5 в уме. Тоже через подобие, только решил через катеты. СН - в два раза больше, чем АН. Но СН - не только малый катет треугольника СНВ, но и большой катет АНС. Из этого можно сделать логичный вывод, что НВ - в два раза больше СН. Ну и тогда вообще легко: обозначаем СН через х и подставляем в формулу известной нам площади - 1/2*х*2*х=4. Икс равен корень из 4, т.е. 2. НВ тогда 4, АН тогда 1. Численно равны площадям.
Спасибо за тренировку мозгов! Достраиваем треугольник до прямоугольника. Пересечение диагоналей даёт нам треугольник 3-4-5. Отсюда получаем соотношение искомого основания к высоте 10/4. А дальше все уже просто
Нашел самое простое решение. а b -катеты самого маленького треугольника. Как показано в начале объяснения, b/a=2. Из начальных условий ab=2. Делим одно уравнение на другое (ну или подставляем из одного в другое) и получаем a*a=1, a=1. Из начальных условий а - это одна пятая искомой гипотенузы, соответственно, она равна 5.
3) (без Пифагора) - В в квадрате = Х в квадрате = 5; площадь АВС в 5 раз больше площади АНС, значит С в квадрате в 5 раз больше В в квадрате и равно 5х5=25. Отсюда С=5. 4) Аллес...
ну неплохо так) сначала кажется что совсем просто... но попотеть пришлось) высота стала пропадать при сокращении и пришлось включать гомотетию... спасибо
Ошибочка, Валерий, это не прямоугольник, а квадрат, со диагональю AC=6, площадь квадрата равна квадрату стороны, который определяется по формуле теоремы Пифагора, a^2=AC^2/2, a^2=36/2=18, что и требовалось доказать.
Чуть не послушал решение. Надо бы сказать: "а теперь поставьте на паузу и попробуйте решить самостоятельно". Решаю в уме, как же без этого... Да, у меня нет под рукой ручки, бывает... 🙂 Прежде всего, треугольники подобны, и коэффициент подобия 2 (по площади 4). Высота у них общая, следовательно, основания относятся как 4 к 1, а к высоте как 2 к 1 или как 1 к 2. Это (отношение длин оснований) видно, кстати, ещё и из подобия. Обзовём длину основания малого треугольника иксом, тогда высота равна 2x, а другое основание 4x. Если посчитать площадь любого треугольника, то окажется, что икс равен единице, а длина большого основания треугольника пяти. Интересно, так ли решал автор?
4²15°√4⊥∠45⁰ ½∠▲²∆ α β γ∠2 Прямоугольный▲, в нем два прямоугольных▲, а при одинаковой высоте отношение их оснований = отношению площадей = 4 : 1. Инвариантности нет - высота - это луч,, перпендикулярный гипотенузе и делящий ее на 5 частей - эта долька для малого, эти четыре для большого. Так что и углы без вариантов. ▲АСН подобен▲СНВ по двум углам -прямому и ∠АСН = ∠НВС как образованные двумя взаимосвязанными перпендикулярами. Тогда, из подобия, СН\ 1* = 4* \СН, или СН² = 4*, СН = 2* (* здесь пока в "дольках"). Площадь ▲АСН может быть = 1 только при условии, что и АН = 1, и 1* = 1., тогда гипотенуза = 5.
a=√20, b=√5, h=2, S=5, c=5, AH=1, BH=4. Решал пристальным вглядыванием с расстояния ~60см от экрана, концентрируясь на подобии трёх треугольников, и пытаясь вычислить высоту. После её нахождения (=2), просто проверил всё по Пифагору. Позабавило равенство площади длине гипотенузы. Впрочем, это соотношение будет выполняться для всех треугольников с высотой h=2.
Взгляд «со стороны» (точнее, со стороны гипотеnузы). Пусть h - длина CH, Тогда 1 = S(ACH) = (AH × h)/2, откуда AH = 2/h. Аналогично BH = 8/h. Вспомнив, что CH - средне-поропорциональное между AH и BH, получаем уравнение: h² = 2/h × 8/h, откуда h⁴=16 и h=2. В таком случае AH=1/h=1, BH=8/h = 4 и AB = AH+BH=5.
@@ЭдуардПлоткин-р3л Собственно, это синонимы, но в классической геометрии Киселева почему-то средне-пропорциональное, несмотря на то, что это - геометрический учебник :)
Все эти пропорции треугольников приводятся при доказательстве теоремы Пифагора, поэтому берём их как данность. Длину BH обозначим как a, AH - b, высота опущенная на гипотенузу - h. Тогда 1.h^2 = ab 2.c = a+b 3.ah/2 = 4 => ah = 8 4.bh/2 = 1 => bh = 2 (3x4) abh^2 = 16 => (+1) h^4 = 16 => h = 2 (3) a = 8/h = 8/2v= 4 (4) b = 2/h = 2/2 = 1 (2) c = 4 + 1 = 5
Обозначим проекции катета а на гипотенузу Са. Отношение катета в на гипотенузу Св. Тогда 1/2Cb*h=4 1/2Ca*h=1. Т.е. Cb*h=8 и Ca*h=1. Разделим первое уравнение на второе получим Cb=4*Ca Согласно теореме о высоте в прямоугольном треугольнике или следуя как у Вас по подобию треугольников имеем h**2=Ca*Cb или h**2=4*Ca**2 откуда h=2*Ca. Записывая площадь всего треугольника h*(Ca+Cb)=10 или 2*Ca*5*Ca=10 Получаем Ca=1 Откуда C=Ca+Cb=1+4=5
Отношение площадей треугольников АНС и СНВ равно 1:4 => АН : НВ = 1:4 Пусть АН=х, тогда НВ=4х. СН = (AH*HB)^1/2 = 2x. Тогда из площади АСН, 1 = 2x * x * 0.5, x=1 => AB = 5.
допустим площади m и n соотношения площадей - это квадрат коэффициента подобия, а значит c = корень((m+n)/m)a = корень ((m+n)/n)b, то есть c^2 = (m+n)/корень(mn) * ab, а ab = 2(m+n) (т.к. (m+n) = ab/2). значит с^2 = 2(m+n)^2/корень(mn), а c = (m+n) * корень(2 / корень(mn)) = (m+n) * корень(2 * корень(mn) / mn)
Мой класс 1973 решил бы , патамушта там был я АН/НВ = 4, линейный коэфф подобия АСН и НСВ =2 АН = t, НВ = 4*t, CH=2*t. Площадь АСН= t^2 t=1, НВ=4, АВ=5 Ответ: 5
РЕШАЛИ ВСЕМ КЛАССОМ. Любопытно, это каким же классом? Либо 5-м? AHC и BHC подобны, сл-но, АН:СН=1:2(площади подоб. тр-ков, как квадраты сторон). Площади обоих тр-ков 1 и 4, их катеты (каждого) 1:2, сл-но, АН=1, ВН=4. АВ=5
@@GeometriaValeriyKazakov Ну почему же? Можете удалить, если Вас это так шокирует. Просто то, что Вы выложили в вашем видео, является пифагорейщиной в чистом виде. Полюбопытствуйте кем были пифагорейцы. Это беда всей математики. Умственный онанизм. Цифроблудие. Знаете, однажды некий англичанин выступил в научном собрании с могучей речью: Господа, мне удалось придумать задачу которая не имеет никакого практического применения. С тех пор и дрочим вприсядку вместо того, что бы учить пользоваться инструментом под названием математика тем самым обкрадывая тех, кто мог бы освоить этот инструмент, но - увы, цифроблудие нам дороже. Вот и решаем вычурными способами высосанные из пальца не имеющие ничего общего с реальностью задачки. Энрико Ферми по этому поводу выразился так: Выдумает иной математик задачку, решит её и ходит приговаривая - смотри какой я умный.)
5 в уме. Тоже через подобие, только решил через катеты. СН - в два раза больше, чем АН. Но СН - не только малый катет треугольника СНВ, но и большой катет АНС. Из этого можно сделать логичный вывод, что НВ - в два раза больше СН. Ну и тогда вообще легко: обозначаем СН через х и подставляем в формулу известной нам площади - 1/2*х*2*х=4. Икс равен корень из 4, т.е. 2. НВ тогда 4, АН тогда 1. Численно равны площадям.
Даааа, как сложно решают такие задачи современные математики. Чем старше, тем легче дается математика.
Да, мы такие сложные
Спасибо за быстрое решение.
Спасибо за тренировку мозгов! Достраиваем треугольник до прямоугольника. Пересечение диагоналей даёт нам треугольник 3-4-5. Отсюда получаем соотношение искомого основания к высоте 10/4. А дальше все уже просто
И вам спасибо!
Нашел самое простое решение. а b -катеты самого маленького треугольника. Как показано в начале объяснения, b/a=2. Из начальных условий ab=2. Делим одно уравнение на другое (ну или подставляем из одного в другое) и получаем a*a=1, a=1. Из начальных условий а - это одна пятая искомой гипотенузы, соответственно, она равна 5.
Согласен. Через маленький египетский проще всего.
Площадь вчетверо, линейка вдвое. Катеты всех треугольников 1:2 1+4=5
Не будите Пифагора всуе
Смешно...
Из подобия треугольников даже можно догадаться соотношением-это не геометрия S/s=4/1 a=1 b=4
BC=a+b=5
Спасибо.
АН=х, НВ=4х (отношение площадей, высота равна) , СН=2х (среднее геом.) 5хх=5. 5х=5.
Вот именно!😊
3) (без Пифагора) - В в квадрате = Х в квадрате = 5; площадь АВС в 5 раз больше площади АНС, значит С в квадрате в 5 раз больше В в квадрате и равно 5х5=25. Отсюда С=5.
4) Аллес...
Отлично!
ну неплохо так) сначала кажется что совсем просто... но попотеть пришлось) высота стала пропадать при сокращении и пришлось включать гомотетию... спасибо
Да, обманчиво!
Ошибочка, Валерий, это не прямоугольник, а квадрат, со диагональю AC=6, площадь квадрата равна квадрату стороны, который определяется по формуле теоремы Пифагора, a^2=AC^2/2, a^2=36/2=18, что и требовалось доказать.
Определение: "Квадрата - это ПРЯМОУГОЛЬНИК, у которого все углы прямые" (2 класс)
Чуть не послушал решение. Надо бы сказать: "а теперь поставьте на паузу и попробуйте решить самостоятельно".
Решаю в уме, как же без этого... Да, у меня нет под рукой ручки, бывает... 🙂
Прежде всего, треугольники подобны, и коэффициент подобия 2 (по площади 4).
Высота у них общая, следовательно, основания относятся как 4 к 1, а к высоте как 2 к 1 или как 1 к 2. Это (отношение длин оснований) видно, кстати, ещё и из подобия.
Обзовём длину основания малого треугольника иксом, тогда высота равна 2x, а другое основание 4x. Если посчитать площадь любого треугольника, то окажется, что икс равен единице, а длина большого основания треугольника пяти.
Интересно, так ли решал автор?
Спасибо. То же мы и сделали! Нужно быо смотреть.
@@GeometriaValeriyKazakovА я потом посмотрел, просто не отписался в комментарии.
4²15°√4⊥∠45⁰ ½∠▲²∆ α β γ∠2 Прямоугольный▲, в нем два прямоугольных▲, а при одинаковой высоте отношение их оснований = отношению площадей = 4 : 1. Инвариантности нет - высота - это луч,, перпендикулярный гипотенузе и делящий ее на 5 частей - эта долька для малого, эти четыре для большого. Так что и углы без вариантов. ▲АСН подобен▲СНВ по двум углам -прямому и ∠АСН = ∠НВС как образованные двумя взаимосвязанными перпендикулярами. Тогда, из подобия, СН\ 1* = 4* \СН, или СН² = 4*, СН = 2* (* здесь пока в "дольках"). Площадь ▲АСН может быть = 1 только при условии, что и АН = 1, и 1* = 1., тогда гипотенуза = 5.
a=√20, b=√5, h=2, S=5, c=5, AH=1, BH=4. Решал пристальным вглядыванием с расстояния ~60см от экрана, концентрируясь на подобии трёх треугольников, и пытаясь вычислить высоту. После её нахождения (=2), просто проверил всё по Пифагору. Позабавило равенство площади длине гипотенузы. Впрочем, это соотношение будет выполняться для всех треугольников с высотой h=2.
Спасибо!
Взгляд «со стороны» (точнее, со стороны гипотеnузы). Пусть h - длина CH, Тогда 1 = S(ACH) = (AH × h)/2, откуда AH = 2/h. Аналогично BH = 8/h. Вспомнив, что CH - средне-поропорциональное между AH и BH, получаем уравнение: h² = 2/h × 8/h, откуда h⁴=16 и h=2. В таком случае AH=1/h=1, BH=8/h = 4 и AB = AH+BH=5.
Тоже неплохо!
Мы как будто друг у друга списали,с той лишь разницей ,что я называю СН средним геометрическим АН и ВН.Задача ведь геометрическая😊.
@@ЭдуардПлоткин-р3л
@@ЭдуардПлоткин-р3л Собственно, это синонимы, но в классической геометрии Киселева почему-то средне-пропорциональное, несмотря на то, что это - геометрический учебник :)
Все эти пропорции треугольников приводятся при доказательстве теоремы Пифагора, поэтому берём их как данность.
Длину BH обозначим как a, AH - b, высота опущенная на гипотенузу - h.
Тогда
1.h^2 = ab
2.c = a+b
3.ah/2 = 4 => ah = 8
4.bh/2 = 1 => bh = 2
(3x4) abh^2 = 16 => (+1) h^4 = 16 => h = 2
(3) a = 8/h = 8/2v= 4
(4) b = 2/h = 2/2 = 1
(2) c = 4 + 1 = 5
Спасибо.
Обозначим проекции катета а на гипотенузу Са. Отношение катета в на гипотенузу Св. Тогда 1/2Cb*h=4 1/2Ca*h=1. Т.е. Cb*h=8 и Ca*h=1. Разделим первое уравнение на второе получим Cb=4*Ca Согласно теореме о высоте в прямоугольном треугольнике или следуя как у Вас по подобию треугольников имеем h**2=Ca*Cb или h**2=4*Ca**2 откуда h=2*Ca. Записывая площадь всего треугольника h*(Ca+Cb)=10 или 2*Ca*5*Ca=10 Получаем Ca=1 Откуда C=Ca+Cb=1+4=5
Супер!
Отношение площадей треугольников АНС и СНВ равно 1:4 => АН : НВ = 1:4 Пусть АН=х, тогда НВ=4х. СН = (AH*HB)^1/2 = 2x. Тогда из площади АСН, 1 = 2x * x * 0.5, x=1 => AB = 5.
Ок
Коэфф. подобия малого к полному = 1 : √5. АС = х, АВ = х√5, ВС = 2х. S = х² = 5.
х = √5, АВ = 5.
Развлекаемся...
Да, отличная задачка для массового зрителя. Сейчас "венгерскую" дам.
допустим площади m и n
соотношения площадей - это квадрат коэффициента подобия, а значит c = корень((m+n)/m)a = корень ((m+n)/n)b, то есть c^2 = (m+n)/корень(mn) * ab, а ab = 2(m+n) (т.к. (m+n) = ab/2). значит с^2 = 2(m+n)^2/корень(mn), а c = (m+n) * корень(2 / корень(mn)) = (m+n) * корень(2 * корень(mn) / mn)
Спасибо.
Домашнее задание:
⊿ACK∾⊿BCK-(∠ACK=∠CBK-углы с взаимно перпендикулярными сторонами, ∠АКС=∠ВКС=90◦).
S(2)/S(1)=k², k²=16/4=4, k=2-коэффициент подобия.
СК/АК=ВК/СК=2, СК=2*AK, BK=2*CK, BK=2*(2*AK)=4*AK.
AB=AK+BK=AK+4*AK=5*AK.
S(1)=1/2*AK*CK=1/2*AK*(2*AK)=AK², S(1)=AK², AK²=4, AK=2.
AB=5*AK, AB=5*2=10, AB=10.
Ответ: АВ=10.
Супер!
Благодарю.
И вам спасибо!
Отдохнул😊
Спасибо!
Мой класс 1973 решил бы , патамушта там был я
АН/НВ = 4, линейный коэфф подобия АСН и НСВ =2
АН = t, НВ = 4*t, CH=2*t. Площадь АСН= t^2
t=1, НВ=4, АВ=5
Ответ: 5
Хороший был класс!
⊿ACH∾⊿BCH - (∠ACH=∠CBH, как углы с взаимно перпендикулярными сторонами, СН⊥АВ, АС⊥ВС, и ∠АНС=∠ВНС-90◦).
S(2)/S(1)=k², k²=4/1=4, k=2-коэффициент подобия.
СН/АН=ВН/СН=2, СН=2*AH, BH=2*CH, BH=2*(2*AH)=4*AH, BH=4*AH.
AB=AH+BH=AH+4*AH=5*AH, AB=5*AH.
S(1)=1/2*AH*CH=1/2*AH*(2*AH)=AH², AH²=1, AH=1.
AB=5*AH, AB=5*1-5, AB=5.
Ответ: АВ=5.
Супер!
Задачка-то совсем простая. Там весь класс - что, одни двоечники?
Устная.
Спсибо. Завтра дам лично для вас чуть посложнее. Вы давно, наверное, давно были в школе?
РЕШАЛИ ВСЕМ КЛАССОМ. Любопытно, это каким же классом? Либо 5-м? AHC и BHC подобны, сл-но, АН:СН=1:2(площади подоб. тр-ков, как квадраты сторон). Площади обоих тр-ков 1 и 4, их катеты
(каждого) 1:2, сл-но, АН=1, ВН=4. АВ=5
Вы пишите катеты 1:2 и тут же катеты AH=1, BH=4. Нестыковочка. Вообще-то, AH=x, BH=4x. Класс сильный 9 физ-мат.
решал общим методом, получилось вроде C = (S1+S2)*2^(1/2)/(S1*S2)^1/4, тогда по этой формуле по видео ответ 5, ДЗ 10
Спасибо за общий вид!
не за что)@@GeometriaValeriyKazakov
Цифроблудие какое-то. А как, собственно, была определена площадь треугольников если, по условию, длины сторон треугольников неизвестны?
Например, палеткой, взвешиванием или четырехкратным накладыванием малого на большой
Действительно, что тут ответишь? Пусть висит @@pojuellavid
@@GeometriaValeriyKazakov Ну почему же? Можете удалить, если Вас это так шокирует. Просто то, что Вы выложили в вашем видео, является пифагорейщиной в чистом виде. Полюбопытствуйте кем были пифагорейцы. Это беда всей математики. Умственный онанизм. Цифроблудие. Знаете, однажды некий англичанин выступил в научном собрании с могучей речью: Господа, мне удалось придумать задачу которая не имеет никакого практического применения. С тех пор и дрочим вприсядку вместо того, что бы учить пользоваться инструментом под названием математика тем самым обкрадывая тех, кто мог бы освоить этот инструмент, но - увы, цифроблудие нам дороже. Вот и решаем вычурными способами высосанные из пальца не имеющие ничего общего с реальностью задачки. Энрико Ферми по этому поводу выразился так: Выдумает иной математик задачку, решит её и ходит приговаривая - смотри какой я умный.)
Легенькая же
ab/2=1
bd/2=4
ab=2
bd=8
a/b=b/d
ad=b²
ab²d=16
b⁴=16
b=2
a=1 d=4
c=5
КАк сказать.
Хм, а ведь если взять такой треугольник, и площади будут составлять 1 и x, то гипотенуза будет x+1. Совпадение? Не думаю!
Интересно!
Ответ: 5 :)
Спасибо. В ответе чуть другое.
В уме: 1,2,4 катеты треугольников! 1+4=5!
Непонятно, но здорово!