(x)f(-x) - f’(-x)f(x) = 0, donc g est une constante C Donc f(-x) = C/f(x) Cf’(x)/f(x) = 1 ln(|f(x)|) = x/c + D Je devais être fatigué j’ai oublié de primitiver le 1 Donc f(x) vaut Aexp(x/c) gg
Salut! j'ai passé les concours l'année passée, j'y ai découvert cette chaîne de fou et vos vidéos sont toujours au top 🤙
Merci infiniment 🙏🙏🙏
Vidéo très sympa et pédagogique. Ce genre de méthodes sont utilisées en Physique et Ingénierie même pour des systèmes plus complexes.
Ta réflexion sur la dérivation est pertinente et mériterait presque une vidéo. En traitement du Signal (et Automatique), la dérivation coupe les basses fréquences (BF) et amplifie les hautes fréquences (HF). Comme, en général, l'info du signal est contenue dans les BF, si on les coupe on perd de l'info. Bien sûr, il y a d'autres explications (ici, sur les constantes et on retrouve le même prb en Automatique sur les CI's).
Pour celles et ceux que ça intéresse, le Schaum's outline on "Theory and problems of differential equations" de Frank Ayres Jr est assez cool. Certains exos sont accessibles dès la TS alors que d'autres, demandent plus de technique (Master 1). Mais attention, c'est américain et ce n'est pas le même formalisme qu'en France!
Je trouve ça énorme d'avoir ton point de vue math appli sur ces oraux de prepa théorique 🤩🤩. J'adore. Merci 👍👍👍
@@CassouMathPrepa De rien. Mais ce n'est pas trop des maths applis. Je dirais plus des outils mathématiques adaptés à l'ingénierie, automatique ou traitement du signal. Les thèses en maths applis, c'est autres chose (et je ne parle pas des thèses en maths pures) 😅
C'est plutôt à moi de te remercier. Grâce à tes vidéos, je revois ce que j'ai vu en DEUG il y a 25 ans et comprends comment ces théories s'articulent dans la recherche appliquée 👍👍
Super boulot comme d'hab !
Hâte de voir les suivantes (VRAI/FAUX un peu costauds, solutions des flash exos, ...)
Punaise c'est vrai, j'avais oublié 😅
En fait c'est déjà dans les tuyaux mais je manque de temps pour tourner... peut être lundi aprem... 🤔
Merci pour cette nouvelle vidéo
Mes prépa sont vieille de 40 ans, mais c'est toujours avec plaisir que je regarde. Plaisir un petit peu sadique, voir un prof travailler, mais bon… je constate en general que le programme s'est un petit peu étoffe depuis cette époque. Pour le premier exercice, j'avais comme idée de définir la fonction paire a(x)=f(x)+f(-x) et la fonction b(x)=f(x)-f(-x) pour obtenir des équations sur a et b
Lol. Perso ce travail ne me derange pas :)
Ah oui je vois l'idée : partie paire /impaire de f.
Bon reflexe, mais pas gagné que ca aboutisse, car si tu regardes la solution, on trouve une fonction qui n'est ni l'un ni l'autre. Ca matche pas bien avec la multiplication de l'équation.
Merci pour tes exos. C est des Mines..d'or :)
😃 Merci, j'apprecie le jeu de mot
J'aime bien votre humour...tout le monde le sait ..les maths c'est secondaire 😉🙃...
Je m'abonne de ce pas...
cool 😄
Bonjour
Merci pour vos vidéos!!!! J’ai 2 questions :
3:54 : vous dites « on remplace x par -x », un argument de bijection n’est pas nécessaire?
19:35 : la liberté de la famille (cos x , sin x) est valable?
Pour ma première question, vous y répondez je pense dans l’exo 3 quand vous dites que la fonction x vers 1/x est une involution.
Bonjour
3:54 non pas besoin de bijection. Vrai pour tout x. Donc pour -x
19:35 Je n'utilise pas l'alimenter de (cos,sin) meme dnsi on pourrait. Je le fais à la main (comme ça les 1eres années peuvent suivre)
@@vilainecoc4863 ce n'est pas lié 😅
11:14 bon celle là déjà en manipulant un peu les fonctions trigo on sait que les éléments de vect(sin) vont être des solutions
On voit assez rapidement que l’équation peut se réécrire f’(pi-x) = f(x)
Du coup si tu derive l’égalité (ce que tu dois avoir le droit de faire puisque ton membre de droite est dérivable) tu trouves f’’(x) = f’(pi-x) = f(x)
Donc tes solutions sont dans vect(sin,cos) les seules marchant bien étant celles de vect(sin), j’ai un peu fait un raisonnement par synthèse-analyse m’enfin y’a toujours la double inclusion donc ça marche 😅
Le dernier (je regarde depuis la miniature) on remarque que :
• f’(1/x) = f(x) par symétrie
• f’’(x) = -f’(1/x)/x^2 parce que le terme de droite est dérivable
Donc f(x) /x^2+ f’’(x) = 0
Et la on s’est ramené à une équation diff homogène de degré deux mais avec coefficient non constant, mais sans dérivée première, ça doit pas être trop dur à résoudre.
Ouah 0:05 je regarde et je galère !
Si on suppose f(-x) non nulle sur un compact on a :
f’(x) = 1/f(-x) ou f(-x) = 1/f’(x)
f’’(x) = f’(-x)/f(-x)^2 = f’(-x) f’(x)^2
Ce qui nous fait encore tourner en rond… pareil si on dérive (f(-x)f’(x))…
Si on fait la dérivée logarithmique, f’’(x)/f’(x) - f’(-x)/f(-x) = 0,
On a un peu augmenté l’information, là :
f’’(x)f(-x) = f’(-x)f’(x)
f’(-x)f’(x)^2 f(-x) = f’(-x)f’(x)
f’(x) = f’(x) woohoow 😭
f’(-x)/f(-x) = f’(-x)f’(x)
f’(-x) = f’(-x) genial 😬
Je vais réfléchir un peu mieux x)
Très sympa le premier, mais il devient un peu trop facile avec l'indication.
Ben oui, faut pas lire les indications aussi ! 😁😉
1:30 je vais finir par trop polluer les commentaires mais vrm je trouve pas 😂
Peut être en écrivant l’égalité pour x et pour -x :
f’(x)/f(x) = f’(-x)/f(-x)
ln(|f(x)|) = ln(|f(-x)|) + c
|f(x)| = C|f(-x)|
Si on inverse le signe
|f(-x)| = C|f(x)|, donc C = 1
Donc à x fixé f(x) = +-f(-x), par continuité de la dérivée la fonction est paire ou impaire (par morceaux)
- si elle est paire sur un intervalle, on a (f(x)^2 /2)’ = (x+c)’, donc f(x) = sqrt(2x+ B), ce qui n’est pair pour aucun B, donc f est impaire partout (ce qui cause un problème en 0).
- si f est impaire sur un intervalle, (f(x)^2/2)’ = (c-x)’
f(x) = sqrt(B-2x) qui n’a pas tellement l’air plus impaire que ça…
Du coup ce serait impossible ? Je suis perdu
y a une erreur, f n'est ni paire ni impaire au final 😅
@CassouMathPrepa Ouip, j'avais une incohérence, j'ai réussi a montrer qu'elle n'était ni paire ni impaire mais j'ai pas su faire mieux x(
@m9l0m6nmelkior7 il est temps d'aller consulter la solution ! C'est fait pour ça aussi la video 😉
@ ouais je m’étais vraiment embêté l’autre soir 😅🥲
0:27 si f est paire alors on a (f(x)^2 /2)’ = (x)’
f = sqrt(x)
Or ça c’est pas pair, c’est pas défini sur les nombres négatifs, dcp c’est un peu triste
L equa diff est du type Euler avec 2nd membre:
x² f"(x)-xf'(x)+f(x)=2 x
Oui ! 👍(exo3)
La solution de l equation differentielle est:
f(x)=x [ln²x-ln x + K] avec K appartenant à R
Pour résoudre l equ d Euler, il f faut utiliser le chgt de variable proposé dans la vidéo, puis ensuite la méthode de variation de constante une fois la,solution de l equ homogène trouvée.
Si je n'ai pas fait d'erreur, ça doit donner f(x) = xln²x + λxlnx + μx, et en réinjectant, on a λ = -1.
@@Edi-vs2ly oui !! 👍👍
@@Risu0chan exact !! 😃
Bonjour,
0) Notons que pour la toute première équation, on remarque que f mais aussi f' ne s'annulent jamais, ce qui met sur la piste de l'exponentielle. Sion, on s'en tire bien en dérivant, l'idée venant du fait que cela élimine le 1 qui est une constante. On se retrouve alors avec f''(x).f(-x) - f'(x).f'(-x) = 0 ou encore f''(x)/f'(x) = f'(x)/f(x) soit en intégrant ln f' = ln f + cste
exo1) y'' + 4y = 2x + 1 avec comme solution f(x) = a (sin(2x) + cos (2x)) +x/2 + 1/4
exo2) y'' + y = exp(x) + exp (-x) f(x) = a (sin(x) - cos (x)) + ch(x)
exo3) x2y'' - xy' + y = 2x. Notons que l'équation caractéristique en z(t) = y(exp(t)) a une racine double donc on chercher la sol. particulière sous la forme bt2exp(t). Solution y(x) = x(ln2x+alnx+b)
Merci pour le commentaire. 😃
Pour l'exo 3, oui, sans l'indication, on peut redériver (du moment que l'on prend la peine de mq que f est 2 fois dérivable, ce qui est assez simple). J'avais pensé pareil au debut
Les résultats des 3 exos sont bons ! 👍👍👍👍Il manque juste le resultat final pour l'exo 3 mais laissons cela à qqun d'autre ! 😉
Bon, puisque personne ne se décide pour le bonus à 21:00
f''(x) + f(x) = 0
f(x) = λ (eix + i eia e-ix)
=================================================
f''(x) + 4f(x) = 2x + 1
f(x) = λ (cos2x + sin2x) + x/2 + 1/4
=================================================
f''(x) + f(x) = ex + e-x
f(x) = λ (cosx + sinx) + cosh(x)
Merci pour avoir joué le jeu ! 😃
1er exo : ok, mais on attend plutot les soutions reelles
2eme exo : parfait ! 👍
3eme exo : c'est le bonne EDL, mais petit pb avec la solutions finale 🙃
@@CassouMathPrepa Bigre! Pour la troisième, ça doit être cosx - sinx. Pour la première, les parties réelles et imaginaires, cosx - sin(a-x) et sinx + cos(a-x). Mais du coup, j'ai un espace de solutions de dim 2? J'ai un doute.
@Risu0chan effectivement c'est plutôt de dimension 1. (Élimination d'un coeff quand on fait la synthèse). cf le cas particulier a=pi dans la vidéo.
1:57 g’(x) = f’(x)f(-x) - f’(-x)f(x) = 0, donc g est une constante C
Donc f(-x) = C/f(x)
Cf’(x)/f(x) = 1
ln(|f(x)|) = x/c + D
Je devais être fatigué j’ai oublié de primitiver le 1
Donc f(x) vaut Aexp(x/c) gg
f'(x) = x.f(1/x) -1 n'a pas de solution ( les coeff trouvés de part et d'autres de l'égalité : sont incompatibles ! )
Hum. Tu as dû faire une erreur. Il y a bien des solutions 😅
f(x) = Ax + Bx.ln(x) +x.(ln(x))^2 avec ChatGPT , je serais devenu plus fort en math dans ma jeunesse !