วีดีโอ

Jo, utifrån antagandet att det finns ändligt många primtal och detta tal är säkert större än det största primtalet, så kan B inte vara ett primtal utan måste vara delbart med något av primtalen, det vi kallar för Pj, för något j. Blev det klarare?

@@DanielCarlsson2 Tack för ditt snabb svar! Jag förstår att B är ett sammansatt tal(är ej ett primtal). Jag har provat multiplicerat 2*3*5*7*11*13=30030, sen 30030+1=30031=B och B är en multipel till 59. Men B är tydligen inte en multipel till något av dessa (2, 3, 5, 7, 11 och 13) primtal. Jag menar hur man kan säkert veta att B är en multipel till Pj från ett algebraiskt perspektiv?

Nja, här vill vi ju räkna ut vilken mängd det blir och inte bara ange vilket mängduttryck som är lika med det ursprungliga.

Tack för frågan! Det tillhör sådant jag skulle vilja lägga till, men inte hunnit än. (Jobbar med en större serie i Geometri på Lightboard just nu. Kommer under läsåret, ett 80-tal klipp.)

Tack för frågan! Jo, 1 kommer också med som delare i den beräkning vi gör. Om vi säger "nej" till samtliga faktorer (eller tar med ingen 2:a och ingen 3:a i ditt exempel) så får vi 2^0*3^0=1 som en möjlig delare också. Faktorn 2 som jag lägger till sist i mitt exempel i klippet står för att alla delar också kan komma med med positivt eller negativt tecken, t ex är både 4 och -4 delar till 12.

Tack för frågan! Symmetrin är formulerad som OM det finns en förbindelse från x till y så ska alltid den omvända finnas. Det finns inget krav att vissa förbindelse ska finnas i övrigt, t ex att alla element ska vara förbundna med något annat. En relation som helt saknar förbindelser är till exempel symmetrisk, fast pilar saknas helt. Du skriver "e är ju inte det", men det är inte noderna som kan vara eller inte vara symmetriska utan vilka förbindelser som finns som avgör. Var det svar på din fråga?

Lite osäker på vad du avsåg här, tänkte du på G och dess komplement, vill du utveckla?

Talet B är en konstruktion av ett nytt tal och för att det inte ska bli delbart med något av de k stycken primtalen, som vi antog var alla som finns, så lägger vi till en 1:a. Det är alltså ett trick som vi tar till för att visa att OM det finns ÄNDLIGT många primtal leder det snabbt till en motsägelse. Det går att konstruera ett tal som inte är delbart med någon av de ändligt många primtalen (och i så fall skulle det också vara ett primtal). Blev det klarare?

Tack för frågan! Nej, i relationer spelar riktningen alltid roll. (1,2) är alltså förbindelsen från 1 till 2, medan (2,1) är den motsatta riktningen. Om båda finns uppräknade i relationen så kan vi representera det med en dubbelpil i relationens graf.

@@DanielCarlsson2 tack! :)

Jag kanske missförstår här men ordningen bör spela roll utifrån ett koordinat system. Om a=x och b=y så är inte punkterna (1,2) och (2,1) detsamma. Eller gäller detta princip bara när elementen a tillhör mgden A och b tillhör mgden B? Tack för din grymma video!

Ordningen spelar roll! Mitt ”nej” i svaret syftar på den sista frågan i tidigare inlägg huruvida man kan ange samma relation med omkastade par. Det kan man inte. (1,2) och (2,1) representerar dock inte punkter i ett koordinatsystem. (1,2) står för att det finns en förbindelse FRÅN 1 TILL 2, alltså att ”1 är relaterad till 2”. Paret (2,1) står för den omvända riktningen. Tänk alltså på dessa par som pilar mellan noder.

Har tyvärr inte gjort någon serie i analys, men har nog någon kollega på LiU som gjort det. Jobbar just nu med en serie föreläsningar i Geometri i lightboardformat som kommer under hösten. 🍂

Tack! 🙏🏻😊

Tack! Så glad om det är till hjälp. 🙏🏻 Jobbar själv på Linköpings universitet. Lycka till med dina fortsatta studier! 👍🏻

Hej! Förlåt sent svar! Det finns två möjliga uttryck, beroende på om man väljer plats för "bollarna" (valda objekt) eller "staketen". Titta vid 14:35 i videon, där kommenterar jag det, men det blir inte "över (k-1)" som du skrev utan "k+n-1 över (n-1)" alltså att välja bollar (k st) kan bytas mot att välja plats för staketen, vilka är n-1.

Vill tilllägga för framtida läsare att kombinationer är symmetriska, DVS p över s är lika med p över (p - s) så i formeln för oordnat med upprepat är vårat p = k + n -1 och vårat s = k. Om vi kör symmetriska varianten får vi då (k + n - 1) över ((k + n - 1) - k), så k tar ut sig själv: (k + n - 1) över (n - 1). Det är typ det enda tricket jag minns från gymnasiet för att förenkla kombinationer med stora k lite🥲

Ja, det stämmer. Den har bara annan kurskod och över lite andra veckor. 👍🏻

Så roligt att höra - och bra jobbat av dig! 👍🏻😃

Tack! Jo, utöver de korten som bildar trissen har vi två kort ur två olika valörer (annars får vi kåk), så säg att trissen är i 5:or och säg att de sista två korten ska vara en 7:a och en 9:a (valet av valörer har vi i 12 över 2), då finns det 4 sätt att välja 7:an på och oberoende av det 4 sätt att välja 9:an på. Totalt alltså 4*4 sätt att välja ut de sista två korten. Man kan dela upp valen på lite olika sätt, men viktigt att man inte räknar samma hand av kort 2 ggr. Lätt hänt. Blev det något klarare?

Tack, så roligt att det hjälpt dig! Tack för uppmuntran! 👍🏻😃

Tack! 😊 Nej, inte ännu. Se om du hittar någon som har något bra klipp på det.

okej då förstog jag nu men det tog sin tid, fick spela videon minst 5 gånger

Ok, så bra. Du ska alltså nerifrån och upp byta ut resterna så att du får sgd (som är 1 här) uttryckt i 61 och 29. När det är gjort ska du multiplicera båda sidor så att högerledet blir lika med högerledet i din diofantiska ekvation. Sedan kan du läsa av x_0 och y_0. Är det parenteser och tecken som skymmer sikten kanske? Blir lite att hålla ordning på. Öva på några ekvationer och se om det klarnar! 👍🏻

Vid diofantiska ekvationer söker man bara heltalslösningar, så det du skriver besvaras av den ursprungliga satsen, d v s att då sgd(6,15)=3 och 3 inte delar högerledet som är 1, så saknas det lösningar. I detta klipp tar jag dock upp några fall där den vanliga lösningsmetoden inte fungerar. Alltså lösningar finns, men vi hittar inte (x0, y0) enligt den tidigare presenterade metoden med ”Euklides baklänges”.

Nej, det är därför jag tar med en sådan uppsättning också. Antisymnetri är formulerat som ett ”om… så…”, en implikation. Om xRy så får aldrig yRx. Om det finns en förbindelse mellan två element (en 1:a) så får inte den omvända finnas. (Svarar mot en 0:a på motsvarande plats i matrisen.) Men om det inte finns en förbindelse så är förledet i implikation falskt och implikation blir sann även om den omvända förbindelsen saknas. Två 0:or går alltså bra, 0 mot 1 går också bra, men inte två 1:or på motsvarande platser.

Blev det klarare?

Bra att du frågar! Om påståendet gäller från n=2 så visar du basfallet (steg 1) för n=2. Induktionssteget (steg 2) blir oförändrat. Tillsammans visar det att påståendet gäller för alla n större än eller lika med 2.

Jo, egenskapen "transitiv" är formulerad som ett "om.. så...", alltså en implikation. "Om aRb och bRc så måste a vara relaterad till c, för alla sådana a,b, c i mängden som R är definierad på, säg mängden A. Om förledet "aRb och bRc" inte är uppfyllt, så behöver inte heller efterledet (aRc i detta fall) vara det. Detta går tillbaka på när en implikation är sann. Om implikationen aRb och bRc => aRc är sann för alla a,b,c i mängden A så är R transitiv. I det aktuella exemplet i videon finns det inte några typiska tvåstegsförbindelser, men t ex är aRa och aRb och den "direkta förbindelsen" i detta fall blir aRb. Alla sådan tvåstegsförbindelser har en direkt förbindelse och därför är den transitiv. Att e saknar förbindelser är inget problem. En relation kan bli transitiv genom avsaknaden av förbindelser. En implikation kan ju nämligen vara sann genom att förledet aldrig uppfylls. Titta gärna på exemplet "Lika med" i klippet om fyra egenskaper för relationer, tid 12.50: th-cam.com/video/TtVKzbOjAmE/w-d-xo.htmlsi=A361UM5vSOj-F0Sh Blev det klarare? Skriv gärna igen!

När du säger "lika", men ar du att uttrycken har samma sanningsvärden (på en viss rad) eller samma sanningsvärden på samtliga rader (som stämmer med din utgångspunkt)? Begreppet "lika" finns egentligen inte i satslogik. Om två uttryck har samma sanningsvärden på alla rader så säger vi att uttrycken är logiskt ekvivalenta (<=>). Om P är sann så är det dock inte sant att P ∧ Q och P ∨ Q har samma sanningsvärden. Den första är falsk om Q är falsk, medan den andra är sann (på grund av att P är sann). Generellt tror jag att det kan föra lite fel att betrakta uttryck som "lika" under vissa omständigheter utan titta på hela deras sanningsvärdestabell. Tittar man t ex på P ∧ Q och säger att P ska vara sann så har man ju bara halva sanningsvärdestabellen kvar att beakta, så "uttrycken P ∧ Q, P ∨ Q, e t c är ju inte "lika" (ekvivalenta), bara om man zoomar in på en tillräckligt liten del av deras sanningsvärdestabell, om du förstår hur jag menar? Återkom gärna! 😃

@@DanielCarlsson2 tack så myckt för ditt svar , nu förstår jag vad menar du med ( lika). jag menar de är lika bara på en rad då de är inte ekvivalens enligt ditt svar.

OK, i så fall är det nog bättre att prata om att "båda uttrycken är sanna" eller "båda uttrycken är falska" utifrån vad p respektive q har för sanningsvärden. (Standard är också att använda små bokstäver för satsparametrar, så som p, q, r, ...)

Tack så mycket, så roligt att höra att det är till hjälp! 😃

Tack William! (Jag tycker själv att jag skriver lite spretigt, men hjälps lite av att jag kan skriva långsamt när jag spelar in och sedan dra upp tempot när jag klipper filmerna.) Roligt om filmerna är till nytta eller glädje!

Tack! Jo, jag använder en ritplatta. 😊

Hej Andreas! De områden jag nämner är de som oftast tas upp i böcker över området diskret matematik. Precis som du nämner så kan ett begrepp finns inom mer än ett område i matematik. De ska här läsas i sitt sammanhang. Till exempel är det vi tar upp om funktioner bara om diskreta funktioner. De mängder vi jobbar med här är diskreta mängder, oftast med ett ändligt antal element. Talteorin är i högsta grad ett diskret område då vi behandlar heltalen, delbarhet, primtal. Där ska jag också fylla på med mer om kongruensräkning. Induktion görs ju här över heltalen och därmed på diskreta mängder. Det gemensamma för både mängdläran, logiken och relationer är att det finns en diskret egenskap: tillhör/tillhör inte i mängdläran, sant/falskt i logiken och "har den förbindelsen/har inte den förbindelsen" för relationer. Det är samma struktur som kommer om, fast i olika kläder och tillämpningar. Att de begrepp jag nämner även används inom andra områden utesluter inte att dessa också har ett innehåll inom diskret matematik.