【2024豊橋技術科学大学】第1問 数Ⅲ 極限

[@bkkboy-cm3eb]

a[n]=(a[n-1]から2個とる)+(箱の中の個数)
a[n]=(a[n-1]-2)+(a[n-1]-2)=2a[n-1]-4
a[n]-4=2(a[n-1]-4)=2^(n-1)(a[1]-4)
a[1]=(6-2)+(6-2)=8 なので
∴a[n]=2^(n+1)+4
∑[k=1,n]a[k]=2^(n+2)-1+4n
よって与式の極値は 2²=4

[@chiho_juken]

おっしゃる通りです！
シンプル解答を、今日も、ありがとうございます(^^)

[@bkkboy-cm3eb]

lim[n→∞](n/2^n)
=lim[n→∞]{∑[k=1,n](1/2^n)}
=lim[n→∞]{∑[k=1,∞](0)
=0

[@vacuumcarexpo]

(5)がちょっとアレだが、後は暗算チャレンジ成功❗

[@chiho_juken]

(5)のちょっとアレが気になりますが、
いつも、ありがとうございます(^^)

[@いまひろ09]

(5)で誘導がないとき
2項展開を用いない証明を考えました。
x≧1について
f(x)=(x^2)/(2^x)として
xが十分大きいとき
f(x)

[@chiho_juken]

なるほど、最初の不等式の設定納得です。
f(x)

[@善なんよ-n6u]

問題文を読んで、これどんな試行だよって思って見間違いかと疑ったwどんだけ玉用意すんねんw。問題自体は(5)だけが実質的に問題ですね。挟み撃ちの原理とかで二項展開を途中で打ち切ったりするのはよく使う手法なのでまあそこまでは難しくはないですが。

[@chiho_juken]

おっしゃる通り、玉が多いですね❗️
手法的には、ありがちな内容ですね。
ナイスなコメントを、ありがとうございます(^^)