수학의 본질을 알아야 "음수 곱하기 음수는 양수" 제대로 이해할 수 있다

영수의 본질, 본질적 초/중/고 수학 수업
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(※ 영상의 5:06~6:00 구간에서 아래쪽 식의 좌변에 표기상의 실수가 있습니다. (-3) × {(+2) "×" (-2)} 를 (-3) × {(+2) "+" (-2)}로 고쳐야 합니다. ^^)
이번 영상에서는 "음수 곱하기 음수는 양수"라는 주제에 대해 분명하고도 심도깊이 다루어보았습니다. 이 주제는 아마도, "분수의 나눗셈에서 역수를 곱하는 이유"와 함께 수학을 배우는 일반 대중이 가장 의아해하는 주제라고 생각합니다.
사실 역사속에서 음수나 음수의 연산에 대해서는 굉장히 논란이 많았고, 19세기 중반까지만 해도 음수는 수많은 수학자들에게조차 수로서 받아들여지지 않은 개념이었습니다. 도대체 왜 그랬을까요? 그것은 결국 "수"는 무엇이고, 또 "수학이라는 것이 무엇인가"라는 본원적인 질문과도 맞닿아 있는 것이기 때문이었습니다.
이번 영상에서 그 부분을 다루어보았으니 많은 도움이 되었으면 좋겠습니다 ^^
#음수 #음수곱하기음수 #수학

[@mathandenglish]

※ 영상의 5:06~6:00 구간에서 아래쪽 식의 좌변에 표기상의 실수가 있습니다. (-3) × {(+2) "×" (-2)} 를 (-3) × {(+2) "+" (-2)}로 고쳐야 합니다. ^^

[@user-yo6wo5or2m]

영삼 잘보구 갑니다 감사해요 😊

[@eosk1s872]

다른 영상들 보고 한국 수학의 현실을 보며 한탄했는데 이 영상을 보며 희망을 보고 갑니다.

[@mathandenglish]

감사합니다 ^^ 더 좋은 컨텐츠를 만들기 위해 노력하겠습니다 ^^

[@user-lu1nz9uy8p]

설명 진짜 잘하시네요.
옛날부터 궁금했던건데 단박에 해소가 되었습니다.
옛날 학창시절에 친구들이나 선생님한테 얘기하면 당연한걸 왜자꾸 질문하냐고 꾸중을 들었었는데ㅋㅋ
30살이 넘어서 이제야 이해가 되는군요. 감사합니다.

[@mathandenglish]

그런 질문을 하신 게 오히려 생각이 깊으신 것입니다. 사실 이런 질문을 답하는 게 쉽지는 않으니 그 분들도 이해해주실 필요가 있습니다. ^^ 제가 요즘에 다른 채널에 영상을 올리느라 바빠서 이 채널을 많이 신경못썼는데, 격려에 힘입어 여기에도 꾸준히 영상을 올리도록 하겠습니다!!

[@user-fu1zk6ee3m]

수학이 새롭네요
열공중 ㅎ

[@user-co5eh6kg4f]

정수 곱하기 표현이 헷갈리네요.성인되어서도 알아야되네요

[@mathandenglish]

네 맞습니다 헷갈리죠 ㅠㅠ

[@user-on2os5kj9j]

단지, 그저, 특정 상황을 묘사하는 것에서 쓰이는 도구로 사용되는
어떤 의미가 있는가
곱셈 연산 방식 체계의 일관성, 통일성
연산 성질/법칙 성립하도록 정의
이와같은 규칙에 의해

[@oqiipo]

240311) 수포자였던 나에게 분해서 다시 공부하는데 음수 곱 음수는 양수에 대한 영상만 20개 본듯. 이 영상이 자연수만을 받아들이는 문과생이 제일 속시원 하게 이해하는 영상이었음. 근데 왜 다들 예시로 "작은 음수 빼기 큰 음수는 양수"는 안 넣어 놓는지 의문임.

[@mathandenglish]

답글 감사합니다. 언젠가 "(음수) 빼기 (음수)"에 대해서 한번 다루어보도록 하겠습니다 ^^

[@oO3w3]

와 미친..........작은 음수 빼기 큰 음수는 양수인지 음수인지 모르겠어서 보러온건데.....

[@user-ss4cr2kc9x]

선생님 우연히 영상 접하게 되었는데 수학을 수학으로 다루어 주셔서 정말 좋은 영상이네요 잘 보고 있습니다.
그런데 혹시 7:17 부터 나오는 예시를 역원/항등원을 이용해서 설명하는 것은 어땠을까요?
음의 정수는 자연수의 덧셈에 대한 역원으로써 정의하는게 타당하다고 생각하는데, 이를 근거하여 예시에 녹아내었다면 더 좋지 않았을까 하는 의견입니다.

[@user-ss4cr2kc9x]

영상의 각 부분에 대해 몇가지 의견을 남겨보려 합니다.
3:26 이 대목을 좀 보충하고 싶습니다.
영상에서는 1+1=2가 보편타당한 진실이 아니라, 적절한 상황을 묘사하는 데 쓰이는 것이다 라고 하셨죠.
좀 더 깊게 생각해보면, 어떤 상황을 수학으로써 표현하고, 다루려고 하는 지에 따라 , 대응시켜야 하는 적절한 수학 체계가 다르다는 의미라고 생각합니다.
다만 1+1=2가 보편타당한 것으로 느껴지는 것은, '+'가 가리키는 연산자가 거의 대다수의 사람들이 공통적으로 떠올리는 '덧셈'의 체계라서가 아닐까요? 즉 일종의 관습적인 부분이죠.
병렬 저항의 예시에 적용한다고 하더라도 1+1=1/2 로 표기하지는 않을 것이고 대신 이에 적절한 연산자를 정의해서 사용하겠죠.1+1=2를 따르는 덧셈연산이 '+'인 것이 더 폭넓게 받아들여지는 관습이고, 병렬저항의 예시는 일부 특정한 예시로 그것때문에 덧셈 기호의 의미를 바꾸게 되는 주객전도의 상황은 일어나지 않죠...
비슷한 느낌으로 ,문자 x를 흔히 미지수 혹은 독립변수를 나타내기 위해 사용하지만, 사실 미지수 라는 개념과 x라는 문자 사이에는 아무 상관관계도 없습니다. 하지만 우리가 x라는 문자를 보면 자연스레 방정식, 미지수 같은 것을 떠올리고, 거기에 사용하고 있죠. 결국 수식 또한 일종의 언어기 때문에, 관습/불문율 같은 것이 있는 것이라고 생각해요.

[@user-ss4cr2kc9x]

그래서 만약 제가 이 영상을 만들었다면, 3:24 부분에서는 이런 이야기를 좀 덧붙였을 것 같아요
첫째는 '수식 또한 언어의 형태기 때문에, 1+1=2인 덧셈을 +라고 보편적으로 받아들이는 것 뿐이다(언어의 보편성)' 라는 이야기,
둘째는 '수학을, 어떤 상황울 묘사하고 해결하기 위한 도구의 관점으로 생각하면, 상황에 따라 필요한 도구가 다르듯, 수학 역시 묘사하고자 하는 것에 따라 그에 맞는 수학체계가 다를 수 있다' 이 부분을 병렬 저항의 예시와 결부시키거나, 예시를 조금 수정해서 합동식을 예시로 사용할 것 같습니다. (시계를 예시로 하여 , 4+11=3 과 같이)

[@user-ss4cr2kc9x]

그 후, 7:17 에서 이어지게끔 해서
7:17 에서의 예시에서는 동쪽으로 이동하는 것과, 시간이 지나가는 것을 +로 묘사하는 체계를 대응시켰다는 이야기를 할 수 있을 것 같네요.
거기에 역원을 덧붙여서 , '동쪽으로 이동'의 역연산은 '서쪽으로 이동', '시간이 흐르는 것 '의 역연산은 '시간을 거스르는 것' 으로 각각 - 부호, 즉 양수의 덧셈에 대한 역원으로 설명할 수 있고..
결국 음수(변위) × 음수(시간)을 , 양수 × 양수에 역을 2번 취한 것으로 생각할 수 있죠. (이동방향에 역을 취하고, 시간의 방향에 역을 취해서 ) 이를 통해 +가 되는 것을 설명하는 것도 좋을 것 같아요. -(-n) = +n 인것도 역의 역은 원래 그대로니까요.

[@mathandenglish]

@@user-ss4cr2kc9x 제 영상에서 서술하는 것들을, 수학적인 용어를 사용하여 매우 잘 설명하신 것 같습니다! 훌륭하십니다 ^^

[@legoleader7667]

영상 잘 봤습니다
5:06 초 부터 나오는 2번째 분배법칙 식에 사소한 오류가 있네요 (-3)×{(+2) *"×"* (-2)}

[@mathandenglish]

아.. 맞습니다 (+2) × (-2) -> (+2) + (-2) 로 바꾸어야 하는데, 어떻게 저걸 바꿀지 고민해봐야겠습니다 ^^;;; 지적해주셔서 감사합니다 ^^

[@legoleader7667]

@@mathandenglish 굳이 안 바꿔도 대부분 다 이해하는덴 문제가 없을거 같습니다
앞으로도 지금같은 유익한 수학영상 꾸준히 부탁드립니다~

[@mathandenglish]

@@legoleader7667 넵! 지속적인 관심 부탁드립니다! ^^

[@yuribottari]

선생님 내용이 정말 좋습니다. 영상 잘 보고 있습니다. 감사합니다

[@mathandenglish]

영상을 잘 봐주셔서 감사합니다! 앞으로도 이러한 문제들을 계속 다루려고 하니 관심 가져 주시면 감사하겠습니다^^

[@user-wj8tz6xm2g]

미쳤다..

[@mathandenglish]

좋은 쪽으로 미친거겠죠....? ^^ㅎㅎㅎ

[@user-vh5pn1pv1j]

-9+3=--6 입니다 수정부탁드립니다

[@mathandenglish]

혹시 어디부분을 말씀하시는 것일까요?^^

[@user-ze8cd3zc9p]

음×음=양 이유는 없다. 그냥 약속이고 정의다.

[@user-hp1mu7ur8o]

수학의 모든 정의가 그냥 약속이기 때문에 아무런 의심없이 외워야 한다는 주장이 타당할지 모르겠습니다.
정의가 정해지는 과정에서 많은 수학자들간의 충분한 논쟁이 있었고, 그 논쟁의 끝에 합의를 한 것이 지금의 수학이라고 생각합니다. 즉 정의가 정해지는 과정에서 그 정의가 발생하게 된 배경이 있고, 정의를 왜 그렇게 한 지에 대해서는 의미있는 이유가 있는데 학생들에게 이건 정의니 무조건 달달 외워야 한다. 의문을 가지지 말아라 라고 가르치게 과연 학생들에게 진정한 수학을 가르치는 것일까요 학생들에게 가르쳐야하는 수학은 단순히 계산을 하고 문제를 푸는 능력을 기르는 것보다는 의문을 갖게하고, 생각하게 하면서 사고력과 논리력을 기르는 것이라고 생각합니다.

[@mathandenglish]

약속이고 정의인 것은 맞습니다만 이유가 있다는 것이 이 영상의 취지입니다 ^^