วีดีโอ

Ottima procedura per la divisione fra polinomi

migliore prof del mondo

Se invece volessi fare il prodotto di due differenze opposte come (a-b)×(b-a) allora ottengo -a²+2ab-b² ovvero -(a-b)². Se invece volessi fare (a+b)×(-a-b) allora mi viene fuori -a²-2ab-b² cioè -(a+b)².

Al minuto 5:20 per quanto riguarda ⅑(x^-3)y²z questo io lo riconosco anche così: y²z/(9x³). Praticamente è un monomio frazionario dato che x³ sta al denominatore.

Sempre allo stesso minuto per quanto riguarda l'insieme di potenza tutti i sottoinsiemi li prendevo a coppie. Praticamente con i loro rispettivi complementari. Per esempio gli unitari {1}; A-{1} {2}; A-{2} {3}; A-{3} {4}; A-{4} A-{1} è un altro modo di esprimere {2;3;4}. Praticamente più compatto. Mettiamo caso di avere un grosso numero di elementi. Se in un insieme gli elementi fossero 12 allora se devo fare l'insieme di potenza conviene prendere in considerazione i sottoinsiemi l'uno con il complementare dell' altro. In questo caso rappresento gli unitari con il singolo elemento per come sono, ma i loro complementari non si rappresentano scrivendo tutti gli altri 11 elementi ma bensì con A-{a}. Stesso discorso sì prendono tutti i sottoinsiemi con 2 elementi come sono ma i loro complementari si scrivono con A-{a;b} e così via fino ad arrivare a i sottoinsiemi di 6 elementi dove possiamo rappresentarli scrivendo tutti e 6 gli elementi per come sono. Più che altro nei sottoinsiemi di 11;10;9;8;7 elementi sì scrive A-{a}; A-{a;b}; A-{a;b;c}; A-{a;b;c;d}; A-{a;b;c;d;e} per perdere tempo se gli elementi dell'insieme A fossero 12.

Al minuto 0:45 ho notato che il simbolo dell' insieme vuoto mi ricorda la lettera greca "fi" che al Pacinotti di Pistoia la usavano per rappresentare un diametro.

Abbiamo detto che la proprietà transitiva coinvolge la relazione di 3 elementi. Ma se ce ne fossero 4 tutti in relazione tra loro allora dobbiamo fare finta per un attimo che ne manchi uno. Quindi abbiamo gli elementi {a;b;c;d} e sono tutti in relazione tra loro. Vediamo quante terne posso ricavare: {a→b→c} allora a→c {a→b→d} allora a→d {a→c→d} allora a→d {b→c→d} allora b→d Ho ricavato 4 terne.

Sono molto affascinato dagli esempi posti a fine video. Ho notato che se alcune relazioni non sono di equivalenza saranno di ordine. Siccome o non godono di proprietà riflessiva ma sì di quella simmetrica oppure non godono neppure della proprietà simmetrica. Come nell' esempio delle rette nel piano la perpendicolarità è simmetrica ma non riflessiva. Una retta in piano non sarà mai perpendicolare a se stessa ma bensì coincidente. Invece se si tratta di rette nello spazio allora anche tre rette possono essere perpendicolari tra loro e in questo la perpendicolarità gode anche della proprietà transitiva.

Al minuto 9:10 ho visto il piano cartesiano. Con y=½x se dovessi estendere gli assi all'∞ ogni numero pari sarebbe delle ordinate sarebbe in relazione con ogni intero delle ascisse mentre ogni dispari con un intero più i 5 decimi. Invece con y=x ogni numero reale è in relazione con se stesso. Quindi se 1=1 anche 2=2 l'ordine perde la sua importanza. Allora entriamo in proprietà riflessiva. Se invece esprimo y=-x ogni numero reale è in relazione reciproca con il suo opposto. Pure qui l'ordine perde la sua importanza perché se metto 1→-1 anche -1→1 e qui entriamo in proprietà simmetrica.

Vorrei dare una mia precisazione. L' intervallo "E" corrisponde con x≠1. Praticamente l'1 è il punto di discontinuità della funzione che divide la retta viola in due semirette. Praticamente x≠1 può essere interpretato anche come x<1Vx>1, ma scritto in questo modo è una forma allungata. Invece per quanto riguarda l' intervallo G la discontinuità della funzione è 1<x<12.

Ho visto questo video ma non sono citate le proprietà (riflessiva, simmetrica, transitiva) per le relazioni di equivalenza e (antiriflessiva, antisimmetrica, transitiva) per le relazioni di ordine.

Un altro concetto sono le relazioni tra un insieme e un altro. Voglio dire le relazioni tra un elemento di un insieme e l' elemento di un altro insieme. Sono relazioni binarie. Possono essere di equivalenza oppure di ordine. Le relazioni di equivalenza godono delle proprietà (riflessiva simmetrica e transitiva). Invece quelle di ordine (antiriflessiva antisimmetrica e transitiva). La proprietà riflessiva si rappresenta con una freccia detta cappio cioè quando un elemento x è in relazione con se stesso. Nel caso contrario la proprietà è antiriflessiva. La proprietà simmetrica si rappresenta con una freccia di andata e l' altra di ritorno. Quindi x→y se y→x. La freccia significa che l' elemento x è in relazione con l' elemento y. Nel caso contrario cioè con la sola freccia di andata la proprietà è antisimmetrica. Infine abbiamo la proprietà transitiva che oltre ad avere due frecce concatenate ne ha una per ponte per segnalare la relazione anche tra il primo e il terzo elemento. Quindi x→y→z solo se x→z. Voglio portare degli esempi che godono di tutte queste proprietà. L' uguaglianza gode di proprietà riflessiva simmetrica e transitiva. Invece maggioranza e minoranza godono sì della proprietà transitiva ma anche di quelle antiriflessiva e antisimmetrica. Relazione di equivalenza: ½=2/4=9/18 Si tratta di un' uguaglianza perché tutte e tre le frazioni danno lo stesso risultato. Quindi ½→½; ½→2/4; ½→9/18; 2/4→½; 2/4→2/4; 2/4→9/18; 9/18→½; 9/18→2/4; 9/18→9/18 Tutti gli elementi sono in relazione con loro stessi, allora è valida la proprietà riflessiva. Tutti gli elementi sono in relazione reciproca l'uno con l' altro, allora è valida pure la proprietà simmetrica. Tutti gli elementi sono in relazione concatenata l' uno con l'altro quindi è valida anche la proprietà transitiva. Relazione di ordine: -1<0<1 -1→0; 0→1; -1→1 Nessun elemento è in relazione con se stesso allora non vale la proprietà riflessiva ma bensì antiriflessiva. Nessun elemento è in relazione reciproca con un altro elemento allora non vale la proprietà simmetrica ma bensì antisimmetrica. Tutti e tre gli elementi sono in relazione concatenata l' uno con l' altro allora si riconferma valida la proprietà transitiva. Altra relazione di ordine: 100>48>27 100→48→27 quindi 100→27. Anche in questo esempio sono valide le proprietà antiriflessiva, antisimmetrica e transitiva. Altri esempi ancora che godono di queste proprietà sono quando un numero n è multiplo di un altro numero m a sua volta multiplo di un altro numero k. Supponiamo che n=144; m=36; k=12. Oppure queste proprietà valgono anche se un numero è divisore di un altro numero a sua volta divisore di un altro numero ancora. Per esempio se 45 è divisore di 180 a sua volta di 7200 per la proprietà transitiva 45 è anche divisore di 7200 oltre ad esserlo di 180.

Ma in futuro ci sarà uno studio con le funzioni iniettive, suriettive e biettive che ho citato nell' altro commento?

Con due insiemi A e B possiamo ricavare anche delle funzioni. E una funzione si chiama iniettiva se ogni elemento dell' insieme di arrivo è colpito da una sola freccia di ogni elemento dell' insieme di partenza. Una funzione si chiama suriettiva se ogni elemento dell' insieme di arrivo è colpito da almeno una freccia dell'elemento dell' insieme di partenza. Invece una funzione è detta biettiva o biunivoca se ad un solo elemento dell' insieme di partenza viene associato un solo elemento dell' insieme di arrivo. Le funzioni biettive sono pure invertibili. Vorrei portare un esempio. Funzione iniettiva: x³ A {2; -4; -7; 9} B {8; 27; -64; -343; 729; 1000} Funzione suriettiva: x² A {-1; 1; 2; 3; -3; 5} B {1; 4; 9; 25} Funzione biunivoca: x³ A {2; 3; -4; -7; 9; 10} B {8; 27; -64; -343; 729; 1000} Altra biunivoca: x² A {1; 2; 3; 5} B {1; 4; 9; 25} Come osserviamo possiamo invertire dominio e codominio sulle funzioni biunivoche.

All"inizio avevo difficoltà a capire ma continuando sono rimasta favorevole te sorpresa

Bravo davvero

Grazie per i tuoi contributi. Spero possano essere utili anche per gli altri spettatori ;)

Vorrei dare anche io un piccolo contributo sugli insiemi intersecati: A {0<n≤100 x|n sia pari} B {0<n≤100 x|n sia multiplo di 3} C {0<n≤100 x|n sia multiplo di 5}. Scusami se uso "is" per dire intersecato perché non ho questi tipi di simbolo. A is B {6;12;18;24;30;36;42;48;54;60; 66;72;78;84;90;96} B is C {15;30;45;60;75;90} A is C {10;20;30;40;50;60;70;80; 90;100} A is B is C {30;60;90} A-|A is B|-|A is C| {2;4;8;14;16;22;26;28;32;34;38; 44;46;52;56;58;62;64;68;74;76; 82;86;88;92;94;98} B-|A is B|-|B is C| {3;9;21;27;33;39;51;57;63;69;81;87;93;99} C-|B is C|-|A is C| {5;25;35;55;65;85;95}

Vorrei fare un altro esempio ma con l'intersezione a due insiemi. Nell' insieme A ci stanno i divisori di 1989 il mio anno di nascita e nell' insieme B quelli di 2020 anno pandemico. Apparentemente sembrano disgiunti perché sono primi tra loro ma osservando meglio la situazione hanno l'unità come divisore comune. A {1; 3; 9; 13; 17; 39; 51; 117; 153; 221; 663; 1989}. B {1; 2; 4; 5; 10; 20; 101; 202; 404; 505; 1010; 2020}. La cardinalità dell' insieme A è 12 e quella di B anche. Quindi la cardinalità totale è 23 perché l'unità va considerata una sola volta.

Se dovessi fare l'unione dei tre insiemi A, B, C dove A contiene i divisori di 120, B quelli di 945 e C quelli di 576 vediamo che cardinalità c'è. A {1; 2; 3; 4; 5; 6; 8; 10; 12; 15; 20; 24; 30; 40; 60; 120} B {1; 3; 5; 7; 9; 15; 21; 27; 35; 45; 63; 105; 135; 189; 315; 945} C {1; 2; 3; 4; 6; 8; 9; 12; 16; 18; 24; 32; 36; 48; 64; 72; 96; 144; 192; 288; 576}. La cardinalità dell' insieme A è 16. Quella di B anche. Quella di C è 21. Quindi alcuni elementi compaiono due o tre volte vediamo di non ripeterli. Gli elementi comuni a tutti e tre gli insiemi sono {1; 3}. Comuni ad A e B {1; 3; 5; 15}. Comuni a B e C {1; 3; 9}. Comuni ad A e C {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}. Quindi la cardinalità dell' unione è 16+16+21-4-3-8+3= =2×16+21-4-8= 32+21-12=41

Vorrei fare un esempio con un intersezione di due insiemi A e B. L' insieme A contiene tutti i nomi che iniziano con la lettera "D". L' insieme B invece contiene tutti i nomi a 4 lettere. A {Davide; Daniela; Denise; Diego; Dino; Debora}. B {Aldo; Elia; Nico; Rita; Cora; Anna; Remo; Dino}. Il mio nome è intersecato in entrambi gli insiemi.

Per gli insiemi infiniti la cardinalità può essere Aleph 0 se l'∞ è numerabile. Invece Aleph 1 nel caso contrario. L' insieme dei numeri naturali N ha cardinalità Aleph 0 ma anche quello degli interi relativi Z perché ogni numero negativo posso metterlo in corrispondenza biunivoca con uno naturale. Pure i numeri razionali Q hanno la stessa cardinalità dei naturali anche se l'insieme è più denso. Invece i numeri reali R hanno cardinalità Aleph 1 per via dei numeri trascendenti che non sono numerabili. Siccome i numeri irrazionali algebrici possono essere messi in corrispondenza biunivoca con interi o altri razionali sono ancora numerabili. Quindi è merito dei trascendenti se i reali hanno una maggiore cardinalità. Poi ci sono i complessi C che hanno la stessa cardinalità dei reali perché passare da reali a complessi significa fare il prodotto cartesiano.

A proposito di cardinalità di un insieme. Mettiamo in questione le lettere del mio nome: A {d; i; n; o} la cardinalità è 4 perché gli elementi sono 4. Però se dovessi fare l'insieme di potenza chiamiamolo pure delle parti o di tutti i sottoinsiemi propri ed impropri allora sarebbe 2⁴=16. Sottoinsiemi impropri: ∅; A Sottoinsiemi propri: {d}; A-{d} {i}; A-{i} {n}; A-{n} {o}; A-{o} {d; i} {n; o} {d; n} {i; o} {d; o} {i; n} Praticamente ho preso i sottoinsiemi in maniera complementare.

Esistono casi particolari fra tre numeri dove il massimo comun divisore coincide con il più piccolo e il minimo comune multiplo con il più grande. Per esempio (12; 84; 252). 12=2²×3 84=2²×3×7 252=2²×3²×7 Da qui deduco che il numero più piccolo divide sia il medio che il grande. Facciamo anche altri esempi: (16; 48; 112) 16=2⁴ 48=2⁴×3 112=2⁴×7 Qui deduco che il massimo comun divisore coincide con il più piccolo ma il minimo comune multiplo non coincide con il più grande. Facciamo ancora un esempio (18; 27; 108) 18=2×3² 27=3³ 108=2²×3³ In questo caso il minimo comune multiplo coincide con il più grande ma il massimo comun divisore non coincide con il più piccolo. Invece nel caso che due o più numeri siano coprimi allora il massimo comun divisore è 1 e il minimo comune multiplo è il loro prodotto. Per esempio (7; 11; 13) sono tre numeri primi e necessariamente coprimi. Quindi mcm=7×11×13=1001. Oppure con tre numeri composti ma coprimi (28; 55; 81) mcm=2²×3⁴×5×7×11=249780 In notazione scientifica 2,4978×10⁵.

L' insieme dei numeri reali è l' unione dei razionali e non. Ma attenzione i numeri irrazionali si dividono in due categorie: algebrici e trascendenti. I numeri irrazionali algebrici sono {√2; ³√6; ⁵√8-4; 1+⁴√7....}. Invece i numeri trascendenti sono {e; π; 4^(√3); -9^(³√7)....}. In effetti se devo considerare tutta la retta dei numeri reali la maggior parte è trascendente. Voglio dare un approfondimento in più. Oltre ai reali esistono pure i numeri complessi che hanno una parte reale e l'altra immaginaria. L' insieme dei numeri reali in un certo senso non ci basta per tutte le radici ennesime. Se dovessi fare ³√-27=-3 e questo è fattibile in campo reale perché l' indice è dispari. Ma se fosse stato pari come in questo esempio √-64 questo in campo reale non ammette soluzioni perché un numero negativo elevato ad una potenza pari restituisce sempre un numero positivo: 8²=64 ma anche (-8)²=64 quindi √64=±8 ma √-64=±8√-1 e √-1=±i. Quindi √-64=±8i. E questa è una soluzione immaginaria.

A proposito di calcolo letterale alcune lettere hanno un valore vero e proprio quindi non vanno usate come incognite: e≈2,71828 il famoso numero di Nepero. Oppure i=√-1 la famosa unità immaginaria. Una cosa importante sarebbe che le lettere se stanno al denominatore non devono assumere valore nullo. Per questo nel campo di esistenza si pongono x≠0 oppure se la lettera x è accompagnata da un numero n allora x+n≠0→x≠-n invece x-n≠0→x≠n.

Proviamo a scomporre questi numeri molto spaventosi: 9,072×10⁵; 1,1088×10⁵; 7,351344×10⁸; 1,009008×10⁶ Da notazione scientifica li converto in numeri interi: 9,072×10⁵=907200 1,1088×10⁵=110880 7,351344×10⁸=735134400 1,009008×10⁶=1009008 Partiamo con 907200 Mi accorgo che ha due zeri in fondo allora devo liberarmene per fare meno strada: 907200÷(2×5)²=9072 Osservo bene le cifre e noto che la sua radice numerica (somma reiterata ad una sola cifra) è 9, allora divido per 3² anziché per 3 e basta. Quindi 9072÷3²=1008. Pure 1008 ha la radice numerica pari a 9 allora ripeto come prima: 1008÷3²=112. Osservo bene il numero e noto che termina con 2 preceduto da cifra dispari, allora divido per 2² anziché 2 e basta: 112÷2²=28. Questo numero stavolta termina con 8 preceduto da una cifra pari allora ripeto come prima: 28÷2²=7. Sono arrivato a 7 e questo è un numero primo. Adesso posso mettere in ordine crescente i fattori primi: 9,072×10⁵=2⁶×3⁴×5²×7. Procediamo con 110880: Termina con 0 allora me ne libero 110880÷(2×5)=11088 Il numero termina con 8 preceduto da cifra pari allora divido per 2²: 11088÷2²=2772. Il numero termina con 2 preceduto da cifra dispari e ripeto come prima: 2772÷2²=693. Osservo la radice numerica e si conferma 9. Allora divido per 3²: 693÷9=77. Osservo il numero 77 che ha entrambe le cifre 7 allora divido per 7: 77÷7=11. La scomposizione è terminata e posso mettere i fattori primi in ordine crescente: 1,1088×10⁵=2⁵×3²×5×7×11. Adesso provo con un livello di difficoltà maggiore: 735134400÷(2×5)²=7351344 7351344÷2²=1837836 1837836÷2²=459459 459459÷3²=51051 51051÷3=17017 17017÷17=1001 1001=7×11×13 Quindi 7,351344×10⁸= =2⁶×3³×5²×7×11×13×17 Adesso tocca a 1009008: 1009008÷2²=252252 252252÷2²=63063 63063÷(7×11×13)=63 63=3²×7 In conclusione 1,009008×10⁶=2⁴×3²×7²×11×13.

Il criterio di divisibilità per 7 può essere espresso anche così: un numero è divisibile per 7 se la somma del numero senza l'unità e il quintuplo dell'unità danno un multiplo di 7. Esempio: 119→11+9×5=11+45=56 168→16+8×5=16+40=56 511→51+5=56 672→67+10=77 448→44+8×5=44+40=84 84→8+4×5=8+20=28 Praticamente è il metodo congruo a quello in questione.

A proposito di questo sistema di posizione decimale. Esistono anche sistemi numerici in altre basi. Per esempio il sistema binario solamente con 0 e 1. E qui si capisce che un numero pari termina con 0 mentre un dispari con 1. E quando un numero ha 1 in tutte le cifre è una potenza di 2 a meno di un' unità. Un altro sistema può essere il quaternario con periodicità 3 oppure l'ottale con periodicità 7. Se la base è minore di 10 basta arrivare al simbolo della cifra che si preferisce. Invece se dobbiamo lavorare con una base maggiore di 10 allora si usufruisce di alcune lettere dell' alfabeto per avere dei simboli in più. Per esempio se pensiamo al sistema numerico esadecimale cioè in base 16 allora dobbiamo inserire: A=10; B=11; C=12; D=13; E=14; F=15. Il numero 16 è 1 seguito da 0. Proviamo a convertire il numero 1488 da base 10 in queste basi che ho elencato. Binario 1488÷2=744 744÷2=372 372÷2=186 186÷2=93 93÷2=46 r1 46÷2=23 23÷2=11 r1 11÷2=5 r1 5÷2=2 r1 2÷2=1 1÷2=0 r1 Dove non c'è il resto della divisione ho sottinteso 0. Quindi adesso a partire a ritroso scriviamo il numero in binario 1488= =10111010000 base(2) Quaternario 1|01|11|01|00|00 113100 base(4) Ottale 10|111|010|000 2720 base(8) Esadecimale 101|1101|0000 5D0 base(16) Praticamente ho usato il sistema binario come ponte per aiutarmi meglio in quanto (4;8;16) sono potenze di 2. E poi ho diviso il bit a gruppi di 2 cifre per il quaternario di 3 per l' ottale e di 4 per l'esadecimale.

Vorrei aggiungere un' altra spiegazione. Il risultato è il quoziente. Però quando il resto è pari a 0 ho la tendenza a chiamarlo quoto. In effetti il quoto è un quoziente esatto. Poi se dovessi trovare i divisori di un numero n composto anche i quoti sono divisori del dividendo. Prendiamo in questione il numero 60. Se volessi trovare tutti i suoi divisori li prendo a coppie proprio perché il divisore e il quoto sono correlati per restituire il dividendo. D(60) {1;60} {2;30} {3;20} {4;15} {5;12} {6;10} e qui mi fermo perché 60÷7=8 r4 quindi il 7 non è un suo divisore perché 7×8=56 e neppure l'8 lo è. Neanche 9 perché 60÷9=7 r3. Quindi ho trovato tutti i suoi divisori. Alcuni numeri sono divisibili per l'unità e loro stessi. Si dicono numero primi {2;3;5;7;11;13;17;19....}.

Dividere per 0 è impossibile. Se tento di fare un numero n≠0 diviso per 0 significa che sto cercando un numero che moltiplicato per 0 mi dia quel numero in questione. Ma un numero moltiplicato per 0 che mi dia un numero n≠0 non esiste in quanto 0 è l' elemento assorbente nella moltiplicazione. Il caso più interessante sarebbe 0÷0=??? Questa è un' indeterminazione in quanto qualunque numero intero moltiplicato per 0 dia sempre 0. Posso dire che 0÷0=0 vero perché 0×0=0 oppure anche 0÷0=1 ripensando che ogni numero diviso se stesso dà sempre l'unità. Non posso scegliere alcun risultato altrimenti escluderei gli altri. Ma poi dire che 0÷0=0 oppure 0÷0=1 oppure 0÷0=2; 0÷0=10 proprio perché lo 0 annulla il prodotto affermerei che un numero è uguale ad un altro. E questo è falso. Tornando al caso che n÷0 con n≠0 alcuni dicono che n÷0=∞. Questo è solo un concetto limite. Lo 0 nel divisore non è proprio 0, ma un numero molto piccolo che si avvicina senza assumerne tale valore. Può essere 0(+) alla destra o 0(-) alla sinistra.

Volevo fare una precisazione su un caso particolare. Quando il periodo è generato solamente dal 9 che si ripete all' ∞. Il numero 0,(9) non è altro che 1. Siccome ⅑=0,(1) e ⅓=0,(3) l'unità può essere rappresentata anche come ho dimostrato nell' esempio. Quindi ogni numero decimale periodico con solamente il 9 dopo la virgola non è altro che il successivo di un numero intero perché tra 0,(9) ed 1 non esistono altri numeri decimali. Questo vale anche per i numeri periodici misti. Se dopo l'antiperiodo si presenta un 9 ripetuto all'∞ è numero successivo di un decimale limitato.

Doc! Mi piacerebbe vedere una sua lezione dove spiega come si leggono e dimostrano i teoremi