Benoît Rittaud est non seulement un excellent mathématicien, mais aussi un professeur apte à vulgariser (pour le quidam que je suis) les notions de math un peu compliquées; je vais le mettre en favori en espérant découvrir d'autres cours merci
Je me demande toujours pourquoi ce genre de choses me fascine puisque ma compréhension des maths est plutôt limité (je ne suis pas au niveau où l'on dit les ou la mathématique(s)), mais je ne peux pas m’empêcher de les visionner et revisionner. J’espère qu'un jour je serais touché par la foi et que les secrets viendront chuchoter à mon oreille. C'est un hommage à vous qui vous dévouez.
Hier soir j'ai rêvé que je me réorientais dans une fac de mathématique et je me surprend à regarder ces vidéos, et même, de les apprécier.. Serais-ce un signe de mon inconscient ?
Merci ! Vous avez répondu à une des principales questions que je me posais sur les mathématiques ! Pas tout saisi, mais assez pour ne pas être complètement déçu...
Monsieur Rittaud, c'est un véritable plaisir d'écouter l'explication de cette formule contenant à elle seul beaucoup de théories mathématiques, mises à jour pour les : qui aiment comprendre au plus juste la valeur des mots, comme une belle grande majorité d'être humain vivant sur cette planète merveilleuse nommée : la Terre. Les neurones sont connectés, à vous Professeur Benoît, +1 abonné - R²= à suivre ****
Ce qui est surtout bien c’est que je comprends la notion d’approximation ici. Ici on utilise les termes . Exprimer ceci comme ça . Un pont entre ... ça fait sens et on comprends les humains derrière leur challenge et pourquoi ils ont fait ça . Trucs complètement absent des cours de math ou on nous balance des formules ... ce qui sert à rien si on ne sait pas réellement pourquoi ça existe c’était quoi le vrai problème etc
J'ai lu vos livres dans la collection "quatre à quatre" Merci aussi pour cette vidéo et pour tout votre travail d'initiation aux maths Moi çà m'a donné envie de comprendre
@@wppa1495 Same here, with Numberphile, and Vsauce, If you want more French scientists on TH-cam, I recommand 2 French Physicists, David Louapre (Science Etonnante) and Alessandro Roussel (Science Clic)
It is Vicky I can't even tell if I enjoy this, tbh. BTW, I've heard it's _reasonably_ more helpful to have subtitle _in _*_French_* than to have none or (even worse off oddly enough) with English subtitles.
...et passionnant pour moi qui suis un concepteur logiciel des semi conducteurs ! " La passion du savoir est d' interpeler notre esprit, non nos instincts" (un savant russe dont j'ai oublié le nom).
@@anthonyjda5288 Ah ben ça-y-est !!! on peut former un Club. On a : un Président, un Secrétaire Général, et un Trésorier, le compte est bon (mais la caisse est vide) ;-)))))))))
🤔 T’es un con pris par youtube, et si t’es incompris par youtube c’est que ce dernier est trop bête pour te comprendre, donc tu es pris pour un con par un con, ce qui signifie que tu n’es peut-être pas si bête…
Superbe ! Et merci, je ne l'avais jamais regardée de cette façon (constantes et opérations fondamentales des mathématiques) cette formule que l'on connait depuis la terminale...
Effectivement à partir de la limite ça devient plus compliqué mais expliquer comme ça un sujet quand même bien velu au départ je trouve que c'est vraiment bien.
J'ai beaucoup aimé le début : quand vous démontrez que a^(1/2) = sqrt(a) (à 5:53) le cheminement est très bon. Par contre j'avoue que la suite reste obscure pour moi, même si j'admets le résultat.
L'explication nous donne l'impression d'être à la frontière de la philosophie. J'adore ! Mais comme d'habitude, bon sang de bon sang à quoi sert cette formule !??!
Super intéressant et bien fait. Je ne peux m’empêcher de remarquer qu’en cours, quand j’ai dis à mon prof de math que quand n tend vers +inf, n devient de plus en plus grand, il m’a repris en me disant que c’était faux, ou en tout cas pas assez rigoureux. Qu’il était plus juste de dire que n prend de grandes valeurs. La limite n’étant pas liée de cette façon avec le sens de variation
Hmmm, disons que "n devient de plus en plus grand" est l'interprétation que l'on fait de "n tend vers l'infini". Il n'y a pas de mal à utiliser cette formulation, mais en effet elle n'est pas rigoureuse, pas manipulable telle qu'elle et amène parfois à des paradoxes.
Moi j'ai entendu parler qu'Euler était autiste, syndrome d'Asperger. Et les "asperges" sont reconnues pour leur capacité de pouvoir demeurer concentré sur un même sujet non pas plusieurs minutes, ni plusieurs jours, mais plusieurs mois d'affilée. Multiplions ça par u quotient intellectuel généralement astronomique, et ça explique plusieurs choses.
oeuf alla puits sens (y pille) est gale zorro ! Quand je faisais des maths, c'était si rapide que même les dérivées, les équations complexes avec imaginaires ou pas ont eu le malin plaisir d'attiser ma curiosité. Et même si parfois ces exemples me rappellent quelques bons souvenirs, je reste ébloui par le génie humain !
En fait c'est un cas particulier de la formule de "jsai plus qui": exp(i theta) = cos (theta) + i sin(theta) En remplaçant theta par pi vous retrouverez le résultat plus facilement mais le plus important c'est la démonstration qu'il nous fait, et que l'on peut généraliser pour n'importe quel angle !
J'en étais là aussi. C'est simplement la Formule d'Euler ! Je pense qu'il est parti des séries de Taylor pour démontrer la formule Exp(ix) = cos x + i sin x et la fameuse exp(i. pi) - 1 = 0
Peut être qu'historiquement cette formule d'Euler avait un sens, mais quand on me l'a introduite en terminale, je l'avais trouvée bidon car c'est un cas particulier de la formule de Moivre. Ensuite plus tard on avait la définition des fonctions exponentielles ou trigonométriques sous forme de développement en séries entières, et le côté magique était plutôt là, que subitement en faisant rentrer de l’imaginaire pur dans la DSE de l'exponentielle réelle, on se retrouve avec des périodes de 2Pi, une constante fondamentale des maths, alors que si on met du réel, on se retrouve avec du e, une autre constante fondamentale des maths. Le tout alors que le DSE contient des fonctions factorielle, de l’arithmétique, et des limites. De cette manière le lien entre algèbre, géométrique, arithmétique... est plus fort je pense. Ceci dit, la plus belle formule si l'objectif est de tout mélanger, c'est plutôt factorielle(n) / [sqrt(2Pi.n)*( n/e)^n]->1
On peux monter que la fonction numérique d'une variable réelle à valeurs complexes: F(x) =(cos(X) +isin(X)) e^(-ix) est constante (car sa dérivée est nulle). Donc quel que soit x de IR F(x) =F(0)=1 càd cos(x) +isin(x) =e^(ix) donc e^(i*pi) =-1
merci ! je comprenais pas du tout la formule auparavant...mais je sens que ça se rapproche....je vois plus clair...."un peu plus clair" merci pour votre générosité !
Robert Janssens en gros c’est la forme trigonométrique d’un nombre complexe. e^ipi peut se décomposer en cos(pi) +i sin(pi) or on sait que cos(pi)= -1 et sin(pi)=0 donc e^ipi=-1 en ajoutant 1 cela nous donne 0
C'est sans doute la plus belle formule des maths, mais je ne l'aurais pas amenée comme ça. J'aurais utiliser la trigonométrie pour ma part, car e^ipi = cos pi + i sin pi = -1, en amenant le lien entre l'exponentielle et les sinus et cosinus. En plus, géométriquement, il y a moyen de mieux faire sentir cela qu'analytiquement comme fait ici, selon moi.
Il ne vous reste plus qu'à publier votre vidéo expliquant la formule à votre façon... quand elle sera prête je veux bien relire votre description pour corriger les fautes...
Jai calculé la formule de la limite de e^x par une serie de maclaurin et jai bien eu la formule que tu as utilisé! Cependant, le rayon de convergence de la formule ne s'applique que pour les réels.. alors cette formule ne serait-elle pas un peu illégale a faire puisque tu travailles avec i, un nombre complexe qui n'apparaît pas dans l'intervalle des reels. Bonne vidéo cependant et très clair a suivre!
J'ai toujours pensé que la formule de stirling est encore plus intéressante, car elle ajoute la factorielle qui relève de la théorie des nombres, considerant que 0, 1 et i ne sont que des valeurs élémentaires.
Je suis content d'avoir démontré la formule avec la limite en prépa ducoup ca me permet de mieux visualiser la fonction exponentielle complexe, bonne vidéo ! Mais je comprends que admettre la formule doit être frustrant pour certains
Tout ceci nous permet de demontrer facilement un résultat utile ... en effet on voit que e^(i*pi)=-1 donc e^(i*pi/2) = √-1 = i . On constate aussi que e^(i*3*pi)=(e^(i*pi))^3=-1^3=-1 , donc e^(i*3*pi/2)=√-1 = i . Donc maintenant nous sommes en mesure de calculer i^i = e^((i*pi/2)*i) = e^(-pi/2) , mais aussi i^i = e^((i*pi*3/2)*i) = e^(-pi*3/2) . La fonction e^x est strictement croissante sur ℝ , donc e(-pi/2) ) = e^(-pi*3/2) . implique pi/2 = 3*pi/2 . pi est non nul donc 1/2=3/2 , ce qui nous permet d'écrire 1=3, donc 0=1, cqfd.
Pourquoi ne pas passer par la formulation d Euler? On arrive très facilement en 2 lignes à etablir ce lien entre e, i , 1 , 0 et pi. L élégance c'est aussi d utiliser peu de moyen.
Toutes les formules arithmétiques, je dis bien toutes, dont on prétend que les anciens égyptiens connaissaient le secret , ne valent pas cette belle formule surtout si on la considère dans la formule de Moivre qui la transforme en une usine gigantesque de production de formules trigonométriques !!!!😎😎😎😎
J'ai beaucoup aimer la vidéo mais j'aurai une critique à faire sur la conclusion... Certes il s'agit d'un pillier des mathématiques, dont la formulation n'est pas évidente en soit, certes la démonstration est longue. Mais ça ne justifie en rien le fait que la démonstration ne soit pas dans la vidéo en réalité cette démonstration est je pense a la porté de beaucoup de monde pour peu qu'il ait le temps des détails. La conclusion : "c'est trop complexe pour que vous compreniez la vrai démonstration" n'est a mon sense pas la bonne conclusion qu'il faut en tirer. On peux a mon avis présenter des démonstrations tout a fait valables, tout en vulgarisant. Mais a par ce détaille sur les trente dernières secondes c'est une chouette vidéo :)
@@djamil5248 Ce n'est pas le propos et ce n'est pas essentiel à la réflexion donnée là. (Mais, pour répondre à votre question, j'aurais apprécié, en tant que correcteur, de voir une majuscule à votre phrase et le tiret qui se doit pour l'inversion sujet/verbe propre à l'interrogative... Mais, bon, on n'est pas à ça près....)
Pour l'expression de e^i.pi sous forme de limite le hic aujourd'hui c'est que de faire tendre vers l'infini ne suffit pas , il faudrait déjà savoir de quel infini il s'agit , c'est un problème encore plus grave pour la dérivation puisque dès lors même les mesures objectives ne décrivent plus la réalité , tout dépend du 0 et de ce que l'on entend par " quantité négligeable à l'infini " dans la théorie sur la dérivation . Plus largement on a le problème de l'espace euclidien et plus spécifiquement de l'espace-objet , un espace réel n'est pas sécable et ça fait deux millénaires que l'on fait " comme si " , juste par confort !
Comme formule, j'aime bien l'axiome du choix, car il permet à toute l'analyse d'exister. Le forcing et la théorie des modèles sont aussi franchement remarquables. Enfin, pourquoi séparer arithmétique de l'algèbre ? L'arithmétique est une algèbre. Et j'ajouterai que seul 0 est une constante remarquable, 1 est juste le premier successeur.
L' importance de cette formule en math me rappelle celle de la relation d' Einstein en physique E = m.c^2 (E énergie = m masse * carré de la vitesse de la lumière dans le vide) qui a détrôné la célèbre relation de la physique classique F = m.ɣ ( F somme des forces, m masse et ɣ accélération ) Ce genre de formules célèbres deviennent de plus en plus rares à énoncer malgré tous les prix Nobels de math et de physique. Les célébrités du showbiz sont plus faciles à produire et plus rentables. ☹️😇
Bonjour, merci pour cette vidéo. Il me semble quand même qu'il y a une forme de mélange la dedans entre égalité stricte et convergence d'une série. La fonction qui décrit e^iPi est définie sur N, lui attribuer une valeur finie par égalité stricte en +l'infini n'a pas de sens car c'est hors domaine de définition. La fonction tend vers -1, en conséquence e^iPi tend vers -1 mais ne vaut pas -1 au sens de l'égalité stricte. Je n'ai jamais compris que l'on transforme de manière licite une tendance en égalité sans comprendre que tendre et valoir ne veulent pas dire la même chose. Cela pose le problème de la compréhension de la notion de limite, dont la valeur finie qu'on lui donne ( pour la convergence en tout cas ) se déduit de la somme partielle d'une série calculée par sommation télescopique linéaire, régulière et stable dont on étend le résultat pat transitivité à une super sommation qui elle ne respecte pas les propriétés de linéarité, stabilité et régularité, sans compter en plus que +l'infini est hors domaine de définition de toutes ces séries. Il me semble que tout cela relève plus de l'équivalence de convention d'écriture que de l'égalité au sens strict. C'est du même ordre que 0.999.....=1, c'est très discutable si l'on est rigoureux avec le sens des symboles que l'on utilise. Qu'en pensez vous ?
Prenez la suite u[1] = 1/1 u[2] = 1/2 u[3] = 1/3 u[4] = 1/4 ... avec plus généralement u[n] = 1/n Cette suite se rapproche de plus en plus de 0, mais sans jamais l'atteindre. Vous avez raison de dire qu'elle ne va jamais valoir 0, aucun terme de la suite ne prendra cette valeur. Cependant il est factuel de dire que cette suite se rapproche indéfiniment de 0. En cela on dit que sa limite est égale à 0. On écrit lim u[n] = 0. Cela veut juste dire que la suite se rapproche de 0, mais donc à la question "vers quoi se rapproche la suite de plus en plus ?" il faut répondre "elle se rapproche du nombre 0". À la question "de quoi se rapproche la somme 1+iπ+(iπ)²/2 + ... + (iπ)^n/n! quand n augmente ? De -1 ! C'est simplement de cela dont on parle quand on écrit que la somme infinie vaut -1. Quand on écrit "la somme infinie" on parle précisément de "le nombre vers lequel la suite des sommes se rapproche", ni plus ni moins.
À 5:56, pourquoi avoir brouillé l'image là où est le nom de marque de l'ordi? C'est très facile de reconnaître que c'est un Macbook Pro de 13 pouces! Tout de suite après, la pomme au dos de l'ordi est brouillée. Ici aussi c'est facile, il y a une seule marque d'ordi qui a un logo lumineux au doc de l'écran... LOL!
Moi je me le représente avec la forme trigonométrique du nombre complexe z = |z|[cos(x)+isin(x)] = e^(ix). Donc si on prend x=pi on a bien cos(pi) = -1 et isin(pi) = 0 donc z = -1 avec bien sûr |z| = 1. Pi évoque -1 dans le cercle trigonométrique.
@3:56 "a^2, a^3 on ne peut pas aller plus loin" Mouais. Pour moi le 1er pb n'est même pas la diff de se représenter d'autres puissances, c'est qu'on a des longueurs, des surfaces, des volumes... des choses INCOMMENSURABLES. La def géométrique des puissances ne donne même pas moyen d'ordonner les grandeurs de puissances différentes! C'est vraiment LE pb pour moi de cette intuition. Il faut passer par l'unité : il faut à chaque fois normaliser la grandeur obtenue, en divisant (géométriquement si on veut) par 1. (Comme p.ex. dans 1+2+3=1*2*3)
Sans entrer davantage dans le détail, la formule pour toute histoire qu'elle ait à l'instar de n'importe quel autre résultat en mathématiques, est remarquable au simple titre qu'elle réunit les deux unités du système binaire, la constante géométrique du cercle, l'unité complexe et la fonction d'exponentiation. Le tout en une somme de deux termes...
En effet, le lien doit etre plus clairement etabli pour refaire ke raisonnement. En plus du referant a la trigonometrie pour expliquer Pi/N et la courbe sur le graphique.
Cette formule est géniale mais la plus belle reste à inventer.... D'instinct la plus belle devrait mettre en relation les termes de la formule d'Euler auxquels s'ajouteront Racine de 2... racine de 3 ...nombre d'or ....en bref les irrationnels.... Comme disait Galilée, pour comprendre la nature il faut comprendre sa langue. Je ne sais pas si la nature joue aux dés, mais une chose est certaine, La nature joue de la Musique. Deus sive Natura ( bento espinosa). Alors les matheux au boulot...😊😊😊😊😊😊
Je pense plutôt que tu n’as rien compris. Même si je définissais l’exponentielle il faudrait encore que je définisse les notions utilisées dans cette définition et ainsi de suite. Si tu t’intéresses aux maths tu devrais plutôt regarder autre chose qu’une vidéo d’école en SCIENCE SOCIALE. Ici c’est beaucoup de blabla pour peu de maths.
Métodos heurísticos geralmente se enquadram dentro dos seguintes grupos: heurísticas de construção, tais como o método guloso, que são aquelas onde uma ou mais soluções são construídas elemento a elemento, seguindo algum critério heurístico de otimização, até que se tenha uma solução viável; heurísticas de busca em vizinhança, como a busca local, as quais necessariamente partem de uma solução inicial viável (em alguns casos podendo ser somente uma solução possível qualquer), tentando melhorar esta solução através de operações de troca, remoção ou inserção, até que não seja mais possível a melhoria ou algum outro critério de parada seja satisfeito; heurísticas sistemáticas, tais como a Busca com Discrepância Limitada ou Backtracking Controlado, onde a árvore de espaço de soluções é percorrida utilizando critérios de ramificação e corte da árvore; heurísticas híbridas, resultantes da combinação de duas ou mais heurísticas com estratégias diferentes; metaheurísticas, que são heurísticas genéricas mais sofisticadas, onde uma heurística mais simples é gerenciada por um procedimento que visa explorar inteligentemente a instância do problema e o seu espaço de soluções. Ainda existem outros tipos de heurística, tais como as técnicas de relaxação por exemplo. Entretanto, tais técnicas são específicas para problemas formulados como problemas de programação inteira ou constraint problems, os quais pertencem a um tipo particular de problema de otimização combinatorial.
wait y'a un truc que je pige pas, à 8:00, la limite qu'il montre, pour n qui tend vers +l'infini, ça fait pas 1 ? Parce que x/n tend vers 0, donc on a 1^n, ce qui fait 1 non ? Quelqu'un m'explique ? Parce que du coup ça voudrait dire que e^x = 1 ce qui est vrai uniquement pour x=0
Yoann Rolland Ça ne marche pas comme ça, tu ne peux pas dire que 1/n tend vers 0 et (1+0)^n tend vers 1 pour dire que (1+1/n)^n tend vers 1. L'exponentiation des limites n'est pas la limite des exponentiations. Cela se vérifie expérimentalement, en calculant les premiers termes tu verras bien que ça ne converge pas vers 1.
Bonjour, j'ai une question mathématiquement formulable à vous soumettre à la fin de ce commentaire J'ai remarqué la présence du commencement de la suite des nombres premiers inscrite au travers du tétragramme En effet, la valeur en nombres des lettres de Yod=10 He=5 Wav=6 He=5 donne 10 5 6 5 10 est 1 2 3 4 comme le nombre d'emplacements de lettres mais il n'y a qu'un groupe de 3 lettres distinctes par Yod He Wav du fait du He répété et donc aussi une seule solution pour retrouver 3 valeurs distinctes d'une même suite 10 devient alors la sommation naturelle de 2 3 5, celle des 3 premiers nombres premiers Le premier He = 5 est de somme 2 3 alors que la valeur 6 ensuite offre liaison parfaite de 1+2+3 pour le 3ème rang atteint des nombres premiers donc 5 seul non décomposé rajouté au final...et comme 1+2+3 = 1*2*3, une ouverture aussi à utiliser d'autres opérations arithmétiques Ainsi, le tétragramme semble être une invitation mathématique à voir la suite de révélation monothéiste à travers celle de la suite des nombres premiers Vérification par la base 10 soit 2 3 5, sur le plan des communautés monothéistes remarquables à travers le Judaïsme, christianisme et Islam La valeur 2 est la lettre beith qui est la lettre qui ouvre la torah en entête du mot hébreu Bereshit, donc la première valeur monothéiste donnée au travers du Livre saint du judaïsme, ce qui en fait un peule culturel du Livre et de l'écriture au passage La valeur 3 est celle des seuls croyants monothéistes à tous se distinguer par la trinité, ce qui les rend uniques des autres, donc les chrétiens et le christianisme La valeur 5 distingue tous les musulmans des autres juifs et chrétiens par les 5 piliers de la foi musulmane 2 3 5...7 11 13il ne reste plus qu'à se demander ensuite comment les nombres premiers vont pouvoir à leur tour se décomposer en somme et autres opérations de utilisant tous les nombres premiers antérieurs... (2*5)-3 = 7 (7*3) - (2*5) = 11 (11*5) - (7*3*2) = 13 Question, existera t'il toujours une solution pour tout nombre premier d'utiliser en opération tous ceux prédécesseurs et ce de manière unique chacun pour arriver à le trouver ?
Ce cercle trigo me fait un tout petit peu comprendre pourquoi e^(i*téta) = cos(téta) + i*sin(téta) Il faut que j'étudie cette limite qui représente l'exponentielle devant mon brouillon demain, en amphi.
Miloud Matallah Si tu veux te persuader que c'est une extension correcte tu peux démontrer les formules usuelles (e^a e^b = e^a+b etc.) Et vérifier que ça marche bien. (indice : utiliser le produit scalaire).
Tu me proposes de démontrer les formules élémentaires de l'exponentielle avec la limite proposée, c'est ça ? Car j'ai pas bien compris pourquoi je dois en venir utiliser des produits scalaires pour démontrer que e^a*e^b = e^(a+b) Le chiffre exponentiel est fascinant tout de même non ? Grâce à sa dérivée simple, il nous permet de dériver toutes les autres fonctions puissance (du type 8^x). C'est un équilibre parfait.
Non, les démontrer à partir de la définition de l'exponentielle complexe : exp : xi -> cos(x) + i sin(x). Pour e^ai e^bi = e^(ai+bi) il faut utiliser le produit scalaire. Partons de e^(ai+bi) = cos(a+b) + i sin(a+b). Prouvons que cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b) et sin(a+b) = sin(a)cos(b) + sin(b)cos(a). Prenons deux réels a et b et plaçons deux points M et M' sur le cercle unité de telle sorte à ce que l'angle (i, OM) soit de mesure a et l'angle (OM',i) soit de mesure b. On a alors le produit scalaire OM.OM' = OM . OM' . cos(a+b) = cos(a+b) (OM et OM' sont des rayons du cercle unité donc de longueur 1). Or on sait que OM = (cos(a), sin(a)) et OM' = (cos(-b), sin(-b)). On a donc OM.OM' = cos(a)cos(-b) + sin(a)sin(-b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b) car cos est paire et sin impaire. Ce qui nous donne cf l'expression plus haut, cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b). On procède de manière analogue pour démontrer sin(a+b) = sin(a)cos(b) + sin(b)cos(a). Maintenant vérifions que e^ai e^bi = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b) + i(sin(a)cos(b) + sin(b)cos(a)). On a e^ai e^bi = (cos(a) + isin(a))(cos(b) + isin(b)), on développe, ça donne cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b) + i(sin(a)cos(b) + sin(b)cos(a)). On a donc bien e^ai e^bi = e^(a+b)i. Pour ce qui est de ce que tu dis à la fin, c'est normal que la constante de néper (e) permette de dériver les fonctions puissance puisque les fonctions puissances sont **définies** à partir de la constante de néper et du logarithme népérien. Il n'y a rien de surprenant à ce que "pour tout x,y € IR, x^y = e^(y ln x)" puisque c'est comme cela qu'on a défini x^y. Ce qui est intéressant néanmoins c'est que cela offre un prolongement unique des puissances à exposant entier.
Soit : (1 + iπ/n)^n = e^ln( (1 + iπ/n)^n ) = e^n*ln(1 + iπ/n) or : lim n→+∞ (iπ/n) = 0 Donc, par équivalence (en +∞) / ou par DL1 de ln(1 + x) lorsque x→0, on obtient lorsque n→+∞ : ln(1 + iπ/n) ~ iπ/n i.e : n*ln(1 + iπ/n) ~ n*iπ/n d'où : n*ln(1 + iπ/n) ~ iπ donc: lim n→+∞ (n*ln(1 + iπ/n) ) = iπ Alors on peut écrire : lim n→+∞ (e^n*ln(1 + iπ/n) ) = e^iπ i.e : e^iπ = lim n→+∞ ((1 + iπ/n)^n) On a donc bien montrer que e^iπ = -1 On peut en déduit donc, à partir de cette égalité, que : e^iπ + 1 = 0
la Moivre solution m'a toujours rebuté genre ouvrir le rayon à la possibilité d'être un nombre complexe on se demande ce que la Leibniz règle pense de ce calcul
Bon (en étant un peu provocateur), exp(i*pi) n'existe pas au début. On peut s'arranger pour lui donner un sens (d'accord on ne fait pas n'importe comment, puisqu'on s'arrange pour que cela colle avec le reste) et ainsi on tire de cette définition que exp(i*pi) = -1. De là à dire que c'est une formule magique, je trouve que c'est un peu abusé. On peut voir cela comme une conséquence directe d'une définition non ?
La constante du signe d'égalité me semble la plus indispensable et jamais définie, la première fondamentale pour toute démonstration Elle introduit la dimension du Temps comme une variable invariante en quelque sorte en double état quantique Imaginons l'infini sans rien donc Tout, alors si je fais l'opération d'en extraire quoique ce soit, alors on comprend le signe = comme cette opérztion qui fait tout apparaitre selon les 2 états Exemple : je sors 1 de l'infini donc je le fais apparaitre seul....1 = l'infini -1 , le 1 et -1 se distinguent en faisant apparaitre l'absolu valeur 1 sous 2 formes de 1 et -1 en même Temps et donc le signe de l'égalité est bien une opération primordiale en soi En corollaire, on comprend que l'on arrive à exposer que l'on a : 1 et l'infini car rien n'est 0 soit aussi que 0 ne peut jamais être égal à 0
J'ai une question. Qu il est le diamètre du cercle que fait la moto ???? si on tourne le volant de alpha degré ? Ce " phénomène " me paraît très compliqué. Merci
la question supplémentaire encore vient de ce que je pige pas comment dire que 2pi et 2ipi ont la meme circonférence (le Probleme traumatisme depuis l'enfance rapport au sens des aiguille d'une montre)
pour la demo de la limite de (e) à la puissance (x), est ce que le D.L. de Ln(1+x/n) = x - x²/(2xn) + x3/(3.n²)...... qui conduit à lim n.Ln(1+x/n) = x et donc conduit à ce qu'on cherche à démontrer exp(x) = lim (1+x/n).puis(n) constitue t'il une démo suffisante?
Oui je pense. Et en fait il suffit de dire que ln(1+x/n) est équivalent à x/n pour faire la limite, et donc pour une démo précise il faudrait montrer cette équivalence
La plus belle formule des maths c'est la formule de Brook Taylor : si f est C(n+1), alors f(b)=f(a)+(b-a)f'(x)+((b-a)^2/2!)f''(a)+((b-a)^3/3!)f'''(a)+...+((b-a)^n/n!)f[n](a)+int(a,b,((b-t)^n/n!)f[n+1](t)dt)… Cette formule est incroyable.
![La formule qui a radicalement transformé la finance mondiale [Black-Scholes]](http://i.ytimg.com/vi/XE7FKLfZzBA/mqdefault.jpg)
Benoît Rittaud est non seulement un excellent mathématicien, mais aussi un professeur apte à vulgariser (pour le quidam que je suis) les notions de math un peu compliquées;
je vais le mettre en favori en espérant découvrir d'autres cours
merci
Je me demande toujours pourquoi ce genre de choses me fascine puisque ma compréhension des maths est plutôt limité (je ne suis pas au niveau où l'on dit les ou la mathématique(s)), mais je ne peux pas m’empêcher de les visionner et revisionner. J’espère qu'un jour je serais touché par la foi et que les secrets viendront chuchoter à mon oreille. C'est un hommage à vous qui vous dévouez.
J'acquiesse!
C'est de l'obception 😊❤
Hier soir j'ai rêvé que je me réorientais dans une fac de mathématique et je me surprend à regarder ces vidéos, et même, de les apprécier.. Serais-ce un signe de mon inconscient ?
De ton imaginaire : (i) mdr
carrément! ;)
Alors ???
Excellent
Cette formule est très belle, mais les explications le sont tout autant.
Bravo Benoît !!!
Merci ! Vous avez répondu à une des principales questions que je me posais sur les mathématiques ! Pas tout saisi, mais assez pour ne pas être complètement déçu...
meilleur vulgarisateur du monde... ça c'est un talent très très rare.
Effectivement puisque, par définition, il ne peut y en avoir qu'un seul. :-)
ça me rappelle les années lycée : très intéressé au début, m'accrochant au milieu et perdu à la fin . Mais j'aime bcp cette chaîne ! Merci.
C'est bien résumé. Tu expliques bien la désaffection des maths par nos jeunes. Et encore, lui, il fait un vrai effort.
Une pédagogie comme celle là, qui sent la passion, encore ! Bravo
Monsieur Rittaud, c'est un véritable plaisir d'écouter l'explication de cette formule contenant à elle seul beaucoup de théories mathématiques, mises à jour pour les : qui aiment comprendre au plus juste la valeur des mots, comme une belle grande majorité d'être humain vivant sur cette planète merveilleuse nommée : la Terre. Les neurones sont connectés, à vous Professeur Benoît, +1 abonné - R²= à suivre ****
Ce qui est surtout bien c’est que je comprends la notion d’approximation ici. Ici on utilise les termes . Exprimer ceci comme ça . Un pont entre ... ça fait sens et on comprends les humains derrière leur challenge et pourquoi ils ont fait ça . Trucs complètement absent des cours de math ou on nous balance des formules ... ce qui sert à rien si on ne sait pas réellement pourquoi ça existe c’était quoi le vrai problème etc
J'ai lu vos livres dans la collection "quatre à quatre"
Merci aussi pour cette vidéo et pour tout votre travail d'initiation aux maths
Moi çà m'a donné envie de comprendre
Watching math while learning French = Perfect Dream
Vicky Lau what a Nighmare😂😂
I do the same to learn English watching 3Blue1Brown
@@wppa1495 Same here, with Numberphile, and Vsauce,
If you want more French scientists on TH-cam,
I recommand 2 French Physicists, David Louapre (Science Etonnante) and Alessandro Roussel (Science Clic)
It is Vicky
I can't even tell if I enjoy this, tbh.
BTW, I've heard it's _reasonably_ more helpful to have subtitle _in _*_French_* than to have none or (even worse off oddly enough) with English subtitles.
@@mikebenson9423
Wow... thanks!
Bravo, c'est très bien présenté et tout à fait passionnant, même pour moi qui suis chimiste PhD !
...et passionnant pour moi qui suis un concepteur logiciel des semi conducteurs ! " La passion du savoir est d' interpeler notre esprit, non nos instincts" (un savant russe dont j'ai oublié le nom).
Merci monsieur Rittaud de partager votre savoir avec le plus grand nombre.
je ne comprends pas tout loin de là, mais je trouve ça passionnant !!
Vraiment très bien expliqué merci... tellement mieux expliqué que les profs
mdr c'est mon prof de maths
TH-cam à compris que j'étais con du coup il me mette ça dans mes recommandations
mdrrrrrrrrr pareil que toi putain
@@anthonyjda5288 Ah ben ça-y-est !!! on peut former un Club. On a : un Président, un Secrétaire Général, et un Trésorier, le compte est bon (mais la caisse est vide) ;-)))))))))
Mdr , compris ou décidé ? ... Elles sont suspectes les motivations des programmeurs réseau ...
🤔 T’es un con pris par youtube, et si t’es incompris par youtube c’est que ce dernier est trop bête pour te comprendre, donc tu es pris pour un con par un con, ce qui signifie que tu n’es peut-être pas si bête…
bah regarde le con qui a titré cette vidéo.. il n' y a pas de belle formule ! la beauté est dans la compréhension non dans la formule pignouf ! pfff..
Superbe ! Et merci, je ne l'avais jamais regardée de cette façon (constantes et opérations fondamentales des mathématiques) cette formule que l'on connait depuis la terminale...
Effectivement à partir de la limite ça devient plus compliqué mais expliquer comme ça un sujet quand même bien velu au départ je trouve que c'est vraiment bien.
"L'élévation à une puissance entière", "les puissances" j'aime beaucoup ces expressions.
J'ai beaucoup aimé le début : quand vous démontrez que a^(1/2) = sqrt(a) (à 5:53) le cheminement est très bon. Par contre j'avoue que la suite reste obscure pour moi, même si j'admets le résultat.
L'explication nous donne l'impression d'être à la frontière de la philosophie. J'adore ! Mais comme d'habitude, bon sang de bon sang à quoi sert cette formule !??!
Super intéressant et bien fait. Je ne peux m’empêcher de remarquer qu’en cours, quand j’ai dis à mon prof de math que quand n tend vers +inf, n devient de plus en plus grand, il m’a repris en me disant que c’était faux, ou en tout cas pas assez rigoureux. Qu’il était plus juste de dire que n prend de grandes valeurs. La limite n’étant pas liée de cette façon avec le sens de variation
Je chipote en vrai. La vidéo est très chouette donc je veux pas m’arrêter à ça.
Hmmm, disons que "n devient de plus en plus grand" est l'interprétation que l'on fait de "n tend vers l'infini". Il n'y a pas de mal à utiliser cette formulation, mais en effet elle n'est pas rigoureuse, pas manipulable telle qu'elle et amène parfois à des paradoxes.
Euler a réussi ses travaux parce qu'il disposait d'une excellente endurance. Tout le monde a entendu parler de la résistance d'Euler.
Paganel75 😂😂😂 excellent!!!
Ah bon ?
Morte de rire 😁
Moi j'ai entendu parler qu'Euler était autiste, syndrome d'Asperger. Et les "asperges" sont reconnues pour leur capacité de pouvoir demeurer concentré sur un même sujet non pas plusieurs minutes, ni plusieurs jours, mais plusieurs mois d'affilée. Multiplions ça par u quotient intellectuel généralement astronomique, et ça explique plusieurs choses.
T'as pas le droit...
Trop top... fascinant...
Un concentré d'imagination et de réalité...
J'adore la rigueur de faire des beaux dessins pour la puissance complexe 😁👍🏻 super vidéo sinon même si g lâche assez tot
Le sens de cette formule serait-il qu'eux, les hippies, valent moins que rien ? ☹️
même une fois exponentialisés ! quelle honte !
🤣🤣🤣🤣
@@blaschschow 🤣🤣🤣🤣🤣
🤣🤣🤣🤣🤣🤣🤣
Que*qu'eux
Le monsieur ressemble à pipin du seigneur des anneaux. Cela me trouble.
merde! maintenant que tu le dis je ne vois que ça hahaha
J aurais plus dis la fusion entre guy forget et christian gourcuff avec la coiffure d alain prost
En effet, oui.
On ne nous dit pas tout !
Oui c est lui!
A chaque fois qu'il parle j'imagine l'original le dire c grave troublant
Merci, vos explications sont passionantes
oeuf alla puits sens (y pille) est gale zorro !
Quand je faisais des maths, c'était si rapide que même les dérivées, les équations complexes avec imaginaires ou pas ont eu le malin plaisir d'attiser ma curiosité. Et même si parfois ces exemples me rappellent quelques bons souvenirs, je reste ébloui par le génie humain !
Merci vidéo très bien faite avec une progression et cette ouverture sur la suite
Merci pour vos explications. C'est passionnant. Bonne continuation 👍
ton prénom c'est une punchline mec
Merci beaucoup pour cet exposé.
En fait c'est un cas particulier de la formule de "jsai plus qui":
exp(i theta) = cos (theta) + i sin(theta)
En remplaçant theta par pi vous retrouverez le résultat plus facilement mais le plus important c'est la démonstration qu'il nous fait, et que l'on peut généraliser pour n'importe quel angle !
J'en étais là aussi. C'est simplement la Formule d'Euler ! Je pense qu'il est parti des séries de Taylor pour démontrer la formule Exp(ix) = cos x + i sin x et la fameuse exp(i. pi) - 1 = 0
Cliquez sur cette vidéo en sachant que je ne vais rien comprendre, c’est la vie que j’ai décidé de mené
😂🤣😃🙄
Peut être qu'historiquement cette formule d'Euler avait un sens, mais quand on me l'a introduite en terminale, je l'avais trouvée bidon car c'est un cas particulier de la formule de Moivre.
Ensuite plus tard on avait la définition des fonctions exponentielles ou trigonométriques sous forme de développement en séries entières, et le côté magique était plutôt là, que subitement en faisant rentrer de l’imaginaire pur dans la DSE de l'exponentielle réelle, on se retrouve avec des périodes de 2Pi, une constante fondamentale des maths, alors que si on met du réel, on se retrouve avec du e, une autre constante fondamentale des maths. Le tout alors que le DSE contient des fonctions factorielle, de l’arithmétique, et des limites. De cette manière le lien entre algèbre, géométrique, arithmétique... est plus fort je pense.
Ceci dit, la plus belle formule si l'objectif est de tout mélanger, c'est plutôt factorielle(n) / [sqrt(2Pi.n)*( n/e)^n]->1
On peux monter que la fonction numérique d'une variable réelle à valeurs complexes: F(x) =(cos(X) +isin(X)) e^(-ix) est constante (car sa dérivée est nulle). Donc quel que soit x de IR F(x) =F(0)=1 càd cos(x) +isin(x) =e^(ix) donc e^(i*pi) =-1
merci ! je comprenais pas du tout la formule auparavant...mais je sens que ça se rapproche....je vois plus clair...."un peu plus clair" merci pour votre générosité !
Robert Janssens en gros c’est la forme trigonométrique d’un nombre complexe. e^ipi peut se décomposer en cos(pi) +i sin(pi) or on sait que cos(pi)= -1 et sin(pi)=0 donc e^ipi=-1 en ajoutant 1 cela nous donne 0
Une pédagogie extraordinaire
Merci, c'était passionnant.
Monsieur BENOÎT RITTAUD,je te salues de L'ALGÉRIE ,vos explications sont élégantes. MERCI!
Passionnant. On ne s ennuie pas avec des trucs comme ça. De l humour à l état pur
Géniale vidéo ! Merci à vous !
Je ne suis pas en Terminal S mais je comprends E i et pi et en effet je trouve cette formule extraordinaire
C'est vrai! C'est la plus belle. J'ues des profs comme vous ,dans d'autres matières ou j'excellai Merci
C'est sans doute la plus belle formule des maths, mais je ne l'aurais pas amenée comme ça. J'aurais utiliser la trigonométrie pour ma part, car e^ipi = cos pi + i sin pi = -1, en amenant le lien entre l'exponentielle et les sinus et cosinus. En plus, géométriquement, il y a moyen de mieux faire sentir cela qu'analytiquement comme fait ici, selon moi.
Francotte Augustin Pour moi faut l'amener via les series de Taylor
Ce n'est pas incompatible avec l'approche trigonométrique, au sens où c'est grâce au développement en série de taylor que e^ix= cos x + i sin x .
Francotte Augustin Oui, tu es obligé de passer par les séries de taylor pour démontrer la forme exponentielle des nombres complexes ^^
C'est ce que je disais, non ? "c'est grâce au développement en série de Taylor que e^ix= cos x + i sin x"
Il ne vous reste plus qu'à publier votre vidéo expliquant la formule à votre façon... quand elle sera
prête je veux bien relire votre description pour corriger les fautes...
Ça fait plaisir malgré que je me suis converti vers l'informatique mais ma grande patient c'est les maths
Tu es toujours dans les maths : l'informatique, c'est des maths numérisés.
« Malgré que » !!! Ça fait mal aux oreilles
Extremement bon vidéo
Jai calculé la formule de la limite de e^x par une serie de maclaurin et jai bien eu la formule que tu as utilisé! Cependant, le rayon de convergence de la formule ne s'applique que pour les réels.. alors cette formule ne serait-elle pas un peu illégale a faire puisque tu travailles avec i, un nombre complexe qui n'apparaît pas dans l'intervalle des reels. Bonne vidéo cependant et très clair a suivre!
Non le rayon de convergence et infini, pr les complexes comme pour les réels.
Dans les sciences sociales , que penser de e^pi^i = -1 (formulé comme cela ) .
Merci beaucoup professeur
J'ai toujours pensé que la formule de stirling est encore plus intéressante, car elle ajoute la factorielle qui relève de la théorie des nombres, considerant que 0, 1 et i ne sont que des valeurs élémentaires.
mais stirling c’est une borne non ?
Je suis content d'avoir démontré la formule avec la limite en prépa ducoup ca me permet de mieux visualiser la fonction exponentielle complexe, bonne vidéo ! Mais je comprends que admettre la formule doit être frustrant pour certains
Non tu ne l'as pas démontré.
Tout ceci nous permet de demontrer facilement un résultat utile ... en effet on voit que e^(i*pi)=-1 donc e^(i*pi/2) = √-1 = i . On constate aussi que e^(i*3*pi)=(e^(i*pi))^3=-1^3=-1 , donc e^(i*3*pi/2)=√-1 = i . Donc maintenant nous sommes en mesure de calculer i^i = e^((i*pi/2)*i) = e^(-pi/2) , mais aussi i^i = e^((i*pi*3/2)*i) = e^(-pi*3/2) . La fonction e^x est strictement croissante sur ℝ , donc e(-pi/2) ) = e^(-pi*3/2) . implique pi/2 = 3*pi/2 . pi est non nul donc 1/2=3/2 , ce qui nous permet d'écrire 1=3, donc 0=1, cqfd.
Merci de ne pas répondre en écrivant simplement "ceci ou cela n'est pas permis", mais de demontrer pourquoi ce serait interdit.
Merci beaucoup pour cette vidéo et bonne continuation !
Pourquoi ne pas passer par la formulation d Euler? On arrive très facilement en 2 lignes à etablir ce lien entre e, i , 1 , 0 et pi. L élégance c'est aussi d utiliser peu de moyen.
Toutes les formules arithmétiques, je dis bien toutes, dont on prétend que les anciens égyptiens connaissaient le secret , ne valent pas cette belle formule surtout si on la considère dans la formule de Moivre qui la transforme en une usine gigantesque de production de formules trigonométriques !!!!😎😎😎😎
J'ai beaucoup aimer la vidéo mais j'aurai une critique à faire sur la conclusion...
Certes il s'agit d'un pillier des mathématiques, dont la formulation n'est pas évidente en soit, certes la démonstration est longue. Mais ça ne justifie en rien le fait que la démonstration ne soit pas dans la vidéo en réalité cette démonstration est je pense a la porté de beaucoup de monde pour peu qu'il ait le temps des détails. La conclusion : "c'est trop complexe pour que vous compreniez la vrai démonstration" n'est a mon sense pas la bonne conclusion qu'il faut en tirer. On peux a mon avis présenter des démonstrations tout a fait valables, tout en vulgarisant.
Mais a par ce détaille sur les trente dernières secondes c'est une chouette vidéo :)
Léon HUET est ce que j’ai besoin de démontrer que ton orthographe fait mal aux yeux?
@@djamil5248 non pour ça pas de besoin de démonstration. x) j'étais au courant avant toi.
Oui je suis plutôt d'accord avec vous.
@@djamil5248 Ce n'est pas le propos et ce n'est pas essentiel à la réflexion donnée là.
(Mais, pour répondre à votre question, j'aurais apprécié, en tant que correcteur, de voir une majuscule à votre phrase et le tiret qui se doit pour l'inversion sujet/verbe propre à l'interrogative... Mais, bon, on n'est pas à ça près....)
Dans une autre vidéo alors pour éviter des longueurs indigestes. Ceci est plutot un titre de chapitre qu'un développement
Si je comprends bien, la formule reste vraie pour tout e^i.n ? Mettre pi, c'est juste pour faire joli en somme (et c'est beau) !
Non, il faut rajouter π !
C'est e^(iπn) qui convient, pas e^(in).
Pour l'expression de e^i.pi sous forme de limite le hic aujourd'hui c'est que de faire tendre vers l'infini ne suffit pas , il faudrait déjà savoir de quel infini il s'agit , c'est un problème encore plus grave pour la dérivation puisque dès lors même les mesures objectives ne décrivent plus la réalité , tout dépend du 0 et de ce que l'on entend par " quantité négligeable à l'infini " dans la théorie sur la dérivation .
Plus largement on a le problème de l'espace euclidien et plus spécifiquement de l'espace-objet , un espace réel n'est pas sécable et ça fait deux millénaires que l'on fait " comme si " , juste par confort !
Comment ça « quel infini » ?
Ici on peut utiliser la définition usuelle d’une limite réelle dans R muni de sa structure usuelle de Banach non ?
Comme formule, j'aime bien l'axiome du choix, car il permet à toute l'analyse d'exister. Le forcing et la théorie des modèles sont aussi franchement remarquables. Enfin, pourquoi séparer arithmétique de l'algèbre ? L'arithmétique est une algèbre. Et j'ajouterai que seul 0 est une constante remarquable, 1 est juste le premier successeur.
Le 1 n'est pas un simple successeur de 0, le 1 est un miracle
Ca remonte à loin mais si je me souvient bien: e(i.pi) = cos(pi) + i.sin(pi), soit = -1 +i.0, soit = -1. Non?
c'est bien ça
L' importance de cette formule en math me rappelle celle de la relation d' Einstein en physique E = m.c^2
(E énergie = m masse * carré de la vitesse de la lumière dans le vide)
qui a détrôné la célèbre relation de la physique classique
F = m.ɣ
( F somme des forces, m masse et ɣ accélération )
Ce genre de formules célèbres deviennent de plus en plus rares à énoncer malgré tous les prix Nobels de math et de physique. Les célébrités du showbiz sont plus faciles à produire et plus rentables. ☹️😇
E=m.c2
E = Énergie disponible au travail
m = motivation
c = congés 😁
Ma formule mathématique préférée !
Bonjour, merci pour cette vidéo. Il me semble quand même qu'il y a une forme de mélange la dedans entre égalité stricte et convergence d'une série. La fonction qui décrit e^iPi est définie sur N, lui attribuer une valeur finie par égalité stricte en +l'infini n'a pas de sens car c'est hors domaine de définition. La fonction tend vers -1, en conséquence e^iPi tend vers -1 mais ne vaut pas -1 au sens de l'égalité stricte. Je n'ai jamais compris que l'on transforme de manière licite une tendance en égalité sans comprendre que tendre et valoir ne veulent pas dire la même chose. Cela pose le problème de la compréhension de la notion de limite, dont la valeur finie qu'on lui donne ( pour la convergence en tout cas ) se déduit de la somme partielle d'une série calculée par sommation télescopique linéaire, régulière et stable dont on étend le résultat pat transitivité à une super sommation qui elle ne respecte pas les propriétés de linéarité, stabilité et régularité, sans compter en plus que +l'infini est hors domaine de définition de toutes ces séries. Il me semble que tout cela relève plus de l'équivalence de convention d'écriture que de l'égalité au sens strict. C'est du même ordre que 0.999.....=1, c'est très discutable si l'on est rigoureux avec le sens des symboles que l'on utilise. Qu'en pensez vous ?
Prenez la suite
u[1] = 1/1
u[2] = 1/2
u[3] = 1/3
u[4] = 1/4
...
avec plus généralement
u[n] = 1/n
Cette suite se rapproche de plus en plus de 0, mais sans jamais l'atteindre. Vous avez raison de dire qu'elle ne va jamais valoir 0, aucun terme de la suite ne prendra cette valeur.
Cependant il est factuel de dire que cette suite se rapproche indéfiniment de 0. En cela on dit que sa limite est égale à 0.
On écrit lim u[n] = 0.
Cela veut juste dire que la suite se rapproche de 0, mais donc à la question "vers quoi se rapproche la suite de plus en plus ?" il faut répondre "elle se rapproche du nombre 0".
À la question "de quoi se rapproche la somme 1+iπ+(iπ)²/2 + ... + (iπ)^n/n! quand n augmente ? De -1 !
C'est simplement de cela dont on parle quand on écrit que la somme infinie vaut -1. Quand on écrit "la somme infinie" on parle précisément de "le nombre vers lequel la suite des sommes se rapproche", ni plus ni moins.
À 5:56, pourquoi avoir brouillé l'image là où est le nom de marque de l'ordi? C'est très facile de reconnaître que c'est un Macbook Pro de 13 pouces!
Tout de suite après, la pomme au dos de l'ordi est brouillée. Ici aussi c'est facile, il y a une seule marque d'ordi qui a un logo lumineux au doc de l'écran... LOL!
Moi je me le représente avec la forme trigonométrique du nombre complexe z = |z|[cos(x)+isin(x)] = e^(ix). Donc si on prend x=pi on a bien cos(pi) = -1 et isin(pi) = 0 donc z = -1 avec bien sûr |z| = 1. Pi évoque -1 dans le cercle trigonométrique.
@3:56 "a^2, a^3 on ne peut pas aller plus loin"
Mouais. Pour moi le 1er pb n'est même pas la diff de se représenter d'autres puissances, c'est qu'on a des longueurs, des surfaces, des volumes... des choses INCOMMENSURABLES.
La def géométrique des puissances ne donne même pas moyen d'ordonner les grandeurs de puissances différentes! C'est vraiment LE pb pour moi de cette intuition. Il faut passer par l'unité : il faut à chaque fois normaliser la grandeur obtenue, en divisant (géométriquement si on veut) par 1.
(Comme p.ex. dans 1+2+3=1*2*3)
Sans entrer davantage dans le détail, la formule pour toute histoire qu'elle ait à l'instar de n'importe quel autre résultat en mathématiques, est remarquable au simple titre qu'elle réunit les deux unités du système binaire, la constante géométrique du cercle, l'unité complexe et la fonction d'exponentiation. Le tout en une somme de deux termes...
Suis nul en maths mais j’ai quand même compris l’idée générale. Merci!
pour moi il manque un bout à la video, exp(i*Pï/n)^n=exp(i*Pi) par la formule de Moivre sinon comment faire le lien entre Un et Vn ?
En effet, le lien doit etre plus clairement etabli pour refaire ke raisonnement. En plus du referant a la trigonometrie pour expliquer Pi/N et la courbe sur le graphique.
Pourquoi ne démontrez vous pas le changement avec l'exponentielle grâce aux développements en séries entières ?
C'est démonstration de la limite qui est égale à e puissance x on la voit en math sup ? Si je ne me trompe pas
Cette formule est géniale mais la plus belle reste à inventer....
D'instinct la plus belle devrait mettre en relation les termes de la formule d'Euler auxquels s'ajouteront
Racine de 2... racine de 3 ...nombre d'or ....en bref les irrationnels....
Comme disait Galilée, pour comprendre la nature il faut comprendre sa langue.
Je ne sais pas si la nature joue aux dés, mais une chose est certaine,
La nature joue de la Musique.
Deus sive Natura ( bento espinosa).
Alors les matheux au boulot...😊😊😊😊😊😊
Merci monsieur !
il suffit de monter que pour réel t, f(t)=(cos(t)+isin(t))*e^(-it) est une constante égale à 1.
montrer alors que f'(t)=0 pour tout réel t.
ahhh je me disais aussi qu'on pouvait passer par la forme trigonométrique.
J ai 14 ans et je voudrais être comptable et informaticien j ai pas compris comment on fait pour l exponentielle
Je pense plutôt que tu n’as rien compris. Même si je définissais l’exponentielle il faudrait encore que je définisse les notions utilisées dans cette définition et ainsi de suite.
Si tu t’intéresses aux maths tu devrais plutôt regarder autre chose qu’une vidéo d’école en SCIENCE SOCIALE. Ici c’est beaucoup de blabla pour peu de maths.
Métodos heurísticos geralmente se enquadram dentro dos seguintes grupos:
heurísticas de construção, tais como o método guloso,
que são aquelas onde uma ou mais soluções são construídas elemento a
elemento, seguindo algum critério heurístico de otimização, até que se
tenha uma solução viável;
heurísticas de busca em vizinhança, como a busca local,
as quais necessariamente partem de uma solução inicial viável (em
alguns casos podendo ser somente uma solução possível qualquer),
tentando melhorar esta solução através de operações de troca, remoção ou
inserção, até que não seja mais possível a melhoria ou algum outro
critério de parada seja satisfeito;
heurísticas sistemáticas, tais como a Busca com Discrepância Limitada ou Backtracking Controlado, onde a árvore de espaço de soluções é percorrida utilizando critérios de ramificação e corte da árvore;
heurísticas híbridas, resultantes da combinação de duas ou mais heurísticas com estratégias diferentes;
metaheurísticas, que são heurísticas genéricas mais sofisticadas,
onde uma heurística mais simples é gerenciada por um procedimento que
visa explorar inteligentemente a instância do problema e o seu espaço de
soluções.
Ainda existem outros tipos de heurística, tais como as técnicas de
relaxação por exemplo. Entretanto, tais técnicas são específicas para
problemas formulados como problemas de programação inteira ou constraint problems, os quais pertencem a um tipo particular de problema de otimização combinatorial.
wait y'a un truc que je pige pas, à 8:00, la limite qu'il montre, pour n qui tend vers +l'infini, ça fait pas 1 ? Parce que x/n tend vers 0, donc on a 1^n, ce qui fait 1 non ? Quelqu'un m'explique ? Parce que du coup ça voudrait dire que e^x = 1 ce qui est vrai uniquement pour x=0
Yoann Rolland Ça ne marche pas comme ça, tu ne peux pas dire que 1/n tend vers 0 et (1+0)^n tend vers 1 pour dire que (1+1/n)^n tend vers 1. L'exponentiation des limites n'est pas la limite des exponentiations. Cela se vérifie expérimentalement, en calculant les premiers termes tu verras bien que ça ne converge pas vers 1.
Non Mr c'est faux.. x/n ne tend pas forcément vers 0 car le réel x n'est pas fixe.
Comment ecrire cette formule avec une calculatrice android ?
e^i*pi = cos pi + i sin pi = -1 + 0 = -1
Faux e^ipi= cos pi + isin pi
@@raphsim7955 t'es con c'est ce qu'il a marqué 😰😭
@@CapitaineCrabe 😂😂😂😂😂
faux :
e^i*pi = -1
-1 + 0 = -1
cos(pi) + isin(pi) = 0.9984971+0.05480367i
donc e^i*pi ≠ -1
Donc ce que tu as dit est faux.
@@TFGGG il faut mettre ta calculatrice en radian si tu veux faire ce genre de calcul …
Bonjour, j'ai une question mathématiquement formulable à vous soumettre à la fin de ce commentaire
J'ai remarqué la présence du commencement de la suite des nombres premiers inscrite au travers du tétragramme
En effet, la valeur en nombres des lettres de Yod=10 He=5 Wav=6 He=5 donne
10 5 6 5
10 est 1 2 3 4 comme le nombre d'emplacements de lettres mais il n'y a qu'un groupe de 3 lettres distinctes par Yod He Wav du fait du He répété et donc aussi une seule solution pour retrouver 3 valeurs distinctes d'une même suite
10 devient alors la sommation naturelle de 2 3 5, celle des 3 premiers nombres premiers
Le premier He = 5 est de somme 2 3 alors que la valeur 6 ensuite offre liaison parfaite de 1+2+3 pour le 3ème rang atteint des nombres premiers donc 5 seul non décomposé rajouté au final...et comme 1+2+3 = 1*2*3, une ouverture aussi à utiliser d'autres opérations arithmétiques
Ainsi, le tétragramme semble être une invitation mathématique à voir la suite de révélation monothéiste à travers celle de la suite des nombres premiers
Vérification par la base 10 soit 2 3 5, sur le plan des communautés monothéistes remarquables à travers le Judaïsme, christianisme et Islam
La valeur 2 est la lettre beith qui est la lettre qui ouvre la torah en entête du mot hébreu Bereshit, donc la première valeur monothéiste donnée au travers du Livre saint du judaïsme, ce qui en fait un peule culturel du Livre et de l'écriture au passage
La valeur 3 est celle des seuls croyants monothéistes à tous se distinguer par la trinité, ce qui les rend uniques des autres, donc les chrétiens et le christianisme
La valeur 5 distingue tous les musulmans des autres juifs et chrétiens par les 5 piliers de la foi musulmane
2 3 5...7 11 13il ne reste plus qu'à se demander ensuite comment les nombres premiers vont pouvoir à leur tour se décomposer en somme et autres opérations de utilisant tous les nombres premiers antérieurs...
(2*5)-3 = 7
(7*3) - (2*5) = 11
(11*5) - (7*3*2) = 13
Question, existera t'il toujours une solution pour tout nombre premier d'utiliser en opération tous ceux prédécesseurs et ce de manière unique chacun pour arriver à le trouver ?
Pourquoi tu caches que ton ordi est un Macbook Pro? Ça se voit très bien!
Ce cercle trigo me fait un tout petit peu comprendre pourquoi e^(i*téta) = cos(téta) + i*sin(téta)
Il faut que j'étudie cette limite qui représente l'exponentielle devant mon brouillon demain, en amphi.
Miloud Matallah Si tu veux te persuader que c'est une extension correcte tu peux démontrer les formules usuelles (e^a e^b = e^a+b etc.) Et vérifier que ça marche bien. (indice : utiliser le produit scalaire).
Tu me proposes de démontrer les formules élémentaires de l'exponentielle avec la limite proposée, c'est ça ? Car j'ai pas bien compris pourquoi je dois en venir utiliser des produits scalaires pour démontrer que e^a*e^b = e^(a+b)
Le chiffre exponentiel est fascinant tout de même non ? Grâce à sa dérivée simple, il nous permet de dériver toutes les autres fonctions puissance (du type 8^x). C'est un équilibre parfait.
Non, les démontrer à partir de la définition de l'exponentielle complexe : exp : xi -> cos(x) + i sin(x).
Pour e^ai e^bi = e^(ai+bi) il faut utiliser le produit scalaire. Partons de e^(ai+bi) = cos(a+b) + i sin(a+b).
Prouvons que cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b) et sin(a+b) = sin(a)cos(b) + sin(b)cos(a).
Prenons deux réels a et b et plaçons deux points M et M' sur le cercle unité de telle sorte à ce que l'angle (i, OM) soit de mesure a et l'angle (OM',i) soit de mesure b. On a alors le produit scalaire OM.OM' = OM . OM' . cos(a+b) = cos(a+b) (OM et OM' sont des rayons du cercle unité donc de longueur 1). Or on sait que OM = (cos(a), sin(a)) et OM' = (cos(-b), sin(-b)).
On a donc OM.OM' = cos(a)cos(-b) + sin(a)sin(-b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b) car cos est paire et sin impaire.
Ce qui nous donne cf l'expression plus haut, cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b).
On procède de manière analogue pour démontrer sin(a+b) = sin(a)cos(b) + sin(b)cos(a).
Maintenant vérifions que e^ai e^bi = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b) + i(sin(a)cos(b) + sin(b)cos(a)).
On a e^ai e^bi = (cos(a) + isin(a))(cos(b) + isin(b)), on développe, ça donne cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b) + i(sin(a)cos(b) + sin(b)cos(a)).
On a donc bien e^ai e^bi = e^(a+b)i.
Pour ce qui est de ce que tu dis à la fin, c'est normal que la constante de néper (e) permette de dériver les fonctions puissance puisque les fonctions puissances sont **définies** à partir de la constante de néper et du logarithme népérien. Il n'y a rien de surprenant à ce que "pour tout x,y € IR, x^y = e^(y ln x)" puisque c'est comme cela qu'on a défini x^y. Ce qui est intéressant néanmoins c'est que cela offre un prolongement unique des puissances à exposant entier.
Soit :
(1 + iπ/n)^n = e^ln( (1 + iπ/n)^n )
= e^n*ln(1 + iπ/n)
or : lim n→+∞ (iπ/n) = 0
Donc, par équivalence (en +∞) / ou par DL1 de ln(1 + x) lorsque x→0, on obtient lorsque n→+∞ :
ln(1 + iπ/n) ~ iπ/n
i.e : n*ln(1 + iπ/n) ~ n*iπ/n
d'où : n*ln(1 + iπ/n) ~ iπ
donc: lim n→+∞ (n*ln(1 + iπ/n) ) = iπ
Alors on peut écrire :
lim n→+∞ (e^n*ln(1 + iπ/n) ) = e^iπ
i.e : e^iπ = lim n→+∞ ((1 + iπ/n)^n)
On a donc bien montrer que e^iπ = -1
On peut en déduit donc, à partir de cette égalité, que :
e^iπ + 1 = 0
Qu'est-ce qui vous dit que ln((1+iπ/n)^n) est bien défini ? Comment le définissez-vous ?
la Moivre solution m'a toujours rebuté genre ouvrir le rayon à la possibilité d'être un nombre complexe
on se demande ce que la Leibniz règle pense de ce calcul
Pour s'en convaincre en python:
x4 = numpy.arange(0,10,0.01)
y_exp = numpy.exp(x4)
y_10 = (1 + x4/10)**10
y_100 = (1 + x4/100)**100
y_1000 = (1 + x4/1000)**1000
plt.plot(x4, y_exp, 'k', x4, y_10, 'bs', x4, y_100, 'g^',x4,y_1000,'r--')
n = numpy.arange(1,100000,0.1)
y_demo = (1 + 1j * numpy.pi/n)**n
plt.scatter(y_demo.real,y_demo.imag)
Exellente video, Merci .
Bon (en étant un peu provocateur), exp(i*pi) n'existe pas au début. On peut s'arranger pour lui donner un sens (d'accord on ne fait pas n'importe comment, puisqu'on s'arrange pour que cela colle avec le reste) et ainsi on tire de cette définition que exp(i*pi) = -1. De là à dire que c'est une formule magique, je trouve que c'est un peu abusé. On peut voir cela comme une conséquence directe d'une définition non ?
belle explication ♥
La constante du signe d'égalité me semble la plus indispensable et jamais définie, la première fondamentale pour toute démonstration
Elle introduit la dimension du Temps comme une variable invariante en quelque sorte en double état quantique
Imaginons l'infini sans rien donc Tout, alors si je fais l'opération d'en extraire quoique ce soit, alors on comprend le signe = comme cette opérztion qui fait tout apparaitre selon les 2 états
Exemple : je sors 1 de l'infini donc je le fais apparaitre seul....1 = l'infini -1 , le 1 et -1 se distinguent en faisant apparaitre l'absolu valeur 1 sous 2 formes de 1 et -1 en même Temps et donc le signe de l'égalité est bien une opération primordiale en soi
En corollaire, on comprend que l'on arrive à exposer que l'on a :
1 et l'infini car rien n'est 0
soit aussi que 0 ne peut jamais être égal à 0
Ce que vous racontez est intéressant, mais ce n'est pas des mathématiques.
@@DanielBWilliams, exact, c'est une digression de réflexion personnelle, bonne continuation
J'ai une question. Qu il est le diamètre du cercle que fait la moto ???? si on tourne le volant de alpha degré ? Ce " phénomène " me paraît très compliqué. Merci
Ça revient à chercher le diamètre d'un arc de cercle avec l'équerre et le compas .
@@souffleuresurlesbraises678 essaie d essayer. Ca donne rien
Bon travail
la question supplémentaire encore vient de ce que je pige pas comment dire que 2pi et 2ipi ont la meme circonférence (le Probleme traumatisme depuis l'enfance rapport au sens des aiguille d'une montre)
Tu connais le module ?
@@phixi7417 là tout de suite ni un peu est pas du tout
@@phixi7417 merci de m'avoir relancé à derechef CHEMAH HAWDA ton exposé
pour la demo de la limite de (e) à la puissance (x), est ce que le D.L. de Ln(1+x/n) = x - x²/(2xn) + x3/(3.n²)...... qui conduit à lim n.Ln(1+x/n) = x et donc conduit à ce qu'on cherche à démontrer exp(x) = lim (1+x/n).puis(n) constitue t'il une démo suffisante?
Oui je pense. Et en fait il suffit de dire que ln(1+x/n) est équivalent à x/n pour faire la limite, et donc pour une démo précise il faudrait montrer cette équivalence
Si on fait passer le 1dans l autre côté, on obtient eipi=- 1 Est-ce que la formule reste toujours belle ?
Merci!
J'ai rien compris mais j'ai bac-2 , cependant de tête c'est -1 ?
La plus belle formule des maths c'est la formule de Brook Taylor : si f est C(n+1), alors f(b)=f(a)+(b-a)f'(x)+((b-a)^2/2!)f''(a)+((b-a)^3/3!)f'''(a)+...+((b-a)^n/n!)f[n](a)+int(a,b,((b-t)^n/n!)f[n+1](t)dt)… Cette formule est incroyable.
Et les intégrales de Laguerre ! C'est beau aussi !