Quelques détails en plus... (1) toutes les constructions présentées ici ne reposent que sur la théorie Z de Zermelo. Elles ne nécessitent donc ni les deux axiomes apportés par Fraenkel, ni l'axiome du choix. L'axiome de fondation est aussi inutile. (2) Il y a une coquille dans l'axiome de l'union. La bonne formule : ∀X∃U∀z (z∈U ⇔ ∃Y(Y∈X ∧ z∈Y)) (3) À 28:24 ce n'est pas très clair parce que ce que je dis n'est pas ce que j'ai écrit :( Au montage je me suis dit que c'était plus clair de ne considérer que l'ensemble de gauche, l'ensemble de droite étant son complément. Les deux constructions sont techniquement distinctes, mais elles sont isomorphes (cf épisode 21). Concernant ce qui est écrit : l'intuition est que tout élément de l'ensemble A est à gauche du complément de B, et vice-versa. (4) Plusieurs ont fait la remarque qu'avec ma définition de Add, ce n'était pas clair que l'addition donne toujours un et un seul résultat. En effet, ce n'est pas clair. Mais on peut le prouver (et à ma connaissance, la définition que j'ai donnée est le seul moyen d'y arriver). Pour cela, soit Y l'ensemble des y pour lesquels, pour tout x, il existe un unique z tel que (x,y,z). On va montrer par récurrence sur y que Y=ℕ. Pour cela, on commence par montrer que si (x,0,z)∈Add, alors x=z. On y va par l'absurde (aïe l'intuitionniste en moi n'aime pas ça...). Supposons (x,0,z)∈Add avec x≠z. Alors, on peut construire X=Add-{(x,0,z)}. Mais X satisfait alors encore les axiomes de Peano pour l'addition. Voilà qui contredit le fait que Add est le plus petit ensemble à ce faire. Contradiction. Donc 0∈Y. Passons à l'hérédité. Supposons y∈Y, i.e. si (x,y,z)∈Add et (x,y,w)∈Add, alors z=w. Par l'absurde, si (x,Sy,u)∈Add et (x,Sy,v)∈Add alors au moins u ou v n'est pas Sz. Disons que c'est u. Mais on peut alors construire X=Add-{(x,Sy,u)}, et X satisfait alors les axiomes de Peano tout en étant strictement inclus dans Add : contradiction. Donc Sy∈Y. Par récurrence, on conclut Y=ℕ. CQFD. Plus de détails ici : www.math.wustl.edu/~chi/310notesV.pdf (5) Une référence pour tout reprendre à zéro : www.amazon.fr/Introduction-%C3%A0-th%C3%A9orie-ensembles-Halmos/dp/2876471264
Merci, je ne comprenais pas l'axiome de l'union, ça ne voulait rien dire :) Il me semble que la phrase que tu prononces au même instant est également erronée: Tu dis "si j'ai un ensemble x je peux prendre l'union des éléments de x" "Or n'est-ce pas plutôt "si j'ai un ensemble x, je peux prendre l'union des objets qui sont éléments d'un élément de x" Exemple, si j'ai un ensemble x={ {a,b},{c} } alors l'axiome me dit qu'il existe z={a,b,c} non ?
"L'union des éléments de x" est bien {a,b,c} dans ton exemple "L'union des objets qui sont éléments d'un élément de x" correspondrait à l'union de a,b,c, c'est à dire l'ensemble des éléments de a;b;c
Incroyable travail ! Des vidéos très travaillées pédagogiquement, de très bonnes qualités, qui font découvrir des domaines nouveaux, sans trop rentrer dans le formalisme. Vraiment, toutes mes félicitations pour ce travail accompli !
je vous remerciie beucoup pour l'effort que vous faites pour les diiférentes videos ..j'étais en classe prépa MP mais j'ai vraiment appris beaucoup de choses à propos des mathématiques en regardant tes videos surtout l'histoire des maths et l'enchainement historique pour arriver au maths moderne chui un fan marocain merciiiiiiiiiiiii et continue votre travail bonne année aussi :)
Malgré le fait que je fasse de la programmation informatique et que donc je comprends la notion d'objets et d'enchevêtrements d'objets, je n'ai jamais autant mis "pause" sur une vidéo pour être certain de ne rien louper. Cette théorie Z m'émerveille mais me retourne également le cerveau ^^
je trouve ta vidéo super bien faite, je n'ai eus aucun problème de compréhension, cette episode hardcore était très intéressant (je n'ai que 15 ans et je suis en 2nd), et je trouve que tu es un très bon vulgarisateur.
Ce genre de vidéo est géniale, merci pour ton effort, vraiment ça fait plaisir de voir ce genre de vulgarisation ! Aurais-tu moyen un jour de parler des arbres de preuves en logique ? En gros montrer ce qu'est une démonstration en mathématique. En essayant d'expliquer les différents axiomes logiques ? En insistant lourdement sur l'axiome du raisonnement par l'absurde si possible :) Ou alors faire un episode hardcore sur la récurrence structurelle pour expliquer comment prouver qu'un arbre ou une liste en informatique possède bien une certaine propriétée ?
On va parler du raisonnement par l'absurde. Mais pas en mode Hardcore :( La prochaine série pourrait être sur l'informatique... Ça ne dépendra pas de moi, mais de vous ^^
Merci, encore une fois je me suis régalé, d'autant plus que j'ai enfin compris (grâce à l'épisode 19/ZFC), pourquoi je ne comprenais rien aux maths de mes enfants... pas d'ensemble, pas de relation,... je me demande comment ils font. Moi j'ai eu les "maths modernes" depuis le CE1, j'en suis sorti vivant et même assez content, et surtout cette vidéo Zermelo me replonge dans ma jeunesse 😀😀😀merci ! Vivement 2017 !!
Une bonne vidéo sur un sujet peu abordé. je conseille fortement la lecture de "introduction a la theorie des ensembles" de Halmos qui est extremement clair et qui a pour seul defaut de ne pas aborder la construction de Z Q et R qui est généralement abordé en cours. il utilise la definition des fonction par induction qui permet de definir addition et multiplication facilement (mais tu n avais pas le temps de l aborder comme ca c est sur)
je trouve ça génial ! tout ce que tu fais dans cette vidéo est magnifique ! C'est vraiment des maths que je trouve intéressants :) D'ailleurs avec ma prof d'algèbre on a vu une construction de C utilisant des Matrices, et toi même tu nous présente plusieurs constructions de C et de R. Existe-il aussi d'autre constructions pour N,Z et Q ?
Bonjour, j'ai plusieurs questions suite au visionnage de ta vidéo. 1) Qu'est-ce qu'un ensemble, si ZFC ne le définit pas ? 2) Comment sont définis "pour tout" et "il existe" ? Je comprends que ce sont des symboles qu'on s'autorise à utiliser selon des axiomes de logique, mais bien souvent quand on prouve quelque chose avec le "pour tout", on fait appel à notre intuition "et voilà, tous les objets vérifient ça, donc on a le pour tout". Je trouve ça peu rigoureux, et pourtant on l'utilise quotidiennement en mathématiques, c'est dommage. 3) Comme sont définis = et € ? Pourquoi ne pas définir = avec l'axiome extensionnalité au lieu de devoir le prendre en plus, et pourquoi une simple implication et non une équivalence ? 4) Comment définit-on une formule P(x) sans la notion de fonction / d'application ? En soit, quels sont ces objets que l'on peut invoquer avec des pour tous et des il existe, sans les avoir définis ? 5) Pourquoi définir les fonctions comme juste leur graphe, et non pas en prenant en plus l'ensemble de départ et l'ensemble d'arrivée ? Sinon, comment distinguer une fonction qui part de R par exemple d'une fonction qui part de N, par rapport à la surjectivité par exemple. Merci :)
Pour les premiers questions, j ai évité de me poser des questions pour perdre trop de temps, dc j peux pas trop aider. 5) Il me semble que on construit une application comme suit Soit E, F, deux ensembles, et G \in E x F, un graphe fonctionnel. On définit f = (E, F, G) (ou (G, E, F) peut importe), et on appelle f une fonction de E dans F. f est une application ssi pour tout x de E il existe un y de F tel que (x, y) est dans G. F^E désigne l'ensemble des graphes de E ds F (c est un sous ensemble de P(ExF) F(E, F) désigne l'ensemble des applications de E ds F (c est un sous ensemble de P(ExF)xP(E)xP(F))
Hello ! Je ne peux que recommander de (re)voir l'épisode 13 : th-cam.com/video/oKprCgIKWxo/w-d-xo.html Tout n'est qu'un jeu de symbole et de règles de manipulation des symboles. Du coup, (1) Il n'y a pas de mots dans ZFC, donc pas "d'ensemble". Mais on interprète les objets de la théorie comme des ensembles. C'est très pratique parce que ça nous permet d'utiliser nos intuitions, mais c'est aussi très dangereux car les objets de la théorie ne se comportent pas tout à fait comme des ensembles. (2) Les symboles ∀ et ∃ ne sont que des symboles. Le fait qu'ils puissent s'interpréter comme "pour tout" et "il existe" est un abus de langage qui a lui aussi causé des problèmes. Il conduira notamment à l'avénement de la logique intuitionniste dont on reparlera ;) (3) Il n'y a pas de définition. Ce ne sont que des symboles. Le signe "=" est toutefois un peu particulier, car des règles logiques lui sont associés. Ainsi, si une formule P(x) est vraie et si x=y, alors P(y) est vraie aussi. (4) P(x) n'est pas une fonction, ni une application. Il s'agit d'un raccourci de notation, pour remplacer une formule logique plus longue comme ∀y ¬(x∈y). (5) Je ne suis pas sûr de comprendre la question... J'espère que ça aide.
Salut, merci de ta réponse :) 1) Je crois comprendre, mais qu'entends-tu par "ne se comportent pas tout à fait comme des ensembles." ? Quels sont ces ensembles par rapport auxquels les objets de ZFC ne se comportent pas tout à fait comme ? 2) D'accord, merci :D J'ai vraiment hâte de voir ça, car ça me tourmente beaucoup la nuit haha 3) J'aurais vraiment cru qu'en partant de ZFC, on n'avait besoin que du symbole d'appartenance, et ainsi, comme on ne manipule que des ensemble, l'égalité se définit avec "E=F (∀x∈E, x∈F) ∧(∀x∈F, x∈E)". 4) Oui, mais du coup, comment donner un sens rigoureux au fait que ça "dépende de x" ? 5) Louis JX y a répondu je pense: je me demandais pourquoi tu définirais une fonction comme une partie de ExF (avec E l'ensemble de départ, et F l'ensemble d'arrivée), donc un graphe, et non un triplet (E;F;G) où E est l'ensemble de départ, F l'ensemble d'arrivé et G une partie de ExF. Ce qui me dérange dans le fait de dire que c'est juste un graphe, c'est qu'on ne distingue alors pas par exemple la fonction R----->R x|----->x² de la fonction R---->R+ x|----->x² Elles ont le même graphe, mais l'une est surjective et l'autre non.
Bonjour Lê, merci pour cette très bonne vidéo, comme toujours au top. Question : Est ce que tu connais la théorie des catégories et est ce que tu pourrais envisager un épisode hardcore pour la présenter comme alternative à ZFC comme fondement des mathématiques ? Je suis également fasciné par les topos de Grothendieck et la relation entre espace et logique. Malheureusement n'étant pas du tout mathématicien je suis assez frustré de ne pas du tout pouvoir avoir accès à toutes ces notions, est ce qu'il est possible de vulgariser "tout ça" ? 🙂
Malheureusement, les topos de Grothendieck, ça me dépasse. Quant à la théorie des catégories, je ne suis pas assez familier avec elle pour en voir la pertinence comme fondement des mathématiques (même si j'en connais quelques idées de base)... En revanche, le prochain Hardcore sera une autre alternative à ZFC : la théorie des types ;)
Une vidéo génial, comme toujours qui donne envie de faire des maths. Aurait-tu quelques bon ouvrages sur le sujet, aussi bien introductif que n'hésitant pas à poussé un peu plus dans le détail, j'aimerai pouvoir me plonger dans les démonstrations pour bien les comprendre. Éventuellement des références de publications sur le sujet peuvent être intéressante. Merci pour ce travail fantastique.
Il y a quelques éléments dans le commentaire étiqueté. Malheureusement, je n'ai pas de bonnes références à conseiller. Mon apprentissage de ZFC a été un peu chaotique et des sites comme Math Overflow ou Math Stack Exchange ont beaucoup aidé :)
à quand un nouvel hardcore ? j'imagine qu'il y a des mathématiques un peu plus velues dans le domaine de l'IA qui pourraient faire une bonne vidéo ? Ca me manque ! Merci lê pour cette chaine !
J'ai pris pas mal de temps à comprendre l'axiome à cause de ça, je suis descendu dans les commentaires dans l'espoir de voir qu'il s'agissait d'une typo haha
J'allais parler de la nature logique du symbole d'égalité, implicitement supposé satisfaire les axiomes de l'égalité pour effectivement se comporter comme la vraie égalité intuitive, mais je vois que TheMaxtimax l'a déjà mentionné. A part ça, la vidéo illustre le caractère un peu pénible de l'approche, qui fait appel sans le dire à des concepts d'algèbre générale comme celui de sous-algèbre minimale, qu'on s'embête à redémontrer au passage dans des cas particuliers. Je trouve plus élégant de commencer par démontrer de tels résultats dans le cas général pour ensuite en déduire les constructions des entiers et les définitions récursives comme cas particuliers. En effet cela fournit ainsi directement des bagages puissants utiles pour continuer l'apprentissage de l'algèbre au lieu de devoir ensuite les reprendre à zéro. Je développe mon approche partant d'une variante de la théorie des ensembles qui admet au départ les concepts de fonctions et de couples pour ne pas avoir à en présenter une construction à partir d'ensembles en fait complètement inutile. De plus je regroupe certains axiomes comme conséquence d'un principe unique dont je démontre ensuite la validité philosophique basée sur un concept intuitif précis d'ensemble au-delà d'une axiomatique particulière. De là, les différentes utilisations de l'axiome des parties dans les constructions suivant l'approche ZF n'apparaissent plus comme "équivalentes" puisque certaines apparaissent comme "mieux justifiées" à savoir ayant une "signification objective" indépendante de l'univers, contrairement à ce qui dépend fondamentalement de l'axiome des parties au sens d'être en fait relatif et sujet au paradoxe de Skolem. Donc, le début en français sur settheory.net/fr/ et la suite (algèbre générale et construction de l'ensemble des entiers) seulement en anglais pour le moment (désolé).
Salut Lê et merci pour tes vidéos ! Petite question : Quand tu introduis N, tu fais finalement appel à la classe des ensembles inductifs contenant zéro (vers 14:30). A-t-on le droit de faire ça ? Tout dépend finalement de ce qu'on appelle "formuler une proposition dans le langage de ZFC", ce qui reste encore assez obscur pour moi ! Merci d'éclairer ma lanterne ! (Au passage, on peut définir N comme l'intersection des parties de I inductives et contenant zéro, qui est bien un ensemble pour le coup, pour contourner le souci, non ?)
C'est une classe intuitive, mais définissable dans ZFC par un prédicat P de son langage, i.e. formellement il suffit d'écrire qqsoit X (PX=>blabla) pour conceptuellement quantifier universellement sur cette classe 😊 et sinon oui, on peut n'utilise en fait que les parties de I... Mais du coup inutile de le préciser dans la définition de |N 😉 il faut juste penser qu'on peut si restreindre si besoin pour montrer l'appartenance à |N d'un individu!
Salut, excellente vidéo comme d'habitude :) Dans la version plus compliqué de l'axiome de l'union, j'ai l'impression que à la fin ça devrait être "z appartient à Y" et pas "z appartient à X" ? Est-ce que on pourrait définir N en le notant comme la restriction de I avec la propriété "pour tout x dans N, x est l'ensemble vide ou il existe y tel que x = Sy" et "pour tout sous-ensemble X de N, il existe y appartenant à X tel que pour tout x, Sx différent de y". Avec ça on s'assure de retirer les branches qui commence par autre chose que l'ensemble vide et dans le même temps on retire les branches infinis dans le sens des antécédents et qui bouclent sur elle-même. Après j'ai peut être oublié certains cas de "branches".
Petite question au sujet de la construction de R via les suites de Cauchy, comment peut on être sûr que pour chaque irrationnel il existera une classe de suite de Cauchy le représentant ? De plus, comment sait on que la relation d'ordre est préservée ? Et existe il une classe de suite de Cauchy associée à chaque rationnel ?
Bonjour, une question m'est venu en t'entendant parler de "théorème" de récurrence. C'est qu'on m'a toujours appris à conclure mes récurrences par le ''principe'' de récurrence. Et pourtant on nous demande souvent, lorsque l'on est étudiant, de citer précisément les théorèmes utilisés. Y-a t-il une différence fondamentale entre principe et théorème ? Est-ce un abus de langage ? Merci
Je pense que c'est juste un abus de langage. Le côté "principe de récurrence" me semble vouloir dire que c'est vraiment fondamental, tandis que "théorème de récurrence" me semble vouloir dire qu'on le déduit des axiomes.
C'est pas un axiome chez Peano, le principe de récurrence ? Ici on voit en tout cas que c'est "quasi" un axiome, en tout cas ca découle directement de la construction de N ...
@@yk4r599 c’est vrai que les élèves étaient largués ( l’extrême majorité je crois ), c’était un peu extrême comme reforme pour les maths, mais aujourd’hui c’est l’inverse c’est très simple, il faudrait trouver un juste milieux
Alors pour commencer, merci pour la vidéo. J'ai toutefois une question : Tu dis vers 12:20 que ZFC est une logique du premier ordre, donc on peut appliquer le théoreme de Completude de Godel, du coup, est-ce que cela veut dire ZFC est complet (tous les énoncés vrais sont prouvables si j'ai bien compris). Mais, si j'ai bien compris, ZFC contient l'arithmétique, du coup, d'après une vidéo précédente, ZFC ne peut pas être complet (théorème d"incompletude de Godel). Du coup, ZFC est complet ou pas? Etqu'est-ce que j'ai mal compris?
Lionel GUEZ la théorie est complète, au sens que si quelque chose est vrai dans tous ses modèles, alors il est démontrable. Elle est incomplète au sens où certaines propositions ne peuvent pas être démontré comme vrai ou fausse, car il existe des modèles ou elles sont vraies et des modèles ou elles sont fausses.
Merci pour la réponse. Mais du coup, cela veut dire que vu que le théorème de Goodstein (cf une précédente vidéo) ne peut pas être démontré via les axiomes de l'arithmetique de Peano (on doit passer par les ordinaux), il existe un modèle dans lequel le théoreme de Goodstein est faux ?? Si c'est le cas, cela me parait étrange, le théorème ne peut pas à la fois etre vrai et faux. Ou alors, j'ai mal compris une chose.... (c'est certainement ça)
Le théorème de Goodstein ne peut pas être démontré à partir des axiomes de Peano, ainsi que sa négation (très important). Ce théorème est donc indécidable dans le cadre de cette théorie. Ajouter ce théorème à la théorie ou ajouter la négation de ce théorème à la théorie, ne modifiera pas la valeur de cohérence de la théorie. Par le théorème de complétude de Gödel, il existe un modèle de la théorie dans lequel le théorème est faux.
a ok... Donc le théorème de Goodstein peut être faux dans un modèle, ca me parait tordu (comment une suite peut ne pas tendre vers 0 dans un modèle..) Je tâcherai de me renseigner sur le net. Merci en tout cas!!!!
Super video comme d'hab ;) Pour une fois j'ai tout compris dans ton épisode hardcore (sauf la fin sur C mais bon osef) par contre qu'est-ce que ça veut dire le symbole tripe égal exactement ? j'ai bien une petite idée mais je suis pas trop sur ...
C'est en gros pareil. Simplement est un connecteur logique donc à la base va noter l'équivalence de prédicats alors que ≡ est utilisé pour dire que deux assertions donc "phrases" sont équivalentes. En gros, quand il y a un ≡ c'est pour clairement signifier qu'il y a deux formules, à gauche et à droite de l'équivalence, alors que quand on croise un c'est dans une seule est même formule.
super vidéo je voudrais juste savoir si j'ai bien compris, l'objet add comprend bien tous les résultats de toutes le additions de nombre entiers possible c'est ça ? désolé je suis qu'en première année de prépa je suis pas bien à l'aise avec ces théories ^^
En gros, add va être une espèce de table d'addition. Donc il comprend à chaque trois nombre: un nombre "à gauche du symbole +", un nombre "à droite du symbole +", et enfin le résultat. C'est condensé sous la forme d'un triplet (g;d;r) qui représente l'addition g+d=r.
Rien à voir avec ta vidéo mais, par rapport au fait que le sol accélère vers le haut, est-ce que l'on peut se servir un verre d'eau dans un avion (puisque l'eau est "immobile" et que c le sol qui "bouge") ?? Force "centrifuge" en jeu?
Bonjour, très intéressante vidéo! Il y'a un point qui me trouble un peu, c'est lorsque tu parles de l'objet Add, tu démontres que pourtout(x)pourtout(y) il existe(z) tq (x,y,z)appartient à Add, mais tu ne parles pas du tout de l'unicité de z (vu comment add est défini elle ne me semble pas complètement évidente), pourtant elle est nécessaire pour démontrer la transitivité de R non?
Il suffit alors de poser que l'ancien N est désuet, et de définir un nouveau N, comme étant l'ensemble des éléments de Z qui sont supérieurs ou égaux à 0.
Parfait tout est clair !! Merci pour tes vidéos ! ça me fait vraiment plaisir de voir des maths hardcore (ça c'est du hardcore, je te l'accorde U_U ) sur TH-cam: des voir des gens qui l'expliquent aussi habilement que toi, et de voir des gens qui s'y intéressent. J'ai fait prépa puis école d'ingénieur et je serais bientôt diplômé... je me suis un peu éloigné de tout ça. Tes vidéos me redonne encore une fois ce plaisir de faire des vrais Maths , Merci ! :D Merci aussi pour l'attention et le temps que tu accordes à ta communauté !
perimgui oui mais est ce que tous les théorèmes démontrés sur les entiers de N ont un théorème équivalent qui demontre la même proposition sur les entiers de Z ou R? ca serait dommage de tout redemontrer à chaque fois que l on étend l ensemble des nombres.
Vu que les différents ensembles de nombres ne définissent pas pareil, ça veut dire que les nombres ne sont pas vraiment les mêmes ? Notamment les entiers naturels sont une union de deux éléments tandis que les entiers relatifs sont des classes d'équivalence, ça veut dire que 2€N c'est pas le même que 2€Z ?
Tout à fait! 😊 C'est pourquoi je préfère définir chaque nouvel ensemble de nombres avec une étape supplémentaire, remplaçant ces nouvelles copies par leurs originaux déjà construits précédemment! 😊
Construction la plus rapide des complexes : on assimile *C* au plan vectoriel réel formé par la matrice d'identité de côté 2 notée _X_ et la matrice de rotation d'angle π/2 notée _Y_. Ainsi, tout nombre complexe est représenté comme une matrice carrée à coefficients réels pouvant s'écrire sous la forme _x X_ + _y Y_ avec _x_ et _y_ réels. L'addition, la multiplication et i² = −1 sont alors toutes triviales. Pour les quaternions, tu fais pareil avec les trois matrices de rotation de côté 3 et d'angle π/2.
Salut! Tu dis que les objets de ZFC ne sont pas des "ensembles" (au sens intuitif qu'on en a), et qu'il faut faire attention car sinon on aboutirait au paradoxe de Russell. Pourtant les objets mathématiques que nous appelons "ensemble" au sens mathématique, SONT les objets de ZFC (ou pas?). Cela veut-il dire que l'on peut en effet créer l'ensemble de tous les ensemble, si par "ensemble" on entend "objet de ZFC" ?
Salut! L'idée de ZFC (et de toute approche axiomatique), c'est d'oublier tout mot du langage français (ou anglais ou whatever). Une fois que l'on a construit des objets dans ZFC, on peut dire de ces objets qu'ils se comportent "comme des ensembles", et, en vertu de la citation de Poincaré, aller jusqu'à considérer qu'ils sont des ensembles. Cependant, ils resteront distincts des "ensembles intuitifs". En particulier, non, on ne peut pas construire un ensemble de tous les ensembles dans ZFC, même si on sent que l'on peut construire un "ensemble intuitif" de tous les "ensembles intuitifs". Je ne sais pas si ça aide. Mais tl;dr attention aux mots. Ce sont des faux amis.
Merci pour ta clarification, j'avais inversé l'interprétation que tu en donnais à la base. J'en profite pour te remercier énormément pour ta série de vidéos, qui, bien que je sois en L3 de maths, me font redécouvrir les maths d'une autre manière, d'un point de vue non scolaire, et me donnent vraiment envie d'en apprendre toujours plus! C'est un super boulot que tu as fais sur cette série :)
Je me demande si pour définir la division il ne suffit pas de définir l'ensemble q ? Enfin même si l'ensemble q ne définit pas les solutions mais defini bien des nombres qui sont des divisions.
Bonjour, Petite question au sujet de la preuve par récurrence. La preuve que la plupart des livres de logique mettent en avant dans ZFC avec la logique classique, c'est de faire l'utilisation de la preuve par l'absurde avec l'axiome de compréhension. Cette preuve est d'ailleurs reprise dans les éléments de mathématique de Bourbaki dans sa théorie des ensembles. Voici la preuve : Posons A := P(0) Posons B := P(n) => P(n+1) Posons C := A ^ B => Pour tout n appartenant aux naturels, P(n) Réécrivons d'abord C sous la forme équivalent de l'implication : C := non(A ^ B) V Pour tout n appartenant aux naturels, P(n) Posons maintenant non(C), et cherchons ensuite une contradiction : non(C) := non(non(A ^ B) V Pour tout n appartenant aux naturels, P(n)) non(C) := (A^B) ^ Il existe un n appartenant aux naturels, non(P(n)) Supposons que non(C) est vraie. Cela signifie qu'il existe au moins un naturel pour lequel P(n) est faux. On peut donc utiliser l'axiome de compehension : F = {n appartenant à N | non(P)} Comme non(C) nous dit que A est vraie, cela signifie que P(0) est vraie, et donc que 0 n'appartient pas à F. F ne contient donc que des entiers > 0. De plus F est un sous ensemble de N et hérite donc de sa relation d'ordre, ainsi, on sait que tout sous ensemble de N contient un plus petit élément, donc F contient un plus petit élément, notons le m : m = min(F) On sait que m est forcément > 0. On peut donc prendre m-1, car ce nombre naturel existe forcément, posons n : n := m-1 On, nous savons que m appartient à F, donc P(m) est faux. On sait que n n'appartient pas à F car m était le plus petit élément de F. Donc P(n) est vrai. Or, d'après non(C), nous savons que B est vrai, et donc que pour un entier x fixé, P(x)=>P(x+1). Ainsi, P(n)=>P(m) Or, cette implication est fausse, en effet, P(n) est vrai et P(m) est faux. Donc B est forcément faux. Or non(C) nous dit que B est forcément vrai, nous aboutissons à une contradiction : non(C) => (B ^ non(B)) donc non(non(C)) V (B ^ non(B)) donc C V FAUX Or FAUX est neutre pour le ou : C v FAUX C Ainsi, nous pouvons voir que C est forcément vrai. Et donc que si A^B est vrai, alors pour tout n appartenant aux naturels, P(n) est vrai. Cette preuve repose sur l'axiome de logique de l'absurde et sur la relation d'ordre des naturels. Elle est plus longue mais semble être reprise dans de nombreux ouvrages, et même par Bourbaki, pourquoi ?
Pour être hardcore, ça l'est. J'ai beau avoir un bac S, je ne comprends pas grand chose. On nous apprend quoi au lycée en fait ? Et pourtant, je regarde et écoute le plus attentivement possible, ça reste un plaisir de découvrir ce monde si abstrait, limite poétique, alors que je ne suis pas familier avec toutes ces notions. De la logique mathématique pure, cela manque vraiment à notre système éducatif, plutôt que de bourrer le crâne des gosses en les forçant à apprendre bêtement les tables de multiplication par cœur alors que 4 touches sur une calculatrice suffisent à avoir le résultat.
Hmm, je dirais qu'au lycée, c'est plus un bagage culturel sans vraiment de rigueur, qui permet à ceux qui veulent faire d'autres sciences d'avoir les outils pour elles, et pour ceux qui veulent faire des maths, d'avoir les réflexes pour aller vite, et comprendre les enjeux des mathématiques (ce qu'est une fonction, un nombre complexe, la dérivation, les vecteurs, etc).
Au lycée, on apprend juste ce que les anglophones appellent _Calculus_, c'est-à-dire les règles calculatoires pour les limites, dérivées et intégrales (on trouve parfois le terme « calcul infinitésimal »). L'aspect ontologique (ce que sont les réels, pourquoi les opérations sont bien définies etc.) est l'analyse réelle pure et ça n'est fait correctement qu'en licence ou en prépa. C'est clair qu'en évinçant l'algèbre générale et linéaire, la théorie des ensembles et les équations différentielles, le lycée sert plus à grand chose (Sans les équa-diffs, on est obligés d'attrophier à mort le programme de physique à côté et de combler les trous par de la chimie tellement inutile pour un scientifique généraliste qu'on n'en fait même pas en math spé...).
La notion de logique mathématique pure n'est pas très sexy pour les jeunes, c'est tout. Je pense que le lycée cherche plus à "former" l'étudiant à pouvoir tout faire, faire une formation généraliste. Tu peux très bien faire avocat ou chimiste après un bac s. Après Craki, la chimie inutile pour un scientifique généraliste, ça dépend de ce que tu entend par généraliste... :( Mais de toute façon vu le niveau ridicule de chimie qu'on voit au lycée, autant ne pas perdre son temps et faire directement de la physique ou des maths plus poussées, j'suis d'accord.
@@remirossello6379 il explique bien parce que même au lycée on vois pas ça donc c'est normal qu'on arrive à comprendre un minimum, et donc c'est pas parce que tu comprends que le lycée ne sert à rien
@@remirossello6379 Je reviens dans ces commentaires un an après, la vidéo est beaucoup plus compréhensible après un début de prépa :p. Je pense que le lycée pourrait être mieux mais le bac S est un bon bagage, surtout que la chimie organique qu'on voit peut-être très utile. En plus, il faut du temps pour comprendre les notions de mathématiques, donc heureusement qu'on ne voit pas ça au lycée ^^'
Ca revient à dire qu'il y a plusieurs toi mais que vous vivez tous la meme chose au meme moment constitués des memes particules au meme endroit. En gros tu es unique
Oo Ok merci ! Balèze cet axiome... Au passage merci BEAUCOUP pour toutes ces vidéos pour assoifer des sciences tel que moi et beaucoup d'autres ! J'avoue ne pas tout comprendre mais je vois lentement la toile des maths qui se tisse lorsque j'appréhende un nouveau concept et c'est vraiment fascinant ! Merci !
Un régal, merci ! Nous conseilles-tu de dire que les ensembles sont des objets parce qu'il existe des objets qui ne sont pas des ensembles dans ZF ? Si oui quels objets par exemple ? Merci encore !
On peut appeler "ensembles" les objets de ZF, mais c'est juste une manière de parler. ZF a été construite de telle sorte que les objets s'utilisent "comme des ensembles" intuitifs. D'une certaine manière, on peut définir un ensemble comme un objet de ZF. Se demander si un objet de ZF est un ensemble n'a en fait pas de sens.
Je pense que tu réponds à la question que je m'étais posé à propos du rôle qu'a joué la diagonale Cantor pour la thérorie des ensembles et la thérorie d'incohérence.
C'etait tres interessant. Merci de prendre le temps de faire ce genre de videos. Question: on arrive-t-on vraiment a tout faire (ie les demonstrations de tous les resultats de cette video) sans l'axiome du choix? La construction que j'avais lu dans Naive Set Theory de Paul Halmos (de memoire, hein, c'etait il y a presque 20 ans), on construisait N par une relation d'inclusion et on passait a l'infini en utilisant le lemne de Zorn. D'ou la necessite de l'axiome du choix. Si on arrive a construire N sans utiliser l'axiome du choix, je comprends l'interet de cette approche.
Elle permet clairement de se passer de l'axiome du choix qui est relativement controversée, ce qui permet aux mathématiciens de ZF et ZFC d être en accord sur certains points de constructions
Bonjour. Merci pour cette video (qui remplace avantageusement le mauvais champagne pour le mal de tête de ce réveillon :) ). Plus sérieusement, c'est très intéressant et assez clair (après quelques visionnages) . J'ai par contre cherché un livre qui présenterait, en anglais ou en français (principalement sur Amazon) la théorie ZFC sans faire directement référence à la théorie des ensembles mais je n'ai rien trouvé, tous les livres parlant de "set theory" ou de "théorie (naïve) des ensembles"...Il n'y a donc vraiment aucun endroit où l'on peut trouver la théorie pure (Mis à part peut-être les articles originels de Zermelo, Fraenkel,...) . Vous dites au début de la video que c'est très rare.....c'est donc que çà existe quelque part ?
Pour être honnête mes connaissances sur ZFC viennent essentiellement du web et de forums comme MathOverflow ou Math Stack Exchange... C'est là que j'ai découvert les astuces pour construire les naturels et l'addition entre naturels. Voici une référence en anglais : www.math.wustl.edu/~chi/310notesV.pdf
Deux questions : 1) le principe de preuve par récurrence découle souvent de la structure de bon ordre non ? Or là on n'a pas défini d'ordre (j'en suis à la minute 16) et on a obtenu le principe de récurrence. La construction qu'on a effectué permet elle de passer outre les bons ordres ? (si jai bien compris un bon ordre, c'est un ordinal, donc on peut définir N sans les ordinaux ?) 2) Je vois pourquoi il faut prendre des précautions, ne pas parler d'ensemble, de nombre etc, en gros. Ce qui se cache derrière, cest une histoire de modèles non ? À quand une vidéo là dessus, ça permettrait peut etre de formaliser cette vidéo (et de faire comprendre les distinctions que jai pas encore complètement saisi entre théorie axiome modèle satisfaction etc etc) Merci beaucoup pour la vidéo !
Js de C'est pas tant une histoire de modèle que le fait que les objets de ZF(C) n'ont a priori aucun rapport avec les ensembles, les nombres, etc, qui sont des notions intuitives. La "vieille" théorie des ensembles, peut être plus proche de notre vision intuitive, ne parlais pas des mêmes objets que ZF (la preuve, elle était sensible au paradoxe de Russell) C'est plus une question philosophique qu'autre chose.
Par définition d'ordinal (un ensemble bien ordonné et transitif), N est un ordinal (tel que construit ici). En fait, par la définition que l'on s'est donné de N, le principe de récurrence est immédiat. Le bon ordre se démontre après. Mais ce que tu peux faire aussi, c'est montrer que c'est un bon ordre, et après montrer que le principe de récurrence est correct via celui-ci. Au final, tu obtiens la même chose. Mais si tu regardes de plus près, définir N comme étant le plus petit ensemble comprenant 0 et stable par successeur, c'en est presque une définition d'un plus petit ensemble bien ordonné infini. L'idée de bon ordre est directement accessible. Pour moi, c'est totalement la même chose.
Ounadjela Djalal Non, les objets de ZFC sont par définition des ensembles formels. Il n'y en a pas d'autre par définition et Lê explique bien que les entiers naturels en sont comme les autres.
VRB Blazy merci, mais Lé dit dans la video que les objets ZFC ne sont pas forcément des ensemble sans pour autant donner un exemple. Personnellement je ne vois pas d'objets qui se comportent comme des esensembles tout en étant différents de ces derniers. donc je te rejoins dans ton affirmation
Ounadjela Djalal Non attention il ne dit pas ça, il dit que le fait d'appeler «ensembles» les objets de ZF±C est une commodité parce que leurs propriétés sont très proches et que cela nous en donne une intuition. Je t'avoue ne pas être d'accord avec ce qu'il avance; les ensembles formels sont par définition les objets de ZF, et ceux dont je pense que Lê parle sont les ensembles primitifs, dont le comportement est intuitif et informel, nécessaires à la théorie des modèles, dans laquelle on peut construire ensuite ZF qui formalisé leur comportement dans ses axiomes.
VRB Blazy je regrete, mais il dit et il repete souvent que les objets ZFC "ne sont en fait pas des ensembles"', donc il n'est pas question de commodité seulement. ça se comprend que selon Lê il existe une certaine différence type entre un pur objet ZFC et un ensemble. voila, je vous invite à revisionner les deux premières minutes de la video j'attend votre réponse. merci
Ounadjela Djalal C'est ce que je dis, il dit que ce ne sont pas en fait des ensembles, et qu'on utilise souvent ce terme pour les désigner pour les raisons que j'ai évoquées! Mais je ne suis pas d'accord avec lui, et j'explique à la suite mon point de vue. :)
J'ai beau chercher, je ne comprends pas le passage de I à |N, ou plutôt je vois pas la différence entre l'un et l'autre, vu que l'ensemble X par lequel on passe pour restreindre I a exactement la définition de I (comprend l'ensemble vide, stable par opération de succession x U {x} ). Si quelqu'un peut m'éclairer, un grand merci d'avance.
Les ensembles X, comme I, peuvent contenir bien plus que les naturels: il suffit que s'ils contiennent le moindre élément supplémentaire, ils contiennent aussi tous ses successeurs. 😉
Salut Lee un copain nous a donné un problème et nous ne vomprenons as comment c'est possible le problème est le suivant: 0=1 il nous a fait toute une démonstration mais je n'arrive pas à comprendre ni à accepter ce problème ... Pourrais tu m'expliquer cela de façon un peu plus approfondi stp ?
Thibaud Mulenet Et du coup c'est quoi la démonstration ? (souvent ce genre de "preuve" cache une division par 0... on détruit pas les maths comme ça non plus !)
Je ne comprends pas quelque chose dans la démonstration de l unicité de l ensemble vide : on suppose que pour tout z appartenant à Y, il est faux de dire que z appartient a Y C est peut être bête mais comment z peut ne pas appartenir à Y si z appartient a Y
Et bien justement, c'est impossible. Donc si cette propriété est vraie pour tout objet appartenant à Y, c'est qu'aucun objet n'appartient à Y et donc que Y est vide. :)
je suis pas sur de comprendre, on a quand meme pas attendu d'avoir défini ces axiomes pour faire des math, additions, multiplications etc... alors à quoi servent-ils exactement ?
C'est une très bonne question. C'est en premier lieu pour donner une base théorique, une justification rigoureuse, à toutes les mathématiques que l'on faisait jusqu'alors, qui reposaient un peu sur l'intuition, rien de très rigoureux.
Au tournant du XXème siècle, au fur et à mesure que les mathématiques devenaient de plus en plus abstraites, un besoin de fondements clairs et rigoureux a commencé à se faire sentir, ce qui a motivé les mathématiciens à introduire un formalisme tel que celui dans cette vidéo. Même si dans la pratique les mathématiciens ne travaillent pas dans de tels systèmes formels, qui complexifient énormément les choses, il est rassurant de savoir que tout concept, tout raisonnement mathématique peut y être ramené. Dans la pratique, on se contente juste de la rigueur qu'il faut pour que les concepts les plus abstraits soient clairement définis et les raisonnements corrects et clairs. Quelques liens pour approfondir : fr.wikipedia.org/wiki/Logique_math%C3%A9matique fr.wikipedia.org/wiki/Fondements_des_math%C3%A9matiques
Je me trompe peut-être. J'ai cru comprendre qu'au début tu voulais nous prévenir, que dans la théorie des ensembles, il ne fallait PAS CONFONDRE un ENSEMBLE et un ÉLÉMENT. Avertissement d'autant plus utile, qu'un ensemble peut ne contenir qu'un seul élément, ou pire qu'un ensemble peut contenir deux éléments qui sont chacun eux-mêmes des ensembles. Par exemple, il ne faut pas confondre l'ensemble à un seul élément {a} avec l'élément a. En effet, on pourra écrire a € {a} (lire € comme "appartient à" ) mais on ne pourra pas écrire {a}=a. Attention aux crochets !! Par exemple, on pourra écrire {a;b;c} € { {a;b;c} ; {b;c;d} } où un élément appartient à un ensemble qui contient deux éléments. Il ne faudra pas confondre avec { {a;b;c} } INCLUS dans { {a;b;c} ; {b;c;d} } où un ensemble à un élément est inclus dans un autre ensemble qui contient deux éléments. C'est bien plus clair comme ça. LOL. 😉 Au fait, le "fameux" Nicolas BOURBAKI, n'était PAS un être HUMAIN , mais un GROUPEMENT DE TRAVAIL constitué de nombreux êtres humains, tous d'un très haut niveau en mathématiques. Ils ont fait faire de très grands progrès dans l'unification et la cohérence des différentes mathématiques. C'est grâce à eux qu'on ne dit plus LES mathématiqueS mais LA mathématiquE.
À 7:00 il y a une coquille dans l'axiome de l'union selon la théorie ZFC : tu as écrit z appartient à X au lieu de z appartient à Y à la fin. Ça m'inquiète un peu de voir que peu de personnes aient lu la formule... Parce que quand on lit, on voit tout de suite que quelque chose est bizarre ! Et il manque une parenthèse fermante. (à 14:09 aussi, dans la définition de N, et à 17:36, pour définir XxY... XD tu es officiellement prof de prépa.) à 28:24 c'est pas très clair : je comprends pas ce qu'est R : il manque l'exposant 2 sur coupe, et je crois comprendre que les couples décrits de coupes sont des parties de Q égales à leur borne sup près... Non ? Je ne comprends pas à quoi sert le ou. Et du coup les réels sont des classes d'équivalences sur des coupes, de Q, c'est ça ? Excellente vidéo par ailleurs, c'est un plaisir de voir que plus ça va, plus je comprends les épisodes hardcore (bon, les tenseurs, c'était autre chose... ).
21:30 ne devrait on pas ajouter une troisième condition qui dit que si (m, n, p) € Add, alors (n, m, p) €Add et de même pour Mult ? (J'utilise le symbolede l'euro pour appartient à)
Votre exposé éclaire le fait qu'un "nombre" est une notion/concept hautement synthétique, indissolublement llée à la représentation écrite, ce qui rend inanes les déclarations de certains éthologues quant à la capacité calculatoire des animaux. En effet, le concept semble indissolublement lié à la conscience, cette dissociation, au moins fonctionnelle sinon histologique, des fonctions neurologique "automatiques" inconscientes et des fonctions d'"auto-observation". Tout le problème revient alors à déterminer quand apparaît la conscience, puisqu'il semble qu'elle ne naisse pas toute armée de la cuisse de Jupiter, mais apparaisse graduellement (il s'agirait de dégager des "nombres" qui ne seraient pas encore tout à fait des "nombres" mais leurs racines). J'ai ainsi montré que l'organite le plus simple pensable réalise déjà une porte logique pour la raison qu'il DIFFERE de son environnement. Or notre organe cognitif comporte quelques dizaines de milliards de neurones, encore plus de synapses et que cet dit espace intersynaptique demanderait à lui seul probablement une encyclopédie ayant la taille de l’univers pour une description adéquate (ce qui renvoie à la topologie). Une affirmation moins ambitieuse consiste à affirmer que le langage et plus encore l'écriture constituent des extensions et des amplifications externes (dans le cas de l'écriture) de la conscience. En d'autres termes si le langage ZFC explore avec fruit les racines du nombre, cette quête doit connaître une limite puisqu'elle emploie nécessairement des notions synthétiques pour se mener à bien. Ce résultat est trivial en philosophie (trivial au sens de Grothendieck, cad fondamental, essentiel, obscurément claire comme l'évidence) tandis que le même genre de problématique se rencontre en physique.
Si les objets de ZFC ne sont pas des ensembles, c'est quoi un ensemble, alors ? Si les objets de l'arithmétique de Peano ne sont pas des nombres, c'est quoi un nombre, alors ?
Je pense qu'en fait on créé des objets dans ZFC et on leur donne tout simplement un nom :/ Quand il dit "ça a les mêmes propriétés que les nombres", je suppose qu'il parle de la compréhension intuitive qu'on a des nombres de tous les jours
C'est exactement ça, les termes "ensemble" et "nombre" viennent du français (ou du langage courant), ils sont définis dans un dictionnaire et ne sont en aucun cas (du moins formellement) mathématiques. ZFC défini juste des objets de ZFC, en fait, le nom réel de ces objets c'est les axiomes qui les définissent, mais comme c'est impossible d'en parler sans termes de la langue courante on utilise des mots comme "objet" pour rester vague et pas trop s'avancer ou "ensemble" parce que ça ressemble quand même beaucoup à l'idée intuitive qu'on se fait des ensembles.
Oui, mais à mon avis, ça ne sert à rien de mettre l'accent là-dessus et de mettre des gants pour en parler. Si on ne sait pas ce que c'est qu'un ensemble, il n'y a qu'à dire que c'est ce que définit ZFC. Que ça corresponde ou pas avec notre intuition, ce n'est pas grave, vu qu'il n'y a pas de définition précise de notre intuition. Je bosse dans les preuves formelles où on a une définition mathématique de ce que c'est qu'une preuve. Si on me demande si ça correspond à notre définition intuitive de ce que c'est qu'une preuve, je réponds la même chose : une preuve, c'est ce que je définis, là. Que ça corresponde ou pas à une notion intuitive floue, on s'en fiche, puisque la notion intuitive est floue. Je n'ai pas besoin de dire que "ça n'a rien à voir avec la notion de preuve".
@@j9dz2sf je pense qu'il appuie là dessus pour dire que ce n'est pas exactement ce qu'on se dis intuitivement et aussi pour résonné avec la citation de Poincaré " la mathématique est l'art de donné le même nom a des choses différentes"
Modulo la vidéo de M.Φ sur la notion de définition, vous avez parfaitement raison 😊 Lê veut simplement dire que les formalisations des concepts abstraits intuitifs, une fois arrêtées, peuvent contredire certaines des intuitions qu'on en a ou ne pas en démontrer d'autres: ce qui ne signifient pas qu'elles en soient une formalisation parfaitement légitime ! Mais il peut cependant en exister d'autres, comme toutes les autres théories des ensembles, qui vont formaliser un peu différemment la notion et plus ou moins coller à l'intuition de certains ou d'autres. Quant à l'arithmétique c'est un peu particulier : la formalisation canonique qu'on en a est métamathématique, typiquement après Peano les chaînes de caractères de la forme s...s0, et les objets de l'arithmétique sont en fait celles-ci, dont elle étudie les propriétés syntaxiques. Elles ne dépendent d'aucun axiome ou hypothèse, et sont absolues! Ce qui explique qu'on le ressente autant pour les nombres entiers, plus que pour d'autre objets mathématiques 😊
a chaque fois qu'on arrive aux nombres reels on devient moins rigoureux, je pense meme que c'est a cause des nombres reels qu'on a fait zfc, et puis c quoi la coupe pour le nombre Pi donc ?
pi, vaut mieux le voir comme la classe d'équivalence d'une suite de rationnels "qui tend vers pi". Ainsi, la suite définie par u0=3, u1=3.1 ; y2=3.14 etc... en rajoutant une décimale à chaque fois, est une suite de rationnelles qui pourtant tend vers pi. Donc on prend sa classe d'équivalence, et hop, c'est ça qu'on appelle pi :)
perimgui non je demande la dedikend cut de pi, si cette coupe n'existe pas, alors il faut éliminer la méthode dedikend pr définir les réels, C'était un essai courageux qd même
Et je jouerais même à ton jeu et te demander donc le 256ème terme de ta suite, Et sinon ta formule un= f(n) de comment tu as pu le ressortir ( parce que je suis sur que tu vas directement regarder un développement décimal pr me le ressortir :) ) Et la je ne suis pas encore méchant, Je peux te demander le 9^9^9^9^9^9 ème terme
Que l'on ne puisse pas désigner quelle coupure de Dedekind représente pi ne veut pas dire qu'elle n'existe pas. On peut montrer que la construire R[Cauchy] et la construction R[Dedekind] sont isomorphes. Nommons f un tel isomorphisme. Alors en prenant x=pi[Cauchy], il me suffit de prendre pi[Dedekind] comme étant f(x), et le tour et joué.
J'ai trouvé une coupure qui représente pi. Soit (u[n]) une suite croissante qui tend vers pi (par exemple, l'approximation décimale, qui se définit très bien à partir de la partie entière, donc de manière constructiviste). Alors en prenant A = {x€Q| il existe n€N, x=< u[n]}, et bien A est la coupure qui représente pi.
Très intéressant. Il me semble, que, par moments, vous pourriez présenter les choses de façon un tout petit peu plus simple, en vous appuyant sur des définitions plutôt qu'en revenant tout le temps aux axiomes.
Question sans lien avec la video Le big bang a eu lieu il y a 13.8 milliards d'années On m'a dit que l'univers visible est 13 milliards d'années lumière mais qu'on suppose que certains astres sont à plus de 40 milliards d'années lumières de nous Comment c'est possible ? Ils auraient parcouru plus de 13.8 milliards d'années lumière en 13.8 milliards d'années donc ils iraient plus vite que la lumière ... Quelle est mon erreur svp ?
on sait que ∅={ } et que la théorie ZFC ne traitent que des ensembles, alors forcément on y rencontrera des objets du type {{...{ }...}}, du coup je m'interroge par rapport à l'existence de l'objet x={{{...}}} (une infinité de singletons emboités) et sa signification ? dsl si ça parait bete haha à premiere vue cet objet vérifie la relation x∈x et ceci me permet d'affirmer que x n'existe pas. qu'en pensez-vous ? est-ce qu'il faut donner une preuve pour x∈x ou bien c'est trivialement vérifié ?
Il n'y a pas d'axiome qui permette de construire {{{...}}} (les trois petits points sont interdits en langage formel) Ceci dit, il y a un axiome, l'axiome de fondation, qui interdit ta construction. Mais, en tant que constructiviste (on verra bientôt ce que ça veut dire), je me contrefous pas mal de l'axiome de fondation ^^
Science4All (français) merci infiniment pour cette réppnse. pour les 3 point (...) j'ai essayé de les éviter à l'aide de l'expression suivante (je ne suis pas encore tout à fait sûr si elle est permise): ∃χ∀n∈N∃!x(n) (x(0)∈x)∧(x(Sn)∈x(n)) N étant ici l'ensemble des entiers naturels. ignorant l'axiome de fondation, et ayant supposé l'existence de cet objet, j'ai pu constater que son unicité (puisque x={{{{{...}}}}} est la seule façon de l'écrire) est indécidable. j'aimerai bien savoir maintenant si l'expression que j'ai donné pour éviter les 3 points (...) est correcte. ça me facilitera davantage la compréhesion de la théorie. merci encore une fois.
@@ami443 Halte à ces croyances erronées en l’immobilisme des langues d’une part, et réduisant la grande langue française à ses quelques errances teintées de choix saccages sexistes séculaires et volontaires à l’époque, d’autre part. Au demeurant, la substitution de l’anglicisme «stop» au bon français «halte» est un témoin éclatant de son caractère changeant (qu’elle a comme toute langue naturelle), qui peut par certains aspects être considéré largement plus comme un saccage du français que son retour à la constellarité (mot plus symétrique que celui d’«inclusivité»). 😉
@@ami443 Le bon vieux recours à l’accusation de psychopathie faute d’argument, vraiment? 😉 Et bien vois comme on peut être par trop optimiste: je n’avais sincèrement pas envisagé que tu sois du genre à t’abaisser à ce niveau-là… 🙃
Bah justement, pour moi une courbe n'a jamais été un objet mathématique mais une représentation de l'objet donc ça m'étonne qu'on puisse définir des courbes de fonction dans la théorie :/
Exactement, à ceci prêt qu'on rajoute un petit détail: l'ensemble de départ et l'ensemble d'arrivée. Ainsi, on commence par prendre deux ensembles, E et F. Puis on prend G une partie de ExF. Enfin, on dit que la fonction, c'est le triplet f=(E;F;G). On dira alors que pour x€E et y€F, on a y=f(x) si et seulement si (x;y)€G.
Il faut faire attention avec G: il ne faut pas qu'un élément x de E vérifie qu'il existe y,z de F tels que y!=z et (x,y) et (x,z) soient dans G f ne serait alors pas une fonction
L'axiome de compréhension te permet de considérer l'ensemble des "solutions" d'une "équation"; sauf qu'ici l'équation c'est une propriété. Tu considères donc l'ensemble des éléments vérifiant une propriété. Par exemple, l'ensemble des x tel que x > 2.
Pourquoi deux éléments égaux (dans le sens donné par l'axiome d'extensionnalité) ne pourraient-ils pas faire partie du même ensemble ? Autrement dit, est-ce que ∃X∃x∃y x∈X ∧ y∈X ∧ x=y ?
Si deux ensembles sont égaux, alors ils appartiennent aux mêmes ensembles. C'est une conséquence de la règle logique de substitution. Si x=y, alors P(x) est vrai ssi P(y) est vrai. Ainsi si P(z) est défini comme z∈X, et si x=y, alors x∈X ssi y∈X.
Merci de ta réponse ; Cela signifie donc que le symbole "=" a une sémantique supplémentaire que celle simplement donnée par les axiomes ? Car aucun axiome ne spécifie que x=y => (P(x) P(y)), si ?
Ohay bah j'ai été perdu à la 7ème minute XD bon j'ai continué, j'ai encore été perdu sur l'ensemble Add et un truc encore avant ... mais je crois qu'il es un peu tard pour ce niveau, je reviens demain :)
Si je pose I = N U {N;S(N);S(S(N));...}, alors I répond bien à l'axiome, et il contient par exemple N lui-même, qui n'est pas un nombre. C'est un exemple.
Existe-t-il des axiomes "encore plus bas" ? Je suis gêné par l'écriture des axiomes qui supposent déjà l'existence de certains principes : 1) la notion de l'objet "ensemble" 2) les éléments de ces ensembles 3) les symboles [il existe] [quelque soit] [équivaut] [induit] [appartient à] [les parenthèses] [la notion de propriété P(x)] 4) la notion "d'instruction mathématiques" qui combine les éléments précédants (je veux dire en fait : toutes les phrases mathématiques qui sont indiqués dans la vidéo) ; certaines visent à introduire un nouveau symbole (axiome d'extensionnalité, avec le symbole égale), pour d'autres, c'est un langage plus littéraire (axiome de paire : "on écrit C={x,y}).
Stève A Il y a avant cela les axiomes de la logique qui régissent les symboles logiques. En revanche la notion d'ensemble est primitive à ZF, tout comme celle d'appartenance (quand tu parles de leurs éléments) elle n'y est pas définie mais son comportement est régi par ses axiomes... Et elle est même utilisée avant formalisation dans ZF pour tout ce qui est modèles, etc.
Je complèterais la réponse du jeune moi d'il y a 3a comme suit: L'écriture de ces Axiomes ne présuppose rien du tout, elle ne nécessite aucun engagement ontologique au-delà de leur syntaxe elle-même, c'est-à-dire des symboles, nus de tout sens. Le sens est la manière dont nous conceptualisons ces symboles dans nos têtes, en particulier considérer qu'ils formalisent le concept abstrait d'ensemble, la notion d'appartenance, etc. Mais ces Axiomes et symboles n'ont pas besoin de cette activité mentale en nous pour effectivement entraîner ces théorèmes-là (qu'on conceptualise à leur tour comme propriétés des ensembles abstraits qu'on imagine)! 😊 Quant au 4), il s'agit d'un raccourci de la part de Lê: tout s'écrit formellement; pour de donner typiquement l'exemple de la paire, l'axiome est écrit symboliquement sans notation, mais a posteriori par praticité on enrichit le langage d'un symbole de fonction binaire {,} qu'on définit par un axiome dédié qui vient étendre ZFC, en disant (formellement encore) que pour tout x,y l'individu {,}xy, qu'on note plus joliment {x,y} parce que la notation préfixe n'est pas toujours la plus pertinente intuitivement, ne contient via ε que x et y seuls. (Et encore en disant cela en français avec des pour tout et le mot «contient», je sur-conceptualise: il n'y a en réalité qu'une chaîne de caractères du langage formel) 🙂
Je pense que tous les mathematiciens du monde reconnaissent les limites de la definition de dedikend, nom de dieu je veux juste que qlq'un me montre un dedikend cut pour le nombre Pi, pour les suites de cauchy, je peux alors vous montrer que tous les nombres reels sont "semblables" ou "apparents de la meme maniere" je prefere de dire que tous les nombres reels look the same. Soient deux classes d'equivalences de suites de cauchy, c1 et c2 par exemple, pour toute suite de c1 tiree jusqu'a n'importe quel rang N, je serais capable de vous sortir une suite de c2 qui est exactement egale a la suite de c1 jusqu'a ce rang.
pas qu'une, une infinité, voire toutes ces suites, Ça vous dérange pas de définir des choses supposés être différentes par une définition assez vague comme ça
+Mohammed Khalili Une façon de définir pi qu'on a vu en maths spé cette année, c'est de définir d'abord d'autres objets: 1) suites 2) séries 3) fonction cosinus à partir de sa définition en série entière 4) on peut alors définir pi/2 comme étant la 1ère valeur d'annulation positive du cosinus. Mais il y a bien sûr, d'autres manières de définir ce nombre, heureusement toutes équivalentes.
J'avoue que je ne sais même pas ce qu'est un "nombre"... Sinon la voix est beaucoup meilleure j'ai remarqué Rien à voir, mais le nombre d'objets mathématiques dans ZF est-il supérieur ou égal au nombre de nombre réels ? (C'est infini plus grand ou égal ?)
sinon, la définition maternel (algorithmique) est plus simple. on défini (par "axiome") que les nombres sont une liste, l'incrémentation comme le passage au suivant de la liste, l'addition comme parcourir 2 listes simultanément, en partant dans la 1er liste du 1er nombre, et de 0 dans la 2eme, et en s’arrêtant quand on a atteint le 2eme dans la 2eme liste. et la multiplication de la mème manière : comme une succession d’additions.
C'est intuitif donc c'est normal 😉 Et oui largement : l'ensemble des parties de |R en contient déjà strictement plus! ZF a une classe propre d'individus, c'est-à-dire qu'on ne peut bijecter avec un ZF-ensemble. 😊 Les questions plus précises y sont informulables ou indécidables et s'étudient dans des théories des classes l'étendant!
Je pense que c'est parce qu'au lycée, on utilise des tas de notions sans les définir précisément. C'est suffisant pour raisonner et ça reste intéressant. Ici, on essaie d'avoir une définition précise de ce que c'est qu'un nombre. Et on s'aperçoit que si on part de la notion d'ensemble, on arrive à définir les nombres. Encore faut-il avoir une définition précise également de ce que c'est qu'un ensemble. Et c'est ce qu'il fait, avec ZFC. Tout cela ressemble beaucoup à du pinaillage. Mais ça permet d'avoir des assises solides pour les mathématiques. Ça peut se révéler important pour ne pas tomber sur des contradictions (comme le paradoxe de Russel). Mais on peut s'en fiche totalement quand on fait des maths dans tous les domaines mathématiques différents qui existent.
Ce ne sont pas vraiment les problèmes qu'il évoque, c'est plutôt une affaire de bonnes propriétés de leurs sémantiques ensemblistes qui sont bien pratiques à l'ordre 1 et qui ne valent pas à l'ordre >1: voir le Théorème de Linström, en particulier. Mais cela n'empêche pas du tout qu'elle soit manipulable seule, ça ne concerne en effet que ses interprétations ensemblistes 🙂
Si tous les nombres partent d'une réunion de choses qui ne contiennent que du... vide, je ne vois pas pourquoi ça ne serait pas... vide ! Donc pas le nombre 1 ! Bref : on crée de la "quantité" ou du "dénombrement" à partir de "rien". Et ça, ça me gêne énormément. Pas vous ? Au passage : nombreuses approximations parmi d'autres youtubers scientifiques, qui indiquent que 1 est l'ensemble qui contient 0, ce qui est inexact si j'ai bien compris (exemple : Passe-Science, pourtant plutôt très fiable dans la rigueur).
Les nombres sont un concept qui existe d’abord intuitivement. Ce qui est présenté dans cette vidéo n’est qu’une formalisation de ces derniers dans la théorie ZFC. Le but n’est pas de « définir » ce qu’est un nombre (en arithmétique de Peano, par exemple, le concept d’entier naturel est un concept primitif, non-défini), il est juste de faire en sorte que la formalisation ait la même « structure » que les nombres tels qu’on les conçoit intuitivement. Ce qui est intéressant, ce n’est pas ce qu’est le nombre en lui-même, mais la structure de l’ensemble auquel il appartient, définie par les autres concepts primitifs (addition, multiplication ...) et par les axiomes qui les lient. De même, dans la théorie ZFC, les concepts d’ensemble et d’appartenance sont des concepts primitifs non-définis. Les axiomes sont choisis de telle sorte que les objets de la théorie correspondent aux ensembles tels qu’on les conçoit intuitivement. C’est pour ça qu’au début de la vidéo Lê dit que ces objets ne sont pas vraiment des « ensembles ». Le but de toute démarche d’axiomatisation est de ramener un concept intuitif à une simple manipulation de symboles, régie par des règles logiques très simples. Enfin, quant à ta dernière remarque, sache qu’il existe plusieurs constructions des entiers naturels dans ZFC. On peut définir le successeur d’un entier n (qui est un ensemble) comme n U {n} ou comme {n}. Une fois ces ensembles munis de l’addition et de la multiplication, on peut démontrer qu’ils sont isomorphes (intuitivement, qu’ils ont la même « structure »).
@@GoogleUser-st9lh Merci pour votre réponse. Car le youtuber n'a pas eu le temps, j'imagine, d'y répondre. Ceci dit, vous vous doutez que ça ne m'a pas convaincu, dans le sens où au final, on crée quand même des choses "non-vides", à partir de quelque chose qu'on appelle "l'ensemble vide". Je trouve que c'est super bof. Après, bien entendu, comme toute axiomatique, le reste est parfaitement logique et cohérent. Mais pour avoir tenté de rassembler la géométrie et l'arithmétique, je trouve que l'axiomatique ZF part d'un truc complètement bancal.
@@guillaumelimousin7988 Je comprends ce que vous voulez dire. Moi aussi, je ne vois dans cette construction à partir de l'ensemble vide qu'une simple manipulation de symboles. Cependant, je trouve que votre objection n'est pas pertinente. Encore une fois, le but de toute démarche axiomatique n'est pas de "définir" ce que qu'est un objet mathématique "en réalité". Le but est juste de ramener le concept à un ensemble fini de concepts primitifs et d'axiomes. Des concepts formalisés dans la théorie ZF comme celui de fonction, de continuité (topologie), de nombre ... sont tous des concepts intuitifs à la base. Pour construire les nombres dans ZF, il faut bien partir d'un ensemble concret, d'une "constante". On choisit l'ensemble vide car c'est le plus simple. Vous parlez de "rassembler la géométrie et l'arithmétique", mais, par exemple, si on veut rassembler deux branches des mathématiques qui semblent si différentes, si distinctes, ne sera-t-il pas nécessaire de faire des choix qui pourront paraître tout aussi "bizarres" que celui de construire les nombres à partir de l'ensemble vide ? Aussi, avez-vous quelque chose d'autre à proposer au lieu de cette formalisation ?
@@GoogleUser-st9lhOui, je comprends. Et... non, je n'ai évidemment rien de mieux à proposer, sinon vous vous doutez bien que j'aurais déjà fait une publi... (je suis devenu prof de maths, mais seulement au collège : mon ancien domaine de recherche n'est pas du tout l'axiomatique). Mais cela ne m'empêche pas d'avoir mon droit de "spectateur" des avancées de la science dans ce domaine. Donc évidemment, j'ai pas dit que Zermelo et autres sont des nuls (loin de là !). J'ai juste dit que je suis impatient que des chercheurs trouvent une nouvelle axiomatique qui ait la puissance de réunir géométrie et arithmétique, tout en ayant des bases intuitives plus concrètes.
L'ensemble vide {} ne *contient* certes rien... Mais il n'est pas rien! Donc l'ensemble le contenant {{}}est bien un singleton, non vide, contenant qqch.; et ainsi de suite! 😉 Voilà pour la réponse conceptuelle, intuitive à votre interrogation 😊
Quelques détails en plus...
(1) toutes les constructions présentées ici ne reposent que sur la théorie Z de Zermelo. Elles ne nécessitent donc ni les deux axiomes apportés par Fraenkel, ni l'axiome du choix. L'axiome de fondation est aussi inutile.
(2) Il y a une coquille dans l'axiome de l'union. La bonne formule : ∀X∃U∀z (z∈U ⇔ ∃Y(Y∈X ∧ z∈Y))
(3) À 28:24 ce n'est pas très clair parce que ce que je dis n'est pas ce que j'ai écrit :(
Au montage je me suis dit que c'était plus clair de ne considérer que l'ensemble de gauche, l'ensemble de droite étant son complément. Les deux constructions sont techniquement distinctes, mais elles sont isomorphes (cf épisode 21).
Concernant ce qui est écrit : l'intuition est que tout élément de l'ensemble A est à gauche du complément de B, et vice-versa.
(4) Plusieurs ont fait la remarque qu'avec ma définition de Add, ce n'était pas clair que l'addition donne toujours un et un seul résultat. En effet, ce n'est pas clair. Mais on peut le prouver (et à ma connaissance, la définition que j'ai donnée est le seul moyen d'y arriver).
Pour cela, soit Y l'ensemble des y pour lesquels, pour tout x, il existe un unique z tel que (x,y,z). On va montrer par récurrence sur y que Y=ℕ. Pour cela, on commence par montrer que si (x,0,z)∈Add, alors x=z. On y va par l'absurde (aïe l'intuitionniste en moi n'aime pas ça...). Supposons (x,0,z)∈Add avec x≠z. Alors, on peut construire X=Add-{(x,0,z)}. Mais X satisfait alors encore les axiomes de Peano pour l'addition. Voilà qui contredit le fait que Add est le plus petit ensemble à ce faire. Contradiction. Donc 0∈Y.
Passons à l'hérédité. Supposons y∈Y, i.e. si (x,y,z)∈Add et (x,y,w)∈Add, alors z=w. Par l'absurde, si (x,Sy,u)∈Add et (x,Sy,v)∈Add alors au moins u ou v n'est pas Sz. Disons que c'est u. Mais on peut alors construire X=Add-{(x,Sy,u)}, et X satisfait alors les axiomes de Peano tout en étant strictement inclus dans Add : contradiction. Donc Sy∈Y.
Par récurrence, on conclut Y=ℕ. CQFD.
Plus de détails ici : www.math.wustl.edu/~chi/310notesV.pdf
(5) Une référence pour tout reprendre à zéro : www.amazon.fr/Introduction-%C3%A0-th%C3%A9orie-ensembles-Halmos/dp/2876471264
Science4All (français) merci pour les références.
Science4All (français) 7:10 je crois qu'il y a une typo. La fin de la première ligne ça devrait être z appartient à Y, pas z appartient à X
Merci, je ne comprenais pas l'axiome de l'union, ça ne voulait rien dire :)
Il me semble que la phrase que tu prononces au même instant est également erronée: Tu dis "si j'ai un ensemble x je peux prendre l'union des éléments de x" "Or n'est-ce pas plutôt "si j'ai un ensemble x, je peux prendre l'union des objets qui sont éléments d'un élément de x" Exemple, si j'ai un ensemble x={ {a,b},{c} } alors l'axiome me dit qu'il existe z={a,b,c} non ?
Il manque également une parenthèse fermante à l'axiome de compréhension
"L'union des éléments de x" est bien {a,b,c} dans ton exemple
"L'union des objets qui sont éléments d'un élément de x" correspondrait à l'union de a,b,c, c'est à dire l'ensemble des éléments de a;b;c
Incroyable travail ! Des vidéos très travaillées pédagogiquement, de très bonnes qualités, qui font découvrir des domaines nouveaux, sans trop rentrer dans le formalisme. Vraiment, toutes mes félicitations pour ce travail accompli !
Lucas Willems salut Lucas , les prepas mp attendent avec impatience une vidéo sur Ulm.. 😉 Bon courage !
Salut R B ! Elle va arriver tkt pas !
What j'ai lu un de tes articles pour resoudre du 3eme degres et je te retrouves ici xD
Oui !
@@salemlahlou5949 Salem! J'espère que tu vas bien !!
je vous remerciie beucoup pour l'effort que vous faites pour les diiférentes videos ..j'étais en classe prépa MP mais j'ai vraiment appris beaucoup de choses à propos des mathématiques en regardant tes videos surtout l'histoire des maths et l'enchainement historique pour arriver au maths moderne chui un fan marocain merciiiiiiiiiiiii et continue votre travail bonne année aussi :)
Malgré le fait que je fasse de la programmation informatique et que donc je comprends la notion d'objets et d'enchevêtrements d'objets, je n'ai jamais autant mis "pause" sur une vidéo pour être certain de ne rien louper. Cette théorie Z m'émerveille mais me retourne également le cerveau ^^
je trouve ta vidéo super bien faite, je n'ai eus aucun problème de compréhension, cette episode hardcore était très intéressant (je n'ai que 15 ans et je suis en 2nd), et je trouve que tu es un très bon vulgarisateur.
Félicitations à toi ! :)
Ce genre de vidéo est géniale, merci pour ton effort, vraiment ça fait plaisir de voir ce genre de vulgarisation !
Aurais-tu moyen un jour de parler des arbres de preuves en logique ? En gros montrer ce qu'est une démonstration en mathématique. En essayant d'expliquer les différents axiomes logiques ? En insistant lourdement sur l'axiome du raisonnement par l'absurde si possible :)
Ou alors faire un episode hardcore sur la récurrence structurelle pour expliquer comment prouver qu'un arbre ou une liste en informatique possède bien une certaine propriétée ?
On va parler du raisonnement par l'absurde. Mais pas en mode Hardcore :(
La prochaine série pourrait être sur l'informatique... Ça ne dépendra pas de moi, mais de vous ^^
Merci, encore une fois je me suis régalé, d'autant plus que j'ai enfin compris (grâce à l'épisode 19/ZFC), pourquoi je ne comprenais rien aux maths de mes enfants... pas d'ensemble, pas de relation,... je me demande comment ils font. Moi j'ai eu les "maths modernes" depuis le CE1, j'en suis sorti vivant et même assez content, et surtout cette vidéo Zermelo me replonge dans ma jeunesse 😀😀😀merci !
Vivement 2017 !!
Haha!! Merci pour ce message !
Une bonne vidéo sur un sujet peu abordé. je conseille fortement la lecture de "introduction a la theorie des ensembles" de Halmos qui est extremement clair et qui a pour seul defaut de ne pas aborder la construction de Z Q et R qui est généralement abordé en cours. il utilise la definition des fonction par induction qui permet de definir addition et multiplication facilement (mais tu n avais pas le temps de l aborder comme ca c est sur)
Un jour je vais faire un AVC en regardant une tes vidéos tellement c'est mindfuck et tu culpabiliseras :)
+Balade Mentale pour l'instant je vise le placement de produit de doliprane... mais pourquoi pas conquerir le marche des défibrillateurs :p
petit éclatage de cerveau en règle avant le réveillon, merci :)
je trouve ça génial ! tout ce que tu fais dans cette vidéo est magnifique ! C'est vraiment des maths que je trouve intéressants :)
D'ailleurs avec ma prof d'algèbre on a vu une construction de C utilisant des Matrices, et toi même tu nous présente plusieurs constructions de C et de R. Existe-il aussi d'autre constructions pour N,Z et Q ?
Bonjour, j'ai plusieurs questions suite au visionnage de ta vidéo.
1) Qu'est-ce qu'un ensemble, si ZFC ne le définit pas ?
2) Comment sont définis "pour tout" et "il existe" ? Je comprends que ce sont des symboles qu'on s'autorise à utiliser selon des axiomes de logique, mais bien souvent quand on prouve quelque chose avec le "pour tout", on fait appel à notre intuition "et voilà, tous les objets vérifient ça, donc on a le pour tout". Je trouve ça peu rigoureux, et pourtant on l'utilise quotidiennement en mathématiques, c'est dommage.
3) Comme sont définis = et € ? Pourquoi ne pas définir = avec l'axiome extensionnalité au lieu de devoir le prendre en plus, et pourquoi une simple implication et non une équivalence ?
4) Comment définit-on une formule P(x) sans la notion de fonction / d'application ? En soit, quels sont ces objets que l'on peut invoquer avec des pour tous et des il existe, sans les avoir définis ?
5) Pourquoi définir les fonctions comme juste leur graphe, et non pas en prenant en plus l'ensemble de départ et l'ensemble d'arrivée ? Sinon, comment distinguer une fonction qui part de R par exemple d'une fonction qui part de N, par rapport à la surjectivité par exemple.
Merci :)
Pour les premiers questions, j ai évité de me poser des questions pour perdre trop de temps, dc j peux pas trop aider.
5) Il me semble que on construit une application comme suit
Soit E, F, deux ensembles, et G \in E x F, un graphe fonctionnel. On définit f = (E, F, G) (ou (G, E, F) peut importe), et on appelle f une fonction de E dans F. f est une application ssi pour tout x de E il existe un y de F tel que (x, y) est dans G.
F^E désigne l'ensemble des graphes de E ds F (c est un sous ensemble de P(ExF)
F(E, F) désigne l'ensemble des applications de E ds F (c est un sous ensemble de P(ExF)xP(E)xP(F))
Oui, c'est comme cela que je fais aussi. Mais lui dans sa vidéo ne parle que de G, et non du triplet (E;F;G), d'où ma question.
je pense que c est par soucis de simplicité plus qu autre chose
Hello ! Je ne peux que recommander de (re)voir l'épisode 13 : th-cam.com/video/oKprCgIKWxo/w-d-xo.html
Tout n'est qu'un jeu de symbole et de règles de manipulation des symboles. Du coup,
(1) Il n'y a pas de mots dans ZFC, donc pas "d'ensemble". Mais on interprète les objets de la théorie comme des ensembles. C'est très pratique parce que ça nous permet d'utiliser nos intuitions, mais c'est aussi très dangereux car les objets de la théorie ne se comportent pas tout à fait comme des ensembles.
(2) Les symboles ∀ et ∃ ne sont que des symboles. Le fait qu'ils puissent s'interpréter comme "pour tout" et "il existe" est un abus de langage qui a lui aussi causé des problèmes. Il conduira notamment à l'avénement de la logique intuitionniste dont on reparlera ;)
(3) Il n'y a pas de définition. Ce ne sont que des symboles. Le signe "=" est toutefois un peu particulier, car des règles logiques lui sont associés. Ainsi, si une formule P(x) est vraie et si x=y, alors P(y) est vraie aussi.
(4) P(x) n'est pas une fonction, ni une application. Il s'agit d'un raccourci de notation, pour remplacer une formule logique plus longue comme ∀y ¬(x∈y).
(5) Je ne suis pas sûr de comprendre la question...
J'espère que ça aide.
Salut, merci de ta réponse :)
1) Je crois comprendre, mais qu'entends-tu par "ne se comportent pas tout à fait comme des ensembles." ? Quels sont ces ensembles par rapport auxquels les objets de ZFC ne se comportent pas tout à fait comme ?
2) D'accord, merci :D J'ai vraiment hâte de voir ça, car ça me tourmente beaucoup la nuit haha
3) J'aurais vraiment cru qu'en partant de ZFC, on n'avait besoin que du symbole d'appartenance, et ainsi, comme on ne manipule que des ensemble, l'égalité se définit avec "E=F (∀x∈E, x∈F) ∧(∀x∈F, x∈E)".
4) Oui, mais du coup, comment donner un sens rigoureux au fait que ça "dépende de x" ?
5) Louis JX y a répondu je pense: je me demandais pourquoi tu définirais une fonction comme une partie de ExF (avec E l'ensemble de départ, et F l'ensemble d'arrivée), donc un graphe, et non un triplet (E;F;G) où E est l'ensemble de départ, F l'ensemble d'arrivé et G une partie de ExF. Ce qui me dérange dans le fait de dire que c'est juste un graphe, c'est qu'on ne distingue alors pas par exemple la fonction
R----->R
x|----->x²
de la fonction
R---->R+
x|----->x²
Elles ont le même graphe, mais l'une est surjective et l'autre non.
Excellente vidéo encore une fois. Je pense avoir tout compris jusqu'aux ensembles quotients. Un peu de recherches et ce sera plus clair dans ma tête.
Super !
Bonjour Lê, merci pour cette très bonne vidéo, comme toujours au top. Question : Est ce que tu connais la théorie des catégories et est ce que tu pourrais envisager un épisode hardcore pour la présenter comme alternative à ZFC comme fondement des mathématiques ? Je suis également fasciné par les topos de Grothendieck et la relation entre espace et logique. Malheureusement n'étant pas du tout mathématicien je suis assez frustré de ne pas du tout pouvoir avoir accès à toutes ces notions, est ce qu'il est possible de vulgariser "tout ça" ? 🙂
Malheureusement, les topos de Grothendieck, ça me dépasse. Quant à la théorie des catégories, je ne suis pas assez familier avec elle pour en voir la pertinence comme fondement des mathématiques (même si j'en connais quelques idées de base)...
En revanche, le prochain Hardcore sera une autre alternative à ZFC : la théorie des types ;)
Une vidéo génial, comme toujours qui donne envie de faire des maths. Aurait-tu quelques bon ouvrages sur le sujet, aussi bien introductif que n'hésitant pas à poussé un peu plus dans le détail, j'aimerai pouvoir me plonger dans les démonstrations pour bien les comprendre. Éventuellement des références de publications sur le sujet peuvent être intéressante. Merci pour ce travail fantastique.
Il y a quelques éléments dans le commentaire étiqueté. Malheureusement, je n'ai pas de bonnes références à conseiller. Mon apprentissage de ZFC a été un peu chaotique et des sites comme Math Overflow ou Math Stack Exchange ont beaucoup aidé :)
à quand un nouvel hardcore ? j'imagine qu'il y a des mathématiques un peu plus velues dans le domaine de l'IA qui pourraient faire une bonne vidéo ? Ca me manque ! Merci lê pour cette chaine !
Superbe vidéo, ça ma fait aimer la logique ! Petite pépite, à 7:00 la dernière relation de la ligne n'est pas z€X mais z€Y.
J'ai pris pas mal de temps à comprendre l'axiome à cause de ça, je suis descendu dans les commentaires dans l'espoir de voir qu'il s'agissait d'une typo haha
Oui exactement ce que je me disais
J'allais parler de la nature logique du symbole d'égalité, implicitement supposé satisfaire les axiomes de l'égalité pour effectivement se comporter comme la vraie égalité intuitive, mais je vois que TheMaxtimax l'a déjà mentionné. A part ça, la vidéo illustre le caractère un peu pénible de l'approche, qui fait appel sans le dire à des concepts d'algèbre générale comme celui de sous-algèbre minimale, qu'on s'embête à redémontrer au passage dans des cas particuliers. Je trouve plus élégant de commencer par démontrer de tels résultats dans le cas général pour ensuite en déduire les constructions des entiers et les définitions récursives comme cas particuliers. En effet cela fournit ainsi directement des bagages puissants utiles pour continuer l'apprentissage de l'algèbre au lieu de devoir ensuite les reprendre à zéro. Je développe mon approche partant d'une variante de la théorie des ensembles qui admet au départ les concepts de fonctions et de couples pour ne pas avoir à en présenter une construction à partir d'ensembles en fait complètement inutile. De plus je regroupe certains axiomes comme conséquence d'un principe unique dont je démontre ensuite la validité philosophique basée sur un concept intuitif précis d'ensemble au-delà d'une axiomatique particulière. De là, les différentes utilisations de l'axiome des parties dans les constructions suivant l'approche ZF n'apparaissent plus comme "équivalentes" puisque certaines apparaissent comme "mieux justifiées" à savoir ayant une "signification objective" indépendante de l'univers, contrairement à ce qui dépend fondamentalement de l'axiome des parties au sens d'être en fait relatif et sujet au paradoxe de Skolem.
Donc, le début en français sur settheory.net/fr/ et la suite (algèbre générale et construction de l'ensemble des entiers) seulement en anglais pour le moment (désolé).
Autre question : pourquoi tu parles de ZFC et pas de ZF tout court, vu que tu ne parles pas de l'axiome du choix, dans cette vidéo ?
Bonne question.... J'ai changé le titre de la vidéo, du coup ;)
Science4All (français)
:-)
Salut Lê et merci pour tes vidéos ! Petite question : Quand tu introduis N, tu fais finalement appel à la classe des ensembles inductifs contenant zéro (vers 14:30). A-t-on le droit de faire ça ? Tout dépend finalement de ce qu'on appelle "formuler une proposition dans le langage de ZFC", ce qui reste encore assez obscur pour moi ! Merci d'éclairer ma lanterne ! (Au passage, on peut définir N comme l'intersection des parties de I inductives et contenant zéro, qui est bien un ensemble pour le coup, pour contourner le souci, non ?)
C'est une classe intuitive, mais définissable dans ZFC par un prédicat P de son langage, i.e. formellement il suffit d'écrire qqsoit X (PX=>blabla) pour conceptuellement quantifier universellement sur cette classe 😊 et sinon oui, on peut n'utilise en fait que les parties de I... Mais du coup inutile de le préciser dans la définition de |N 😉 il faut juste penser qu'on peut si restreindre si besoin pour montrer l'appartenance à |N d'un individu!
Salut, excellente vidéo comme d'habitude :)
Dans la version plus compliqué de l'axiome de l'union, j'ai l'impression que à la fin ça devrait être "z appartient à Y" et pas "z appartient à X" ?
Est-ce que on pourrait définir N en le notant comme la restriction de I avec la propriété "pour tout x dans N, x est l'ensemble vide ou il existe y tel que x = Sy" et "pour tout sous-ensemble X de N, il existe y appartenant à X tel que pour tout x, Sx différent de y". Avec ça on s'assure de retirer les branches qui commence par autre chose que l'ensemble vide et dans le même temps on retire les branches infinis dans le sens des antécédents et qui bouclent sur elle-même. Après j'ai peut être oublié certains cas de "branches".
Salut, clair et pro comme d'habitude, as-tu un ouvrage de référence sur la théorie des axiomes ? Z, ZF, ZFC, Peano, etc. ?
Petite question au sujet de la construction de R via les suites de Cauchy, comment peut on être sûr que pour chaque irrationnel il existera une classe de suite de Cauchy le représentant ? De plus, comment sait on que la relation d'ordre est préservée ? Et existe il une classe de suite de Cauchy associée à chaque rationnel ?
+nono roberto il faut démontrer tout ça ;)
Bonjour, une question m'est venu en t'entendant parler de "théorème" de récurrence. C'est qu'on m'a toujours appris à conclure mes récurrences par le ''principe'' de récurrence. Et pourtant on nous demande souvent, lorsque l'on est étudiant, de citer précisément les théorèmes utilisés. Y-a t-il une différence fondamentale entre principe et théorème ? Est-ce un abus de langage ? Merci
Je pense que c'est juste un abus de langage. Le côté "principe de récurrence" me semble vouloir dire que c'est vraiment fondamental, tandis que "théorème de récurrence" me semble vouloir dire qu'on le déduit des axiomes.
C'est pas un axiome chez Peano, le principe de récurrence ? Ici on voit en tout cas que c'est "quasi" un axiome, en tout cas ca découle directement de la construction de N ...
Charles Dutertre: oui, tout à fait.
Dans un livre de Terminale C et E de 1976, on définissait déjà Z comme ensemble quotient : IN^2/R
Ax Mothe bah ça a baissé le niveau
@@diobrando7628 beaucoup même
Marius Bureau c’est dommage je trouve
@@diobrando7628 Les élèves étaient pas trop largués ? (je parle de l'élève moyen, pas de l'excellent)
@@yk4r599 c’est vrai que les élèves étaient largués ( l’extrême majorité je crois ), c’était un peu extrême comme reforme pour les maths, mais aujourd’hui c’est l’inverse c’est très simple, il faudrait trouver un juste milieux
Alors pour commencer, merci pour la vidéo.
J'ai toutefois une question : Tu dis vers 12:20 que ZFC est une logique du premier ordre, donc on peut appliquer le théoreme de Completude de Godel, du coup, est-ce que cela veut dire ZFC est complet (tous les énoncés vrais sont prouvables si j'ai bien compris). Mais, si j'ai bien compris, ZFC contient l'arithmétique, du coup, d'après une vidéo précédente, ZFC ne peut pas être complet (théorème d"incompletude de Godel).
Du coup, ZFC est complet ou pas? Etqu'est-ce que j'ai mal compris?
Lionel GUEZ la théorie est complète, au sens que si quelque chose est vrai dans tous ses modèles, alors il est démontrable.
Elle est incomplète au sens où certaines propositions ne peuvent pas être démontré comme vrai ou fausse, car il existe des modèles ou elles sont vraies et des modèles ou elles sont fausses.
Merci pour la réponse.
Mais du coup, cela veut dire que vu que le théorème de Goodstein (cf une précédente vidéo) ne peut pas être démontré via les axiomes de l'arithmetique de Peano (on doit passer par les ordinaux), il existe un modèle dans lequel le théoreme de Goodstein est faux ??
Si c'est le cas, cela me parait étrange, le théorème ne peut pas à la fois etre vrai et faux. Ou alors, j'ai mal compris une chose.... (c'est certainement ça)
Le théorème de Goodstein ne peut pas être démontré à partir des axiomes de Peano, ainsi que sa négation (très important). Ce théorème est donc indécidable dans le cadre de cette théorie. Ajouter ce théorème à la théorie ou ajouter la négation de ce théorème à la théorie, ne modifiera pas la valeur de cohérence de la théorie. Par le théorème de complétude de Gödel, il existe un modèle de la théorie dans lequel le théorème est faux.
a ok...
Donc le théorème de Goodstein peut être faux dans un modèle, ca me parait tordu (comment une suite peut ne pas tendre vers 0 dans un modèle..)
Je tâcherai de me renseigner sur le net.
Merci en tout cas!!!!
La preuve du théorème de complétude de Gödel peut être établie en construisant justement un tel modèle, en suivant la méthode de Henkin.
Super video comme d'hab ;)
Pour une fois j'ai tout compris dans ton épisode hardcore (sauf la fin sur C mais bon osef) par contre qu'est-ce que ça veut dire le symbole tripe égal exactement ? j'ai bien une petite idée mais je suis pas trop sur ...
C'est un peu l'équivalent du =, mais pour les phrases logiques.
En gros, deux assertions sont équivalentes si elles ont même valeur de vérité.
Ah ok ça correspond juste à l'équivalence logique merci ^^
Oui voilà, je n'étais pas sûr que tu connaisses, mais c'est exactement ça haha.
Mais alors du coup pourquoi est-ce qu'on n'utilise pas ce symbole qui veut dire pareil ?
C'est en gros pareil. Simplement est un connecteur logique donc à la base va noter l'équivalence de prédicats alors que ≡ est utilisé pour dire que deux assertions donc "phrases" sont équivalentes. En gros, quand il y a un ≡ c'est pour clairement signifier qu'il y a deux formules, à gauche et à droite de l'équivalence, alors que quand on croise un c'est dans une seule est même formule.
super vidéo je voudrais juste savoir si j'ai bien compris, l'objet add comprend bien tous les résultats de toutes le additions de nombre entiers possible c'est ça ? désolé je suis qu'en première année de prépa je suis pas bien à l'aise avec ces théories ^^
En gros, add va être une espèce de table d'addition. Donc il comprend à chaque trois nombre: un nombre "à gauche du symbole +", un nombre "à droite du symbole +", et enfin le résultat. C'est condensé sous la forme d'un triplet (g;d;r) qui représente l'addition g+d=r.
d'accord c'est bien ce que j'avais compris alors :D merci
Bonjour, quand ferez-vous une vidéo sur les lagrangiens en mécanique "classique"?
Rien à voir avec ta vidéo mais, par rapport au fait que le sol accélère vers le haut, est-ce que l'on peut se servir un verre d'eau dans un avion (puisque l'eau est "immobile" et que c le sol qui "bouge") ?? Force "centrifuge" en jeu?
Bonjour,
très intéressante vidéo! Il y'a un point qui me trouble un peu, c'est lorsque tu parles de l'objet Add, tu démontres que pourtout(x)pourtout(y) il existe(z) tq (x,y,z)appartient à Add, mais tu ne parles pas du tout de l'unicité de z (vu comment add est défini elle ne me semble pas complètement évidente), pourtant elle est nécessaire pour démontrer la transitivité de R non?
Très bonne question ! J'ai rajouté un commentaire épinglé qui répond à ta question ;)
À 5:03 on a pas besoin de démontrer que l'égalité est transitive?
Si je comprends bien, d'après la construction
le 1 de l'ensemble N est différent du 1 de l'ensemble Z
n'est ce pas ?
Tout à fait, le 1 de N c'est {ensemble vide}, alors que le 1 de Z, c'est la classe d'équivalence de tous les couples de N² de la forme (n+1;n).
d'accord, du coups ça ne pose pas de problème dans la suite ? parce que rien que dire N inclus dans Z est faux , non ?
Il suffit alors de poser que l'ancien N est désuet, et de définir un nouveau N, comme étant l'ensemble des éléments de Z qui sont supérieurs ou égaux à 0.
Parfait tout est clair !!
Merci pour tes vidéos ! ça me fait vraiment plaisir de voir des maths hardcore (ça c'est du hardcore, je te l'accorde U_U ) sur TH-cam: des voir des gens qui l'expliquent aussi habilement que toi, et de voir des gens qui s'y intéressent.
J'ai fait prépa puis école d'ingénieur et je serais bientôt diplômé... je me suis un peu éloigné de tout ça. Tes vidéos me redonne encore une fois ce plaisir de faire des vrais Maths , Merci ! :D
Merci aussi pour l'attention et le temps que tu accordes à ta communauté !
perimgui oui mais est ce que tous les théorèmes démontrés sur les entiers de N ont un théorème équivalent qui demontre la même proposition sur les entiers de Z ou R? ca serait dommage de tout redemontrer à chaque fois que l on étend l ensemble des nombres.
Vu que les différents ensembles de nombres ne définissent pas pareil, ça veut dire que les nombres ne sont pas vraiment les mêmes ? Notamment les entiers naturels sont une union de deux éléments tandis que les entiers relatifs sont des classes d'équivalence, ça veut dire que 2€N c'est pas le même que 2€Z ?
Tout à fait! 😊 C'est pourquoi je préfère définir chaque nouvel ensemble de nombres avec une étape supplémentaire, remplaçant ces nouvelles copies par leurs originaux déjà construits précédemment! 😊
je serais curieux de voir la construction des quaternions dans ZFC ^^
romain thibaud pourquoi pas les octonions...?
Construction la plus rapide des complexes : on assimile *C* au plan vectoriel réel formé par la matrice d'identité de côté 2 notée _X_ et la matrice de rotation d'angle π/2 notée _Y_. Ainsi, tout nombre complexe est représenté comme une matrice carrée à coefficients réels pouvant s'écrire sous la forme _x X_ + _y Y_ avec _x_ et _y_ réels. L'addition, la multiplication et i² = −1 sont alors toutes triviales.
Pour les quaternions, tu fais pareil avec les trois matrices de rotation de côté 3 et d'angle π/2.
l'axiome de l'union, c'est pas plutôt "Pour tout X, il existe U, pour tout z (z appartient à U (il existe Y (Y appartient à X et z appartient à Y))" ?
Si, et il l'a dit.
MrAmericanDreams relis mieux, il y a une faute dans la vidéo (z appartient à Y, pas à X)
Je n'avais pas vu qu'il l'avait écrit, juste qu'il l'avait DIT. Oui, bien sûr que c'est faux, sinon U = X.
Merci pour la coquille :)
J'ai rajouté un commentaire étiqueté à ce sujet.
Salut!
Tu dis que les objets de ZFC ne sont pas des "ensembles" (au sens intuitif qu'on en a), et qu'il faut faire attention car sinon on aboutirait au paradoxe de Russell.
Pourtant les objets mathématiques que nous appelons "ensemble" au sens mathématique, SONT les objets de ZFC (ou pas?).
Cela veut-il dire que l'on peut en effet créer l'ensemble de tous les ensemble, si par "ensemble" on entend "objet de ZFC" ?
Salut! L'idée de ZFC (et de toute approche axiomatique), c'est d'oublier tout mot du langage français (ou anglais ou whatever).
Une fois que l'on a construit des objets dans ZFC, on peut dire de ces objets qu'ils se comportent "comme des ensembles", et, en vertu de la citation de Poincaré, aller jusqu'à considérer qu'ils sont des ensembles.
Cependant, ils resteront distincts des "ensembles intuitifs". En particulier, non, on ne peut pas construire un ensemble de tous les ensembles dans ZFC, même si on sent que l'on peut construire un "ensemble intuitif" de tous les "ensembles intuitifs".
Je ne sais pas si ça aide. Mais tl;dr attention aux mots. Ce sont des faux amis.
Merci pour ta clarification, j'avais inversé l'interprétation que tu en donnais à la base.
J'en profite pour te remercier énormément pour ta série de vidéos, qui, bien que je sois en L3 de maths, me font redécouvrir les maths d'une autre manière, d'un point de vue non scolaire, et me donnent vraiment envie d'en apprendre toujours plus!
C'est un super boulot que tu as fais sur cette série :)
Je me demande si pour définir la division il ne suffit pas de définir l'ensemble q ? Enfin même si l'ensemble q ne définit pas les solutions mais defini bien des nombres qui sont des divisions.
Pour définir la division d'entiers, c'est suffisant de le faire sur |Q oui 🙂
Bonjour,
Petite question au sujet de la preuve par récurrence.
La preuve que la plupart des livres de logique mettent en avant dans ZFC avec la logique classique, c'est de faire l'utilisation de la preuve par l'absurde avec l'axiome de compréhension.
Cette preuve est d'ailleurs reprise dans les éléments de mathématique de Bourbaki dans sa théorie des ensembles.
Voici la preuve :
Posons A := P(0)
Posons B := P(n) => P(n+1)
Posons C := A ^ B => Pour tout n appartenant aux naturels, P(n)
Réécrivons d'abord C sous la forme équivalent de l'implication :
C := non(A ^ B) V Pour tout n appartenant aux naturels, P(n)
Posons maintenant non(C), et cherchons ensuite une contradiction :
non(C) := non(non(A ^ B) V Pour tout n appartenant aux naturels, P(n))
non(C) := (A^B) ^ Il existe un n appartenant aux naturels, non(P(n))
Supposons que non(C) est vraie.
Cela signifie qu'il existe au moins un naturel pour lequel P(n) est faux.
On peut donc utiliser l'axiome de compehension :
F = {n appartenant à N | non(P)}
Comme non(C) nous dit que A est vraie, cela signifie que P(0) est vraie, et donc que 0 n'appartient pas à F.
F ne contient donc que des entiers > 0.
De plus F est un sous ensemble de N et hérite donc de sa relation d'ordre, ainsi, on sait que tout sous ensemble de N contient un plus petit élément, donc F contient un plus petit élément, notons le m :
m = min(F)
On sait que m est forcément > 0.
On peut donc prendre m-1, car ce nombre naturel existe forcément, posons n :
n := m-1
On, nous savons que m appartient à F, donc P(m) est faux.
On sait que n n'appartient pas à F car m était le plus petit élément de F. Donc P(n) est vrai.
Or, d'après non(C), nous savons que B est vrai, et donc que pour un entier x fixé, P(x)=>P(x+1).
Ainsi, P(n)=>P(m)
Or, cette implication est fausse, en effet, P(n) est vrai et P(m) est faux.
Donc B est forcément faux. Or non(C) nous dit que B est forcément vrai, nous aboutissons à une contradiction :
non(C) => (B ^ non(B))
donc
non(non(C)) V (B ^ non(B))
donc
C V FAUX
Or FAUX est neutre pour le ou :
C v FAUX C
Ainsi, nous pouvons voir que C est forcément vrai. Et donc que si A^B est vrai, alors pour tout n appartenant aux naturels, P(n) est vrai.
Cette preuve repose sur l'axiome de logique de l'absurde et sur la relation d'ordre des naturels. Elle est plus longue mais semble être reprise dans de nombreux ouvrages, et même par Bourbaki, pourquoi ?
Pour être hardcore, ça l'est. J'ai beau avoir un bac S, je ne comprends pas grand chose. On nous apprend quoi au lycée en fait ?
Et pourtant, je regarde et écoute le plus attentivement possible, ça reste un plaisir de découvrir ce monde si abstrait, limite poétique, alors que je ne suis pas familier avec toutes ces notions.
De la logique mathématique pure, cela manque vraiment à notre système éducatif, plutôt que de bourrer le crâne des gosses en les forçant à apprendre bêtement les tables de multiplication par cœur alors que 4 touches sur une calculatrice suffisent à avoir le résultat.
Hmm, je dirais qu'au lycée, c'est plus un bagage culturel sans vraiment de rigueur, qui permet à ceux qui veulent faire d'autres sciences d'avoir les outils pour elles, et pour ceux qui veulent faire des maths, d'avoir les réflexes pour aller vite, et comprendre les enjeux des mathématiques (ce qu'est une fonction, un nombre complexe, la dérivation, les vecteurs, etc).
Au lycée, on apprend juste ce que les anglophones appellent _Calculus_, c'est-à-dire les règles calculatoires pour les limites, dérivées et intégrales (on trouve parfois le terme « calcul infinitésimal »). L'aspect ontologique (ce que sont les réels, pourquoi les opérations sont bien définies etc.) est l'analyse réelle pure et ça n'est fait correctement qu'en licence ou en prépa.
C'est clair qu'en évinçant l'algèbre générale et linéaire, la théorie des ensembles et les équations différentielles, le lycée sert plus à grand chose (Sans les équa-diffs, on est obligés d'attrophier à mort le programme de physique à côté et de combler les trous par de la chimie tellement inutile pour un scientifique généraliste qu'on n'en fait même pas en math spé...).
La notion de logique mathématique pure n'est pas très sexy pour les jeunes, c'est tout. Je pense que le lycée cherche plus à "former" l'étudiant à pouvoir tout faire, faire une formation généraliste. Tu peux très bien faire avocat ou chimiste après un bac s.
Après Craki, la chimie inutile pour un scientifique généraliste, ça dépend de ce que tu entend par généraliste... :( Mais de toute façon vu le niveau ridicule de chimie qu'on voit au lycée, autant ne pas perdre son temps et faire directement de la physique ou des maths plus poussées, j'suis d'accord.
@@remirossello6379 il explique bien parce que même au lycée on vois pas ça donc c'est normal qu'on arrive à comprendre un minimum, et donc c'est pas parce que tu comprends que le lycée ne sert à rien
@@remirossello6379 Je reviens dans ces commentaires un an après, la vidéo est beaucoup plus compréhensible après un début de prépa :p. Je pense que le lycée pourrait être mieux mais le bac S est un bon bagage, surtout que la chimie organique qu'on voit peut-être très utile. En plus, il faut du temps pour comprendre les notions de mathématiques, donc heureusement qu'on ne voit pas ça au lycée ^^'
Question : À 4:25 c'est pas plutôt ..... X = Y ?
oui sans doute
c'est d’ailleurs amusant j'aurai appelé ça une définition et pas un axiome puisque "=" n'est pas défini avant
5:10 Ne peut on pas dire qu'il y a plusieurs ensembles vides mais qu'ils sont tous egaux ?
Ca revient à dire qu'il y a plusieurs toi mais que vous vivez tous la meme chose au meme moment constitués des memes particules au meme endroit. En gros tu es unique
Ok ;")
Qu'est-ce qui fait que les "supertasks" soient légales (consistant avec les axiomes) dans ZFC ? Est-ce l'axiome du choix ?
+San Goku c'est l'axiome de l'infini
Oo
Ok merci ! Balèze cet axiome...
Au passage merci BEAUCOUP pour toutes ces vidéos pour assoifer des sciences tel que moi et beaucoup d'autres !
J'avoue ne pas tout comprendre mais je vois lentement la toile des maths qui se tisse lorsque j'appréhende un nouveau concept et c'est vraiment fascinant ! Merci !
Syvisaur Balèze... Et dis-toi qu'encore on a depuis découvert moults Axiomes «des super-infinis»! 😉
Un régal, merci ! Nous conseilles-tu de dire que les ensembles sont des objets parce qu'il existe des objets qui ne sont pas des ensembles dans ZF ? Si oui quels objets par exemple ? Merci encore !
On peut appeler "ensembles" les objets de ZF, mais c'est juste une manière de parler. ZF a été construite de telle sorte que les objets s'utilisent "comme des ensembles" intuitifs. D'une certaine manière, on peut définir un ensemble comme un objet de ZF. Se demander si un objet de ZF est un ensemble n'a en fait pas de sens.
@@krenv2052 Je n'aurais pas dit mieux !
Je pense que tu réponds à la question que je m'étais posé à propos du rôle qu'a joué la diagonale Cantor pour la thérorie des ensembles et la thérorie d'incohérence.
C'etait tres interessant. Merci de prendre le temps de faire ce genre de videos. Question: on arrive-t-on vraiment a tout faire (ie les demonstrations de tous les resultats de cette video) sans l'axiome du choix? La construction que j'avais lu dans Naive Set Theory de Paul Halmos (de memoire, hein, c'etait il y a presque 20 ans), on construisait N par une relation d'inclusion et on passait a l'infini en utilisant le lemne de Zorn. D'ou la necessite de l'axiome du choix. Si on arrive a construire N sans utiliser l'axiome du choix, je comprends l'interet de cette approche.
sea34101 dans la description il dit que tout peut se faire dans la théorie Z donc oui ...
Elle permet clairement de se passer de l'axiome du choix qui est relativement controversée, ce qui permet aux mathématiciens de ZF et ZFC d être en accord sur certains points de constructions
Bonjour. Merci pour cette video (qui remplace avantageusement le mauvais champagne pour le mal de tête de ce réveillon :) ). Plus sérieusement, c'est très intéressant et assez clair (après quelques visionnages) . J'ai par contre cherché un livre qui présenterait, en anglais ou en français (principalement sur Amazon) la théorie ZFC sans faire directement référence à la théorie des ensembles mais je n'ai rien trouvé, tous les livres parlant de "set theory" ou de "théorie (naïve) des ensembles"...Il n'y a donc vraiment aucun endroit où l'on peut trouver la théorie pure (Mis à part peut-être les articles originels de Zermelo, Fraenkel,...) . Vous dites au début de la video que c'est très rare.....c'est donc que çà existe quelque part ?
Pour être honnête mes connaissances sur ZFC viennent essentiellement du web et de forums comme MathOverflow ou Math Stack Exchange... C'est là que j'ai découvert les astuces pour construire les naturels et l'addition entre naturels.
Voici une référence en anglais : www.math.wustl.edu/~chi/310notesV.pdf
Merci pour votre réponse !
Deux questions :
1) le principe de preuve par récurrence découle souvent de la structure de bon ordre non ? Or là on n'a pas défini d'ordre (j'en suis à la minute 16) et on a obtenu le principe de récurrence. La construction qu'on a effectué permet elle de passer outre les bons ordres ? (si jai bien compris un bon ordre, c'est un ordinal, donc on peut définir N sans les ordinaux ?)
2) Je vois pourquoi il faut prendre des précautions, ne pas parler d'ensemble, de nombre etc, en gros. Ce qui se cache derrière, cest une histoire de modèles non ? À quand une vidéo là dessus, ça permettrait peut etre de formaliser cette vidéo (et de faire comprendre les distinctions que jai pas encore complètement saisi entre théorie axiome modèle satisfaction etc etc)
Merci beaucoup pour la vidéo !
Js de C'est pas tant une histoire de modèle que le fait que les objets de ZF(C) n'ont a priori aucun rapport avec les ensembles, les nombres, etc, qui sont des notions intuitives. La "vieille" théorie des ensembles, peut être plus proche de notre vision intuitive, ne parlais pas des mêmes objets que ZF (la preuve, elle était sensible au paradoxe de Russell)
C'est plus une question philosophique qu'autre chose.
Par définition d'ordinal (un ensemble bien ordonné et transitif), N est un ordinal (tel que construit ici). En fait, par la définition que l'on s'est donné de N, le principe de récurrence est immédiat. Le bon ordre se démontre après. Mais ce que tu peux faire aussi, c'est montrer que c'est un bon ordre, et après montrer que le principe de récurrence est correct via celui-ci. Au final, tu obtiens la même chose. Mais si tu regardes de plus près, définir N comme étant le plus petit ensemble comprenant 0 et stable par successeur, c'en est presque une définition d'un plus petit ensemble bien ordonné infini. L'idée de bon ordre est directement accessible. Pour moi, c'est totalement la même chose.
Est-ce qu'il y a des objets ZFC qui ne sont pas des ensembles ? les nombres entiers naturels peut-être ?
Ounadjela Djalal
Non, les objets de ZFC sont par définition des ensembles formels. Il n'y en a pas d'autre par définition et Lê explique bien que les entiers naturels en sont comme les autres.
VRB Blazy merci, mais Lé dit dans la video que les objets ZFC ne sont pas forcément des ensemble sans pour autant donner un exemple. Personnellement je ne vois pas d'objets qui se comportent comme des esensembles tout en étant différents de ces derniers.
donc je te rejoins dans ton affirmation
Ounadjela Djalal
Non attention il ne dit pas ça, il dit que le fait d'appeler «ensembles» les objets de ZF±C est une commodité parce que leurs propriétés sont très proches et que cela nous en donne une intuition. Je t'avoue ne pas être d'accord avec ce qu'il avance; les ensembles formels sont par définition les objets de ZF, et ceux dont je pense que Lê parle sont les ensembles primitifs, dont le comportement est intuitif et informel, nécessaires à la théorie des modèles, dans laquelle on peut construire ensuite ZF qui formalisé leur comportement dans ses axiomes.
VRB Blazy je regrete, mais il dit et il repete souvent que les objets ZFC "ne sont en fait pas des ensembles"', donc il n'est pas question de commodité seulement. ça se comprend que selon Lê il existe une certaine différence type entre un pur objet ZFC et un ensemble. voila, je vous invite à revisionner les deux premières minutes de la video
j'attend votre réponse. merci
Ounadjela Djalal
C'est ce que je dis, il dit que ce ne sont pas en fait des ensembles, et qu'on utilise souvent ce terme pour les désigner pour les raisons que j'ai évoquées! Mais je ne suis pas d'accord avec lui, et j'explique à la suite mon point de vue. :)
J'ai beau chercher, je ne comprends pas le passage de I à |N, ou plutôt je vois pas la différence entre l'un et l'autre, vu que l'ensemble X par lequel on passe pour restreindre I a exactement la définition de I (comprend l'ensemble vide, stable par opération de succession x U {x} ). Si quelqu'un peut m'éclairer, un grand merci d'avance.
Les ensembles X, comme I, peuvent contenir bien plus que les naturels: il suffit que s'ils contiennent le moindre élément supplémentaire, ils contiennent aussi tous ses successeurs. 😉
Commentaire pour aider au référencement ! Youpii Mot clefs: Maths Mathématiques Physique ZFC
Salut Lee un copain nous a donné un problème et nous ne vomprenons as comment c'est possible le problème est le suivant:
0=1
il nous a fait toute une démonstration mais je n'arrive pas à comprendre ni à accepter ce problème ...
Pourrais tu m'expliquer cela de façon un peu plus approfondi stp ?
Thibaud Mulenet Et du coup c'est quoi la démonstration ?
(souvent ce genre de "preuve" cache une division par 0... on détruit pas les maths comme ça non plus !)
Je ne comprends pas quelque chose dans la démonstration de l unicité de l ensemble vide : on suppose que pour tout z appartenant à Y, il est faux de dire que z appartient a Y
C est peut être bête mais comment z peut ne pas appartenir à Y si z appartient a Y
Et bien justement, c'est impossible. Donc si cette propriété est vraie pour tout objet appartenant à Y, c'est qu'aucun objet n'appartient à Y et donc que Y est vide. :)
je suis pas sur de comprendre, on a quand meme pas attendu d'avoir défini ces axiomes pour faire des math, additions, multiplications etc... alors à quoi servent-ils exactement ?
C'est une très bonne question.
C'est en premier lieu pour donner une base théorique, une justification rigoureuse, à toutes les mathématiques que l'on faisait jusqu'alors, qui reposaient un peu sur l'intuition, rien de très rigoureux.
Au tournant du XXème siècle, au fur et à mesure que les mathématiques devenaient de plus en plus abstraites, un besoin de fondements clairs et rigoureux a commencé à se faire sentir, ce qui a motivé les mathématiciens à introduire un formalisme tel que celui dans cette vidéo.
Même si dans la pratique les mathématiciens ne travaillent pas dans de tels systèmes formels, qui complexifient énormément les choses, il est rassurant de savoir que tout concept, tout raisonnement mathématique peut y être ramené. Dans la pratique, on se contente juste de la rigueur qu'il faut pour que les concepts les plus abstraits soient clairement définis et les raisonnements corrects et clairs.
Quelques liens pour approfondir :
fr.wikipedia.org/wiki/Logique_math%C3%A9matique
fr.wikipedia.org/wiki/Fondements_des_math%C3%A9matiques
Feras-tu une vidéo sur la preuve ontologique de l'existence de Dieu par Gödel ? et sur la théorie des catégories ? (si tu as le temps évidemment)
A priori non :(
Je me trompe peut-être. J'ai cru comprendre qu'au début tu voulais nous prévenir, que dans la théorie des ensembles, il ne fallait PAS CONFONDRE un ENSEMBLE et un ÉLÉMENT. Avertissement d'autant plus utile, qu'un ensemble peut ne contenir qu'un seul élément, ou pire qu'un ensemble peut contenir deux éléments qui sont chacun eux-mêmes des ensembles.
Par exemple, il ne faut pas confondre l'ensemble à un seul élément {a} avec l'élément a. En effet, on pourra écrire a € {a} (lire € comme "appartient à" ) mais on ne pourra pas écrire {a}=a. Attention aux crochets !!
Par exemple, on pourra écrire {a;b;c} € { {a;b;c} ; {b;c;d} } où un élément appartient à un ensemble qui contient deux éléments. Il ne faudra pas confondre avec { {a;b;c} } INCLUS dans { {a;b;c} ; {b;c;d} } où un ensemble à un élément est inclus dans un autre ensemble qui contient deux éléments.
C'est bien plus clair comme ça. LOL. 😉
Au fait, le "fameux" Nicolas BOURBAKI, n'était PAS un être HUMAIN , mais un GROUPEMENT DE TRAVAIL constitué de nombreux êtres humains, tous d'un très haut niveau en mathématiques. Ils ont fait faire de très grands progrès dans l'unification et la cohérence des différentes mathématiques. C'est grâce à eux qu'on ne dit plus LES mathématiqueS mais LA mathématiquE.
Bonne vidéo
À 7:00 il y a une coquille dans l'axiome de l'union selon la théorie ZFC :
tu as écrit z appartient à X au lieu de z appartient à Y à la fin.
Ça m'inquiète un peu de voir que peu de personnes aient lu la formule... Parce que quand on lit, on voit tout de suite que quelque chose est bizarre !
Et il manque une parenthèse fermante.
(à 14:09 aussi, dans la définition de N, et à 17:36, pour définir XxY... XD tu es officiellement prof de prépa.)
à 28:24 c'est pas très clair : je comprends pas ce qu'est R : il manque l'exposant 2 sur coupe, et je crois comprendre que les couples décrits de coupes sont des parties de Q égales à leur borne sup près... Non ? Je ne comprends pas à quoi sert le ou.
Et du coup les réels sont des classes d'équivalences sur des coupes, de Q, c'est ça ?
Excellente vidéo par ailleurs, c'est un plaisir de voir que plus ça va, plus je comprends les épisodes hardcore (bon, les tenseurs, c'était autre chose... ).
Merci pour les nombreuses coquilles :)
J'ai rajouté un commentaire étiqueté pour adresser tes remarques et les partager avec tout le monde :P
PS: Oui, les réels sont des classes d'équivalences de coupes de Q
d'accord, merci
Je fais une pause parce que tu m'as bien fait rire avec ton français approximé, tu es pas aussi rigoureux en Fr que en math ^^ On dit Fr approximatif
ça ne s'utilise pas, mais je ne pense pas que ça sois faux.
Le verbe "approximer" existe bien, ici il décrit le FR donc c'est un adjectif qu'il doit se servir
21:30 ne devrait on pas ajouter une troisième condition qui dit que si (m, n, p) € Add, alors (n, m, p) €Add et de même pour Mult ? (J'utilise le symbolede l'euro pour appartient à)
La commutativité de l'addition se prouve par récurrence. :)
Votre exposé éclaire le fait qu'un "nombre" est une notion/concept hautement synthétique, indissolublement llée à la représentation écrite, ce qui rend inanes les déclarations de certains éthologues quant à la capacité calculatoire des animaux. En effet, le concept semble indissolublement lié à la conscience, cette dissociation, au moins fonctionnelle sinon histologique, des fonctions neurologique "automatiques" inconscientes et des fonctions d'"auto-observation". Tout le problème revient alors à déterminer quand apparaît la conscience, puisqu'il semble qu'elle ne naisse pas toute armée de la cuisse de Jupiter, mais apparaisse graduellement (il s'agirait de dégager des "nombres" qui ne seraient pas encore tout à fait des "nombres" mais leurs racines). J'ai ainsi montré que l'organite le plus simple pensable réalise déjà une porte logique pour la raison qu'il DIFFERE de son environnement. Or notre organe cognitif comporte quelques dizaines de milliards de neurones, encore plus de synapses et que cet dit espace intersynaptique demanderait à lui seul probablement une encyclopédie ayant la taille de l’univers pour une description adéquate (ce qui renvoie à la topologie). Une affirmation moins ambitieuse consiste à affirmer que le langage et plus encore l'écriture constituent des extensions et des amplifications externes (dans le cas de l'écriture) de la conscience. En d'autres termes si le langage ZFC explore avec fruit les racines du nombre, cette quête doit connaître une limite puisqu'elle emploie nécessairement des notions synthétiques pour se mener à bien. Ce résultat est trivial en philosophie (trivial au sens de Grothendieck, cad fondamental, essentiel, obscurément claire comme l'évidence) tandis que le même genre de problématique se rencontre en physique.
SUPER BOULOT !!! :)
Si les objets de ZFC ne sont pas des ensembles, c'est quoi un ensemble, alors ? Si les objets de l'arithmétique de Peano ne sont pas des nombres, c'est quoi un nombre, alors ?
Je pense qu'en fait on créé des objets dans ZFC et on leur donne tout simplement un nom :/
Quand il dit "ça a les mêmes propriétés que les nombres", je suppose qu'il parle de la compréhension intuitive qu'on a des nombres de tous les jours
C'est exactement ça, les termes "ensemble" et "nombre" viennent du français (ou du langage courant), ils sont définis dans un dictionnaire et ne sont en aucun cas (du moins formellement) mathématiques. ZFC défini juste des objets de ZFC, en fait, le nom réel de ces objets c'est les axiomes qui les définissent, mais comme c'est impossible d'en parler sans termes de la langue courante on utilise des mots comme "objet" pour rester vague et pas trop s'avancer ou "ensemble" parce que ça ressemble quand même beaucoup à l'idée intuitive qu'on se fait des ensembles.
Oui, mais à mon avis, ça ne sert à rien de mettre l'accent là-dessus et de mettre des gants pour en parler. Si on ne sait pas ce que c'est qu'un ensemble, il n'y a qu'à dire que c'est ce que définit ZFC. Que ça corresponde ou pas avec notre intuition, ce n'est pas grave, vu qu'il n'y a pas de définition précise de notre intuition.
Je bosse dans les preuves formelles où on a une définition mathématique de ce que c'est qu'une preuve. Si on me demande si ça correspond à notre définition intuitive de ce que c'est qu'une preuve, je réponds la même chose : une preuve, c'est ce que je définis, là. Que ça corresponde ou pas à une notion intuitive floue, on s'en fiche, puisque la notion intuitive est floue. Je n'ai pas besoin de dire que "ça n'a rien à voir avec la notion de preuve".
@@j9dz2sf je pense qu'il appuie là dessus pour dire que ce n'est pas exactement ce qu'on se dis intuitivement et aussi pour résonné avec la citation de Poincaré " la mathématique est l'art de donné le même nom a des choses différentes"
Modulo la vidéo de M.Φ sur la notion de définition, vous avez parfaitement raison 😊 Lê veut simplement dire que les formalisations des concepts abstraits intuitifs, une fois arrêtées, peuvent contredire certaines des intuitions qu'on en a ou ne pas en démontrer d'autres: ce qui ne signifient pas qu'elles en soient une formalisation parfaitement légitime ! Mais il peut cependant en exister d'autres, comme toutes les autres théories des ensembles, qui vont formaliser un peu différemment la notion et plus ou moins coller à l'intuition de certains ou d'autres. Quant à l'arithmétique c'est un peu particulier : la formalisation canonique qu'on en a est métamathématique, typiquement après Peano les chaînes de caractères de la forme s...s0, et les objets de l'arithmétique sont en fait celles-ci, dont elle étudie les propriétés syntaxiques. Elles ne dépendent d'aucun axiome ou hypothèse, et sont absolues! Ce qui explique qu'on le ressente autant pour les nombres entiers, plus que pour d'autre objets mathématiques 😊
Il y a une petite coquille dans la démonstration de l'unicité de l'ensemble vide, aux deuxième et troisième ligne c'est ∀z plutôt que ∀z∈Y.
a chaque fois qu'on arrive aux nombres reels on devient moins rigoureux, je pense meme que c'est a cause des nombres reels qu'on a fait zfc, et puis c quoi la coupe pour le nombre Pi donc ?
pi, vaut mieux le voir comme la classe d'équivalence d'une suite de rationnels "qui tend vers pi".
Ainsi, la suite définie par u0=3, u1=3.1 ; y2=3.14 etc... en rajoutant une décimale à chaque fois, est une suite de rationnelles qui pourtant tend vers pi.
Donc on prend sa classe d'équivalence, et hop, c'est ça qu'on appelle pi :)
perimgui non je demande la dedikend cut de pi, si cette coupe n'existe pas, alors il faut éliminer la méthode dedikend pr définir les réels, C'était un essai courageux qd même
Et je jouerais même à ton jeu et te demander donc le 256ème terme de ta suite, Et sinon ta formule un= f(n) de comment tu as pu le ressortir ( parce que je suis sur que tu vas directement regarder un développement décimal pr me le ressortir :) ) Et la je ne suis pas encore méchant, Je peux te demander le 9^9^9^9^9^9 ème terme
Que l'on ne puisse pas désigner quelle coupure de Dedekind représente pi ne veut pas dire qu'elle n'existe pas. On peut montrer que la construire R[Cauchy] et la construction R[Dedekind] sont isomorphes. Nommons f un tel isomorphisme.
Alors en prenant x=pi[Cauchy], il me suffit de prendre pi[Dedekind] comme étant f(x), et le tour et joué.
J'ai trouvé une coupure qui représente pi.
Soit (u[n]) une suite croissante qui tend vers pi (par exemple, l'approximation décimale, qui se définit très bien à partir de la partie entière, donc de manière constructiviste).
Alors en prenant A = {x€Q| il existe n€N, x=< u[n]}, et bien A est la coupure qui représente pi.
Très intéressant. Il me semble, que, par moments, vous pourriez présenter les choses de façon un tout petit peu plus simple, en vous appuyant sur des définitions plutôt qu'en revenant tout le temps aux axiomes.
Question sans lien avec la video
Le big bang a eu lieu il y a 13.8 milliards d'années
On m'a dit que l'univers visible est 13 milliards d'années lumière mais qu'on suppose que certains astres sont à plus de 40 milliards d'années lumières de nous
Comment c'est possible ? Ils auraient parcouru plus de 13.8 milliards d'années lumière en 13.8 milliards d'années donc ils iraient plus vite que la lumière ... Quelle est mon erreur svp ?
L'univers grandit plus vite que la lumière (dans le sens où tu peux prendre deux endroits de l'univers qui s'eloigneront plus vite que c)
@@tesseract2144 pas si évident..c'est une théorie ça.. Mais y'a des problèmes avec la matière noire et énergie noire. Cf constante de Einstein.
Je pense qu'il y a une petite faute dans la première formulation de l'axiome de l'union (l'originale). C'est bin $z \in Y$.
Oui, sinon le Y sert à rien dans l’énoncé...
on sait que ∅={ } et que la théorie ZFC ne traitent que des ensembles, alors forcément on y rencontrera des objets du type {{...{ }...}}, du coup je m'interroge par rapport à l'existence de l'objet x={{{...}}} (une infinité de singletons emboités) et sa signification ?
dsl si ça parait bete haha
à premiere vue cet objet vérifie la relation x∈x et ceci me permet d'affirmer que x n'existe pas. qu'en pensez-vous ? est-ce qu'il faut donner une preuve pour x∈x ou bien c'est trivialement vérifié ?
Il n'y a pas d'axiome qui permette de construire {{{...}}} (les trois petits points sont interdits en langage formel)
Ceci dit, il y a un axiome, l'axiome de fondation, qui interdit ta construction. Mais, en tant que constructiviste (on verra bientôt ce que ça veut dire), je me contrefous pas mal de l'axiome de fondation ^^
Science4All (français) merci infiniment pour cette réppnse.
pour les 3 point (...) j'ai essayé de les éviter à l'aide de l'expression suivante (je ne suis pas encore tout à fait sûr si elle est permise):
∃χ∀n∈N∃!x(n) (x(0)∈x)∧(x(Sn)∈x(n))
N étant ici l'ensemble des entiers naturels.
ignorant l'axiome de fondation, et ayant supposé l'existence de cet objet, j'ai pu constater que son unicité (puisque x={{{{{...}}}}} est la seule façon de l'écrire) est indécidable.
j'aimerai bien savoir maintenant si l'expression que j'ai donné pour éviter les 3 points (...) est correcte. ça me facilitera davantage la compréhesion de la théorie.
merci encore une fois.
Ounadjela Djalal C'est correct, mais plus court ainsi: Ex, x={x}. 😉 Ça s'appelle un atome, et est étudié en théorie des ensembles mal-fondés! 😊
Pour l'ensemble des nombres réels on peut pas juste dire: VxVy| R = {x+y} ?
Peut-être 3a étant passés pouvez-vous maintenant vous répondre tout·e seul·e? 😉
@@GrothenDitQue stop à l'écriture inclusive qui saccage la langue française.
@@ami443 Halte à ces croyances erronées en l’immobilisme des langues d’une part, et réduisant la grande langue française à ses quelques errances teintées de choix saccages sexistes séculaires et volontaires à l’époque, d’autre part.
Au demeurant, la substitution de l’anglicisme «stop» au bon français «halte» est un témoin éclatant de son caractère changeant (qu’elle a comme toute langue naturelle), qui peut par certains aspects être considéré largement plus comme un saccage du français que son retour à la constellarité (mot plus symétrique que celui d’«inclusivité»). 😉
@@GrothenDitQue t'es prêt pour l'asile. Bon courage.
@@ami443 Le bon vieux recours à l’accusation de psychopathie faute d’argument, vraiment? 😉 Et bien vois comme on peut être par trop optimiste: je n’avais sincèrement pas envisagé que tu sois du genre à t’abaisser à ce niveau-là… 🙃
Où est le "blocage" qui fait que Sn n'est pas définit plus simplement par Sn = {n} ?
Aucun blocage ! Ça marcherait très bien aussi.
(Certains préfèrent ce que j'ai présenté car "n
Au début tu dis qu'on peut tout définir à partir de ZFC... Du coup, comment on fait les courbes de la bourse? :P
Ce sont les courbes de fonctions. Et les fonctions, il les a définit dans la vidéo :D
Bah justement, pour moi une courbe n'a jamais été un objet mathématique mais une représentation de l'objet donc ça m'étonne qu'on puisse définir des courbes de fonction dans la théorie :/
Ça serait l'ensemble des paires ausuels on associe un objet et son image par la fonction ?
Exactement, à ceci prêt qu'on rajoute un petit détail: l'ensemble de départ et l'ensemble d'arrivée.
Ainsi, on commence par prendre deux ensembles, E et F. Puis on prend G une partie de ExF.
Enfin, on dit que la fonction, c'est le triplet f=(E;F;G).
On dira alors que pour x€E et y€F, on a y=f(x) si et seulement si (x;y)€G.
Il faut faire attention avec G: il ne faut pas qu'un élément x de E vérifie qu'il existe y,z de F tels que y!=z et (x,y) et (x,z) soient dans G
f ne serait alors pas une fonction
Sûrement ultra brillant, mais ça va trop loin. Si je ne comprends pas l'axiome de compréhension, dois-je me jeter aux Goudes ?
actuellement en bac+2 en math (en fesant partie des meilleurs), et j'ai du mal.
*faisant partie (je te corrige dans l'idée de te rendre meilleur encore ;))
L'axiome de compréhension te permet de considérer l'ensemble des "solutions" d'une "équation"; sauf qu'ici l'équation c'est une propriété. Tu considères donc l'ensemble des éléments vérifiant une propriété. Par exemple, l'ensemble des x tel que x > 2.
bonjour, j'adore
J'avoue! C'est hardcore ahah
Comme tu l’as bien décrit, tes vidéos parlent de Sm
Pourquoi deux éléments égaux (dans le sens donné par l'axiome d'extensionnalité) ne pourraient-ils pas faire partie du même ensemble ?
Autrement dit, est-ce que ∃X∃x∃y x∈X ∧ y∈X ∧ x=y ?
Si deux ensembles sont égaux, alors ils appartiennent aux mêmes ensembles.
C'est une conséquence de la règle logique de substitution. Si x=y, alors P(x) est vrai ssi P(y) est vrai.
Ainsi si P(z) est défini comme z∈X, et si x=y, alors x∈X ssi y∈X.
Merci de ta réponse ;
Cela signifie donc que le symbole "=" a une sémantique supplémentaire que celle simplement donnée par les axiomes ? Car aucun axiome ne spécifie que x=y => (P(x) P(y)), si ?
Comment écris-t-on 'il existe..."tel que"...' dans zfc?
« ∃x P(x) » signifie « il existe x tel que P(x) ».
« ∀x P(x) ⇒ Q(x) » signifie « pour tout x tel que P(x), on a Q(x) ».
merci :)
manque une parenthèse fermante dans ton axiome de compréhension.
Ohay bah j'ai été perdu à la 7ème minute XD bon j'ai continué, j'ai encore été perdu sur l'ensemble Add et un truc encore avant ... mais je crois qu'il es un peu tard pour ce niveau, je reviens demain :)
quelqu'un peut-il construire un ensemble qui ne soit pas un nombre et qui appartient a l'ensemble I defini par l'axiome de l'infini ?
Si je pose
I = N U {N;S(N);S(S(N));...}, alors I répond bien à l'axiome, et il contient par exemple N lui-même, qui n'est pas un nombre. C'est un exemple.
Merci
Existe-t-il des axiomes "encore plus bas" ?
Je suis gêné par l'écriture des axiomes qui supposent déjà l'existence de certains principes :
1) la notion de l'objet "ensemble"
2) les éléments de ces ensembles
3) les symboles [il existe] [quelque soit] [équivaut] [induit] [appartient à] [les parenthèses] [la notion de propriété P(x)]
4) la notion "d'instruction mathématiques" qui combine les éléments précédants (je veux dire en fait : toutes les phrases mathématiques qui sont indiqués dans la vidéo) ; certaines visent à introduire un nouveau symbole (axiome d'extensionnalité, avec le symbole égale), pour d'autres, c'est un langage plus littéraire (axiome de paire : "on écrit C={x,y}).
Stève A
Il y a avant cela les axiomes de la logique qui régissent les symboles logiques.
En revanche la notion d'ensemble est primitive à ZF, tout comme celle d'appartenance (quand tu parles de leurs éléments) elle n'y est pas définie mais son comportement est régi par ses axiomes... Et elle est même utilisée avant formalisation dans ZF pour tout ce qui est modèles, etc.
Je complèterais la réponse du jeune moi d'il y a 3a comme suit:
L'écriture de ces Axiomes ne présuppose rien du tout, elle ne nécessite aucun engagement ontologique au-delà de leur syntaxe elle-même, c'est-à-dire des symboles, nus de tout sens. Le sens est la manière dont nous conceptualisons ces symboles dans nos têtes, en particulier considérer qu'ils formalisent le concept abstrait d'ensemble, la notion d'appartenance, etc. Mais ces Axiomes et symboles n'ont pas besoin de cette activité mentale en nous pour effectivement entraîner ces théorèmes-là (qu'on conceptualise à leur tour comme propriétés des ensembles abstraits qu'on imagine)! 😊 Quant au 4), il s'agit d'un raccourci de la part de Lê: tout s'écrit formellement; pour de donner typiquement l'exemple de la paire, l'axiome est écrit symboliquement sans notation, mais a posteriori par praticité on enrichit le langage d'un symbole de fonction binaire {,} qu'on définit par un axiome dédié qui vient étendre ZFC, en disant (formellement encore) que pour tout x,y l'individu {,}xy, qu'on note plus joliment {x,y} parce que la notation préfixe n'est pas toujours la plus pertinente intuitivement, ne contient via ε que x et y seuls. (Et encore en disant cela en français avec des pour tout et le mot «contient», je sur-conceptualise: il n'y a en réalité qu'une chaîne de caractères du langage formel) 🙂
super
"Hardcore" bon bah je reviendrai peut-être après mes 2 ans de prepa. 😭😂
Je pense que tous les mathematiciens du monde reconnaissent les limites de la definition de dedikend, nom de dieu je veux juste que qlq'un me montre un dedikend cut pour le nombre Pi, pour les suites de cauchy, je peux alors vous montrer que tous les nombres reels sont "semblables" ou "apparents de la meme maniere" je prefere de dire que tous les nombres reels look the same. Soient deux classes d'equivalences de suites de cauchy, c1 et c2 par exemple, pour toute suite de c1 tiree jusqu'a n'importe quel rang N, je serais capable de vous sortir une suite de c2 qui est exactement egale a la suite de c1 jusqu'a ce rang.
Quelle importance que deux suites aient les mêmes termes jusqu'à un certain rang, même aussi arbitraire soit-il ?
pas qu'une, une infinité, voire toutes ces suites, Ça vous dérange pas de définir des choses supposés être différentes par une définition assez vague comme ça
la rang je rappelle vous pouvez prendre un gougol, un nombre de graham, ce que vous voulez, ...
La définition est hyper rigoureuse. Que vous puissiez prendre énormément de suites proche ne casse pas pour autant la définition.
+Mohammed Khalili
Une façon de définir pi qu'on a vu en maths spé cette année, c'est de définir d'abord d'autres objets:
1) suites
2) séries
3) fonction cosinus à partir de sa définition en série entière
4) on peut alors définir pi/2 comme étant la 1ère valeur d'annulation positive du cosinus.
Mais il y a bien sûr, d'autres manières de définir ce nombre, heureusement toutes équivalentes.
5h37 du zbah jsuis complètement pepom tout compris
Oui j'avoue ! Ziz
J'avoue que je ne sais même pas ce qu'est un "nombre"...
Sinon la voix est beaucoup meilleure j'ai remarqué
Rien à voir, mais le nombre d'objets mathématiques dans ZF est-il supérieur ou égal au nombre de nombre réels ? (C'est infini plus grand ou égal ?)
sinon, la définition maternel (algorithmique) est plus simple.
on défini (par "axiome") que les nombres sont une liste, l'incrémentation comme le passage au suivant de la liste,
l'addition comme parcourir 2 listes simultanément, en partant dans la 1er liste du 1er nombre, et de 0 dans la 2eme, et en s’arrêtant quand on a atteint le 2eme dans la 2eme liste.
et la multiplication de la mème manière : comme une succession d’additions.
C'est intuitif donc c'est normal 😉
Et oui largement : l'ensemble des parties de |R en contient déjà strictement plus! ZF a une classe propre d'individus, c'est-à-dire qu'on ne peut bijecter avec un ZF-ensemble. 😊 Les questions plus précises y sont informulables ou indécidables et s'étudient dans des théories des classes l'étendant!
c'est incroyable se le travaille que tu fais mais la tu ma perdu même si normalement j'y arrive en math
Mais donc.. tous les objets des mathématiques de ZFC ne sont que des agencements d'ensembles vides ?
On peut voir ça comme ça oui ! Fascinant non ?
@@DanielBWilliams c'est incroyable qu'on puisse créer tant de complexité avec ça.
Je pense que j'ai compris dans l'ensemble
KAMOULOX!
je comprend rien (comme presque toute les vidéo pourtant j'ai 20 de moyenne mais bon je suis qu'en 1er) mais j'aime sa et j'aime les maths
Est-ce qu'un ensemble, ça a du sens pour toi en maths ?
Je pense que c'est parce qu'au lycée, on utilise des tas de notions sans les définir précisément. C'est suffisant pour raisonner et ça reste intéressant. Ici, on essaie d'avoir une définition précise de ce que c'est qu'un nombre. Et on s'aperçoit que si on part de la notion d'ensemble, on arrive à définir les nombres. Encore faut-il avoir une définition précise également de ce que c'est qu'un ensemble. Et c'est ce qu'il fait, avec ZFC. Tout cela ressemble beaucoup à du pinaillage. Mais ça permet d'avoir des assises solides pour les mathématiques. Ça peut se révéler important pour ne pas tomber sur des contradictions (comme le paradoxe de Russel). Mais on peut s'en fiche totalement quand on fait des maths dans tous les domaines mathématiques différents qui existent.
perimgui c'est surtout les simbole que je comprend pas
DrWho le redstoneur tu verras les symboles bientôt et c'est beaucoup plus simple qu'il n'y parait ^^
DrWho le redstoneur
Quels symboles ? ∀ et ∃ ?
"LA" théorie des mathématiques standard : je sais pas si vous allez vous faire des copains en disant ça.
ça fait tellement langage formel.
Quelles sont les problèmes d'une logique où l'ordre est supérieur à 1? ça m'a l'air manipulable.
Ce ne sont pas vraiment les problèmes qu'il évoque, c'est plutôt une affaire de bonnes propriétés de leurs sémantiques ensemblistes qui sont bien pratiques à l'ordre 1 et qui ne valent pas à l'ordre >1: voir le Théorème de Linström, en particulier. Mais cela n'empêche pas du tout qu'elle soit manipulable seule, ça ne concerne en effet que ses interprétations ensemblistes 🙂
12min erreur de parenthèse
15min aussi
fait en prépa en hors programme lol...
Si tous les nombres partent d'une réunion de choses qui ne contiennent que du... vide, je ne vois pas pourquoi ça ne serait pas... vide ! Donc pas le nombre 1 ! Bref : on crée de la "quantité" ou du "dénombrement" à partir de "rien". Et ça, ça me gêne énormément. Pas vous ? Au passage : nombreuses approximations parmi d'autres youtubers scientifiques, qui indiquent que 1 est l'ensemble qui contient 0, ce qui est inexact si j'ai bien compris (exemple : Passe-Science, pourtant plutôt très fiable dans la rigueur).
Les nombres sont un concept qui existe d’abord intuitivement. Ce qui est présenté dans cette vidéo n’est qu’une formalisation de ces derniers dans la théorie ZFC. Le but n’est pas de « définir » ce qu’est un nombre (en arithmétique de Peano, par exemple, le concept d’entier naturel est un concept primitif, non-défini), il est juste de faire en sorte que la formalisation ait la même « structure » que les nombres tels qu’on les conçoit intuitivement. Ce qui est intéressant, ce n’est pas ce qu’est le nombre en lui-même, mais la structure de l’ensemble auquel il appartient, définie par les autres concepts primitifs (addition, multiplication ...) et par les axiomes qui les lient.
De même, dans la théorie ZFC, les concepts d’ensemble et d’appartenance sont des concepts primitifs non-définis. Les axiomes sont choisis de telle sorte que les objets de la théorie correspondent aux ensembles tels qu’on les conçoit intuitivement. C’est pour ça qu’au début de la vidéo Lê dit que ces objets ne sont pas vraiment des « ensembles ». Le but de toute démarche d’axiomatisation est de ramener un concept intuitif à une simple manipulation de symboles, régie par des règles logiques très simples.
Enfin, quant à ta dernière remarque, sache qu’il existe plusieurs constructions des entiers naturels dans ZFC. On peut définir le successeur d’un entier n (qui est un ensemble) comme n U {n} ou comme {n}. Une fois ces ensembles munis de l’addition et de la multiplication, on peut démontrer qu’ils sont isomorphes (intuitivement, qu’ils ont la même « structure »).
@@GoogleUser-st9lh Merci pour votre réponse. Car le youtuber n'a pas eu le temps, j'imagine, d'y répondre. Ceci dit, vous vous doutez que ça ne m'a pas convaincu, dans le sens où au final, on crée quand même des choses "non-vides", à partir de quelque chose qu'on appelle "l'ensemble vide". Je trouve que c'est super bof. Après, bien entendu, comme toute axiomatique, le reste est parfaitement logique et cohérent. Mais pour avoir tenté de rassembler la géométrie et l'arithmétique, je trouve que l'axiomatique ZF part d'un truc complètement bancal.
@@guillaumelimousin7988 Je comprends ce que vous voulez dire. Moi aussi, je ne vois dans cette construction à partir de l'ensemble vide qu'une simple manipulation de symboles. Cependant, je trouve que votre objection n'est pas pertinente. Encore une fois, le but de toute démarche axiomatique n'est pas de "définir" ce que qu'est un objet mathématique "en réalité". Le but est juste de ramener le concept à un ensemble fini de concepts primitifs et d'axiomes. Des concepts formalisés dans la théorie ZF comme celui de fonction, de continuité (topologie), de nombre ... sont tous des concepts intuitifs à la base. Pour construire les nombres dans ZF, il faut bien partir d'un ensemble concret, d'une "constante". On choisit l'ensemble vide car c'est le plus simple. Vous parlez de "rassembler la géométrie et l'arithmétique", mais, par exemple, si on veut rassembler deux branches des mathématiques qui semblent si différentes, si distinctes, ne sera-t-il pas nécessaire de faire des choix qui pourront paraître tout aussi "bizarres" que celui de construire les nombres à partir de l'ensemble vide ? Aussi, avez-vous quelque chose d'autre à proposer au lieu de cette formalisation ?
@@GoogleUser-st9lhOui, je comprends. Et... non, je n'ai évidemment rien de mieux à proposer, sinon vous vous doutez bien que j'aurais déjà fait une publi... (je suis devenu prof de maths, mais seulement au collège : mon ancien domaine de recherche n'est pas du tout l'axiomatique). Mais cela ne m'empêche pas d'avoir mon droit de "spectateur" des avancées de la science dans ce domaine. Donc évidemment, j'ai pas dit que Zermelo et autres sont des nuls (loin de là !). J'ai juste dit que je suis impatient que des chercheurs trouvent une nouvelle axiomatique qui ait la puissance de réunir géométrie et arithmétique, tout en ayant des bases intuitives plus concrètes.
L'ensemble vide {} ne *contient* certes rien... Mais il n'est pas rien! Donc l'ensemble le contenant {{}}est bien un singleton, non vide, contenant qqch.; et ainsi de suite! 😉 Voilà pour la réponse conceptuelle, intuitive à votre interrogation 😊
Premier... Nombre