Les carres magiques de Dirichlet (Olivier Druet)
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- เผยแพร่เมื่อ 5 มิ.ย. 2024
- Un carré magique de Dirichlet est une grille carrée qu’on essaie de remplir de sorte que chaque case soit la moyenne de ses quatre cases voisines. Pas si simple ? Ce jeu est un modèle simplifié d’un problème classique en mathématiques expliqué par Olivier Druet au lightboard. Pour en savoir plus video.math.cnrs.fr/carres-magi...
Sur le fonctionnement du lightboard • Le lightboard
00:00 : introduction au problème se terminant par une énigme.
05:27 : origine historique du problème (pouvant donner des idées pour résoudre l’énigme).
13:40 : questions autour de ces carrés.
16:05 : un outil mathématique fondamental, le principe du maximum, expliqué sur ce modèle simple. Cela permet de répondre à une des questions posées.
26:42 : comment remplir un carré de Dirichlet avec Scratch ? - วิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
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c'est vraiment magique ce carré mais votre méthode de nous expliquer est encore plus magique...j'avoue que je suis ingénieur en génie mécanique donc le problème de transfert de chaleur j'en ai déjà étudié durant mon parcours et je me douviens de ce cours de méthodes numériques que j'ai jamais aimé ( éléments finis ) si seulement on a eu un prof qui a votre methode de vulgarisation. Encore une fois merci.
Waou ! Je suis archi nul en maths (niveau seconde à l'arrache), cependant, j'ai adoré cette vidéo. C'est clair, intuitif et donne envie d'aller creuser plus loin, même pour un gros nullos comme moi. Comme j'aurais aimé avoir de tels professeurs à l'école.
Cette démonstration mathématique me connecte directement à la problématique du consensus dans une prise de décision - si on applique ce modèle à une dynamique collective, on a intérêt à bien mesurer l'importance des ajustements nécessaires des personnes situées dans le territoire du fait des Maxima et Minima que l'on peut constater autour… Olivier, voudriez vous nous emmener plus loin dans la réflexion et les domaines d'application en science sociale?
Bravo pour le design de la présentation - le tableau transparent qui écrit à l'endroit - que je découvre…
Un excellent pédagogue, et... un dessinateur hors-pair... Je rebondis sur les biographies Wikipedia de Poncelet, et de Fourier, puis Lejeune-Dirichelet... Les Vies de ces savants juste avant et juste après, et pendant l'Empire Français, sont de vrais romans aux multiples rebondissements.... Des Vies passionnantes... Merci Olivier Druet.
Très belle présentation, claire et rigoureuse. j'ai passé un bon moment !
- C'est très propre
Puisqu'il faut bien trouver quelques chose. J'aurai bien aimé qu'il aborde les minimum quand il aborde le maximum et qu'il évoque la possibilité que le maximum se trouve en bordure
bravo, j'ai enfin compris la notion de fonction harmonique
Intéressant, cela montre l'utilité de l'algèbre linéaire (reconnaissance de la linéarité du problème) et de l'analyse (toute suite monotone majorée converge) sur un exemple assez concret.
Bien expliqué. Merci. Ça donne envie de chercher d'autres formules / algorithmes pour remplir ces carrés automatiquement !
Bien présenté ! Excellent pédagogue
L’existence et l’unicité d’une solution résultent aussi immédiatement de ce qui suit.
La matrice n²×n² du système linéaire traduisant le problème a pour valeurs propres
4 + 2 * cos (a * pi/(n+1)) + 2 * cos (b * pi/(n+1)),
avec a et b variant de 1 à n.
Le déterminant de cette matrice, qui en est le produit, est donc strictement positif. En particulier non nul.
Ainsi, la matrice inverse existe, ce qui démontre ce que j’annonce.
Quelques compléments amusants.
1. L’élément de ligne i et colonne j de la matrice du problème est
4, si i = j
- 1, si |i - j| = n
- 1, si |i - j| = 1, avec min(i,j) non multiple de n
0 sinon
2. Cette matrice, hermitienne définie positive, a, d’après un théorème classique de Sylvester, ses mineurs principaux positifs. Ses éléments non diagonaux (une foultitude de 0 et quelques - 1) sont tous négatifs ou nuls.
Son inverse est donc à éléments tous positifs... ce qui n’est pas une surprise quand on a suivi le magnifique exposé de M. Druet.
Cela résulte immédiatement du théorème "The Banachievicz identity and inverse positive matrices" publié par Takao Fujimoto sur ResearchGate.net (de façon précise de son corollaire 2 à la page 3).
3. Le déterminant de la matrice du problème de Druet-Dirichlet recèle bien des mystères à élucider. Trivialement (voir plus haut) majoré par 4^n², il se factorise - je devrais dire s’atomise - toujours en une foule incroyable de nombres.
Je suis allé jusqu’à n = 30 (matrice de 900 éléments, tout de même...). Ce cas donne
2^90 * 5^12 * 31^15 * 61^14 * 311^4 * 373^2 * 433^4 * 557^2 * 683^2 * 1303^2 * 1549^2 * 2417^2 * 2729^2 * 5953^2 * 6263^2 * 7193^2 * 16927^2 * 39619^2 * 72229^2 * 72353^2 * 127597^2 * 130201^2 * 257239 ^2 * 280613^2 * 640027^2 * 664949^2 * 3010349^2 * 6564001^2 * 7393313^2 * 7461329^2 * 7528721^2 * 20781781^2 * 45904429^2 * 47933689^2 * 49585121^2 * 51194393^2 * 57733471^2 * 65003219^2 * 117562789^2
L’examen de ces factorisations mène, lorsque n = p - 1 avec p premier, à conjecturer des congruences modulo p sur lesquelles je jette un voile pudique.
Je subodore en tout cas une dimension arithmétique intéressante au problème.
4. Évadons-nous un peu du problème en remplaçant la moyenne arithmétique des quatre cases de M. Druet par (par exemple) le cosinus de leur somme, fonction continue et, en variables réelles, bornée. Il suffit alors de quelques lignes pour obtenir, grâce au théorème de Brouwer, la preuve de l’existence d’une solution à cette nouvelle énigme... mais de son existence seulement.
5. Il est frappant, pour qui aime la musique, les mathématiques et leur histoire, de remarquer le levain culturel de l’époque : Dirichlet avait pour épouse Rebecka Mendelssohn, soeur du génial Félix. Et Kurt Hensel, père des nombres p-adiques, était le petit-fils de l’autre soeur, elle-même subtile compositrice, Fanny (que, dans ses "Mémoires d’un artiste", le grand Charles Gounod désigne toujours d’ailleurs, très admiratif, par "Madame Hensel", patronyme de son mari peintre).
très peu de gens ont remarqués l'adresse du mathématicien, merci pour ton travail. Didier néophyte en savoir ! ! !
Tout à fait passionnant ! merci beaucoup
Merci, très belle présentation
Très intéressant merci pour ces connaissances très bien expliquées.
Merci , super vidéo.
Très intéressant et fort bien expliqué
j ai jamais rien compris au math,algèbre,chimie ect !!!mais là trop bien,j ai compris !!!merci !
This guy is an excellent communicator and ultra cool. I practice my French and learn new mathematics. Bravo monsieur, vous êtes un enseignant exemplaire. J'ai appris aussi qu'on prononce Diri-k-let, pas Diri-sh-let et qu'il etait Allemand, pas Français. Est-ce que vous allez faire un vidéo sur Fourier à la suite?
En ce qui concerne les « ch » qui se prononcent « k » ou « sh », même les francophones natifs de la langue bataillent avec. La plupart du temps, ça vient naturellement mais il n'y a pas de règle définie : cela concerne en fait tous les mots qui viennent du grec et qui utilisent la lettre Khi « Χ χ » (à ne pas confondre avec Xsi « Ξ ξ »).
Le ch allemand ne vient pas du grec. Il est prononcé "r" quand la voyelle qui le précède est dure. Il est prononcé "ch" car la voyelle est molle. Ainsi, c'est "Dirichlet" car le i est mou.
@@ObsidianParis Oh.. comment arrivez vous à placer facilement ces caractères avec votre clavier ?
Vous avez l'air calé sur le sujet. Auriez vous quelques ressources à recommander sur le grec en ligne cela m'intéresse.
@@ranska2506 Pour les caractères (majuscules accentuées, ligatures style « Œ œ Æ æ » et autres caractères spéciaux), je travaille sous Linux, qui permet de les saisir très facilement (ils sont sur la disposition standard du clavier français, mais on peut y mapper n'importe quoi à volonté).
Pour les lettres grecques, j'ai ajouté la disposition grecque « gr » en plus de « fr » et « en ». Comme il y a de l'UTF-8 un peu partout aujourd'hui, ça devrait passer sous Windows aussi.
Pour la langue elle-même, je n'y connais pratiquement rien moi-même à part le peu que je cite ici, mais la page Wikipédia de l'alphabet grec est déjà très fournie et permet de se mettre directement à reconnaître des mots simples : fr.wikipedia.org/wiki/Alphabet_grec
C'était très clair, merci !
29:45 _Ici j'ai pas envie.. Et j'ai pas du tout envie de faire ces calculs._ Sous un air exaspéré et las... Je suis parti à riiire ! Très bonne présentation, clair et bien expliqué, bravo ! Et merci. Note : c'est aussi un joli problème en introduction aux algorithmes, pour montrer non seulement les itérations (les calculs en boucle), mais aussi et surtout le principe de fonction récursive.
C'est trop bien comme il va doucement !
C' est une vidéo magique
Très bien présenté
Je me suis régalé. Ah bon sang que ca fait du bien de se dégourdir le cerveau avec le sourire aux lèvres. Du coup je vais chercher une méthode pour trouver les solutions ...
Bien expliqué. Un morceau de casse-tête à mettre dans l'ensemble
Merci Monsieur. Bravo
Super cours. Merci pour cette connaissance
i know Im randomly asking but does someone know of a trick to log back into an instagram account?
I was stupid lost my password. I would love any tips you can offer me.
@Kian Gus Instablaster :)
@Troy Khalil i really appreciate your reply. I found the site thru google and Im in the hacking process now.
Looks like it's gonna take quite some time so I will get back to you later when my account password hopefully is recovered.
@Troy Khalil it worked and I now got access to my account again. Im so happy!
Thank you so much you saved my account :D
@Kian Gus Happy to help :D
Intéressant.
très pédaogique... Bravo M Druet
La musique du générique est-elle libre de droit ? Et où peut-on la trouver s'il vous plaît ?
Très instructif et suscitant, merci pour ce partage de connaissances!
Je voudrais cependant, comprendre deux choses:
1ère - Comment choisit-on les nombres à l'extérieur (on l'es choisit aléatoirement ou non)?
2ème - Dans le cas où ce choix des nombres à l'extérieur ne serait pas aléatoire, pour modéliser une problématique réelle de la vie courante (par exemple la mesure de la température de la barre de fer stabilisée...), quel serait le phénomène à observer pour représenter les nombres à l'extérieur du carré magique?
Merci encore une fois de plus
C'était clair et intéressant, mais peux-tu mettre un lien vers des images de Scratch de tel sorte que l'on puisse le reproduire ?
Merci.
Je découvre un peu par hasard cette chaîne et cette vidéo très intéressante.
À la main, ça deviendrait vite fastidieux, mais avec l'ordi, ne peut-on trouver la solution "exacte" (je veux dire sans approche à la limite) par l'algèbre linéaire ?
Oui, on peut écrire un système linéaire et inverser la matrice mais ça sort du contrat : rester accessible à des collégiens-lycéens.
Super !!!
Excellent.
Si j'ai bien compris, la barre métallique peut être modélisée par une "ligne de Dirichlet" (qui aboutit à une suite arithmétique de nombres). Est-ce que ça marcherait avec un cube, voire un hypercube de dimension strictement supérieure à 3 ?
En effet !
Et tout continue à se justifier comme je fais dans mon commentaire du 26 septembre 2022.
Pour le cube, les valeurs propres de la matrice traduisant le problème de M. Druet sont
6 + 2*cos(a*pi/(n+1)) + 2*cos(b*pi/(n+1)) + 2*cos(c*pi/(n +1)),
a, b et c variant de 1 à n.
Pour l’hypercube à quatre dimensions, c’est
8 + 2*cos(a*pi/(n+1)) + 2*cos(b*pi/(n+1)) + 2*cos(c*pi/(n +1)) + 2*cos(d*pi/(n+1)),
a, b, c et d variant de 1 à n.
Et ainsi de suite.
Les conclusions que j’en tirais dans le cas plan restent valables, mais les nombres manipulés explosent.
« Il aurait eu 250 ans aujourd'hui. » Ah les mathématiciens...
passionnant! en revanche j'ai une petite question : si le résultat d'une case est la moyenne des quatre autres cases voisines, et que l'on prend l'exemple de la température la case centrale de votre exemple ne devrait-elle pas être la moyenne des cases les plus éloignées? dans ce cas le résultat de la case centrale (3,5) est la moyenne des cases voisines (3+4+3+4 /4) mais cela devrait être vrai avec les cases les plus éloignées -en l'occurence les nombres du bords (0;5;2;5)? Mais dans ce cas le résultat est différent car 0+5+2+5 = 12 et donc la moyenne est 3 et non 3,5! Si on considère l'exemple de la barre que l'on amène à différentes température, on doit bien considérer que la case centrale à bien 4 extrémités dont la température est bien la moyenne de ces 4 extrémités. Et "SI" je ne me trompe pas j'obtiens un carré magique totalement différent, mais qui fonctionne aussi... Dilemme! Mais peut-être (certainement )me trompe-je!
La case centrale n'est pas vraiment la moyenne des cases extérieures. Cela ne se propage pas très bien et c'est dû au fait que nous ne prenons que des moyennes sur les 4 voisines, il faudrait être plus astucieux (et faire plus compliqué) en comptant aussi un peu les cases en diagonale. Mais je réponds peut-être à côté car je ne suis pas sûr d'avoir compris la question.
publié le jour de mon anniv, je me régale de constater la puissance de la formule de la moyenne arithmétique.
Mais cela ne marche que lorsque cela correspond à une fonction ax+b tel que b=0 sinon dans la nature si je ne me trompe pas cela est quelque chose de chaotique non ?
bjr es ce qu'on peux utilisé le carre de Dirichlet pour trouver des résultats dans des jeux comme le pmu merci de me repondre
pour que le modèle jouet de dirichlet soit applicable au pmu il faudrait maintenir un coin du ticket à 0° et l'autre à 100° comme expliqué dans la vidéo ! pas facile...
J'aimerais bien refaire un programme comme ce que vous avez fait mais avec python, mathlab pour un projet, est ce que vous pourriez m'aider ?
Merci bcp
Superbes explications. Dommage qu'on ne voit pas ici le lien avec la fonction harmonique de Laplace
Ne peut on pas juste résoudre le problème en transcrivant l'ensemble des relations qui lient les carrés entre eux dans une matrice puis on résout le système linéaire?
tout a fait d'accord. avec un carré de 4 colonnes-ligne on a 16 équations 16 inconnues, et on résoud le système linéaire.
@@annek8949 Perso ça me fait furieusement penser à une résolution de l'équation de fourrier par différence finie :p
@@annek8949 : attention c'est " on résout".
On peut faire comme ça mais le défi était de rester accessible à des collégiens.
Ca se résout aussi avec EXCEL automatiquement, il faut cocher la case "itération" dans l'option calcul de EXCEL.
Excellent
Super
comment vous fites pour dessiner sur la vitre à l'envers?
Hahaha ils sont forts ces mathématiciens ils arrivent même à écrire à l'envers ! J'imagine que c'est la vidéo qui est retransmise "à l'envers"...
oui, c'est exactement cela, l'orateur est filme à travers la vitre donc semble écrire à l'envers pour le cameraman et ensuite l'image est retourne: le texte à l'endroit et l'orateur en miroir!
la chiralité
Et en utilisant la main gauche XD
27:36 plutot que de commencer à 0 comme ça par defaut, on peut plutot se dire qu'on commence a 0 car c'est la valeur minimale disponible dans les valeurs autour
on pourrait tout aussi bien mettre la moyenne de tous les nombres autours (6+0+4+...+5 => 3.6) comme valeur par defaut ou juste l'utiliser comme valeur centrale. ca ferait gagner du temps de calcul.
A 34:39 ce n'est vrai que parce que 6 est le maximum des nombres extérieurs.
Je me demande si il n'y a pas de corrélation entre la moyen extérieur et celle a l'intérieur ex 6+5+2+5=18 18/4=4.5 ? Où 4+5+3+2 =14 14/4 =3.5 ? Ou bien es un heureu Hazard de ceux carrée préssisémant ?
tu peux voir mon commentaire il peut te servir
Merci ,
Il est doué pour écrire à l'envers ! 😃
Je pense qu'il écrit à l'endroit, qu'il est droitier et que la vidéo est inversée droite/gauche.
@@gregcoree2 moi aussi
Le fonctionnement du lightboard est fourni en lien dans les commentaires...
@@gregcoree2 c'est bien cela une inversion vidéo.
@@nicoreloux ehcuom enif 🐱
j adore
J'aurais aimé avoir un prof comme lui.
Personne n à fait le lien avec sodoku ?
- C'est très propre. Mais puisque c'est toujours bien de critiquer un peu, j'aurai bien aimé que ce monsieur
- évoque la possibilité que le maximum se trouve en bordure
- glisse un mot pour les combinaisons linéaires de carrés de Dirichlet
- nous parle plus du cas particulier du carré dans lequel tous les termes sont identiques
- nous parle de rectangle (rectangle de Dirichlet ! )
- nous parle de la 3ème dimension ( cube de Dirichlet !)
Il faut également noter que lors de la recherche de solution; 0 n'est pas choisi par hasard, c'est la minimum de la couronne extérieure.
Salut !
J'ai découvert une méthode plus vite que l'ordinateur !
Mais pour l'instant elle ne marche que pour des carres de format (3×3)
cette methode consiste a ponderer le carre
premierement on construie des nombres " imaginaires " qui se trouvent dans les lacunes just en dehors du carre
par exemple le premier coin en haut a droite est la moyenne des deux nombres a cote
le nombre au milieu sera la moyenne de la moyenne des nombres a cotes et la moyenne des nombres en dehors du carre qu'on a pas utilisé
pour les autres nombres dans le carré on commence par qui sont aux bords : on calcule la moyenne du nombre au milieu et du nombre imaginaire le plus proche
par suite il restera que 4 cases vides qu'on peut facilement remplir
X) je n'aivais pas vue ton commentaire. Merci pour cette préssition
Qu'est-ce qui se passe avec la panoramisation sonore?
Comment fait il pour écrire à l'envers aussi vite sans réfléchir
@@_TVA_ bah il écrit bien sur une vitre ? Donc pour que ce soit lisible pour nous, il doit écrire en inversé
@@_TVA_ mdrr je suis con ! j'y avait pas pensé. merci pour l'info :)
Sa doit être dur d écrire tout à
l envers ? ^^
Je pense qu'ils utilisent un retournement au montage, ou peut-être qu'il est vraiment balèze ^^
@@massk6216 en tout cas, si l'image n'est pas inversée, il est gaucher...& vice versa.
C'est plutôt une illusion d'optique! C'est une vision par caméra renversée!
L'unicité est très claire. Mais c'est dommage de ne pas démontrer exactement l'existence.
Vu cette dope je pense que qu'il savait de quoi il parlait
Juste il parle bien on a l'impression qu'il connaît tout
En effet, mais une preuve d'existence n'aurait pas été accessible à des collégiens-lycéens et c'était l'objectif. En tout cas, je ne sais pas faire. De plus, il aurait fallu encore pas mal de temps.
tu enseignes très bien. mince, je suis jalouse de toi.
Je pensais que tu avais une méthode pour aller plus vite ou bien une formule
Je viens de gâcher 3 quart d'heure
Par contre moi j'ai une méthode plus rapide
Il existe une formule... mais je la trouve nettement moins amusante. Et il faut la retrouver pour chaque taille de carré...
@@olivierdruet9515 d'accord je comprends
Le carré magique ou l'art d'etre maître d'un lieux . annihiler , ou englober l'espace dite de .
Avec d'autres formes cela devient quoi ?
oui, par exemple, pourquoi pas un rectangle ? et puis pourquoi toujours des nombres positifs ?
Vous pouvez adapter à n'importe quelle forme : rectangle, triangle équilatéral (avec seulement trois voisins), mais aussi tout graphe où chaque sommet sera la moyenne de ses voisins. Cela ne change pas grand chose aux arguments présentés. C'est d'ailleurs l'avantage de ceux-ci, ils ne sont pas spécifiques au carré.
@@fredericderboux4256 Avec des nombres négatifs, cela ne change rien. On peut remarquer qu'en ajoutant partout la même chose, le carré reste magique (et cela permet de se ramener à des nombres positifs si on préfère).
@@fredericderboux4256 positif , la temperature varie 0 à 100 .
j'ais trouvé en seulement 3 étapes
Aucune raison d'initialiser les cases à zéro. On approche plus rapidement du résultat en les initialisant à la valeur obtenue en faisant la moyenne de toutes les températures extérieures. Dans ce cas : 3,66. Autrement dit on commence par considérer que le carré n'a qu'une seule grande case...
Dommage de ne pas avoir poussé un peu plus loin, la chaleur s'établit habituellement dans les solides en 3 dimensions, donc chaque cube élémentaire est entouré de 6 voisins. Les règles de la solution unique, et des maxi et mini extérieurs doivent être conservées.
Informatiquement, je pense qu'il est plus judicieux d'initialiser les valeurs à zéro tel que décrit dans cet exemple.
L'algorithme ne parcours les solutions possibles que dans un sens et trouver la solution à ce carré est plus rapide.
Voire quasiment instantanée dans ce cas précis.
Personnellement, j'aurais pris les moyennes des valeurs connues, puis utilisé la même boucle.
Cela permet de partir avec des valeurs certainement plus proches de leur valeur finale, 0 étant un extrême.
La moyenne de l'ensemble est une solution plus simple à programmer, une initialisation à 3.66 et on boucle.
De la même manière, il est possible de diminuer le niveau de précision ( à 1 décimale par exemple ) dans un premier temps, avant de l'augmenter.
Dans le cas d'une résolution manuelle, ou où le temps de calcul compte, la résolution complète ne serait que plus rapide.
Le temps de calcul étant négligeable, la résolution informatique ne nécessite pas vraiment d'optimisation.
La méthode proposée ici est de type force brute. Peut-être moins efficace en temps de calcul, mais est simple à comprendre.
@@_F_o_o_F_ Dans ton cas, la valeur de "3.66" ne permet pas à ta boucle de savoir si tu es au dessus ou au dessous de la valeur finale sans avoir calculé l'ensemble des valeurs (algorithmiquement complexe). D'où l'intérêt de partir de zéro.
Je n'ai pas écris l'algorithme pour faire un test mais d'expérience, ce sera plus rapide en partant de la valeur la plus basse donc 0.
Mais après tout, comme dit dans le cours, il existe plusieurs façons de résoudre ce problème.
Ce serait intéressant qu'Audi math nous montre la façon la plus optimale de trouver le résultat.
@@Ma5t3r Le résultat ne peut être qu'au dessus de 3.66 donc c'est efficace de commencer à boucler à partir de cette moyenne.
@@Lef4444 Pardon mais ce que tu dis est faux.
3.66 est la moyenne, ça n'est pas la valeur minimale. Mais ce n'est pas grave.
Bon ben… j'ai bien compris mais je suis à la limite.
Je retourne à mes "sciences" humaines !!!…
Merci tout de même…
Pas mal ha hah ah
Mais à quoi peut servir ce carré magique ? Quel en est son utilité? quoi que j'ai l'impression que vous parlez de quantité d'énergie cela aurait-il un rapport avec la physique quantique ? je tiens à signaler que je suis en rien dans le milieu scientifique, je ne fais que de m'intéresser à ces sujets.
Eh bien typiquement à calculer une solution pour le champ de température à l'intérieur d'un solide (la température en chaque point du solide).
La conclusion, le mathématicien est un fou des nombres ...
Comment faire simple quand on peut faire compliqué ?
Il suffit de dire "OK Google" et la lumière fuit.
"Carrément magique !" Dietrich Trudel
😂😂😂
Des le début je Prend un nombre :8 c est pas un chiffre j arrêtés la
544 503 323
Ben voyons !!! Vous imposez, mettez lme postulat des nombres externes. Donc, les chifres à l interieur sont aussi prévu.
Je vous copnseilles d'aller voir les projets de mathematiques chapeautés par Berkeley . Que ce soit sur ODLK, ODLK1, Gerasim,
Voir BOINC@home
Merci pour la pedagogie
C'est de n'importe quoi. C'est en erreur...
Est-ce le fils du dr.Raoult ? ...
C'est quand même un peu mou tout ça.
Petros Adamopoulos oui, pareil pour moi : très interessant, très bien expliqué, mais ça rame un peu...
TROP LENT