I 019b - Partizioni e Relazioni di Equivalenza
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- เผยแพร่เมื่อ 29 ก.ค. 2024
- In questo viene spiegato cos'è una Partizione di un Insieme dato e come questo concetto si leghi alle Relazioni di Equivalenza.
Prima di tutto si introduce il concetto di Insieme delle Parti di un Insieme, sottolineando alcune delicate questioni di formalismo.
Poi si fornisce la definizione di Partizione, fornendo alcuni esempi che aiutino a comprendere ed acquisire correttamente il concetto.
Infine si mostra come una Relazione di Equivalenza definita su un insieme induca sempre una Partizione dell'Insieme stesso, dividendolo in Classi di Equivalenza.
Al termine del video, lo spettatore avrà quindi chiaro cosa sia una Partizione di un Insieme e come una Relazione di Equivalenza definita su un Insieme induca sempre una Partizione.
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🙏Un Ringraziamento a Daniele Ariuolo per avermi gentilmente concesso l'utilizzo di una sua illustrazione durante questo video.
Potete trovare il volume da cui l'illustrazione è tratta al seguente link:
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🙏Un Ringraziamento ad Hakuna MATH-ata per i preziosi consigli ed il supporto.
/ @hakunamathata_channel
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00:00 Obiettivo del Canale.
00:35 Cos'è una PARTIZIONE DI UN INSIEME?
00:45 Definizione di Insieme delle Parti.
02:14 Due piccole precisazioni.
03:15 Definizione di Partizione di un Insieme.
04:08 Due Esempi.
05:24 Partizioni e Relazioni di Equivalenza: Precisazioni sulla Notazione.
06:45 Partizioni e Relazioni di Equivalenza: un'osservazione fondamentale.
09:05 Dimostrazione: le Classi dei Equivalenza di una Relazione inducono una Partizione.
13:42 Un importante Esempio.
16:14 Messaggio di Chiusura.
Al minuto 0:45 ho notato che il simbolo dell' insieme vuoto mi ricorda la lettera greca "fi" che al Pacinotti di Pistoia la usavano per rappresentare un diametro.
Sempre allo stesso minuto per quanto riguarda l'insieme di potenza tutti i sottoinsiemi li prendevo a coppie. Praticamente con i loro rispettivi complementari. Per esempio gli unitari
{1}; A-{1}
{2}; A-{2}
{3}; A-{3}
{4}; A-{4}
A-{1} è un altro modo di esprimere {2;3;4}. Praticamente più compatto. Mettiamo caso di avere un grosso numero di elementi. Se in un insieme gli elementi fossero 12 allora se devo fare l'insieme di potenza conviene prendere in considerazione i sottoinsiemi l'uno con il complementare dell' altro. In questo caso rappresento gli unitari con il singolo elemento per come sono, ma i loro complementari non si rappresentano scrivendo tutti gli altri 11 elementi ma bensì con A-{a}. Stesso discorso sì prendono tutti i sottoinsiemi con 2 elementi come sono ma i loro complementari si scrivono con A-{a;b} e così via fino ad arrivare a i sottoinsiemi di 6 elementi dove possiamo rappresentarli scrivendo tutti e 6 gli elementi per come sono. Più che altro nei sottoinsiemi di 11;10;9;8;7 elementi sì scrive A-{a}; A-{a;b};
A-{a;b;c}; A-{a;b;c;d}; A-{a;b;c;d;e} per perdere tempo se gli elementi dell'insieme A fossero 12.
Con insieme di potenza, intendi insieme delle parti? Non conoscevo questo sinonimo😅
Cmnq si: si possono trovare delle "strategie" per elencare tutti i sottoinsiemi in maniera più rapida e/o per assicurarsi di prenderli proprio tutti tutti....
Io ad esempio procedo secondo la cardinalità: prima tutti quelli di cardinalità 0, poi 1, poi 2, e così via...
@@DocFerruX io li elenco a coppie l'uno con accanto il suo complementare per non perdermi nei dettagli e per fare prima. Supponiamo di avere un insieme A che contiene questi 5 elementi:
A {trapezio; parallelogramma; rettangolo; rombo; quadrato}
Facendo l'insieme delle parti ottengo:
∅; A
{trapezio}; A-{trapezio}
{parallelogramma}; A-{parallelogramma}
{rettangolo}; A-{rettangolo}
{rombo}; A-{rombo}
{quadrato}; A-{quadrato}
{trapezio; parallelogramma}; A-{trapezio; parallelogramma}
{trapezio; rettangolo};
A-{trapezio; rettangolo}
{trapezio; rombo}; A-{trapezio; rombo}
{trapezio; quadrato};
A-{trapezio; quadrato}
{parallelogramma; rettangolo}; A-{parallelogramma; rettangolo}
{parallelogramma; rombo}; A-{parallelogramma; rombo}
{parallelogramma; quadrato}; A-{parallelogramma; quadrato}
{rettangolo; rombo};
A-{rettangolo; rombo}
{rettangolo; quadrato};
A-{rettangolo; quadrato}
{rombo; quadrato};
A-{rombo; quadrato}
È il metodo che preferisco.