【2024滋賀医科大学】第4問 数Ⅲ 微積分 定積分 不等式

[@善なんよ-n6u]

(1) 左辺がおそらくe^xをaまで積分した形だろうなって思いながらa－xを部分積分の過程で出現させるためにe^x=－(a－x)'e^xとみて両辺を0からaまでの区間で積分
(2) a－x=tとおいて、分母にn＋1が含まれるからおそらくt^nを(t^(n＋1)/(n＋1))'とみて部分積分するだけで示せるだろうなって思い実際そうなった
(3)は(1)の式に(2)の結論を2回使って展開していくだけ
(4) (3)の最後の項が(a^4/24)e^aより小さいことを示す問題だが、(3)の最後のe^xは0からaの区間まではe^xよりe^aの方が大きいだろうということとa－xは常に正だろうということを使って簡単に示せる。
(5)(4)のaに1を代入するだけ。
何を示したいのかどのような式を出現させればいいのかその結論から逆算すると部分積分は方針が立ちやすいですね。一見ギョッとするけどやるべきことはほとんど部分積分だけな見掛け倒しな問題ですね。

[@chiho_juken]

受験生は、注目のコメントです❗️
(2)は、置換しても出来ます。むしろ、置換の方が自然かもしれません。
(4)のように大小関係や、正負を考えることが重要です。
結論からの逆算は、難関大学数学の特徴ですね。
詳細な解説をありがとうございます(^^)
ぺこり。

[@ああ-s5m8m]

(4)は(3)の積分のとこでe^xをe^aにして上から評価したら楽だなと思いました

[@chiho_juken]

確かに、おっしゃる通りですね！
その後の一手間が減りますから。
ナイスなコメントをありがとうございます(^^)

[@かと-d2v]

ちょうどいい難度😊

[@chiho_juken]

おっしゃる通り！
ほとんどの受験生にとって、よい問題だと思われます(^^)

[@SH76584]

（4）の積分区間から不等式を自分で作るの苦手だわ〜
（5）は無限等比級数的なこと考えてたらめっちゃシンプルだった笑
これは良問っすね

[@chiho_juken]

積分区間からの不等式は、すぐに慣れると思います。
この手の問題は、最後はシンプルなものが多いですね〜
おっしゃる通り、良問です(^^)

[@数学不定期投稿チャンネル]

誘導丁寧すぎ笑

[@chiho_juken]

そうです。
丁寧すぎです。
勉強してる方なら、出来ますね〜(^^)

[@bkkboy-cm3eb]

e=1+1+1/2!+1/3!+1/4!+···

[@chiho_juken]

流石❗️
ぺこり。
今日も、シンプル解答をありがとうございます(^^)

[@nakaohajime4312]

(2)は(1)のように右辺から導けば、簡単では？

[@nakaohajime4312]

(5)の途中式の分子が12+3+2になっていますが、12+3+1ですね…。

[@chiho_juken]

ご指摘ありがとうございます。
ぺこり。