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改めて新設問を投稿させていただきます。今回は【幾何と極限】に関する設問になります。「幾何設問」で図形が投稿できず題意が分り難いかと思いますが敢えて投稿させていただきました。分かり辛ければスキップいただいても構いません。<(_ _)>： 【視聴者からの質問】 『設問： n を自然数とし，中心が点 Cn(2n-1,0), 半径が１である円がある。原点Ｏから円 Ｃn₊₁ に引いた接線の１つが n 個の円 Ｃ₁,Ｃ₂,Ｃ₃,･･･,Ｃn によって切りとられる線分の長さをそれぞれ ℓ₁,ℓ₂,ℓ₃,･･･,ℓn とするとき lim(n→∞)(1/n)Σ(k=1→n)ℓk² を求めよ。』

ルベーグの収束定理使いたくなる問題

最初の段階でlog[3](x^2+3x-4)^2=2log[3](x^2〜)としてしまってはダメなのですか？ その場合の真数条件と不等式の変形で同じ答えが出てしまいました。

ちょっとインチキですが、 I(m、n)の積分区間を［1、e-ε］［e-ε、e］ ただし、εは ε>0で十分小さくとると、 1≦x≦e-εの範囲で 0≦logx≦log(e-ε) a=log(e-ε)とすると0<a<1 よって 第1項の ∫(x^m)(e^x)(logx)^n dx x:1→e-ε ≦(a^n)∫(x^m)(e^x) dx x:1→e-ε =(a^n)C (Cは定積分の値で定数) よって n→∞のとき ∫(x^m)(e^x)(logx)^n dx x:1→e-ε は0に収束する。 第2項の ∫(x^m)(e^x)(logx)^n dx x:e-ε→eは εを0に近づけていくと ∫(x^m)(e^x)(logx)^n dx x:e→e =0に収束する。 よって I(m、n)→0 (n→∞) つまり logxは 1≦x<eで 0≦logx<1 x=eで logx=1となるが 積分区間がe→e すなわち区間幅がゼロになるということ ですね。

(1)は誰でも行ける。(2)は、lnxがちょっと扱いにくいけどlnxが上に凸な関数だからlnxのx=eにおける接線で簡単に上から抑えられてlnx≦x/e　とlnxをxの一次式で上から抑えると嬉しいなって気づいて、I(m,n)=(1/e^n)∫(e^x)(x^(m＋n))≦(1/e^n)∫(e^e)(x^(m＋n)) ←ここは1からeの区間ではe^x≦e^eという意味で変形した　 結果的にI(m,n)を0に収束する値で上から抑えることができたって別解をかけました。上に凸な関数の場合上から抑える。下に凸な関数の場合下から抑えるという技術は挟み撃ちや関数の評価でよく使う手法です

5:00のとこ　1≤x≤e　です (1)の解答を移項して　和の形の多項式にすれば　全ての項が0〜e^(e+m+1)の範囲に含まれるのではないか?という勘が効きました

ああめっちゃ簡単なのに最後計算ミスした…

できたけどめんどくさい解き方してた オシャレな解き方もあるんですねー

(3)の設問からはn anに収束値が存在しそう　と思いながら(2)を解く x=1/nとx=2/nを代入　極限をとると　2-e/2　と　2-e^2/2　と正負が分かれる　1/n<an<2/n　が導かれます (3)1<n an<2に収束値αがあると仮定してよい n an=α　とすると　1 - (e^α)/2 + cos(α/3n) = 0が　n→∞において成立していると考えました　最後に1<log4<2を確認しました

f(x)=1-e^(nx)/2+cos(x/3) f‘(x)=-ne^(nx)/2-sin(x/3)/3 ≦-n(1+nx)/2+1/3 ≦-n/2+1/3≦-1/6 f(x)は単調減少、f(0)=3/2>0, f(∞)=-∞ なので実数解は1つ。 e^(na[n])=2(1+cos(a[n]/3))≧1 na[n]=log2+log(1+cos(a[n]/3)) log(1/2)≦log(1+cos(a[n]/3))≦log2 より log2+log(1/2)≦na[n]≦2log2 0≦na[n]≦2log2→0≦a[n]≦(2log2)/n ∴挟み打ちの原理より lim[n→∞]a[n]=0 n→∞の時 log(1+cos(a[n]/3))=log2より lim[n→∞]na[n]=2log2

サムネ見た時キングプロパティー思いついたけど、⑴がなかったから違うかーってなっちゃった

（2）のanの極限は（3）でわざわざnanの極限を聞いているから最初から0になるだろって決め打ちしていたので、0に収束するπ/nを代入してf（π/n）が0より小さくなったからf(x)が単調減少関数という特性から符号変化が0からπ/nの区間の間で起こりanはその間の数だろうってわかりました。（3）はおまけのような問題なので（2）ができれば問題ないはず。anがどのあたりに存在するのか、どうやったらゼロに収束する数で挟めるのかはある程度演習しなきゃ悩むかもしれないからそんな簡単な問題でもないですがこの年の阪大にしてはマイルドな問題です。

上に凸の単調減少関数なので、接線とx軸の交点がnの式になることを期待し、上から評価する方法もあります。 （0,3/2）の接線とx軸との交点を求めると、0<an<3/πが示せます。

12分の1公式楽ですよねー いつも使ってます

止まってましたガチであさす！

訂正です。 質問１３の紹介の１行目になります。 log₃x+log₃y=1 → log₃x+log₉y²=2 です。 すでに計算されている方には、本当に申し訳ありません。 問題提供側のミスではなく、私のタイプミスです。 ご迷惑をおかけして、申し訳ありませんでした。

与式をxで微分して　 f(x)=-4x³+12x-8=-4(x-1)²(x+2) x=aの時、与式=0より a⁴-6a²+8a+a=0 → a(a+3)(a²-3a+3)=0 aは0でない実数より a=-3 f(1/2)=-5/2、f'(1/2)=9 より接線Lは L:y=9(x-1/2)-5/2=9x-7 f(x)との交点のx座標は -4x³+12x-8=9x-7 → (2x-1)²(x+1)=0 よりx=-1,1/2 よって求める面積は ∫[-1,1/2](L-f(x))dx =∫[-1,1/2](4x³-3x+1)dx =[x⁴-3/2*x²+x][-1,1/2]=27/16

当方の質問設問の解説ありがとうございました。 仰る通り，今回の設問は共通テストを意識しました当方の創作問でした。当方の答案例ではグラフが投稿できないので補足いただき助かります。 次問の予告もありがとうございました。また改めて質問させていただきます。<(_ _)> ※「今回の動画＞次回予告設問 (質問13) 紹介」の記載の一部の誤りがありましたのでご連絡しておきます： 14:17《 ～ x,y が "log₃x+log₃y=1" を満足しながら ～ 》(✕) ☞《～ x,y が " log₃x+log₉y²=2" を満足しながら ～》(〇)

変な事やっちゃった❗

(2)は(1)のように右辺から導けば、簡単では？

f(x)求めた後、十分性の確認をしないと。。。（小声）

今年は2034年だったのか。。。

こんな神がかったチャンネルを今日見つけたことが死ぬほど悔しいくらいに分かりやすくて文系も使える動画が他のTH-camと比べて圧倒的に多く、他のどの授業動画よりも個人的に圧倒的に需要があります！😭微積の授業となると数Ⅲばかりがネット上では見受けられて、文系範囲をここまで詳しく、また大量に教えてくれる方が少ないので本当にありがたいです。もし可能でありましたら、早慶の文系数学の解説をほんの少しだけでも増やしていただけたら本当に嬉しいので可能であれば解説していただきたいです、、。ひとまず今挙げてくださっている動画の特に微積を一周します！本当に無料とは思えない分かりやすさで感謝しきれないです。ありがとうございます。

気づき事項 f(t)にf(0)が含まれていますね f(t)=∫(x-at)(x-bt)dx x:a→bは (x-at)(x-bt)=x²-(a+b)tx+abt²より f(t)=∫(x²-(a+b)tx+abt²)dx x:a→b =f(0)+∫(-(a+b)tx+abt²)dx x:a→b よって y=f(t)-f(0)=∫(-(a+b)tx+abt²)dx x:a→b =［(-(a+b)t/2)x²+abt²x］x:a→b =(-(a+b)t/2)(b²-a²)+abt²(b-a) =(b-a)(abt²-(1/2)(a+b)²t) b=2aより y=a(2a²t²-(1/2)9a²t) =2a³(t²-(9/4)t) =2a³((t-9/8)²-81/64) t=9/8のときyは最小となり y=2a³(-81/64)=(-81/32)a³ ∴ (-81/32)a³=-6より a³=6×32/81=64/27=4³/3³=(4/3)³ ∴a=4/3

積分の計算力、1/6公式を理解しているかなどかなり優しい問題なので、落とせない問題ですね。 強いて言うなら、b/aの値が1より大きくなるのを見落とさないように気をつけるくらいですね。

絶対値すらない数2の積分は得点源。これくらいなら共通一次で出してもいいかなあ。

問題自体は難しくないけど、計算の工夫が出来るかどうかで計算量が大分変わってくるのが厄介ですね。やはりこういう所が旧帝な気がします。

誘導丁寧すぎ笑

めっちゃ九大本レで見た事ある

この年の阪大の文系数学は問二問三が理系で出しても結構厄介な問題だったので時間さえかければ完答できるこの問題を落としてはいけなかった。計算量も控えめでやるべきことは決まっているので

面積の折り返しを使わないと非常に面倒ですね。 以下、正攻法で計算しましたのでご参考 S1は1/6公式により S1=(1/6)((1-2a)-(-1))³ =4/3(1-a)³ S2はx=1-2aと1+2aで直線lの台形の面積から放物線の面積を引いて計算。 台形の面積は (1/2)((2a(2a+2)+2a(2-2a))×((2a+1)-(1-2a)) =(1/2)(8a)(4a) =16a² 放物線の面積は ∫(-x^2+1) dx x:1-2a→1 +∫(x^2-1) dx x:1→1+2a =［(-1/3)x³+x］x:1-2a→1 +［(1/3)x³-x］x:1→1+2a =(2/3-(-(1/3)(1-2a)³+(1-2a)) +((1/3)(1+2a)³-(1+2a)-(-2/3)) =(1/3)((1-2a)³+(1+2a)³)-(1-2a)-(1+2a)+4/3 (1/3)((1-6a(1-2a)-8a³)+(1+6a(1+2a)+8a³)-2/3 =(1/3)(2+24a²)-2/3 =8a² よって S2=16a²-8a²=8a² ∴ (4/3)(1-a)³=8a²より (1-a)³=6a² 1-3a+3a²-a³=6a² ∴ a³+3a²+3a-1=0 (a+1)³-2=0 a+1=³√2よりa=³√2-1 と求めることが出来ました。

（4）の積分区間から不等式を自分で作るの苦手だわ〜 （5）は無限等比級数的なこと考えてたらめっちゃシンプルだった笑 これは良問っすね

ちょうどいい難度😊

(1) 左辺がおそらくe^xをaまで積分した形だろうなって思いながらa－xを部分積分の過程で出現させるためにe^x=－(a－x)'e^xとみて両辺を0からaまでの区間で積分 (2) a－x=tとおいて、分母にn＋1が含まれるからおそらくt^nを(t^(n＋1)/(n＋1))'とみて部分積分するだけで示せるだろうなって思い実際そうなった (3)は(1)の式に(2)の結論を2回使って展開していくだけ (4) (3)の最後の項が(a^4/24)e^aより小さいことを示す問題だが、(3)の最後のe^xは0からaの区間まではe^xよりe^aの方が大きいだろうということとa－xは常に正だろうということを使って簡単に示せる。 (5)(4)のaに1を代入するだけ。 何を示したいのかどのような式を出現させればいいのかその結論から逆算すると部分積分は方針が立ちやすいですね。一見ギョッとするけどやるべきことはほとんど部分積分だけな見掛け倒しな問題ですね。

e=1+1+1/2!+1/3!+1/4!+··· <1+1+1/2!+1/3!+1/4²+1/4³+··· =1+1+1/2!+1/3!+1/12 =(24+6+2+1)/12=11/4=2.75<2.8

(4)は(3)の積分のとこでe^xをe^aにして上から評価したら楽だなと思いました

（3）の別解として、tが0からπ/2まで動く時の曲線y=e^cos2tの関数の概形を書いて、接戦引いて台形で面積近似して下方評価することで5π/8以上を示そうとしたら解けなかった。😢 悔しい。でも考え方としては大事なはず。。。

信州大学むずくね？

年々、マニアックになりますな！

問題文に違和感感じる ∑の和を求めよ。ではなく∑を求めよ。な気がするな

キンプロって式が言ってる

良問ですね♪ すごい誘導が綺麗でスラスラ解けて感動しました笑 自分は(1)は左辺-右辺で増減表、(2)はキンプロでした👍️

自分は(2)はキングプロパティを使いました 信州大のこの問題良問すぎた

改めて新設問を投稿させていただきます。今回は【数の理論】に関する設問になります。お時間の許される限りで動画解説いただければ幸いです。<(_ _)>： 【視聴者からの質問】 『設問：f(x)=x⁶+3x⁵+x⁴-3x³-2x² のとき，次の各問に答えよ。 (1) f(x) を因数分解せよ。 (2) x に ２ から 100 までの整数を代入してできた 99 個の整数 f(2),f(3),f(4),･･･,f(99),f(100) の最大公約数を求めよ。』

（2）が指数関数や対数関数と三角関数が入り混じっている時はキングプロパティ使うとうまくいくことがそれなりにありますね。（3）は前2つの問題が綺麗に繋がるから簡単ですね。実質的に問題になっているのは（2）な気がします。

(1) f(x)は偶関数より x≧0でf(x)≧0を示せば良い。 ↔︎ f(0)=0よりx≧0でf(x)が単調増加関数であることを示せば良い。 すなわち x≧0でf'(x)≧0を示せば良い ↔︎ f'(0)=0よりx≧0で f'(x)が単調増加関数であることを示せば良い すなわち x≧0でf"(x)≧0を示せば良い f"(x)=(e^x+e^(-x))/2-1 (e^x+e^(-x))/2は e^x、e^(-x)>0で 相加相乗平均の関係式より (e^x+e^(-x))/2≧√ (e^x e^(-x))=1より (e^x+e^(-x))/2≧1が成り立つ。(等号成立はe^x=e^(-x)よりx=0のとき) ∴ x≧0でf"(x)≧0となり、題意は示された。

2x=tとおくと 与式=1/2·∫[0,π]e^(cost)dt >1/2·∫[0,π](1+cost+cos²t/2+cos³t/6)dt ···① ここで cos²t/2=(cos2x+1)/4 cos³t/6=(cos3t+3cost)/24 と変形できるので ①=1/2·[t-sint+(sin2t/2+t)/4+(sin3t/3+3sint)/24][0,π] =1/2·(π+π/4)=5π/8 ∴与式≧5π/8

このパターン初めて見た、むずい

g（n）が整数のとき、f（n）の小数部分が全て同じのときもあると思ったのですが、それは考えなくてよいのですか

ああ、ほぼ合ってたのにしょうもないミスで完答ならず…