Сложная тригонометрия cosx+cosy-cos(x+y)=3/2
ฝัง
- เผยแพร่เมื่อ 5 ก.พ. 2025
- Задание для поступающих в вузы.
Индивидуальные занятия по Скайпу для школьников, студентов, учителей, репетиторов. ЕГЭ, ОГЭ, высшая математика. Начальный уровень значения не имеет.
Поддержать Проект: donationalerts....
Новая Группа ВКонтакте: volkovv...
Почта: uroki64@mail.ru
Решите уравнение: cosx+cosy-cos(x+y)=3/2.
Формулы для синуса и косинуса через тангенс половинного угла здесь: • Синус и косинус через ...
Трудно догадаться до такого решения. Спасибо за подробный разбор.
Valery volkov, я сумму первых двух косинусов преобразовал в произведение ( получилось 2cos(x+y)/2*cos(x-y)/2)
Далее я сделал замену (x+y)/2=a, (x-y)/2=b ( тогда уравнение бкдет иметь вид: 2cosa*cosb-2cos2a=0.5
Расписываем еосинус двойного угла и приводим подобные слагаемые ( получится уравнение: 2cos^2a-2cosa*cosb+0.5=0)
Сделаем замену cosa=t, cosb=v (t и v изменяются от -1 до 1) и умножим уравнение на 2)
Тогда получится след. уравнение : 4t^2-4at+1=0
Оно квадратное относительно t и чтобы оно имело решения, нужно потребовать неотрицательности дискрименанта (тоесть 4v^2-4 должно быть больше 0, откуда v находится а пределах от минус бесконечности до -1 и от 1 до плюс бесконечности
Но у нас v должно находится га отрезке от -1 до 1 следовательно нас устраивает только v=-1 и v=1
Подставляем эти значения в квадратное уравнение и находим t
Далее делаем обратные замены и находим сначала b и а, ну а затем соответственно х и у
Ответ получился такой же. Писал мног, надеясь четко изьяснить мысль. Надеюсь четко изьяснил
Красавчик! У Сергея Кузина есть разбор, но он сделал его позже твоего комментария. Могу сказать, что ты достаточно хорошо шаришь.
Эту задачу предлагали для поступающих в МГУ в 1966 году. Спасибо!
Самый лучший канал с понятными разборами
Спасибо, по факту оказалось всё просто!
Ставлю большой лайк.
ШИКАРНО!!!
рисуем систему координат xy0,
ставим точку по оси х 3 (три) , по оси y 2 (два)
рисуем через эту точку синусоиду
смотрим на красивую картинку, и думаем, зачем чего тут решать? и так все наглядно.
Минуточку.
С какой стати мы приравниваем к нулю каждую скобку квадрата суммы?
Вот если бы вместо суммы стояло умножение, тогда согласен, приравнять к нулю.
Вот этот момент объясните!
Не каждую скобку квадрата суммы, а каждую скобку суммы квадратов суммы и разности разных выражений. Считаем решения только в действительных числах. Тогда квадрат чего-либо больше или равен нулю. Имеем сумму двух квадратов, которая равна нулю. Но ни один из слагаемых не может быть меньше нулю. А их сумма при этом равна нулю. Значит, каждый из слагаемых равен нулю. ЧТД.
Комплексные решения не рассматриваем. А то пришлось бы ещё рассматривать ничем не ограниченный косинус, который на комплексной плоскости принимает все комплексные значения, т.е. не только >1 и
супер
Явно задача на экстремум, видимо в таких случаях надо сначала поискать эскстремум функции он явно и будет 3/2 и доказать потом что придругих х и у решений нет (ибо функция меньше) Так проще и надежнее.
А я пытался перейти к решению, найдя пересечение с осью x, методом подстановки числа n ( равного нулю) но в итоге получил пустое множество.
Valery Volkov, можно ли предложить свое решение данного уравнения и прислать на почту?
Пишите своё решение здесь в комментариях.
Как решить x=cosx ?
Получить значение Х в явном виде
численным методом только
вроде нельзя его решить,только приближенное значение вычислить.
Поскольку cos раскладывается в бесконечный ряд Тейлора, то в комплексной плоскости будет бесконечное количество решений. А вот на действительной оси - не знаю, будет ли хоть одно решение. Да и насчёт комплексных: назвать не смогу, хоть и знаю, что они разобьются на пары комплексно-сопряжённых.
Для синуса одно из действительных решений сразу очевидно: sin0=0, а для косинуса не знаю
вот есть у тебя на экзамене 20 минут. Ты не уверен что подобные выкладки приведут к красивому полному квадрату. Делать их или не делать? Игра в покер.
Можно решить гораздо проще
На экзамене такого не будет никогда
@@mathbyautistdimag.9330 как?
@@mathbyautistdimag.9330 покажи
@@МишаХарченко-в4н Показывать особо нечего, все дело в изначальном подходе к заданию, подобно тому, как в ур-ях с параметром мы сначала проверяем простейшие значения 0, 1, так же и в подобных случаях следует перебрать такие пары, в частности, случай, когда x=y, это, как окажется, то, что нам и нужно.
слабо решить не убегая от тригонометрии? я пошел по формуле разности косинусов для cosx-cos(x+y), а потом использовал формулу двойного косинуса для cos(2y/2), далее вышел на уравнение вида: Sin(y/2)*[Sin(x+y/2)-Sin(y/2)]=1/4, думаю это имеет смысл, иии Валерий, в математике нет такого термина, как готовая формула! предварительно все формулы вывел))