วีดีโอ

Tack för frågan! Nej, i relationer spelar riktningen alltid roll. (1,2) är alltså förbindelsen från 1 till 2, medan (2,1) är den motsatta riktningen. Om båda finns uppräknade i relationen så kan vi representera det med en dubbelpil i relationens graf.

@@DanielCarlsson2 tack! :)

Har tyvärr inte gjort någon serie i analys, men har nog någon kollega på LiU som gjort det. Jobbar just nu med en serie föreläsningar i Geometri i lightboardformat som kommer under hösten. 🍂

Tack! 🙏🏻😊

Tack! Så glad om det är till hjälp. 🙏🏻 Jobbar själv på Linköpings universitet. Lycka till med dina fortsatta studier! 👍🏻

Hej! Förlåt sent svar! Det finns två möjliga uttryck, beroende på om man väljer plats för "bollarna" (valda objekt) eller "staketen". Titta vid 14:35 i videon, där kommenterar jag det, men det blir inte "över (k-1)" som du skrev utan "k+n-1 över (n-1)" alltså att välja bollar (k st) kan bytas mot att välja plats för staketen, vilka är n-1.

Ja, det stämmer. Den har bara annan kurskod och över lite andra veckor. 👍🏻

I princip skulle man kunna hitta en första lösning på lite olika sätt, men att nysta upp Euklides algoritm baklänges är ju en metod som visat fungerar i de allra flesta fall. I de fall metoden inte fungerar så är det enkelt att hitta en lösning, se klippet om några specialfall: th-cam.com/video/ReJjW1t8EtA/w-d-xo.htmlsi=X2Mu6mJtnoYiF8Dt

Så roligt att höra - och bra jobbat av dig! 👍🏻😃

Tack! Jo, utöver de korten som bildar trissen har vi två kort ur två olika valörer (annars får vi kåk), så säg att trissen är i 5:or och säg att de sista två korten ska vara en 7:a och en 9:a (valet av valörer har vi i 12 över 2), då finns det 4 sätt att välja 7:an på och oberoende av det 4 sätt att välja 9:an på. Totalt alltså 4*4 sätt att välja ut de sista två korten. Man kan dela upp valen på lite olika sätt, men viktigt att man inte räknar samma hand av kort 2 ggr. Lätt hänt. Blev det något klarare?

Tack, så roligt att det hjälpt dig! Tack för uppmuntran! 👍🏻😃

Tack! 😊 Nej, inte ännu. Se om du hittar någon som har något bra klipp på det.

okej då förstog jag nu men det tog sin tid, fick spela videon minst 5 gånger

Ok, så bra. Du ska alltså nerifrån och upp byta ut resterna så att du får sgd (som är 1 här) uttryckt i 61 och 29. När det är gjort ska du multiplicera båda sidor så att högerledet blir lika med högerledet i din diofantiska ekvation. Sedan kan du läsa av x_0 och y_0. Är det parenteser och tecken som skymmer sikten kanske? Blir lite att hålla ordning på. Öva på några ekvationer och se om det klarnar! 👍🏻

Vid diofantiska ekvationer söker man bara heltalslösningar, så det du skriver besvaras av den ursprungliga satsen, d v s att då sgd(6,15)=3 och 3 inte delar högerledet som är 1, så saknas det lösningar. I detta klipp tar jag dock upp några fall där den vanliga lösningsmetoden inte fungerar. Alltså lösningar finns, men vi hittar inte (x0, y0) enligt den tidigare presenterade metoden med ”Euklides baklänges”.

Nej, det är därför jag tar med en sådan uppsättning också. Antisymnetri är formulerat som ett ”om… så…”, en implikation. Om xRy så får aldrig yRx. Om det finns en förbindelse mellan två element (en 1:a) så får inte den omvända finnas. (Svarar mot en 0:a på motsvarande plats i matrisen.) Men om det inte finns en förbindelse så är förledet i implikation falskt och implikation blir sann även om den omvända förbindelsen saknas. Två 0:or går alltså bra, 0 mot 1 går också bra, men inte två 1:or på motsvarande platser.

Blev det klarare?

Bra att du frågar! Om påståendet gäller från n=2 så visar du basfallet (steg 1) för n=2. Induktionssteget (steg 2) blir oförändrat. Tillsammans visar det att påståendet gäller för alla n större än eller lika med 2.

Jo, egenskapen "transitiv" är formulerad som ett "om.. så...", alltså en implikation. "Om aRb och bRc så måste a vara relaterad till c, för alla sådana a,b, c i mängden som R är definierad på, säg mängden A. Om förledet "aRb och bRc" inte är uppfyllt, så behöver inte heller efterledet (aRc i detta fall) vara det. Detta går tillbaka på när en implikation är sann. Om implikationen aRb och bRc => aRc är sann för alla a,b,c i mängden A så är R transitiv. I det aktuella exemplet i videon finns det inte några typiska tvåstegsförbindelser, men t ex är aRa och aRb och den "direkta förbindelsen" i detta fall blir aRb. Alla sådan tvåstegsförbindelser har en direkt förbindelse och därför är den transitiv. Att e saknar förbindelser är inget problem. En relation kan bli transitiv genom avsaknaden av förbindelser. En implikation kan ju nämligen vara sann genom att förledet aldrig uppfylls. Titta gärna på exemplet "Lika med" i klippet om fyra egenskaper för relationer, tid 12.50: th-cam.com/video/TtVKzbOjAmE/w-d-xo.htmlsi=A361UM5vSOj-F0Sh Blev det klarare? Skriv gärna igen!

När du säger "lika", men ar du att uttrycken har samma sanningsvärden (på en viss rad) eller samma sanningsvärden på samtliga rader (som stämmer med din utgångspunkt)? Begreppet "lika" finns egentligen inte i satslogik. Om två uttryck har samma sanningsvärden på alla rader så säger vi att uttrycken är logiskt ekvivalenta (<=>). Om P är sann så är det dock inte sant att P ∧ Q och P ∨ Q har samma sanningsvärden. Den första är falsk om Q är falsk, medan den andra är sann (på grund av att P är sann). Generellt tror jag att det kan föra lite fel att betrakta uttryck som "lika" under vissa omständigheter utan titta på hela deras sanningsvärdestabell. Tittar man t ex på P ∧ Q och säger att P ska vara sann så har man ju bara halva sanningsvärdestabellen kvar att beakta, så "uttrycken P ∧ Q, P ∨ Q, e t c är ju inte "lika" (ekvivalenta), bara om man zoomar in på en tillräckligt liten del av deras sanningsvärdestabell, om du förstår hur jag menar? Återkom gärna! 😃

@@DanielCarlsson2 tack så myckt för ditt svar , nu förstår jag vad menar du med ( lika). jag menar de är lika bara på en rad då de är inte ekvivalens enligt ditt svar.

OK, i så fall är det nog bättre att prata om att "båda uttrycken är sanna" eller "båda uttrycken är falska" utifrån vad p respektive q har för sanningsvärden. (Standard är också att använda små bokstäver för satsparametrar, så som p, q, r, ...)

Tack så mycket, så roligt att höra att det är till hjälp! 😃

Tack William! (Jag tycker själv att jag skriver lite spretigt, men hjälps lite av att jag kan skriva långsamt när jag spelar in och sedan dra upp tempot när jag klipper filmerna.) Roligt om filmerna är till nytta eller glädje!

Tack! Jo, jag använder en ritplatta. 😊

Hej Andreas! De områden jag nämner är de som oftast tas upp i böcker över området diskret matematik. Precis som du nämner så kan ett begrepp finns inom mer än ett område i matematik. De ska här läsas i sitt sammanhang. Till exempel är det vi tar upp om funktioner bara om diskreta funktioner. De mängder vi jobbar med här är diskreta mängder, oftast med ett ändligt antal element. Talteorin är i högsta grad ett diskret område då vi behandlar heltalen, delbarhet, primtal. Där ska jag också fylla på med mer om kongruensräkning. Induktion görs ju här över heltalen och därmed på diskreta mängder. Det gemensamma för både mängdläran, logiken och relationer är att det finns en diskret egenskap: tillhör/tillhör inte i mängdläran, sant/falskt i logiken och "har den förbindelsen/har inte den förbindelsen" för relationer. Det är samma struktur som kommer om, fast i olika kläder och tillämpningar. Att de begrepp jag nämner även används inom andra områden utesluter inte att dessa också har ett innehåll inom diskret matematik.

Tack för frågan! Jag vet inte riktigt vad din första produkt står för, blir inte 3744, men om vi tittar på det jag har räknat så har jag där gjort min val utan inbördes ordning mellan korten. Jag har inte valt till platser utan bara tittat på hur många sätt man kan välja ut korten till handen, så då kan man inte sedan dividera bort antalet sätt dessa kort kan omordnas. I en del uppgifter så väljer vi dock att räkna just så, antalet kombinationer får vi t ex fram genom att först tänka att vi väljer till plaster (med inbördes ordning) och sedan dividera bort för antalet sätt dessas kan omordnas (se klipp Kombinatorik: Kombinationer) . Det finns alltså ingen automatik här utan beror på vad vi vill räkna och hur vi arrangerar våra val. Blev det klarare?

@@DanielCarlsson2 Ja, tack! Jag försökte nämligen göra (13*4*3*2 * 12*4*3) / (5*4*3*2*1) istället för (13*4*3*2 * 12*4*3) / (3*2*1 * 2*1) och jag förstår nu varför det inte blir rätt.

Hej! Förlåt sent svar, hade missat denna notis. Om du först väljer en kvinna och sedan fyller på med godtyckliga personer (både kvinnor och män) så kommer du dubbelräkna de med mer än en kvinna. Säg att den första kvinnan du väljer heter Ada och väljs till ordförande. Sedan väljer du Beda och hon hamnar som sekreterare. Denna fördelning av personer får du också om den första kvinna du väljer är Beda och sätter henne som sekreterare och sedan väljer Ada till ordförande. Vi kan alltså inte fylla på med kvinnor slumpmässigt utan få med samma styrelse flera gånger, Detta är orsaken till att vi måste dela upp i fall, det som är skrivet med rött i filmen. Blev det klarare?

Helt rätt! Här hade jag mer fokus på vad som blir annorlunda med att hitta den första lösningen i några fall och tog därför inte med det, men det borde jag nog gjort. Du kan använda satsen uppe till höger och startlösningen vi tagit fram för att skriva upp den.

Om 12 över 4 skulle vara rätt antal så måste det ju finnas 12 stycken olika föremål ur vilka du ska välja ut 4, men det har vi ju inte här. Om du tänker 4 bollar i vardera färg så kommer ju inte de fyra bollarna i samma färg var olika föremål, så t ex att välja ”en röd boll” (tillsammans med tre bollar i andra färger) kommer med det sättet att räkna kunna göras ”på fyra sätt”, fast det i alla fyra fallen ger ”en röd boll”. Därför fungerar det inte att fylla på med bollar och välja 12 över 4, då du har flera identiska objekt. Vi behöver en annan approach. Det korrekta antalet är 6 över 4 och du ser på antalet att flera varianter dubbelräknas om vi räknar som jag skrivit ovan. Blev det klarare?

👍🏻😃🙏🏻