I 018a - Prodotto Cartesiano tra Insiemi
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- เผยแพร่เมื่อ 29 ก.ค. 2024
- In questo viene spiegato cos'è il Prodotto Cartesiano tra Insiemi.
Oltre la dare la Definizione Formale, viene spiegato con degli esempi come costruire e come rappresentare efficacemente questo insieme.
Vengono inoltre sottolineate le cose a cui prestare maggiore attenzione, come l'ordine degli elementi e la Cardinalità dell'insieme.
Al termine del video viene spiegato come il PIANO CARTESIANO non sia altro che il Prodotto Cartesiano dell'insieme R con se stesso.
Al termine del video, lo spettatore avrà quindi chiaro cosa sia il Prodotto Cartesiano tra Insiemi, come calcolarne la cardinalità, quali siano i suoi elementi e come rappresentarlo efficacemente.
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🙏Un Ringraziamento a Daniele Ariuolo per avermi gentilmente concesso l'utilizzo di una sua illustrazione durante questo video.
Potete trovare il volume da cui l'illustrazione è tratta al seguente link:
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🙏Un Ringraziamento ad Hakuna MATH-ata per gli ottimi consigli ed il supporto.
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00:00 Obiettivo del Canale
00:35 Cos'è il PRODOTTO CARTESIANO tra Insiemi?
00:45 Definizione di Prodotto Cartesiano.
02:50 Come va interpretata la Definizione.
04:10 L'importanza dell'Ordine degli Insiemi.
06:45 Come si rappresenta il Prodotto Cartesiano.
08:10 Come si calcola la Cardinalità del Prodotto Cartesiano.
09:30 Il Piano Cartesiano come Prodotto Cartesiano di R con se stesso.
12:30 Messaggio di Chiusura.
Con due insiemi A e B possiamo ricavare anche delle funzioni. E una funzione si chiama iniettiva se ogni elemento dell' insieme di arrivo è colpito da una sola freccia di ogni elemento dell' insieme di partenza. Una funzione si chiama suriettiva se ogni elemento dell' insieme di arrivo è colpito da almeno una freccia dell'elemento dell' insieme di partenza. Invece una funzione è detta biettiva o biunivoca se ad un solo elemento dell' insieme di partenza viene associato un solo elemento dell' insieme di arrivo. Le funzioni biettive sono pure invertibili. Vorrei portare un esempio.
Funzione iniettiva: x³
A {2; -4; -7; 9}
B {8; 27; -64; -343; 729; 1000}
Funzione suriettiva: x²
A {-1; 1; 2; 3; -3; 5}
B {1; 4; 9; 25}
Funzione biunivoca: x³
A {2; 3; -4; -7; 9; 10}
B {8; 27; -64; -343; 729; 1000}
Altra biunivoca: x²
A {1; 2; 3; 5}
B {1; 4; 9; 25}
Come osserviamo possiamo invertire dominio e codominio sulle funzioni biunivoche.
Ma in futuro ci sarà uno studio con le funzioni iniettive, suriettive e biettive che ho citato nell' altro commento?
Certamente. L'idea è quella di coprire il programma dei 5 anni delle superiori. Però sto seguendo gli anni scolastici: quando avrò terminato il programma di prima, passerò a quello di seconda... Gli argomenti che citi fanno parte del programma di terza (almeno da noi), sebbene si facciano degli accenni già in seconda. Io personalmente faccio un forte riferimento al grafico già in prima, anche per parlare dei polinomi, ad esempio. In definitva: ci sarà da aspettare un po' per una trattazione esaustiva delle funzioni, ma già tra qualche mese inizierò a dare i primi elementi.
Grazie mille per il tuo interessamento.
@@DocFerruX scusami se mi sono allargato su questi commenti prof Ferrucci è perché ci tengo con l'approfondimento. Diamoci pure del tu almeno non ci sentiamo vecchi. Capisco che copri il programma anno per anno e classe per classe. Sono di classe 1989. Io oramai mi sono diplomato nel lontano 2008 al Pacinotti di Pistoia come perito meccanico. Seguo questi programmi di matematica giusto per non invecchiare la mente. Mi sono pure iscritto. Ho saputo che insegni al Buzzi di Prato su qualche video delle lezioni.
@@dinochiari3647 io ho qualche hanno in più 😅 classe 76...
Sentiti libero di scrivere i tuoi commenti: se il pubblico non desidera leggerli, è libero di non farlo;)
E grazie per esserti iscritto! Queste sono nozioni abbastanza basilari, ma vedrai che pian piano andremo ad affrontare anche argomenti più "sfidanti" 😁
@@DocFerruX io seguo pure altri insegnanti su TH-cam. Per esempio Salvo Romeo. E c'è ne è anche uno più giovane di me in "my matematica". È un certo Pietro D'Innocenzo. Classe '92.
Un altro concetto sono le relazioni tra un insieme e un altro. Voglio dire le relazioni tra un elemento di un insieme e l' elemento di un altro insieme. Sono relazioni binarie. Possono essere di equivalenza oppure di ordine. Le relazioni di equivalenza godono delle proprietà (riflessiva simmetrica e transitiva). Invece quelle di ordine (antiriflessiva antisimmetrica e transitiva). La proprietà riflessiva si rappresenta con una freccia detta cappio cioè quando un elemento x è in relazione con se stesso. Nel caso contrario la proprietà è antiriflessiva. La proprietà simmetrica si rappresenta con una freccia di andata e l' altra di ritorno. Quindi x→y se y→x. La freccia significa che l' elemento x è in relazione con l' elemento y. Nel caso contrario cioè con la sola freccia di andata la proprietà è antisimmetrica. Infine abbiamo la proprietà transitiva che oltre ad avere due frecce concatenate ne ha una per ponte per segnalare la relazione anche tra il primo e il terzo elemento. Quindi x→y→z solo se x→z. Voglio portare degli esempi che godono di tutte queste proprietà. L' uguaglianza gode di proprietà riflessiva simmetrica e transitiva. Invece maggioranza e minoranza godono sì della proprietà transitiva ma anche di quelle antiriflessiva e antisimmetrica.
Relazione di equivalenza:
½=2/4=9/18
Si tratta di un' uguaglianza perché tutte e tre le frazioni danno lo stesso risultato. Quindi ½→½; ½→2/4; ½→9/18;
2/4→½; 2/4→2/4; 2/4→9/18;
9/18→½; 9/18→2/4; 9/18→9/18
Tutti gli elementi sono in relazione con loro stessi, allora è valida la proprietà riflessiva. Tutti gli elementi sono in relazione reciproca l'uno con l' altro, allora è valida pure la proprietà simmetrica. Tutti gli elementi sono in relazione concatenata l' uno con l'altro quindi è valida anche la proprietà transitiva.
Relazione di ordine:
-127
100→48→27 quindi 100→27. Anche in questo esempio sono valide le proprietà antiriflessiva, antisimmetrica e transitiva.
Altri esempi ancora che godono di queste proprietà sono quando un numero n è multiplo di un altro numero m a sua volta multiplo di un altro numero k. Supponiamo che n=144; m=36; k=12. Oppure queste proprietà valgono anche se un numero è divisore di un altro numero a sua volta divisore di un altro numero ancora. Per esempio se 45 è divisore di 180 a sua volta di 7200 per la proprietà transitiva 45 è anche divisore di 7200 oltre ad esserlo di 180.
Di questo invece parleremo molto presto ;)