Je dirais que l'addition est le nombre de fois que l'on applique l'opération élémentaire "incrémenter de 1" donc +5 c'est +1, +1, +1, +1, +1 (5 fois) ^^ Du coup : 3^3 = 3*3*3 = 3+3+3+3+3+3+3+3+3 = +1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1
Tu n'as pas défini de loi, il faudra qu'il existe une loi * telle que x+y = x*x*....*x , y fois (en travaillant sur les entiers positifs dans un premier temps). L'opération incrémenter de 1 comme tu dis n'es pas une loi puisqu'elle ne prend pas 2 arguments mais un seul
Cette réponse est séduisante mais si j'ai bien compris la question on cherche une opération plus élémentaire que l'addition qui permet de la "reconstruire". Je ne suis pas convaincu par l'incrémentation de 1, qui revient à additioner 1. On pourrait donc aussi bien dire que additionner y à x revient à additionner y fois 1 à x, mais on utiliserait donc le concept d'addition dans la définition de l'addition, ce qui ne me semble pas répondre à la question.
La "translation" : 1=>-1; 2=>-2; ... Le "décalage" : 1=2; 2= 3; (tu en as parlé) Le codage informatique (binaire ou quantique) : 1=une suite de bytes 0/1 ou 1=0,...,9 L'"identification" : nombre entier, réel, premier, ... Ce sont les seuls idées d'un amatheux qui me viennent. Bravo M Launay de nous faire réfléchir sans y penser.
A mon avis avant l'addition il y a l'intuition. Je m'explique : si je montre a quelqu'un un groupe de 10 pommes et 3 poires. Pour les 3 poires, c'est pas trop compliqué, on est capable de discerner qu'il y en a trois d'un simple coup d'oeil et sans même réfléchir ni additionner on a l'intuition qu'il y en a trois. Le cas des pommes en revanche, c'est plus compliqué, je mets au défi qui que se soit d'être certain d'un seul coup d'oeil et avec certitude qu'il y a 10 pommes, ainsi la personne, par une suite d'intuitions sera capable de voir qu'il y a par exemple 3+3+3+1 pommes (ou bien 2+2+1+3+2, ça dépend beaucoup du hasard lié à l'intuition et la façon dont l'esprit traite le problème) et par une addition sera capable de dire qu'il y en a 10. Cette idée de l'intuition avant l'addition me vient du fait qu'une addition est déjà une démonstration, or une démonstration est, d'après Descartes si mes connaissances de lycéen sont justes, une suite d'intuitions. Voilà n'hésitez pas à dire ce que vous en pensez si vous avez des trucs a rajouter, corriger, etc...
Cette facon d'envisager le probleme n'est pas vraiment mathematique, comme peut l'etre l'application successeur qui semble, pour moi, la reponse ecidente, mais je la trouve extremement interessante d'un point de vue philosophique et je l'apprecie beaucoup :)
"Le cas des pommes en revanche, c'est plus compliqué, je mets au défi qui que se soit d'être certain d'un seul coup d'oeil et avec certitude qu'il y a 10 pommes" Ça s'appelle le subitizing, en général après 4 objets on est obligé de compter mais certains autistes voient cette limite repoussée à 250 voire plus.
Oui et je dirais la définition de la quantité. Qu'est ce que un chiffre ou un nombre. Avant de réunir des éléments il faut les définir. Dans la théorie des ensembles on additionne les cardinaux quand on fait une union. Avant l'union des ensembles il ya leur définition elle même. Qu'est ce que compter... Si ce n'est identifier une quantité.
Thehappykiller20 C'est vrai que ma façon de voir le problème n'est pas très mathématique je te l'accorde mais le problème de l'addition est pas simple a répondre du point de vue mathématique (à mon niveau du moins) puisque les axiomes qu'on utilise couramment en arithmétique sont déjà basés sur l'addition Et merci Morsay pour ce point de culture qui me permet de mettre des mots à des phénomènes
la réponse la plus intéressante à mon sens, ça rapporte les nombres à l'être humain et son cerveau, je veux dire par là que nous sommes les seuls êtres vivants (connus) à utiliser les mathématiques à proprement parler, J'ai pas l'impression qu'un quelconque animal utilise les nombres comme nous si ce n'est avec cette "intuition", ce qui ferait de l'intuition, une opération encore plus basique que l'addition, NEANMOINS, JE N'AI PAS LA SCIENCE INFUSE, ECLAIREZ-MOI SUR LES MATHEMATIQUES DANS LE MONDE ANIMAL SI VOUS POUVEZ ME CORRIGER, j'en serais ravi, nous sommes là avant tout pour débattre ;)
C'est incroyable !!! Je me suis posé la même question y'a quelques mois mais j'avais abandonné parceque j'avais rien trouvé !! Du coup je suis super excité de m'y remette !!!!!
Un an plus tard mais le sujet est passionnant. Avant l’addition, il y a la relation d’ordre... plus petit / plus grand / égal : 4 pièces d’or valent plus que 3... utile pour le troc et toutes les premiers échanges commerciaux.
l'Augmentation, c'est a dire qu'on passe au rang suivant dans l'echelle des entiers, du style *j'augmente 5 ↦ 6* Du coup 5+3 = 3 augmentation de 5, donc 5 ↦6↦7↦8 (le nom a été choisis a l'arrache xD)
Le groupement numérique 😊❤ soit les différentes solutions d ensembles numériques comme si malgré la méconnaissance des différentes suites additives et multiplicatives on denombrerait toutes les possibilités arithmétiques d un résultat arithmétique quelconque et ce dans toutes les bases et tous les formats arithmétiques connus ou encore inexistants 😢 😅 (peano et presburger en tout cas au moins si il s agit de précéder l addition...) 😮❤ Mickael j adore tes chemins de reflexions ils me sont d une aide précieuse je te remercie de toutbmon coeur pour tout le travail que tu réalise. Merci tu es vraiment exceptionnel... 😊
960 commentaires déjà ^^', je crois que je vais tomber dans les abîmes du web. J'ai mis un pouce bleu ça compte ? Trêve de plaisanterie, j'ai réfléchis cette nuit à cette problématique, j'ai 3,5 pistes : 1- l'addition n'est autre qu'une somme répétée de petits intervalles, par exemple 1+2 -> 1 + ( 1 + 1 ) (addition unitaire) voir 1+2 -> 1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 +0.1.... (mini addition) ou micro addition (0.000 001) ou encore nano addition (0.000 000 001) et ainsi de suite. 2- l'addition n'est autre que la face visible d'un iceberg (les nombres réels) 1+2 -> 1 + 2 x - (i²) (addition de nombres à deux dimensions, ou imaginaires) puis à trois dimensions 1 + 2 -> 1 + 2 x - (U^3) (ou racine cubique de U = -1) et ainsi de suite. 3- l'addition n'est autre qu'une expression géométrique appliquée à l'algèbre, du coup on peut faire de petites translations répétées (le cas 1), des rotations répétés, ou des symétries répétés. Imaginez un point A (1, 0) . si on lui applique des petites translations jusqu'à 3 on aura 1 + 1 + 1 = 3 ou 1 + 2 (soit B (3 , 0), la rotation de 180° de centre (2 , 0) le permet aussi, enfin une symétrie d'axe y = 2 aussi. Et ainsi de suite car là c'est une transformation unique, il peut y avoir des transformations doubles, triples, combinatoires doubles, combinatoires triples etc... 4- C'est une déclinaison de la version 1 et 3 (d'où le 3.5 pistes), 1+2 = 1 + 2.1 - 0.1 = 1 + 2.01 - 0.01 = 1 + 2.001 - 0.001 vous voyez où je veux en venir, il y a aussi la déclinaison de la déclinaison : 1+2 -> 1 + 2.1 - 0.2 + 0.11 - 0.02 + 0.011.... C'est une sorte de ping pong jusqu'à la valeur.
Avant l'addition … il y a la consommation, la commande … Oups J'avais plus sérieusement pensé au fait de passer d'un nombre au suivant (à n'importe quel échelle), ce qu'on appelle communément "le comptage par n" où n représente justement cette échelle. Par contre je n'avais aucune idée de comment appeler ça avant de lire quelques commentaires x)
Les nombres base 10 n'existent que pour nous permettre de compter et de faire facilement des opérations. Ils correspondent au fait que nous avons 10 doigts (les incas comptaient en base 20 car il comptait aussi avec les orteils). Or, la réalité des nombres se trouve au cœur même de la matière : tout n'est constitué que de zéro et de 1. On reproduit ça dans les ordinateurs avec + 5 V ou 0 V. Donc avant même toute opération sur les nombres tel que nous les concevons, il convient de les créer. Je dirais donc que l'association (And; Or, Xor, Not) de zéro et de uns qui permet de fabriquer un nombre est le préambule de toute expression mathématique. Certes tout cela est un peu philosophique mais pour résumer : avant d'additionner les nombres il faut commencer par les créer.
L'incrementation est très citée, mais si l'on veut parfaitement définir l'addition, il vaut mieux parler de décrémentation / incrémentation. On a 2 tas à additionner, on enlève un au premier, que l'on bascule au second... Exemple avec 2 et 5 2+5= (2-1)+(5+1) = 1 + 6 = (1-1) + (6+1)= 0+7 =7 On s'arrête lorsqu'il ne reste plus qu'un seul tas.
Bonjour, Je n'ai pas vraiment l'habitude de m'adresser ainsi sur ce genre de réseaux mais puisqu'on y est, j'en profite pour interagir avec le concept de cette vidéo qui me semble particulièrement amusant et adresse un remerciement à l'auteur qui aura su me faire réfléchir toute une nuit durant . Ne pouvant exposer de manière plus explicite mon raisonnement ; en tant que potentiel fragment de réponse à la question posée, par le biais de longues explications et non de démonstrations écrites sur papier : je suis d'avance navré si la suivante présentation est quelque peu flou. Afin d'approcher une réponse à la question exposée, je me suis tout d'abord posé l'étrange question de savoir ce qu'était une opération mathématique. Venant à la conclusion simpliste que selon toute vraisemblance et indépendamment de la forme qu'elle pouvait avoir, elle désigne tout mode ou procédé visant à obtenir un résultat, résultant d'une suite de termes. J'ai alors posé les bases et ai prit pour exemple de démonstration, des opérations contenant uniquement 2 et en seulement deux termes. Je m'explique : Pour l'aspect addition nous avons alors ainsi écrit : 2 + 2 = 4 Puis dans l'évolution de l'opération nous avons la multiplication et toujours dans la logique de notre précédente addition, nous écrivons alors : 2 X 2 = 4 Et ainsi nous obtenant très logiquement la dernière évolution en écrivant : 2² = 4 La question de savoir ce qui précède le plus logiquement possible l'addition devient alors d'autant plus intéressante que celle de se demander à quoi ressemblerai notre monde si pour la première fois de votre existence vous vous trouviez dans la possibilité de voir non pas trois mais quatre dimensions physiques. Cela fait appel à beaucoup d'imagination et demande pour ce faire de sortir d'un cadre d'existence profondément ancré en vous ; en vos sens et en votre sens logique. Les mathématiques sont logiques et la logique c'est beau alors j'ai taché de rendre ma réponse belle et logique, afin que la précédente opération logique à l'addition ne soit ni disgracieuse, ni incohérente. La solution de ce problème se devait d'être en harmonie avec l'évolution des opérations suivantes ; elle devait alors avoir au moins des termes arithmétiques et des symboles, afin de résoudre en soi le conflit d'une insatisfaction quant à cette question qui rôde dans le flou. J'ai alors imaginé une suite arithmétique. Une suite que nous noterons " S " pour la forme. Cette suite est alors ; selon notre exemple ci-dessus, égale à 4 : S = 4 Cette suite a pour symbole " , " et pour termes les nombres infinis compris entre 0 et 4, ainsi notée : S : [ 0, ...... ,4 ] = 4 Ainsi, dans l'exact continuité de nos exemples précédants, partant du postulat que cette suite n'est finalement qu'une opération symbolisant d'une manière plus abstraite le résultat de celle-ci, S est donc bien égale à 4. Nous reprenons alors l'exemple de base en ajoutant notre solution : [ 0, ...... ,4 ] = 4 2 + 2 = 4 2 X 2 = 4 2² = 4 Je disais cependant que les mathématiques sont belles et logiques, je ne peux donc omettre d'inclure les opérations contraires. Comprenant que le contraire de l’addition est la soustraction, celle de la multiplication est la division et que celle de la puissance est la racine. Alors j'applique : S : [ 0, ...... ,4 ] = 4 ( S - S ) + ( 2 + 2 ) = 4 ( S / S ) X ( 2 X 2 ) = 4 ( √√S )²x² : ( √√S )ˆ4 Comme ce n'est pas évident d'afficher certains symboles, je précise que " √ " représente la racine et " √√ " est bien une racine de racine, que "²x²" représente puissance 2 multipliée par puissance 2 et que " ˆ4 " représente bien une puissance 4. En vous souhaitant à toutes et tous une bonne journée.
Mille mercis !!! La suggestion de Hugo Lecourt dans les commentaires, consistant à remarquer que l'exponentielle envoie l'addition sur la multiplication, donc que le logarithme népérien devrait envoyer l'addition sur la pré-addition est intéressante. Pour ma part, je suggère l'opération A v B, où je désigne par A v B le maximum de A et B. En effet, de même qu'on a (A+B) x (C+D) = A x C + B x C + A x D + B x D, on a (A v B) + (C v D) = (A + C) v (B + C) v (A + D) v (B + D). Mais déjà, il faut vérifier que tout cela a bien un sens (genre que (A v B) v (C v D) = ((A v B) v C) v D = A v (B v (C v D))... mais c'est bien vrai car c'est juste le maximum des quatre nombres considérés). Je cheate un peu car je fais de la recherche en mathématiques et ai déjà croisé de la géométrie tropicale. Mais la question m'attire aussi alors j'ai décidé de ne pas me priver. Mais bon, même en cheatant, ce n'est pas une réponse terrible que je propose, car bien que l'addition se comporte vis-à-vis du max un peu comme la multiplication vis-à-vis de l'addition, l'addition n'est pas du tout à proprement parler une version itérée du maximum. (Mais il y a des liens entre ce point de vue et la réponse de Hugo Lecourt. Si A et B sont deux grands nombres, alors ln(A x B) = ln(A) + ln(B) et ln(A+B) vaut environ max(ln(A),ln(B)).) Je trouve très satisfaisante la réponse de Paul Amblard : l'addition est l'incrémentation de l'opération unaire consistant à ajouter 1. (De façon conceptuelle, les fonctions f des entiers vers les entiers qui vérifient f(x+y)=f(x)+f(y) sont précisément les multiplications par un certain entier. Et celles qui vérifient f(x+1)=f(x)+1 sont précisément les additions "par un certain entier".) Et c'est assez satisfaisant de se dire que si on s'arrête à cette étape, c'est précisément parce que l'opération n'est plus binaire mais unaire (donc peu susceptible d'itération).
Si on pose A # B égal à max(A,B)+1, on a une opération qui jouit des propriétés suivantes. A # B = B # A A # A # A ... # A fait B fois donne bien A+B, si on choisit de résoudre le calcul de gauche à droite (pas quelque chose comme ((A#A)#(A#A)) mais comme ((A#A)#A)#A). Une fonction f qui vérifie f(A#B)=f(A)#f(B), c'est la même chose qu'une fonction de la forme "ajouter C au nombre donné à brouter à la fonction". Voilà, c'est tout, j'dis pas que c'est spécialement bien, hein ! ^^ (Perso, je trouve l'incrémentation nettement plus convaincante.)
Intéressant ça ! Alors pour résumer, si on appelle notre nouvel opérateur, disons ♥, on voudrait que : a + b = a ♥ a ♥...♥ a, avec a apparaissant b fois ou alors a + b = b ♥ b ♥...♥ b, avec b apparaissant a fois... (si on veut que ça garde le même genre de bonnes propriétés qu'on a avec l’addition et la multiplication) En supposant qu'un tel opérateur existe, on trouve pas mal de truc étonnant, par exemple on peut rapidement se convaincre que ni 1 ni 0 ne sont des éléments neutres pour ♥ : 2 = 0 + 2 = 0 ♥ 0 3 = 1 + 2 = 1 ♥ 1 On a aussi : 5 = 2+3 = 2♥2♥2 = 3♥3... C'est juste mes premières réflexions je vais continuer à voir si on a des trucs marrants
Hmm je sens que je vais pas aller loin si je garde la contrainte de commutativité. En tous cas si on accepte commutativité, la distributivité et tout ça on a : 3 = 1♥1 4 = 1♥1♥1 = 3♥1 = 3+1 et du coup pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 3 on a n♥1 = n+1
l'addition est le résultat d'une division : Si on coupe une bûche en trois, elle sera composée de trois morceaux . Suffit de définir l'unité de mesure de la bûche pour avoir la décomposition de celle-ci en addition. Par exemple on choisit par décret que la bûche vaut 12, alors les trois morceaux qu'on pourrait mesurer sera 4+5+3. L'addition est donc une division qui n'a pas le même coefficient car si c'était le cas , on pourrait l'écrire avec un diviseur. Si on coupe en trois la bûche de façon égale alors on a 4+4+4 qu'on peut écrire 12/3 . Mais sinon l'addition est la seule manière d'écrire ces fractions de bûche. Ce qui veut dire qu'on est obligé de partir d'un postula ( ici la bûche vaut 12, mais aussi qu'on utilise la base 10 etc.. ) pour en déduire d'autre propriétés. Merci pour tes vidéos ! ça manquait.
Mon hypothèse serait qu'avant l'addition il y aurait ce que j'appelle l'attribution. Car pour une addition il faut des quantités (négatives nulles ou positives). Et bien l'attribution serait le fait d'attribuer à une variable inconnue une quantité. Ainsi la somme 2+2 est la répétition de l'attribution à des variables les quantités correspondantes à deux... voilà bon c'est ce que j'ai trouvé de mieux après c'est pas forcément ce qui est le mieux
J'aime bien ton idée, mais es-ce que ça ne serait pas déjà une addition ? Par exemple si on veut additionner le nombre de grains de riz contenu dans x sacs, il faudrait commencer par attribuer un nombre de grains moyen par sac, et donc commencer par faire une addition non ? En tout cas je pense aussi que l'attribution et forcément un prélude à l'addition puisqu'il faut forcément savoir ce qu'on va additionner
ce qui me semble le plus logique, à l'instar des entiers naturels, serait de prendre l' inverse à rebours, un exemple sera plus parlant je pense ^^ 3 puissance3 : 2 3+3 : 1 3=3 : 0 3-3 : -1 racine cubique de 3 : -2 etc... l' égalité n est pas à prendre comme une opération mais plutôt comme une absence d' opération à l' instar du zéro que j' ai toujours concidérer comme absence de chiffre plutôt qu' un chiffre tel que le 1, pi ou plus récemment i ( il m' a fallu un moment pour assimiler que c était bien un chiffre) qui on tout des valeurs non nuls
J'ai vu personne parler de géométrie. addition + : 1 ligne : 1 dimension multiplication * : 1 surface : 2 dimensions puissance ^ : 1 aire : 3 dimensions Donc on cherche ce qui a 'zéro dimension'. Instinctivement j'aurais pensé a un point fixe, donc a une notion sans calcul possible, juste un nombre fixe (et un seul : le '0'). Ou alors comme proposé ailleurs le fait de ne pas changer un nombre.
Hmm peux tu préciser le rapport que tu vois entre opérations et dimensions ? Parce que en général la dimension c'est toujours une histoire de puissance, pas de multiplication ou d'addition...
Belle idée, en tout cas plaisante ! Mais ne penses-tu pas que c'est l'itération des puissances qui correspond aux dimensions successives ? Genre un point, un segment, un carré, un cube, un hypercube, correspondent tous au modèle ^0, ^1, ^2, ^3, ^4; je ne pense pas que la relation entre une addition et une dimension soit si claire :^)
Je m'étais déjà poser cette question, mais bon j'avais pas trop d'idée et je m'étais dit que ce n'était pas hyper intéressant ^^ ça fait plaisir de voir que cette question n'est peut-être pas si débile
Je vais noter cette opération ⊹ et je vais me baser sur ces propriétés : 1) L'addition est une répétition de cette opération. Par exemple : 5+3 = 5⊹5⊹5. 2) On va essayer d'être compatible avec l'ordre des nombres. Par exemple, on veut que 5⊹4 soit quelque part entre 4⊹4 et 5⊹5. Je propose donc n⊹m = n + (m/n). On a bien : 1) n⊹n = n+1 pour tout nombre non-nul (damn'it, mon seul point faible !), 2) n⊹m > n⊹k si et seulement si m>k. Par contre, on n'a pas n⊹m=m⊹n (comme l'exponentiation donc c'pas grave) et on n'a pas non plus « n⊹m > n⊹k si et seulement si m>k » ce qui est plus gênant.
2⊹2 = 2+2 2⊹2⊹2 = 2 + 3 = 5 (2⊹2)⊹2 = 5 4⊹2 = 5 or d'après ta formule 4⊹2 = 4.5 ; 2⊹4 = 4 donc c'est incohérent je pense que ça corrigera pas tous mais ta formule devrait être n⊹m = n + 2*(m/n) (ou un truc dans le genre), ça corrige 4⊹2 = 5, mais on n'a ni la commutativité ni l'associativité vu que la propriété qu'on veut c'est n⊹n = n + 2 edit : il reste des incohérences : 1⊹1⊹1 = 1+3 = 2+2 = 2⊹2 on ne trouve pas 1⊹1⊹1 = 2⊹2
Bien vu. Je me suis emmêlé les pinceaux avec ce successeur dont tout le monde parle ^^' Du coup on se heurte obligatoirement à une incohérence : n⊹n=n+2 =>1⊹1=3 => 1⊹1⊹1⊹1⊹1 = 3⊹3⊹1 Mais 1⊹1⊹1⊹1⊹1=1+5=3+3=3⊹3⊹3 D'où 3⊹3⊹1=3⊹3⊹3 (à supposer l'associativité). Sans supposer d'associativité mais seulement la formule "a+b = a⊹a⊹...⊹a (b fois)" : (2⊹2)⊹2 = 2+3 = 5 2⊹2 = 2+2 = 4 D'où 4⊹2 = 5 Mais aussi ((1⊹1)⊹1)⊹1 = 1+4 = 5 (1⊹1)⊹1 = 1+3 = 4 D'où 4⊹1 = 5 Peut-on généraliser pour montrer que la seule opération qui accepterait la formule "a+b = a⊹a⊹...⊹a (b fois)" est : Si n≠m, alors n⊹m = n+1 Et n⊹n = n+2 ?
Ta dernière formule m'a quelque peu intriguer (l'impression d'être sorti d'un chapeau), mais je pense qu'au final tu as raison : Soit B = a⊹a = a+2 alors on peut réécrire B de cette façon : B = k + (a+2-k) = k⊹k⊹....⊹k (a+2-k fois) avec k < a+2 = B on calcul : B⊹k = k⊹k⊹....⊹k (a+2-k + 1 fois) = k + a+2-k + 1 = a+2 + 1 = B + 1 pour tout k < B B⊹k = B + 1 donc au final tu avais bien raison Si n≠m, alors n⊹m = max(n,m) + 1 Et n⊹n = n+2 (je pense qu'on peu mettre un 'max' histoire d'avoir la commutativité) le jeu est plié (et la réponse pas aussi passionnante qu'attendu)
Merci beaucoup pour cette démonstration :) C'est marrant une opération commutative mais pas associative ! J'aurais pas pensé que ça pouvait marcher ^^' À part ça, effectivement, c'est pas hyper passionnant. Mais on parle quand même d'une opération qui décompose une addition ; fallait pas s'attendre à une complexité de fou non plus. Après, on peut toujours se demander comment généraliser la notion aux nombres non-entiers et/ou négatifs. J'ai vu que c'était un sujet ardent dans d'autres commentaires.
En tant que prof, je dois faire mon chieur de service : on ne dit pas "3 puissance 5" mais "3 exposant 5" ^^ Pour ce qui est du problème posé, l'incrémentation semble être la réponse la plus immédiate, mais elle est différente dans le procédé (multiplier par 5 c'est ajouter 5 fois le nombre, alors qu'ajouter 5 c'est incrémenter 5 fois de 1, le nombre de départ n'est pas réutilisé). Je propose la méthode suivante pour faire la somme A + B : On trace un segment dont la longueur est A. On le coupe (via la méthode de Thalès ou autre) en A segments de mêmes longueurs. On prolonge le segment en recopiant B fois l'un des morceaux. On compte ensuite le nombre de morceaux.
Question très intéressante, j'y avais déjà réfléchi sans vraiment creuser la question, cette opération fondamental, que je vais appeler ''simplication'' doit selon être examiner à travers des tables de compositions interne, on pourra trouver sa forme par tâtonnement, ce processus permettrait de généraliser la question et éventuellement trouver des simplications d'ordre 2, 3 ou 4, voir plus. mais il est possible avec cette méthode d'aboutir à plusieurs simplications possibles, est il possible d'en trouver déjà une qui sont cohérente ? sans compter qu'il faudrait définir des nouvelles propriétés, ne pas tomber dans les pièges d'admettre par exemple l'associativité ou la commutativité comme inhérente à l'opération, ce qui complique la recherche. Il faudrait tenter, il serai aussi intéressant d'examiner la structure de cette chaine d'opérations, est elle linéaire ou arborescente ? et cela mène à examiner une question encore plus profonde, celle de la possibilité d'opérations intermédiaires, si l'on attribue un rang à chacune des opérations de la chaine, peut on avoir une opération de rang 1/2, une opération de rang pi voir une opération de rang i. ce ne sont que des questions que j'ouvre là mais je pense qu'elles sont intéressante pour la suite des recherches.
- Puissances : répéter la multiplication d'un nombre par lui- même (pas de choix). - Multiplication : répéter l'addition d'un nombre par un autre (peu de choix). - Addition : répéter le choix de nombres (beaucoup de choix). - Variable : faire simplement le choix de nombres (choix illimité).
Bonjour. Je dirais que c'est la définition du nombre en lui même. Intuitivement mais bon. Après pour descendre encore... Malheureusement je n'ai pas les outils mathématiques pour raisonner autour de cette intuition... Merci pour tes vidéos j'aime énormément ce que tu fais. Guillaume.
Salut Michael, bravo pour ta chaîne que je suis avec grand plaisir ! Comme opération avant l’addition, je mettrai simplement ce que j’appellerai la composition : l’opération qui permet de composer un nombre avec des chiffres. 2?6?7 = 267. Ça existe peut-être déjà mais comme je l’ai trouvé en y réfléchissant, je proposerai un nouveau signe en forme de licorne !
ShoDawW oui, je suis d'accord c'est pas ça. Vu que la multiplication est la répétition d'additions avec le même nombre, il faudrait que l'addition soit la répétition d'un autre truc avec le même nombre
Après sinon l'addition est peut-être la première chose inventée en mathématique mais sinon ça devrait être une chose tellement inutile que même l'homme ne s'en souviens pas.
"n'est-ce pas une addition que de compter ?" N'est pas multiplication que d'additionner ? 4 + 2 = 6 revient à faire 4 * (1+0.5) = 6 Ce n'est pas un problème à mon sens. Pouvoir exprimer une opération en une autre n'enlève pas de son utilité.
Je trouve le principe l'incrémentation pas mal comme suggestion mais je me dit quon peut le simplifier en une règle: additionner 1 revient à passer au chiffre suivant du chiffre ,qui est au meme rang qu'un chiffre dans le nombre qui subit laddition, avec comme règle que si on ajoute 1 à 9 le chiffre suivant est 0 mais on ajoute 1 au chiffre au rang au-dessus du chiffre qui a subit laddition. Alors oui cest techniquement une incrémentation mais meme sans connaitre les règles daddition on peut appliquer cette règle tant quon connait lordre des chiffres.
La règle nest pas super clair donc un exemple: 29+1 on additionne le 1 au 9 car ils ont la meme puissance donc on a 0 mais daprès la règle on ajoute alors 1 a la puissnace superieur ,le 2, ce qui passe celui ci au chiffre suivant le 3 on obtient bien 30 ^^
martindelamarque pas forcementcar jai "simplifier" mais tu peut changer la règle par passer au nombre suivant et non au chiffre ex: 29+1 tu prend le nombre suivant 29 donc 30
martindelamarque je vient de comprendre ce que tu voulais dire et effectivement cela peu preter a confusion mais jai utiliser puissance ici car jai l'habitude des puissance de 10 pour les nombres. Mais en réaluté ici puissance définit la position et non lopération mathématique qui est baser sur la multiplication. A titre dexemple tu as forcement besoin de la puissance/position pour une addition: 29+1 nest pas egal a 29+0.1 pourtant dans les 2 cas jai 2 suivi de 9 et 0 suivi de 1 (1 etant = a 01) donc selon ce que tu as cru il faudrait la puissance pour laddition. Ps: merci de ton commentaire je vais rectifier ma règle ^^
En psychologie cognitive et Piagétienne nous décrivons plusieurs "schèmes", plusieurs mécanismes cognitifs qui permettent notamment d'appréhender les mathématiques. Déjà, le subitizing qui permet d'appréhender de façon holistique et simultannée de petites quantités (c'est reconnaître 3 pommes sans dénombrement par exemple). Ensuite le dénombrement qui n'est qu'une addition d'un en un. Mais surtout un schème de comparaison perceptif qui apparaît chez l'enfant avant l'acquisition du dénombrement et lui permet de dire que 10 est plus grand que 5 intuitivement, ce schème le conduisant à l'erreur en "période pré-logique" de Piaget à son épreuve dites "des jetons" ou de conservation/invariance du nombre élémentaire. Alors puisqu'apparaissant plus tôt chez l'enfant, dans l'ontogénèse de son système nerveux, pourquoi la comparaison de quantités ne serait-elle pas l'ancêtre de l'addition? Piaget dirait lui qu'elle n'est pas opératoire, ce n'est pas une opération car non réversible (ce n'est comme l'addition qui peut devenir soustraction). D'où finalement... peut-être n'y a t-il aucun ancêtre opératoire au dénombrement.
Peut être le fait de tout simplement associer un nombre a une valeur, ou bien même définir ce qu'est une valeur. Ca donnerait un quelquechose comme ça : 1=1 Y'a cette image qui revient souvent celle des dimensions, une addition serai sur 1 dimension comme une droite, la multiplication c'est la 2d, une aire, la puissance 3 c'est le volume etc Donc si on revient avant la droite de dimension 1, c'est la dimension 0 : Le Point Ainsi on peut voir que l'équation d'un point c'est par exemple x=x
Personnellement, je pense que l'addition est venue directement après l'invention des chiffres, et de manière plus générale, avec le fait de "compter" des choses. Si l'on pense au commerce, au troc, il est évident que les gens faisaient des additions, même si cela n'avait pas encore été défini... Donc, en bref, je pense que l'addition est la plus basique des opérations, et qu'il n'y a pas de "sous-addition", si l'on peut dire ainsi. C'est tout de même une question très intéressante, j'ai hâte de voir d'autres avis. ^^
En fait je pense que la réflexion recherché ici n'est pas une idée concrète mais plutôt une opération théorique qui ne fonctionnerai qu'en algèbre comme 1+2+3+4....=-1/12
Bonjour, je suis élève de 3e, grand fan de math et jaime beaucoup ce concept qui vise a réfléchir sur les propriétés des additions et multiplications, pour ma part je pense que avant une additions il y a une sorte de manipulation qui revient toujours au mème nombre, (comme en divisant par 0), je pense sa du fait que le neutre de l'addition est 0 et celui de la multiplication est 1 , j'en conclue que le neutre de la "sous-addition" ne peut être autre chose que tout ou rien. PS : donnez vos avis quite à m'engueuler
Avant l'addition, je dirais l'incrémentation (donc +1 pour les non initiés) car des chaines d’incrémentation permettent clairement de créer des additions. en parallèle on aurait la décrémentation (donc -1). Mais après je sais pas si c'est possible de remonter plus à la source. On pourrait, mais là on part un peux dans l'imaginaire, définir un nombre comme un autre avec le = du genre 3 = 5 qui dirait que le nombre 3 vaut maintenant 5 (mais je pense que je part un peux en live là...)
Je dois être bête mais l'opération qui "précède" l'addition de deux entiers, c'est pas simplement "ajouter 1"? Tout comme "3 fois 5" = "3 plus 3 plus 3 plus 3 plus 3", "3 plus 5" = "3 ajouter 1 ajouter 1 ajouter 1 ajouter 1 ajouter 1".
C'est une bonne réponse qui n'est pas bête du tout ! Absolument toute l'arithmétique des nombres entiers naturels se repose sur seulement 3 règles qu'on appelle les axiomes de Peano et qui disent en gros : - 0 est un nombre entier naturel - Tout nombre entier naturel admet un suivant - 0 n'est le suivant d'aucun nombre entier naturel et c'est tout. Donc ajouter 1 (passer d'un nombre à son suivant) est bien l'opération la plus élémentaire qui existe dans l'arithmétique de Peano (qui est celle qu'on utilise tous les jours)
Il y a quelque chose qui cloche pourtant : dans l'écriture de "3 fois 5" avec des "plus" tu as écrit 4 fois "plus", alors que dans l'écriture de "3 plus 5" avec des "ajouter 1" tu as écrit 5 fois "ajouter un". Cela ne suit donc pas la même logique...
Par définition, ajouter 1 c'est additionner à un nombre la valeur 1, donc -> addition. Quand tu passes d'un entier naturel à un autre, tu additionnes le nbr précédent avec 1 pour obtenir le suivant
C'est pas bête du tout mais l'opération que tu décris (qu'on peut appeler "incrémentation") est un opérateur unaire (=à un argument). Il serait intéressant de voir s'il existe un opérateur binaire qui peut convenir (l'addition et la multiplication sont binaires, donc ça serait mieux pour continuer l'analogie ^^).
J'ai également pensé l'expression de ln(a+b); en effet ln(a^n)=nlna et ln(ab)=lna + lnb, on fait l'opération précédente chaque fois donc si une expression de ln(a+b) (que je n'ai pas trouvée) existait, il se pourrait qu'elle contienne l'expression, ou une hypothétique définition, de l'opération précédent l’addition. De la même manière avec les puissances, ce qui donnerai b^a + b^c = ....... , ou avec l'exponentielle, en cherchant exp(aOb)=exp(a) + exp(b) (avec O le spéculatif opérateur) Ou en fait l'opération cherchée n'existe pas car l'addition est l'essence même des calculs...
Pour commencer je dirais que ta question, c'est un peu trouver un chiffre positif plus petit que zéro :), c'est pourquoi ma réponse ne me satisfait que très peu mais je vais quand même la donner. Avant de penser l'addition (homo avant sapiens), il faut, il me semble, dématérialiser les nombres les rendre abstraits d'une quantité réelle. La toute 1ère façon de compter c'est ajouter, "l'ajout" (c'est très proche d'addition) de chiffres sur ses doigts, la base 10 est incontestablement issue de cela. L'on peut ajouter plusieurs fois des 1 (itération comme dit plus bas), voir même 2 + 3 mais la structure de pensée est différente de la notre, car cela ne peut se rattacher qu'à une quantité réelle de ceci ou cela, le chiffre en lui même, 5 par ex, ne veut rien dire, on peut le voir comme un adjectif ex un chou, cinq choux. Autrement dit on additionne pas, on compte. D'ailleurs si on parle d'apprentissage, ce qui n'est pas une opération, tout comme les premiers hommes on apprend aux enfants d'abord à compter, puis à additionner. Avant l'addition, le comptage c'est ma réponse en ce sens qu'il n'y a pas vraiment d'opération avant. Un peu farfelu et j'aimerai le rendre plus clair mais c'est difficile désolé.
Pierre Martin Ce n'est pas pour me vanter mais j'ai suivi d'une certaine manière ton raisonnement tu peuxessayerde chercher mon commentaire plus tard que le tien pour voir si tu veux
Salut, Mickaël. Je propose que l'on considère l'addition de nombres entiers naturels comme la répétition de la fonction suivant de l'arithmétique de Péano. Dans cette hypothèse l'addition a+b est égale à s(s(s(...s(0))))...) où s( et ) apparaissent (a+b) fois. Par exemple l'addition 2+3 est égale à S(S(S(S(S(0))))). Cordialement.
L'incrémentation. (passer au nombre suivant ; l'opération basique de l’arithmétique de piano ; ajouter un caillou) Et lui n'a pas de prédécesseur. De plus, cette opération ne prend qu'un seul argument, vue que ça n'est pas la répétition d'une autre opération. (Ça, c'est la solution simple. Maintenant, il faudrait déterminé si il existé ou pas une opération à 2 argument)
Je vois beaucoup de gens parler de l'incrémentation. Je ne connaissais pas du tout mais est-ce que ça ne revient pas à ajouter une unité à chaque fois, faire +1? Parce que du coup ça revient à une addition de 1,non?
oui, c'est ça. quand tu fait +7, ça revient à effectué 7 fois l'opération +1. en informatique, ça se note ++ ; c'est pratique quand on veut compté des choses.
Oui mais du coup quand tu fait une itération (incrémentation comme tu veux) tu fais déjà +1 non ? Du coup ça reste définir l’addition avec l’addition je dirais non ?
Une itération est une répétition, une incrémentation est le fait de passer au rang suivant sur N (l'ensemble de entiers positifs). Par contre en informatique, on a jamais une seule façon d'écrire les choses : ++x; x++; x += 1; x = x + 1; Ce sont toutes des incrémentations (certaines avec des spécificités mais on rentre dans des détails).
D'après moi, l’énoncé du problème, c'est de voir, de la même manière qu'une multiplication est un cas particulier d'addition, de quoi l'addition est un cas particulier. J'ai envie de partir de l'idée qu'une addition, c'est une répétition de "+1". Faire l'opération 3+4 est décomposable comme l'opération 3+1+1+1+1. Le problème, c'est qu'un ajout de "+1" n'est pas un opérateur qui fait réagir deux nombres. Pour généraliser ça, ma proposition, c'est une addition avec une "base", de la même manière que les logarithmes. L'idée est qu'une addition "base x "entre deux nombres A et B ajoute x à A, B fois. Par exemple, si je note cette opération _x_, on peut faire l'opération suivante : 2_0,5_4=2+0,5+0,5+0,5+0,5. Dans ce cas, l'addition "classique" est une addition de base 1, c'est à dire un cas particulier, ce qui colle avec ce qui est demandé d'après moi.
Je détruis ton idée en un argument : tu dis "J'ai envie de partir de l'idée qu'une addition, c'est une répétition de "+1"." or c'est faux, on peut additionner des nombres décimaux.
Gingobel l'addition a bien d'abord été définie dans les entiers naturels, intuitivement ''2 moutons+5 moutons=...'' pour qu'il y ait une opération inverse et que le résultat soit élément de l'ensemble, on invente la soustraction et l'ensemble des entiers relatifs. Puis de l'addition la multiplication ( avec la règle - x - = + pour que ça marche) et son inverse la division, avec extension à l'ensemble des rationnels. Donc notre opération ''primitive'' doit bien être seulement définie dans les entiers naturels (ou même un ensemble plus petit qu'on étend autant de fois que nécessaire si on veut que le résultat soit élément de l'ensemble), c'est l'opération la plus simple qui consiste à ajouter une barre pour chaque mouton qui passe, ou +1, et à en enlever une pour chaque mouton vendu...et si on a déjà défini les nombres entiers, c'est bien l'opération ''prendre le successeur de ' ,et faire n fois le +1 sur y, c'est prendre n fois le sucesseur de y, ce qui définit l'addition dans N, les entiers naturels. Il ne me semble pas utile de définir notre opération ''première'' dans l'ensemble des Réels
En effet, on additionne des nombres décimaux. Ceci étant, ce n'est pas la question ici. Lorsqu'on dit "la multiplication est une répétition d'addition", ce n'est manifestement vrai que lorsqu'on ajoute un nombre entier. L'opération "pi*e" ne peut pas se voir comme une répétition d'addition. De même pour la mise à la puissance : "pi**e" ne peut pas se voir comme une répétition de multiplication. En conséquence, l'énoncé demandant de généraliser la propriété "la multiplication est une répétition d'additions", implicitement il se restreint au cas où l'un des opérands est entier.
c'est quasiment une question de philosophie plus que de mathématique je dirai qu'en imaginant que "l'addition" est sur le chiffre "1" de l'invention de l'opération on peut imaginer que sur "-1" il y aurait "-l'addition" puis "-la multiplication" etc....hum difficile à imaginer... bravo pour la pertinence de tes vidéos comme dab...
L'identification. Reconnaître une "entité" selon un critère arbitraire. L'opération suivante est donc la répétition de l'identification, c'est le comptage, ou l'addition.
Je suis enseignante en maternelle et effectivement la première compréhension du nombre enseignée avant toute opération est l'incrémentation, la notion de passage d'un nombre à l'autre. Cela peut être ajouter 1 si on regarde l'aspect cardinal des nombres mais cela peut-être aussi avancer de 1 si on regarde l'aspect ordinal. Un nombre correspond à la fois à une collection et à une position. Il y a des règles pour avancer correctement sur une bande numérique (comme celle du jeu de l'oie par exemple) : on ne saute pas de case mais on ne reste pas non plus plusieurs temps sur la même ,on avance au moment ou on commence le comptage et le rythme d'avancer suis le rythme de comptage, je m'arrête quand le comptage s'arrête. Tout ça parait évident et on ne se pose plus la question maintenant quand on additionne (c'est à dire quand on avance d'un nombre de cases déterminé sur la bande numérique en partant d'une case elle-même déterminée, ex : 5 + 8= je vais sur la case 5 et j'avance de huit cases) mais je peux vous assurer que ce n'est pas inné! Donc si avant de multiplier il faut savoir additionner, avant d'additionner, il faut savoir avancer! C'est pourquoi j'enseigne à mes élèves à se déplacer correctement sur une bande numérique avant de leur enseigner à additionner ou à soustraire. Pour conclure, avant l'addition, il y a le déplacement.
Je viens de réfléchir (dans mon lit) un peu à ta vidéo...j’ai d’abords essayé de supposer l’existence d’une opération « antérieur » à l’addition (toujours définie sur les nombres entiers naturels) puis je me suis dis qu’entre l’addition et la multiplication, il y a des nombres que l’on ne peut pas atteindre par la multiplication (les nombres premier) de même entre la multiplication et la puissance, et de même encore entre la puissance et les puissances itérées. Or, si les propriétés des diverses itérations se conservent (addition\multiplication multiplication\puissance) comme celle par exemple de l’existence de nombre « non-constructible » par itération (7 pour addition\multiplication 10 pour multiplication\puissance) alors il ne peut pas exister d’opération antérieur à l’addition, car tout les nombres (entier naturel) sont constructibles par addition. Je ne sais pas si j’ai été clair ^^
Elle est vraiment trop cool ta remarque !!! Mais du coup, c'est tentant d'essayer de découvrir plus de nombres que les nombres qu'on connait : on peut imaginer qu'il y ait des nombres "pré-entiers" (les nombres entiers n'en seraient que des cas particuliers) et une opération # (dont l'addition serait la version itérée), de telle sorte que l'addition soit l'itérée de #, et que les nombres qu'on obtient en "itérant # sur les nombres pré-entiers" soient en fait précisément les nombres entiers. Cette fois, c'est moi qui ne sais pas si j'ai été clair. ^^ Mais en gros, si itérer une opération fait décroître l'ensemble des nombres, alors tu peux te dire que si on va en sens inverse, c'est ptêtre possible en faisant croître l'ensemble de nombres. Mais en écrivant ces lignes, je me rends compte que ce que tu dis n'est pas parfaitement correct. Même le nombre premier 11, je peux l'écrire 11*1. Et je peux l'écrire 11^1. En fait, de cette façon, on peut écrire n'importe quel entier sous forme de multiplication, de puissance... Mais je suis d'accord avec toi pour dire que demander qu'un nombre soit de la forme 2+x est, dans l'idée, beaucoup plus restrictif que demander une forme 2 fois x, ce qui est dans l'idée beaucoup plus contraignant que 2 puissance x, etc. Bref... Euh, voilà ! Ca fait une réponse un peu décousue, mais c'est la vie !
Je ne comprends pas ton dernier argument. Tous les entiers naturels sont aussi constructibles par multiplication et par puissance sur d'autres entiers naturels. Tout ce que tu dis, c'est que l'addition est une opération surjective sur l'ensemble des entiers naturels. Mais c'est aussi le cas de la multiplication et de la puissance via l'élément neutre 1, donc je ne vois pas comment tu peux en conclure que l'opération recherchée n'existe pas.
Sylvain POLLET-VILLARD I 1. Admettons que l’addition est l’itération d’une opération (o). Exemple : 3(o)3 = 3+2. 2. Si 3(o)3=3+2 Alors 3 = 3+1 = 4 3=4 C’est absurde. D’un point de vue formel, syntaxique, l’addition ne peut pas être l’itération d’une opération. II 1.Tout les nombres entier naturel ne peuvent pas s’écrire par multiplication de deux entier, ou puissance d’un entier, en dehors du cas trivial de la multiplication par 1. Exemple 7 = 7x1 = 7^1 2.En dehors de ce cas trivial, par la définition même de l’itération, il existe des nombres qui ne sont pas constructible. L’itération est par définition une opération qui se répète un certain nombre de fois selon un pas précis. J’avance de deux en deux trois fois, j’avance de 1 en 1 4 fois etc. De ce fait si un nombre n’est pas un multiple du pas, alors il ne peut pas être construit par une opération qui est une itération, en dehors du cas trivial d’avancer de Un par Un jusqu’à atteindre ce nombre. 3.Si on considère que l’addition est une itération, du fait de ce que j’ai dis dans le II.2. Alors il doit exister des nombres qui ne sont pas constructible par l’addition, en dehors du cas trivial. Or ce n’est pas le cas tout les nombres sont constructibles par addition. L’addition ne peut pas être l’itération d’une autre opération. Ou alors elle seraient équivalente entre elles
Définissons d'abord un degrés d'opération: tel que l'addition soit le degrés 0, la multiplication le degrés 1, la puissance le degrés 2 etc... Prenons un x réel Alors x + x = 2x x * x = x² x ^ x = x ↑ 2 x ↑ x = x ↑↑ 2 etc... On peut remarquer que le chiffre 2 apparaît a chaque fois. définissons maintenant une opération de degrés -1 que l'on appellera ↓ tel que x↓x = x+2 On peut maintenant définir autant d'opérations que l'on veut: x↓↓x = x↓2 etc ... Notons maintenant les opérations par leurs degrés. Exemple: addition = deg(0). Prenons un y réel. Donc (x deg(n) y) revient a répéter (x deg(n-1) x) un nombre y de fois. Exemple : 3↓2 = 3↓↓3↓↓3
Petite remarque: le passage de la multiplication à la puissance nous fait perdre la commutativité (ex: 3^2 et 2^3) donc si on suit se type de raisonnement, dans la toute première opération avant l'addition, il y avait plus de propriétés qui seront perdu dans l'addition. Parmi ces propriété le fait que les nombres étaient nus et fesaient l'amour sans complexe
La curiosité m'a pousse vers la page wiki des puissances iterees de Knuth pendant que j'écoutais la video. Son introduction présente déjà une idee interessante en reponse a la question posee: À partir de la fonction successeur, qui permet de construire les entiers naturels par incrémentations successives, l'addition peut ainsi être définie comme une incrémentation itérée : a+b=a+1+1+1+1+1 +...+1 b exemplaires de fois.
intuitivement, l'addition est une répétition d'incrémentations de valeur 1 mais l'incrémentation étant elle-même une addition, je ne suis pas certain que cela réponde correctement à la question.
La multiplication est bien un édition répétée n fois, comme l'addition est une «incrémentation» répétée n fois, donc ca ne semble pas poser problème ;)
Effectivement, mais à même titre que l’addition est une répétition d’incrémentations, La multiplication est une répétitions d’additions Alors ta réponse me semble très cohérente Il faut juste t’imaginer un signe qui signifie, l’incrementation tel que; 3^^3 =3*3*3 =3+3+3+3+3+3+3+3+3 =3~3~3~3~3~3~3~3~3~3~3~3~3~3~3~3~3~3~3~3~3~3~3~3~3~3~3 A ce moment la le 3 perdrait en quelques sorte son sens car peut importe le nombre par lequel on le remplace le résultat de cette suite d’opérations sera toujour egal au nombre de « nombres » utilisé entre chaque signe « ~ » En fait c’est comme si le signe réduisait le nombre à la valeur de « 1 » et additionnait le suivant (si il y en a un) Un peu comme un double opération finalement (Un peu comme la multiplication est une multi operation d’additions ) En fait au meme titre que la multiplication et l’addition, l’addition est la maniere plus « simple » d’exprimer une suite d’additions de « 1 » Autrement dit dans cet ensemble d’opérations les « nombres » à proprement parler n’existent pas Tout n’est que 1 ou rien Haha ca ne vous rapelle pas quelque chose? Oui cela se rapproche du binaire Le 3 ou le 6 ont la meme valeur (La valeur d’avoir une valeur) Et « rien » n’a aucune valeur (+0) ou ( ) Autrement dit : L’Incrémentation ne serait qu’une manière plus « longue » d’exprimer une addition de « 1 » n fois au meme titre que l’addition de « n » memes nombres (X+X+X+X+......) n’est qu’une manière plus « longue » d’écrire la multiplication de ces nombres par « n » (n*X) Donc cette interprétation me semble cohérente le seul problème c’est qu’elle change la valeur de nos nombres car elle les « transforment » en « 1 » Et ça ... Ça ne vas pas du tout 😂
On peut définit l'addition en itérant l'opération unaire "suivant()": a + b = suivant(suivant(...suivant(b))) avec "a" fois l'opération suivant(.). Avec nos notations suivant(n)=n+1, mais attention ca n'est pas une addition. C'est plus primitif que cela, c'est l"opération: donne moi, ou fabrique le suivant. On peut le construire avec des ensembles par exemples sans addition. Uniquement des réunions d'ensemble disjoints. On peut même le construire sans addition sur les entiers avec une simple relation d'ordre "
Le seul inconvénient dans ma proposition c'est que l'opération successeur est unaire alors que l'addition est binaire, ainsi que la multiplication et l'exponentiation.
@ Yassine: L'opération successeur est introduite dans l'arithmétique de Peano, elle a certaines propriétés (injectivité, 0 n'a pas d'antécédent). Et l'addition dans IN est définie par récurrence par rapport à s: x+0:=x x+s(y):=s(x+y) Seulement et je l'ai déjà dit, s est unaire alors que l'addition est binaire.
Je vois beaucoup de gens proposer l'incrémentation de l'unité et après réflexion j'aime beaucoup cette idée. Le problème que je vois et que, pour que l'argument soit valide, il faudrait montrer qu'il est possible de quantifier l'unité en terme de nombre comme pour toutes les autres opérations. Je ne suis pas mathématicien, mais selon moi ça marche. Par exemple on veut compter le nombre de polygones dans un dessin. On compte 3 carrés + 5 pentagones + 2 triangles = 1 polygone + 1 polygone + 1 polygone + 1 polygone + 1 polygone + 1 polygone + 1 polygone + 1 polygone + 1 polygone + 1 polygone = 10 polygones. Pour que l'incrémentation soit une opération au même titre que les autres, il faudrait pouvoir ajouter une nouvelle quantité qui peut être différente pour chaque unité. Dans ce cas-ci prenons le nombre de cotés du polygone. Donc dans notre problème mathématique on a comme unité le polygone puisqu'on veut en compter la quantité, le nombre de côtés ne nous intéresse pas vraiment. Je ne sais pas comment on appelle ça, mais on peut ensuite modifier notre point de vue et ne plus considérer les polygones comme des unités, mais comme des regroupement de segments et donc les côtés deviendraient les unités, notre nouvelle tache étant de compter le nombre de côtés. On compte 3 * 4 côtés + 5 * 5 côtés + 2 * 3 côtés = 4 côtés + 4 côtés + 4 côtés + 5 côtés + 5 côtés + 5 côtés + 5 côtés + 5 côtés + 5 côtés + 3 côtés + 3 côtés = 1 côté + 1 côté + 1 côté + 1 côté + 1 côté + 1 côté + 1 côté + 1 côté + 1 côté + 1 côté + 1 côté + 1 côté + 1 côté + 1 côté + 1 côté + 1 côté + 1 côté + 1 côté + 1 côté + 1 côté + 1 côté + 1 côté + 1 côté + 1 côté + 1 côté + 1 côté + 1 côté + 1 côté + 1 côté + 1 côté + 1 côté + 1 côté + 1 côté + 1 côté + 1 côté + 1 côté + 1 côté + 1 côté + 1 côté + 1 côté + 1 côté + 1 côté + 1 côté = 43 côtés Avec cette espèce de translation qu'on a fait, le côté est devenu l'unité et le polygone n'est plus qu'un regroupement de côtés. Donc maintenant on additionne les côtés et on multiple par le nombre de polygones qui ont cette quantité de côtés. En d'autre termes, l'incrémentation est devenue l'addition d'une quantité et l'addition est devenue la multiplication. J'ai vraiment de la difficulté à expliquer mon idée et je viens de me souvenir du coup pourquoi je n'ai pas continué mes études en maths. haha. ^^
Bonjour, Alors je ne suis pas une grande fan des mathématiques mais tes vidéos (et la question que tu poses) sont intéressantes. Du coup je fais quelques recherches sur l'histoire des mathématiques. Avant l'addition et les systèmes d'association il y a tout d'abord l'observation. Les anciens systèmes de mathématique en Egypte Ancienne, en Chine avec le boulier etla découverte plus récente des Quipu au Pérou valent le coup qu'on se penchent dessus. Les anciens péruviens ont mis au point des "conventions" de type de nœud et des couleurs différentes pour désigner les dizaines, centaines, etc.
Et je me pose une autre question, comment se fait-il que dans différentes parties du monde qui ne communiquaient pas forcément ensemble avant, les civilisations ont souvent un système de mathématique de base 10 ?
Pourquoi ce n'est pas l'incrementation. en faite l'incrementation n'est qu'un cas particulier de l'addition (+1). Alors que dans l'énoncé c'est l'inverse l'addition n'est pas un cas particulier de multiplication c'est la multiplication qui est un cas particulier d'addition. Et du coup il faudrait trouvé une opération dont l'addition est un cas particulier. Bon enfin je pense en faite je sais pas ba si mais nan ;@
Salut Mickael, pourrais-tu faire un épisode spécial pour expliquer comment f(x) le classement Fifa stp ? Je suis sûr que cela intéresserais beaucoup de monde 😁 Bonne continuation
Voici mon point de vue, je ne suis qu'en terminale S donc je ne pense pas qu'il soit aussi bien que beaucoup des d'autres commentaires : J'appelle ? l'opération qui est avant l'addition. Par définition : a*b = b+b+...+b, les termes b sont répétés a fois. De plus par définition : b^a = b*b*...*b, les facteurs b sont répétés a fois. Je pense donc qu'il faut chercher ? tel que a+b = b?b?...?b où les nombres b sont répétés a fois. Comme l'opération n'est pas forcément commutative alors il faut aussi chercher ? tel que a+b = a?a?...?a où les nombres a sont répétés b fois. Si la première égalité est vraie, alors 1+2 = 2 (2 est répété 1 fois) , faux. Si la seconde égalité est vraie, alors 1+2 = 1?1 (1 est répété 2 fois) , possible. Si la seconde égalité est vraie, alors 2+1 = 2 (2 est répété 1 fois) , faux. Donc les deux égalités ne sont pas vraies pour tous les nombres. Je pense que cette opération n'existe pas.
Très belle réponse. Ce point d'interrogation; c'est la réponse et ça veut dire choisir un nombre. Ce qu'on peut faire de plus simple comme opération avant l'addition, c'est choisir un nombre, avoir une variable "?" à sa disposition. - Puissances : répéter la multiplication d'un nombre par lui- même (pas de choix). - Multiplication : répéter l'addition d'un nombre par un autre (peu de choix). - Addition : répéter le choix de nombres (beaucoup de choix). - Variable : faire simplement le choix de nombres (choix illimité). -
Bonne réflexion, mais malheureusement erronée. Tu as omis le fait que les opérations n'ont pas le même élément neutre. L'élément neutre, dans le cas d'un ensemble de nombres, est le nombre qui laisse les autres nombres inchangés lorsque composés avec une opération. Donc l'élément neutre de l'addition est 0 car x+0 = x, tandis que l’élément neutre de la multiplication et de la puissance est 1 car x*1 = x et x^1 = x. Donc on voit bien que l'élément neutre peut changer selon l'opération, et ce dès l'énoncé du problème. Et on ne connaît pas l'élément neutre de l'opération qu'il faut chercher avant l'addition. Dans tes égalités, tu as présupposé que l'élément neutre de l'addition était 1 alors qu'il s'agit de zéro. Donc ta première égalité est en réalité 0 + 2 = (2 ? 2)... 0 fois. Ce qui ne nous avance pas à grand chose :)
Il faut considérer l'égalité : a+b = ((a?a)?a)?... (a est présent *b+1* fois, ? est présent *b* fois) (pour la multiplication, mise à la puissance etc, on fait opérer une fois de moins) Ceci nous donne bien : a+0 = a (on fait opérer ? 0 fois) (et j'ai au moins deux opérateurs vérifiant ceci ; j'ai répondu plus haut pour développer)
Étant du domaine de l'informatique, je pense à l'incrémentation (Je vois énormément de personnes qui y ont pensé aussi) qui consiste seulement à ajouter 1 au nombre, l'addition serai donc une succession d'incrémentations. Ce qui suit exactement le même schéma de la multiplication qui est une succession d'addition.
Si 2×3 = 2+2+2 Si on imagine que '?' est le symbole de notre opération alors 5+3 = 5?5?5 = 8 Et donc si je vous dis 4?4?4?4 vous me dîtes que ça fait 4+4 = 8. C'est un bon début nan ? Maintenant essayons autre chose : 5 = 2+3 = 2?2?2 Et 5 = 3+2 = 3?3 Donc 2?2?2 = 3?3 Maintenant 4+2 = 4×(3/2) = 6 et 4*2 = 4^(3/2) = 8 Donc 4?2 = 4+(3/2) = 11/2 = 5,5
Tiens, juste quelques secondes après toi (commentaire juste avant le tien si on tri les commentaires par "les plus récents d'abord", j'ai la même conclusion pour un début de réflexion. Je cherche des éléments dans ce sens, n'hésite pas à partager tes réflexions.
M 42 Oui c'est que ya un binz mais ton résultat me semble plus crédible 4?2 = 5 Donc 5?3 = (3+2)?3 = (3?3)?3 = 3+3 = 6 6?4 = (4+2)?4 = (4?4)?4 = 4+3 = 7
M 42 Avant d'affirmer que 2?(2?2)=2?2?2 tu devrais démontrer que c'est vrai... Pour l'addition 2+(2+2)=2+2+2 Pour la multiplication 2×(2×2)=2×2×2 Pour les puissances 2^(2^2)=2^2^2 Donc pourquoi pas ?
J'adorerais que tu fasses live ! *Chiffre* + *chiffre* = addition. Avant le *chiffre*, il faut compter celui ci. Pour le compter, il faut additionner le nombre d'unité l’incorporant. Donc, peut-être que l'opération venant avant celui de l'addition est le comptage. Mais non, puisque celui ci est une addition. Donc, avant cela, pour moi, il y a : *Chiffre* qui ne peut être que 1, car sinon, il y aurait addition.... Raaaah trop dur ta question.
Imaginons que l'addition serait l'opération n°1 et que la multiplication serait l'opération n°2 et la puissance la n°3 : l'objectif serait de trouver l'opération n°0. Moi je pense que la soustraction serait l'opération n°-1 et la division la n°-2 donc si on suit ce résonnement l'opération n °0 ne ferait rien et laisserait le nombre tel qu'il est.
Ç est une vision intéressante des choses mais il me semble que la division n est pas une répétition de soustraction si on considère que la " récurrence" définissant les opérations suive le sens inverse pour les opérations négatives donc je ne crois pas que ça soit un modèle valide
Starcade c'est intéressant bien que je ne soit pas d'accord si l'addition est l'opération n°1 la soustraction est également une opération n°1 car si 10-8=2 revient à écrire 10 + (-8)=2 c'est donc bien une addition
On pourrait appeler ça, pour se la péter :D Le dénombrement unitaire. En gros, chaque nombre est un ensemble d'unités ajoutées, mais cela pose un souci, il s'agit d'une addition :p À moins qu'on feinte et qu'on crée un symbole pour faire genre (oui, je sais, c'est pas rigoureux ^^) Bref: 2*2 = 2+2 = 1:1:1:1 ;) Et boom, tout peut s'écrire en unités maintenant :D On peut ainsi trouver que 1:1:1:1 peut être plusieurs choses 1+1+1+1, 2+2, 2+1+1, 1+1+2 .. Bon et après ... on atterrit sur le choix conscient de choisir de prendre ou d'ignorer l'unité xD Après tout quand on énumère, on pourrait très bien ignorer un élément (pour x raison). Donc 2*2 = 2+2 = 1:1:1:1 = ø?ø?ø?ø? où le choix conscient de prendre chaque unité est total. On peut ainsi trouver que ø?ø?ø?ø? selon les cas peut être plusieurs choses : 1:1:1:1, 1:1:1:0 ... 0:0:0:0, chaque occurrence d'interprétations ayant plusieurs interprétations comme vu plus haut. Et après, je vois plus ^^ Le signal est coupé, je ne reçois plus rien.
Je vois que l'incrémentation est beaucoup proposée, mais ce n'est pas exactement dans la continuité de puissance, multiplication et addition. Si on veut une opération binaire comme les autres, la continuité ressemble à ça : Si x^3 = x*x*x et x*3 = x+x+x, alors x+3 = x?x?x. Pour l'instant, je ne peux la définir que quand les deux opérandes sont égales (x?x = x+2), ou alors quand le premier est au moins égale au second plus 2 (si x>y+1, x?y = x+1). Cette opération n'est pas distributive, il semble qu'elle puisse être commutative, ce qui permet d'élargir la définition à x
Je ne suis pas sur de comprendre. Pouvez-vous expliquer d'avantage ? Voici un de mes problème: quelque-soit x, x*0=0 et x^0=1. Bref, x*0 et x^0 ne dépendent pas de la valeur de x. Cela fait toujours 0 et 1. Pourtant on voit bien que x+0 dépend du choix de x. Un autre problème serait de se demander comment cela fonctionne avec x+0.5 par exemple.
Personnellement, j'estime que l'addition n'est pas la 1ère opération. Pour moi, la 1ère opération, c'est la multiplication par 2. En effet, elle se retrouve au plus bas niveau de la vie : la division cellulaire (le terme division est selon moi malvenu, mais bon...). Tout organisme multicellulaire est le résultat de divisions successives à partir d'une seule cellule, aussi appelée cellule-oeuf. Mais sachant que De A * 2, on passe à A + A, en découle par la suite A + B. Mais A * 2 peut également se généraliser en A * B, on a donc 2 branches distinctes d'évolution des opérations, partant de A * 2. Désolé si j'ai du mal à exprimer ça de façon claire, je fais ce que je peux ! :P Quoiqu'il en soit, merci pour cette nouvelle vidéo, j'apprécie fortement le rapprochement entre mathématiques et philosophie que j'y sens poindre. ;)
On pourrait aussi poser un autre question : est-ce qu'il y a une opération entre l'addition et la multiplication ? Si addition = 0 et multiplication = 1, est-ce qu'il y a une opération qui vaut 0.5 ?
moino max En utilisant la mème méthode que avec la multiplication : quand on fait 5*0.5, on fait la moitié d'une addition de 5. Et au dessus, 5^0.5, c'est une demi multiplication de 5. Pour les rationnels, c'est assez simple à formalisé. pour n'importe quelle réel, je ne sais pas faire.
J'ai un problème avec votre formulation: "la moité d'une addition". Pour définir le concept de moitié, il faut avoir recours à la multiplication. On se sert donc d'une loi construite à partir de la notre pour la construire, c'est embarrassant... Maintenant, je comprend que le choix du successeur est libre, on peut choisir n’importe-quel e>0 et définir succ(x)=x+e. Ainsi, cela fonctionne même pour des réels.
C'est en effet plus une fonction réciproque qu'on utilise qu'une moitié d'opération pour le 9^0.5=3, en réalité on utilise la fonction réciproque de la fonction carrée. Pour 5*(1/2) c'est la fonction inverse... Mais je ne pense pas que ça aboutira à quelque chose
Bonjour, Je précise que je ne suis pas calée en mathématique mais je propose ma pensée, Alors au début les hommes ont du définir des notions de "rien" ou de "il y en à" par exemple "il n'y à pas d'arbre" ou "il y à des arbres" ce qui correspond en chiffres à 0 ou "pas zéro" et ensuite différencier le 1 de plusieurs : "il y à un arbre" ou il y à "plusieurs arbres" l'unité à du être définie avant tous les autres nombres. La première "opération" serait peut être la comparaison de quantité ou longueurs (avant l'apparition des chiffres). Par exemple on met 2 batons à côté l'un de l'autre et on dit celui là est plus grand ou plus petit que l'autre ou égal (sans avoir besoin de les mesurer en chiffres) , pareil pour les quantités on met 2 morceaux de viandes à côté et on voit lequel est le plus gros ou encore 2 tas de grains on peut dire visuellement il y en à plus dans ce tas que dans l'autre ou autant. Je ne sais pas si c'est considéré comme une opération. Et enfin viendrait l'énumération des nombres en tant que tel , mais l'énumération après le 1 n'est elle pas déjà une opération : la multiplication ? Car quand on à du compter au début c'était pour compter des choses réèlles , par exemple : j'ai 2 batons , j'ai 3 batons ça ne voudrait pas dire : j'ai 2 x un baton , j'ai 3 x un baton ect Voilà c'est avis n'a aucun fondement mathématique c'est juste mon ressenti, bonne réflexion à tous ^^
Avant l'adition: une suite de nombre. Il faut une base pour des calculs, non? Puis juste avant celle-ci il y aurait les soustractions. Comme ci les calculs étaient juste des chiffres, il y en aurait une infinités, possible de moins l'infini à plus l'infini, bref comme une suite de chiffres.
J'ai trouvé quelques idées et joué avec, mais je n'ai pas les compétences pour aller beaucoup plus loin dans la réflexion. Est-il possible de définir la multiplication à partir de la puissance ? Et l'addition à partir de la multiplication ? Car c'est bien ce que l'on essaie de faire, non ? Appelons "J" l'opération recherchée, et travaillons avec des nombres entiers naturels pour des soucis de simplification : nJn = n+2 mais chaque opération Jn successive ajoute 1 (par exemple 3+2 = 3J3 = 5 ; 3+3 = 3J3J3 = 6 ; 3+4 = 3J3J3J3 = 7 ; etc...) Pour chaque n+m nous avons une égalité entre les suites d'opérations "nJnJn ... Jn" (tel que "m" nombres n) et "mJmJm ... Jm" (tel que "n" nombres m) (nota : on dit arguments ?) Par exemple 3+4 = 3J3J3J3 = 4J4J4 = 7 En revanche pour les valeurs de nJm où n et m sont différents, je ne sais même pas par quel bout prendre le problème, je n'ai non plus aucune idée de ce que peuvent donner nJ1 ou nJ0 J'ai trouvé rigolo que 2^2 = 2x2 = 2+2 = 2J2 = 4 (edit : peut-être qu'en faisant un graphique...)
Dans l'arithmétique de Peano le suivant d'un entier x est défini ainsi : suiv(x) = min{n | n > x} (cela correspond à x+1) En appelant l'opération o en peut poser xoy = max(suiv(x), suiv(y)) 1- cela donne une opération commutative 2- vérification : On a bien xox = max(suiv(x), suiv(x)) = x+1 (xox)ox = (x+1)ox = max(suiv(x+1)), suiv(x)) = x+2 ... On peut montrer par récurrence que x+y = xo...ox (avec y fois o) 3- Cependant o n'est pas associative en effet (xox)o(xox) = (x+1)o(x+1) = x+2 (((xox)ox)ox = ((x+1)ox)ox = (x+2)ox = x+3 donc il faut bien faire attention au parenthèsage.
J'aime bien l'incrémentation, passer au rang suivant et l'addition consisterait à faire un certain nombre d'incrémentations. Ca fonctionne plutôt bien dans les entiers mais quand on passe les décimaux çà devient moins cool dans ma tête
Instinctivement, je serais remonté jusqu'aux origines de l'addition (avec la théorie des ensembles, la définition axiomatique de l'opérateur '+' et la définition des nombres). Mais j'aime beaucoup le raisonnement de *RomLeSteak* , je vais donc le développer ici: *Pour* *reprendre* *son* *raisonnement,* *et* *l'expliquer* *à* *ceux* *qui* *ont* *peut-être* *mal* *compris* : -addition + : 1 ligne : 1 dimension -> 1 + 1 = 2 (le résultat '2' est d'ordre 1, donc dans la dimension 1 et cela peut se représenter par une ligne de longueur 2). -multiplication * : 1 surface : 2 dimensions -> 1*1 = 1 (sauf que là le résultat '1' n'est pas un résultat d'ordre 1, c'est un résultat d'ordre 2 ! Ce qui correspond bien à une surface: celle d'un carré de coté unitaire valant 1). -puissance ^ : 1 volume : 3 dimensions -> 1^1 (résultat d'ordre 3, cube d'arête de longueur unitaire 1) -puissance itérée de Knuth que l'on notera ici K(n): 1 hypervolume : n dimensions -> 1K(n)1 = 1 (résultat d'ordre n, d'un hyper volume "d'arête" 1) *Allons* *plus* *loin* : On peut remarquer que 1K(n)1 = 1K(n-1)1 pour n > 1 avec n appartenant aux entiers. Visiblement il se passe une chose bizarre à n=1. *De manière plus générale*: C'est dur à écrire, j'espère que je me ferais comprendre: Pour n>1 avec n appartenant aux entiers: aK(n)b = "ajouter 'b' arguments 'a' séparé de n moins une fois l'opérateur K(n-1) et finir par K(n-1)1 sauf pour K(1)" *Exemple* *avec* *K(1)* *=* *'+'* *;* *K(2)* *=* *'*';* *K(3)* *=* *^* *etc..* : 3K(4)2 = (3K(3)3) K(3) 1 = 3K(2)3K(2)3 = ((3K(1)3K(1)3) K(1) (3K(1)3K(1)3) K(1) (3K(1)3K(1)3)) K(1) ((3K(1)3K(1)3) K(1) (3K(1)3K(1)3) K(1) (3K(1)3K(1)3)) K(1) ((3K(1)3K(1)3) K(1) (3K(1)3K(1)3) K(1) (3K(1)3K(1)3)) *En* *plus* *lisible* : 3K(4)2 = 3^3 = (3*3)*3 = ((3+3+3)+(3+3+3)+(3+3+3)) + ((3+3+3)+(3+3+3)+(3+3+3)) + ((3+3+3)+(3+3+3)+(3+3+3)) ( = 27 ;-) ) *En* *décomposant* *un* *peu* *plus* : 3K(4)2 = (3^3)^1 -> on place *deux* '3' et on ajoute l'opérateur '^' entre (qui correspond à K(n-1) avec n=4) et on finit par K(n-1)1 (3^3)^1 = (3^3) * 1 -> on place *un* '(3^3)' et on ajoute l'opérateur '*' entre (qui correspond à K(n-2) avec n=4) et on finit par K(n-2)1 (3^3)*1= ((3*3*3) *1) *1 -> on utilise le même principe pour transformer 3^3 en une décomposition avec l'opération '*' On pourrait écrire "((3*3*3) *1) *1 = ((3*3*3) *1) + 1" or on a dit qu'il y avait un truc bizarre pour K(1), donc la méthode ne fonctionne pas pour des ordres aussi petits (pourquoi ?). (D'ailleurs 3K(5)2 = (3K(4)3) K(4)1 ) *Du* *coup* *pour* *faire* *4x3* *il* *faut* *faire* : Mettre *trois* fois le chiffre 4 (c'est à dire "4 4 4") PUIS insérer l'opérateur K(n-1) avec n ici égale à 2 (c'est à dire "4 + 4 +4") PUIS ajouter K(n-1) 1 ( c'est à dire "+ 1" ) OR on a dit que K(1) échappait à cette règle si l'on veut que notre méthode marche. POURQUOI ajoute-t-on 0 au lieu de 1 pour K(1) ? Pour tenter de répondre, partons du principe que cette méthode marche, c'est à dire que la règle s'applique pour tout entier n différent de 1. Regardons ce qu'il se passe pour n = 0 Mais dans la question posée par Mickaël Launay on cherche ce qui a 'zéro dimension'. Appelons cette hypothétique opération K(0). *Faisons* *des* *tests* *empiriques* *pour* *se* *donner* *une* *idée* : 3 K(1) 2 K(1) 0 = 5 = 3 K(0) 3 K(0) 1 4 K(1) 3 K(1) 0 = 7 = 4 K(0) 4 K(0) 4 K(0) 1 4 K(1) 2 K(1) 0 = 6 = 4 K(0) 4 K(0) 1 98 K(1) 3 K(1) 0 = 101 =98 K(0) 98 K(0) 98 K(0) 1 Bon. Je ne comprends pas. Ai-je fais une erreur de raisonnement ? J'ai définit des règles certes non conventionnelles, mais il ne me semble pas avoir fait d'erreur logique. Y a-t-il une relation à trouver entre le nombre de fois qu'il faut écrire l'opération K(n-1) en fonction de K(n), a et b ? Plus généralement, existe-il une relation où l'on pourrait déduire le nombre de fois il faut écrire K(1) en fonction de K(n), a et b ? J'ai poussé le raisonnement assez loin pour mon petit niveau en math. Mais là je sèche ! Des idées ?
Je suis sous linux, quelqu'un peu me dire si sous windows on voit bien les titres de mes parties en gras ? J'ai peur que sous windows ça n'affiche que des étoiles dégueulasses partout ! (merci d'avance aux courageux qui liront ma théorie perchée)
Pour moi, cette question a effectivement plusieurs réponse, suivant l'angle avec lequel on souhaite y répondre : - L'informaticien : L'incrémentation. C'est un système utilisé pour le codage, si la multiplication à un opérateur de + que l'addition, l'incrémentation en à 1 de moins. (en gros c'est un +1 automatique, mais pas sous forme d'addition). - L'historien : Le comptage. L'homme, avant de savoir calculer, à du apprendre a compter. On peux donc imaginer que l'étape avant l'addition est simplement l'énumération de chaque nombre, par exemple dans l'ordre (1,2,3,4....). - Le philosophe (sans la barbe) : Il n'y a pas de réponse à cette question, puisque l'addition est le corps naturel primaire. Comme "l'atome" étymologique est la base de toute chose physique (A = sans + Tome = Couper -- donc : ne peut pas être couper). Oui l'addition est un peu l'atome de l'arithmétique. - Le Mathématicien : Il y a autant d'état avant l'addition que après : N -> 1 facteur = (incrémentation / comptage / ...) N -> 2 facteurs = Addition N -> 3 facteurs = Multiplication N -> 4 facteurs = Puissance On à donc aussi N -> 0 facteur N -> -1 facteur N -> -2 facteur etc... C'est juste un peu dur à interpréter. - Le Sociologue : Hein ? Vous en avez d'autre ?
Minocaro Jolie réponse !! Maintenant peut on inventer une opération antérieure à l’addition (comme on a découvert que l’atome se divisait en 2 parties l’électron et le noyau 😉) ?
comme beaucoup ici je pense à l'incrémentation, mais en poussant un peu plus loin le raisonnement, peut-on considérer le booléen (oui/non) comme précurseur à celle-ci?
Je m'étais déjà posé cette question il y a quelques temps ! Bien sur d'un point de vue arithmétique il y a Succ(n) = n+1 mais ce n'est pas une opération... On peut prendre un point de vue plus algébrique en s'intéressant aux morphismes de groupes dans (ℝ,+) et (ℝ*,*) On peut définir la multiplication par a*b = exp(ln(a) + ln(b)) Alors en notant (#0 = +), (#1 = *) on peut définir de manière générale par récurrence les opérations #k par #0 = + et ∀k∈ℤ, ∀(a,b)∈(ℝ+*)², a #(k+1) b = exp(ln(a) #k ln(b)) et donc a #(k-1) b = ln(exp(a) #k exp(b)) l'opération avant l'addition serait alors a #(-1) b = ln(exp(a) + exp(b)) On peut remarquer que #2 est alors l'équivalent commutatif de la puissance. On pourrait regarder si les #k définissent des structures de groupe, quitte à considérer ℝ∪{±∞} pour avoir un neutre. Après ces opérations ne sont pas très sympa, dans le sens où on ne pourra pas les faire de tête...
avant l'addition, y a le repas ...
Zeehn mdrrrrrrrrrrrrrrrrrr
Tu m'as achevé 😂😂😂😂😂😂😂😂😂
Un café puis l'addition ;)
👉🚪
MAGNIFIQUE!^^
Je dirais que l'addition est le nombre de fois que l'on applique l'opération élémentaire "incrémenter de 1" donc +5 c'est +1, +1, +1, +1, +1 (5 fois) ^^
Du coup :
3^3 = 3*3*3 = 3+3+3+3+3+3+3+3+3 = +1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1
Cette approche me semble élégante
Ça beug pour tout ce qui n’est pas entier et même quand tu ajoutes 2 nbr entier négatif
Tu n'as pas défini de loi, il faudra qu'il existe une loi * telle que x+y = x*x*....*x , y fois (en travaillant sur les entiers positifs dans un premier temps).
L'opération incrémenter de 1 comme tu dis n'es pas une loi puisqu'elle ne prend pas 2 arguments mais un seul
on peut etendre ca a n importe quel decimal aussi jusu a 0 non inclue
Cette réponse est séduisante mais si j'ai bien compris la question on cherche une opération plus élémentaire que l'addition qui permet de la "reconstruire". Je ne suis pas convaincu par l'incrémentation de 1, qui revient à additioner 1. On pourrait donc aussi bien dire que additionner y à x revient à additionner y fois 1 à x, mais on utiliserait donc le concept d'addition dans la définition de l'addition, ce qui ne me semble pas répondre à la question.
Cette question m’obsède depuis une semaine et voilà que tu en parles ! C’est beau !
Romain Du Bois arrête de regarder dans le futur stp, c'est troublant...
Pareil, j'ai une vidéo sur le sujet
th-cam.com/video/t0g2Gxm4nEI/w-d-xo.html
C même trous blanc @@marclagier5615
La "translation" : 1=>-1; 2=>-2; ...
Le "décalage" : 1=2; 2= 3; (tu en as parlé)
Le codage informatique (binaire ou quantique) : 1=une suite de bytes 0/1 ou 1=0,...,9
L'"identification" : nombre entier, réel, premier, ...
Ce sont les seuls idées d'un amatheux qui me viennent.
Bravo M Launay de nous faire réfléchir sans y penser.
A mon avis avant l'addition il y a l'intuition. Je m'explique : si je montre a quelqu'un un groupe de 10 pommes et 3 poires. Pour les 3 poires, c'est pas trop compliqué, on est capable de discerner qu'il y en a trois d'un simple coup d'oeil et sans même réfléchir ni additionner on a l'intuition qu'il y en a trois. Le cas des pommes en revanche, c'est plus compliqué, je mets au défi qui que se soit d'être certain d'un seul coup d'oeil et avec certitude qu'il y a 10 pommes, ainsi la personne, par une suite d'intuitions sera capable de voir qu'il y a par exemple 3+3+3+1 pommes (ou bien 2+2+1+3+2, ça dépend beaucoup du hasard lié à l'intuition et la façon dont l'esprit traite le problème) et par une addition sera capable de dire qu'il y en a 10. Cette idée de l'intuition avant l'addition me vient du fait qu'une addition est déjà une démonstration, or une démonstration est, d'après Descartes si mes connaissances de lycéen sont justes, une suite d'intuitions. Voilà n'hésitez pas à dire ce que vous en pensez si vous avez des trucs a rajouter, corriger, etc...
Cette facon d'envisager le probleme n'est pas vraiment mathematique, comme peut l'etre l'application successeur qui semble, pour moi, la reponse ecidente, mais je la trouve extremement interessante d'un point de vue philosophique et je l'apprecie beaucoup :)
"Le cas des pommes en revanche, c'est plus compliqué, je mets au défi qui que se soit d'être certain d'un seul coup d'oeil et avec certitude qu'il y a 10 pommes"
Ça s'appelle le subitizing, en général après 4 objets on est obligé de compter mais certains autistes voient cette limite repoussée à 250 voire plus.
Oui et je dirais la définition de la quantité. Qu'est ce que un chiffre ou un nombre. Avant de réunir des éléments il faut les définir. Dans la théorie des ensembles on additionne les cardinaux quand on fait une union.
Avant l'union des ensembles il ya leur définition elle même. Qu'est ce que compter... Si ce n'est identifier une quantité.
Thehappykiller20 C'est vrai que ma façon de voir le problème n'est pas très mathématique je te l'accorde mais le problème de l'addition est pas simple a répondre du point de vue mathématique (à mon niveau du moins) puisque les axiomes qu'on utilise couramment en arithmétique sont déjà basés sur l'addition
Et merci Morsay pour ce point de culture qui me permet de mettre des mots à des phénomènes
la réponse la plus intéressante à mon sens, ça rapporte les nombres à l'être humain et son cerveau,
je veux dire par là que nous sommes les seuls êtres vivants (connus) à utiliser les mathématiques à proprement parler,
J'ai pas l'impression qu'un quelconque animal utilise les nombres comme nous si ce n'est avec cette "intuition",
ce qui ferait de l'intuition, une opération encore plus basique que l'addition,
NEANMOINS, JE N'AI PAS LA SCIENCE INFUSE, ECLAIREZ-MOI SUR LES MATHEMATIQUES DANS LE MONDE ANIMAL SI VOUS POUVEZ ME CORRIGER, j'en serais ravi, nous sommes là avant tout pour débattre ;)
C'est incroyable !!! Je me suis posé la même question y'a quelques mois mais j'avais abandonné parceque j'avais rien trouvé !! Du coup je suis super excité de m'y remette !!!!!
Ton titre est très explicite, j ai compris imediatement la question
ninifox oui. (Moi aussi)
ninifox C'est le but, si tu as besoin de te rappeler du sujet par exemple, pas besoin de te revoir toute la vidéo
Merci pour vos vidéos, j'adore les utiliser avec mes élèves !
Je trouve ce format super intéressant et stimulant. Continu ainsi :)
WOW !!!
J'avais jamais pensé à ça, j'adore le concept, je vais y réfléchir !
géniale ta vidéo. Je me suis posé cette question il y a quelques temps et j'aimerais en découvrir plus. continue comme ça :)
Merci Mickaël pour avoir tué mes futurs jours et semaines à réfléchir sur le sujet.
Pardon Michael mais où ça en est la présentation de toutes les machines a calculer ?
C'est vrai
J'en ai plusieurs j'aimerai bien savoir les utiliser enfin
Oui! on est nombreux a attendre la suite. c'est passionant !
Ça viendra certainement après ce mois spécial. : )
Ca t'écorcherai la gueule d'être poli, espèce de grossier personnage !
Un an plus tard mais le sujet est passionnant. Avant l’addition, il y a la relation d’ordre... plus petit / plus grand / égal : 4 pièces d’or valent plus que 3... utile pour le troc et toutes les premiers échanges commerciaux.
Le format rêvé!!
D’ailleurs j'ai penser que tu pourrais créer un serveur discord
Chaine très intéressante et pédagogique... Beau travail.. merci
l'Augmentation, c'est a dire qu'on passe au rang suivant dans l'echelle des entiers, du style *j'augmente 5 ↦ 6*
Du coup 5+3 = 3 augmentation de 5, donc 5 ↦6↦7↦8
(le nom a été choisis a l'arrache xD)
yes ca me parrait le bon truc
Cela s' appel une itération.
Aparemment on apelle ca l'incrementation d'apres d'autres commentaires :thinking:
Vulcairn ça s’appelle l’incrémentation, en gros faire +1 successivement (existe aussi la décrémentation)
Je suis d’accord avec toi
Une suite ascendante quoi? :)
Le groupement numérique 😊❤ soit les différentes solutions d ensembles numériques comme si malgré la méconnaissance des différentes suites additives et multiplicatives on denombrerait toutes les possibilités arithmétiques d un résultat arithmétique quelconque et ce dans toutes les bases et tous les formats arithmétiques connus ou encore inexistants 😢 😅 (peano et presburger en tout cas au moins si il s agit de précéder l addition...) 😮❤ Mickael j adore tes chemins de reflexions ils me sont d une aide précieuse je te remercie de toutbmon coeur pour tout le travail que tu réalise. Merci tu es vraiment exceptionnel... 😊
960 commentaires déjà ^^', je crois que je vais tomber dans les abîmes du web. J'ai mis un pouce bleu ça compte ?
Trêve de plaisanterie, j'ai réfléchis cette nuit à cette problématique, j'ai 3,5 pistes :
1- l'addition n'est autre qu'une somme répétée de petits intervalles, par exemple 1+2 -> 1 + ( 1 + 1 ) (addition unitaire) voir 1+2 -> 1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 +0.1.... (mini addition) ou micro addition (0.000 001) ou encore nano addition (0.000 000 001) et ainsi de suite.
2- l'addition n'est autre que la face visible d'un iceberg (les nombres réels) 1+2 -> 1 + 2 x - (i²) (addition de nombres à deux dimensions, ou imaginaires) puis à trois dimensions 1 + 2 -> 1 + 2 x - (U^3) (ou racine cubique de U = -1) et ainsi de suite.
3- l'addition n'est autre qu'une expression géométrique appliquée à l'algèbre, du coup on peut faire de petites translations répétées (le cas 1), des rotations répétés, ou des symétries répétés. Imaginez un point A (1, 0) . si on lui applique des petites translations jusqu'à 3 on aura 1 + 1 + 1 = 3 ou 1 + 2 (soit B (3 , 0), la rotation de 180° de centre (2 , 0) le permet aussi, enfin une symétrie d'axe y = 2 aussi. Et ainsi de suite car là c'est une transformation unique, il peut y avoir des transformations doubles, triples, combinatoires doubles, combinatoires triples etc...
4- C'est une déclinaison de la version 1 et 3 (d'où le 3.5 pistes), 1+2 = 1 + 2.1 - 0.1 = 1 + 2.01 - 0.01 = 1 + 2.001 - 0.001 vous voyez où je veux en venir, il y a aussi la déclinaison de la déclinaison : 1+2 -> 1 + 2.1 - 0.2 + 0.11 - 0.02 + 0.011.... C'est une sorte de ping pong jusqu'à la valeur.
J'en veut plus de ce genre de vidéo ! Ça nous fait réfléchir en total liberter et j'adore ca !
Avant l'addition … il y a la consommation, la commande … Oups
J'avais plus sérieusement pensé au fait de passer d'un nombre au suivant (à n'importe quel échelle), ce qu'on appelle communément "le comptage par n" où n représente justement cette échelle. Par contre je n'avais aucune idée de comment appeler ça avant de lire quelques commentaires x)
Les nombres base 10 n'existent que pour nous permettre de compter et de faire facilement des opérations. Ils correspondent au fait que nous avons 10 doigts (les incas comptaient en base 20 car il comptait aussi avec les orteils). Or, la réalité des nombres se trouve au cœur même de la matière : tout n'est constitué que de zéro et de 1. On reproduit ça dans les ordinateurs avec + 5 V ou 0 V. Donc avant même toute opération sur les nombres tel que nous les concevons, il convient de les créer. Je dirais donc que l'association (And; Or, Xor, Not) de zéro et de uns qui permet de fabriquer un nombre est le préambule de toute expression mathématique. Certes tout cela est un peu philosophique mais pour résumer : avant d'additionner les nombres il faut commencer par les créer.
L'incrementation est très citée, mais si l'on veut parfaitement définir l'addition, il vaut mieux parler de décrémentation / incrémentation.
On a 2 tas à additionner, on enlève un au premier, que l'on bascule au second... Exemple avec 2 et 5
2+5= (2-1)+(5+1) = 1 + 6 = (1-1) + (6+1)= 0+7 =7
On s'arrête lorsqu'il ne reste plus qu'un seul tas.
Bonjour,
Je n'ai pas vraiment l'habitude de m'adresser ainsi sur ce genre de réseaux mais puisqu'on y est, j'en profite pour interagir avec le concept de cette vidéo qui me semble particulièrement amusant et adresse un remerciement à l'auteur qui aura su me faire réfléchir toute une nuit durant .
Ne pouvant exposer de manière plus explicite mon raisonnement ; en tant que potentiel fragment de réponse à la question posée, par le biais de longues explications et non de démonstrations écrites sur papier : je suis d'avance navré si la suivante présentation est quelque peu flou.
Afin d'approcher une réponse à la question exposée, je me suis tout d'abord posé l'étrange question de savoir ce qu'était une opération mathématique.
Venant à la conclusion simpliste que selon toute vraisemblance et indépendamment de la forme qu'elle pouvait avoir, elle désigne tout mode ou procédé visant à obtenir un résultat, résultant d'une suite de termes.
J'ai alors posé les bases et ai prit pour exemple de démonstration, des opérations contenant uniquement 2 et en seulement deux termes.
Je m'explique :
Pour l'aspect addition nous avons alors ainsi écrit : 2 + 2 = 4
Puis dans l'évolution de l'opération nous avons la multiplication et toujours dans la logique de notre précédente addition, nous écrivons alors : 2 X 2 = 4
Et ainsi nous obtenant très logiquement la dernière évolution en écrivant : 2² = 4
La question de savoir ce qui précède le plus logiquement possible l'addition devient alors d'autant plus intéressante que celle de se demander à quoi ressemblerai notre monde si pour la première fois de votre existence vous vous trouviez dans la possibilité de voir non pas trois mais quatre dimensions physiques.
Cela fait appel à beaucoup d'imagination et demande pour ce faire de sortir d'un cadre d'existence profondément ancré en vous ; en vos sens et en votre sens logique.
Les mathématiques sont logiques et la logique c'est beau alors j'ai taché de rendre ma réponse belle et logique, afin que la précédente opération logique à l'addition ne soit ni disgracieuse, ni incohérente.
La solution de ce problème se devait d'être en harmonie avec l'évolution des opérations suivantes ; elle devait alors avoir au moins des termes arithmétiques et des symboles, afin de résoudre en soi le conflit d'une insatisfaction quant à cette question qui rôde dans le flou.
J'ai alors imaginé une suite arithmétique.
Une suite que nous noterons " S " pour la forme.
Cette suite est alors ; selon notre exemple ci-dessus, égale à 4 : S = 4
Cette suite a pour symbole " , " et pour termes les nombres infinis compris entre 0 et 4, ainsi notée : S : [ 0, ...... ,4 ] = 4
Ainsi, dans l'exact continuité de nos exemples précédants, partant du postulat que cette suite n'est finalement qu'une opération symbolisant d'une manière plus abstraite le résultat de celle-ci, S est donc bien égale à 4.
Nous reprenons alors l'exemple de base en ajoutant notre solution :
[ 0, ...... ,4 ] = 4
2 + 2 = 4
2 X 2 = 4
2² = 4
Je disais cependant que les mathématiques sont belles et logiques, je ne peux donc omettre d'inclure les opérations contraires.
Comprenant que le contraire de l’addition est la soustraction, celle de la multiplication est la division et que celle de la puissance est la racine.
Alors j'applique :
S : [ 0, ...... ,4 ] = 4
( S - S ) + ( 2 + 2 ) = 4
( S / S ) X ( 2 X 2 ) = 4
( √√S )²x² : ( √√S )ˆ4
Comme ce n'est pas évident d'afficher certains symboles, je précise que " √ " représente la racine et " √√ " est bien une racine de racine, que "²x²" représente puissance 2 multipliée par puissance 2 et que " ˆ4 " représente bien une puissance 4.
En vous souhaitant à toutes et tous une bonne journée.
Super Mickaël ! Vidéo interactive, debrief dans un live ... wow, tres interessant ! As-tu déjà fait des conférences et/ou comptes-tu en faire ?
Mille mercis !!!
La suggestion de Hugo Lecourt dans les commentaires, consistant à remarquer que l'exponentielle envoie l'addition sur la multiplication, donc que le logarithme népérien devrait envoyer l'addition sur la pré-addition est intéressante.
Pour ma part, je suggère l'opération A v B, où je désigne par A v B le maximum de A et B. En effet, de même qu'on a (A+B) x (C+D) = A x C + B x C + A x D + B x D, on a (A v B) + (C v D) = (A + C) v (B + C) v (A + D) v (B + D).
Mais déjà, il faut vérifier que tout cela a bien un sens (genre que (A v B) v (C v D) = ((A v B) v C) v D = A v (B v (C v D))... mais c'est bien vrai car c'est juste le maximum des quatre nombres considérés).
Je cheate un peu car je fais de la recherche en mathématiques et ai déjà croisé de la géométrie tropicale. Mais la question m'attire aussi alors j'ai décidé de ne pas me priver. Mais bon, même en cheatant, ce n'est pas une réponse terrible que je propose, car bien que l'addition se comporte vis-à-vis du max un peu comme la multiplication vis-à-vis de l'addition, l'addition n'est pas du tout à proprement parler une version itérée du maximum. (Mais il y a des liens entre ce point de vue et la réponse de Hugo Lecourt. Si A et B sont deux grands nombres, alors ln(A x B) = ln(A) + ln(B) et ln(A+B) vaut environ max(ln(A),ln(B)).)
Je trouve très satisfaisante la réponse de Paul Amblard : l'addition est l'incrémentation de l'opération unaire consistant à ajouter 1. (De façon conceptuelle, les fonctions f des entiers vers les entiers qui vérifient f(x+y)=f(x)+f(y) sont précisément les multiplications par un certain entier. Et celles qui vérifient f(x+1)=f(x)+1 sont précisément les additions "par un certain entier".) Et c'est assez satisfaisant de se dire que si on s'arrête à cette étape, c'est précisément parce que l'opération n'est plus binaire mais unaire (donc peu susceptible d'itération).
Si on pose A # B égal à max(A,B)+1, on a une opération qui jouit des propriétés suivantes.
A # B = B # A
A # A # A ... # A fait B fois donne bien A+B, si on choisit de résoudre le calcul de gauche à droite (pas quelque chose comme ((A#A)#(A#A)) mais comme ((A#A)#A)#A).
Une fonction f qui vérifie f(A#B)=f(A)#f(B), c'est la même chose qu'une fonction de la forme "ajouter C au nombre donné à brouter à la fonction".
Voilà, c'est tout, j'dis pas que c'est spécialement bien, hein ! ^^ (Perso, je trouve l'incrémentation nettement plus convaincante.)
@@prunellepourceau4074super astucieux mais il y a un décalage de 1, non ? On devrait avoir a#a=a+2, a#a#a=a+3 … non ?
Intéressant ça !
Alors pour résumer, si on appelle notre nouvel opérateur, disons ♥, on voudrait que :
a + b = a ♥ a ♥...♥ a, avec a apparaissant b fois ou alors
a + b = b ♥ b ♥...♥ b, avec b apparaissant a fois...
(si on veut que ça garde le même genre de bonnes propriétés qu'on a avec l’addition et la multiplication)
En supposant qu'un tel opérateur existe, on trouve pas mal de truc étonnant, par exemple on peut rapidement se convaincre que ni 1 ni 0 ne sont des éléments neutres pour ♥ :
2 = 0 + 2 = 0 ♥ 0
3 = 1 + 2 = 1 ♥ 1
On a aussi :
5 = 2+3 = 2♥2♥2 = 3♥3...
C'est juste mes premières réflexions je vais continuer à voir si on a des trucs marrants
Hmm je sens que je vais pas aller loin si je garde la contrainte de commutativité.
En tous cas si on accepte commutativité, la distributivité et tout ça on a :
3 = 1♥1
4 = 1♥1♥1 = 3♥1 = 3+1
et du coup pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 3 on a n♥1 = n+1
l'addition est le résultat d'une division : Si on coupe une bûche en trois, elle sera composée de trois morceaux . Suffit de définir l'unité de mesure de la bûche pour avoir la décomposition de celle-ci en addition. Par exemple on choisit par décret que la bûche vaut 12, alors les trois morceaux qu'on pourrait mesurer sera 4+5+3. L'addition est donc une division qui n'a pas le même coefficient car si c'était le cas , on pourrait l'écrire avec un diviseur. Si on coupe en trois la bûche de façon égale alors on a 4+4+4 qu'on peut écrire 12/3 . Mais sinon l'addition est la seule manière d'écrire ces fractions de bûche. Ce qui veut dire qu'on est obligé de partir d'un postula ( ici la bûche vaut 12, mais aussi qu'on utilise la base 10 etc.. ) pour en déduire d'autre propriétés.
Merci pour tes vidéos ! ça manquait.
Mon hypothèse serait qu'avant l'addition il y aurait ce que j'appelle l'attribution. Car pour une addition il faut des quantités (négatives nulles ou positives). Et bien l'attribution serait le fait d'attribuer à une variable inconnue une quantité. Ainsi la somme 2+2 est la répétition de l'attribution à des variables les quantités correspondantes à deux... voilà bon c'est ce que j'ai trouvé de mieux après c'est pas forcément ce qui est le mieux
Marneus Calgar ça reste bien
c'est pas une opération
Gingobel non mais j'ai pas d'autre idée et ça me plaisais pas mal
Gingobal défini ce qu'est une opération parce que dire que ce n'en n'est pas une ne pas me convainc pas encore.
J'aime bien ton idée, mais es-ce que ça ne serait pas déjà une addition ? Par exemple si on veut additionner le nombre de grains de riz contenu dans x sacs, il faudrait commencer par attribuer un nombre de grains moyen par sac, et donc commencer par faire une addition non ? En tout cas je pense aussi que l'attribution et forcément un prélude à l'addition puisqu'il faut forcément savoir ce qu'on va additionner
ce qui me semble le plus logique, à l'instar des entiers naturels, serait de prendre l' inverse à rebours, un exemple sera plus parlant je pense ^^
3 puissance3 : 2
3+3 : 1
3=3 : 0
3-3 : -1
racine cubique de 3 : -2
etc...
l' égalité n est pas à prendre comme une opération mais plutôt comme une absence d' opération à l' instar du zéro que j' ai toujours concidérer comme absence de chiffre plutôt qu' un chiffre tel que le 1, pi ou plus récemment i ( il m' a fallu un moment pour assimiler que c était bien un chiffre) qui on tout des valeurs non nuls
J'ai vu personne parler de géométrie.
addition + : 1 ligne : 1 dimension
multiplication * : 1 surface : 2 dimensions
puissance ^ : 1 aire : 3 dimensions
Donc on cherche ce qui a 'zéro dimension'.
Instinctivement j'aurais pensé a un point fixe, donc a une notion sans calcul possible, juste un nombre fixe (et un seul : le '0').
Ou alors comme proposé ailleurs le fait de ne pas changer un nombre.
Hmm peux tu préciser le rapport que tu vois entre opérations et dimensions ? Parce que en général la dimension c'est toujours une histoire de puissance, pas de multiplication ou d'addition...
moi entout cas j a ime bien !ton raisonement !
Belle idée, en tout cas plaisante ! Mais ne penses-tu pas que c'est l'itération des puissances qui correspond aux dimensions successives ? Genre un point, un segment, un carré, un cube, un hypercube, correspondent tous au modèle ^0, ^1, ^2, ^3, ^4; je ne pense pas que la relation entre une addition et une dimension soit si claire :^)
RomLeSteak. L idée de la géométrie est intéressante. Je pense que je vais essayer de développer u. Peu cette piste💪
la réponse est donc un singularité
c'est vraiment une super idée !
La contemplation : regarder un nombre tel qu'il est et se dire "Mais qu'il est joli ce nombre !"
Je m'étais déjà poser cette question, mais bon j'avais pas trop d'idée et je m'étais dit que ce n'était pas hyper intéressant ^^ ça fait plaisir de voir que cette question n'est peut-être pas si débile
Je vais noter cette opération ⊹ et je vais me baser sur ces propriétés :
1) L'addition est une répétition de cette opération. Par exemple : 5+3 = 5⊹5⊹5.
2) On va essayer d'être compatible avec l'ordre des nombres. Par exemple, on veut que 5⊹4 soit quelque part entre 4⊹4 et 5⊹5.
Je propose donc n⊹m = n + (m/n).
On a bien :
1) n⊹n = n+1 pour tout nombre non-nul (damn'it, mon seul point faible !),
2) n⊹m > n⊹k si et seulement si m>k.
Par contre, on n'a pas n⊹m=m⊹n (comme l'exponentiation donc c'pas grave) et on n'a pas non plus « n⊹m > n⊹k si et seulement si m>k » ce qui est plus gênant.
intéressant, mais est ce que ça marche dans tous les ensembles ?
2⊹2 = 2+2
2⊹2⊹2 = 2 + 3 = 5
(2⊹2)⊹2 = 5
4⊹2 = 5
or d'après ta formule 4⊹2 = 4.5 ; 2⊹4 = 4
donc c'est incohérent
je pense que ça corrigera pas tous mais ta formule devrait être n⊹m = n + 2*(m/n)
(ou un truc dans le genre), ça corrige 4⊹2 = 5, mais on n'a ni la commutativité ni l'associativité
vu que la propriété qu'on veut c'est n⊹n = n + 2
edit : il reste des incohérences :
1⊹1⊹1 = 1+3 = 2+2 = 2⊹2
on ne trouve pas 1⊹1⊹1 = 2⊹2
Bien vu. Je me suis emmêlé les pinceaux avec ce successeur dont tout le monde parle ^^'
Du coup on se heurte obligatoirement à une incohérence :
n⊹n=n+2
=>1⊹1=3
=> 1⊹1⊹1⊹1⊹1 = 3⊹3⊹1
Mais 1⊹1⊹1⊹1⊹1=1+5=3+3=3⊹3⊹3
D'où 3⊹3⊹1=3⊹3⊹3 (à supposer l'associativité).
Sans supposer d'associativité mais seulement la formule "a+b = a⊹a⊹...⊹a (b fois)" :
(2⊹2)⊹2 = 2+3 = 5
2⊹2 = 2+2 = 4
D'où 4⊹2 = 5
Mais aussi ((1⊹1)⊹1)⊹1 = 1+4 = 5
(1⊹1)⊹1 = 1+3 = 4
D'où 4⊹1 = 5
Peut-on généraliser pour montrer que la seule opération qui accepterait la formule "a+b = a⊹a⊹...⊹a (b fois)" est :
Si n≠m, alors n⊹m = n+1
Et n⊹n = n+2
?
Ta dernière formule m'a quelque peu intriguer (l'impression d'être sorti d'un chapeau), mais je pense qu'au final tu as raison :
Soit B = a⊹a = a+2
alors on peut réécrire B de cette façon :
B = k + (a+2-k) = k⊹k⊹....⊹k (a+2-k fois)
avec k < a+2 = B
on calcul :
B⊹k = k⊹k⊹....⊹k (a+2-k + 1 fois) = k + a+2-k + 1 = a+2 + 1 = B + 1
pour tout k < B
B⊹k = B + 1
donc au final tu avais bien raison
Si n≠m, alors n⊹m = max(n,m) + 1
Et n⊹n = n+2
(je pense qu'on peu mettre un 'max' histoire d'avoir la commutativité)
le jeu est plié (et la réponse pas aussi passionnante qu'attendu)
Merci beaucoup pour cette démonstration :)
C'est marrant une opération commutative mais pas associative ! J'aurais pas pensé que ça pouvait marcher ^^'
À part ça, effectivement, c'est pas hyper passionnant. Mais on parle quand même d'une opération qui décompose une addition ; fallait pas s'attendre à une complexité de fou non plus.
Après, on peut toujours se demander comment généraliser la notion aux nombres non-entiers et/ou négatifs. J'ai vu que c'était un sujet ardent dans d'autres commentaires.
En tant que prof, je dois faire mon chieur de service : on ne dit pas "3 puissance 5" mais "3 exposant 5" ^^
Pour ce qui est du problème posé, l'incrémentation semble être la réponse la plus immédiate, mais elle est différente dans le procédé (multiplier par 5 c'est ajouter 5 fois le nombre, alors qu'ajouter 5 c'est incrémenter 5 fois de 1, le nombre de départ n'est pas réutilisé).
Je propose la méthode suivante pour faire la somme A + B :
On trace un segment dont la longueur est A. On le coupe (via la méthode de Thalès ou autre) en A segments de mêmes longueurs. On prolonge le segment en recopiant B fois l'un des morceaux. On compte ensuite le nombre de morceaux.
Question très intéressante, j'y avais déjà réfléchi sans vraiment creuser la question, cette opération fondamental, que je vais appeler ''simplication'' doit selon être examiner à travers des tables de compositions interne, on pourra trouver sa forme par tâtonnement, ce processus permettrait de généraliser la question et éventuellement trouver des simplications d'ordre 2, 3 ou 4, voir plus. mais il est possible avec cette méthode d'aboutir à plusieurs simplications possibles, est il possible d'en trouver déjà une qui sont cohérente ? sans compter qu'il faudrait définir des nouvelles propriétés, ne pas tomber dans les pièges d'admettre par exemple l'associativité ou la commutativité comme inhérente à l'opération, ce qui complique la recherche. Il faudrait tenter, il serai aussi intéressant d'examiner la structure de cette chaine d'opérations, est elle linéaire ou arborescente ? et cela mène à examiner une question encore plus profonde, celle de la possibilité d'opérations intermédiaires, si l'on attribue un rang à chacune des opérations de la chaine, peut on avoir une opération de rang 1/2, une opération de rang pi voir une opération de rang i.
ce ne sont que des questions que j'ouvre là mais je pense qu'elles sont intéressante pour la suite des recherches.
- Puissances : répéter la multiplication d'un nombre par lui- même (pas de choix).
- Multiplication : répéter l'addition d'un nombre par un autre (peu de choix).
- Addition : répéter le choix de nombres (beaucoup de choix).
- Variable : faire simplement le choix de nombres (choix illimité).
Bonjour. Je dirais que c'est la définition du nombre en lui même. Intuitivement mais bon. Après pour descendre encore... Malheureusement je n'ai pas les outils mathématiques pour raisonner autour de cette intuition... Merci pour tes vidéos j'aime énormément ce que tu fais. Guillaume.
Des maths en live j'ai toujours voulu faire ça, ça peut être trop bien !
Salut Michael, bravo pour ta chaîne que je suis avec grand plaisir !
Comme opération avant l’addition, je mettrai simplement ce que j’appellerai la composition : l’opération qui permet de composer un nombre avec des chiffres. 2?6?7 = 267. Ça existe peut-être déjà mais comme je l’ai trouvé en y réfléchissant, je proposerai un nouveau signe en forme de licorne !
ça s'appelle la concaténation, et ça ne marche pas : par exemple 2?2?2 ne donne pas 2+3
Compter?
Quand tu compte tu fais une addition (Tu fais ton nombre +1 )
n'est-ce pas une addition que de compter ?
ShoDawW oui, je suis d'accord c'est pas ça. Vu que la multiplication est la répétition d'additions avec le même nombre, il faudrait que l'addition soit la répétition d'un autre truc avec le même nombre
Après sinon l'addition est peut-être la première chose inventée en mathématique mais sinon ça devrait être une chose tellement inutile que même l'homme ne s'en souviens pas.
"n'est-ce pas une addition que de compter ?"
N'est pas multiplication que d'additionner ?
4 + 2 = 6
revient à faire
4 * (1+0.5) = 6
Ce n'est pas un problème à mon sens. Pouvoir exprimer une opération en une autre n'enlève pas de son utilité.
Merci pour les futures insomnies.
Je trouve le principe l'incrémentation pas mal comme suggestion mais je me dit quon peut le simplifier en une règle: additionner 1 revient à passer au chiffre suivant du chiffre ,qui est au meme rang qu'un chiffre dans le nombre qui subit laddition, avec comme règle que si on ajoute 1 à 9 le chiffre suivant est 0 mais on ajoute 1 au chiffre au rang au-dessus du chiffre qui a subit laddition. Alors oui cest techniquement une incrémentation mais meme sans connaitre les règles daddition on peut appliquer cette règle tant quon connait lordre des chiffres.
La règle nest pas super clair donc un exemple: 29+1 on additionne le 1 au 9 car ils ont la meme puissance donc on a 0 mais daprès la règle on ajoute alors 1 a la puissnace superieur ,le 2, ce qui passe celui ci au chiffre suivant le 3 on obtient bien 30 ^^
Oui mais dans ton cas, tu as besoins de la puissance pour définir l'addition...
martindelamarque pas forcementcar jai "simplifier" mais tu peut changer la règle par passer au nombre suivant et non au chiffre ex: 29+1 tu prend le nombre suivant 29 donc 30
martindelamarque je vient de comprendre ce que tu voulais dire et effectivement cela peu preter a confusion mais jai utiliser puissance ici car jai l'habitude des puissance de 10 pour les nombres. Mais en réaluté ici puissance définit la position et non lopération mathématique qui est baser sur la multiplication. A titre dexemple tu as forcement besoin de la puissance/position pour une addition: 29+1 nest pas egal a 29+0.1 pourtant dans les 2 cas jai 2 suivi de 9 et 0 suivi de 1 (1 etant = a 01) donc selon ce que tu as cru il faudrait la puissance pour laddition.
Ps: merci de ton commentaire je vais rectifier ma règle ^^
C'est plus clair comme ça, de rien ^^ .
En psychologie cognitive et Piagétienne nous décrivons plusieurs "schèmes", plusieurs mécanismes cognitifs qui permettent notamment d'appréhender les mathématiques. Déjà, le subitizing qui permet d'appréhender de façon holistique et simultannée de petites quantités (c'est reconnaître 3 pommes sans dénombrement par exemple). Ensuite le dénombrement qui n'est qu'une addition d'un en un. Mais surtout un schème de comparaison perceptif qui apparaît chez l'enfant avant l'acquisition du dénombrement et lui permet de dire que 10 est plus grand que 5 intuitivement, ce schème le conduisant à l'erreur en "période pré-logique" de Piaget à son épreuve dites "des jetons" ou de conservation/invariance du nombre élémentaire. Alors puisqu'apparaissant plus tôt chez l'enfant, dans l'ontogénèse de son système nerveux, pourquoi la comparaison de quantités ne serait-elle pas l'ancêtre de l'addition? Piaget dirait lui qu'elle n'est pas opératoire, ce n'est pas une opération car non réversible (ce n'est comme l'addition qui peut devenir soustraction). D'où finalement... peut-être n'y a t-il aucun ancêtre opératoire au dénombrement.
Peut être le fait de tout simplement associer un nombre a une valeur, ou bien même définir ce qu'est une valeur. Ca donnerait un quelquechose comme ça : 1=1
Y'a cette image qui revient souvent celle des dimensions, une addition serai sur 1 dimension comme une droite, la multiplication c'est la 2d, une aire, la puissance 3 c'est le volume etc
Donc si on revient avant la droite de dimension 1, c'est la dimension 0 : Le Point
Ainsi on peut voir que l'équation d'un point c'est par exemple x=x
Sympa le concept ! ;-)
Personnellement, je pense que l'addition est venue directement après l'invention des chiffres, et de manière plus générale, avec le fait de "compter" des choses. Si l'on pense au commerce, au troc, il est évident que les gens faisaient des additions, même si cela n'avait pas encore été défini... Donc, en bref, je pense que l'addition est la plus basique des opérations, et qu'il n'y a pas de "sous-addition", si l'on peut dire ainsi. C'est tout de même une question très intéressante, j'ai hâte de voir d'autres avis. ^^
hors de contexte
En fait je pense que la réflexion recherché ici n'est pas une idée concrète mais plutôt une opération théorique qui ne fonctionnerai qu'en algèbre comme 1+2+3+4....=-1/12
On aurait pu appliquer le même argument quant aux nombres précédents 1 ;)
Bonjour, je suis élève de 3e, grand fan de math et jaime beaucoup ce concept qui vise a réfléchir sur les propriétés des additions et multiplications, pour ma part je pense que avant une additions il y a une sorte de manipulation qui revient toujours au mème nombre, (comme en divisant par 0), je pense sa du fait que le neutre de l'addition est 0 et celui de la multiplication est 1 , j'en conclue que le neutre de la "sous-addition" ne peut être autre chose que tout ou rien.
PS : donnez vos avis quite à m'engueuler
Intuitivement, je dirais qu'à la base de l'addition se trouve l'unité. Et que cette unité est elle-même le résultat de la division d'un tout.
Avant l'addition, je dirais l'incrémentation (donc +1 pour les non initiés) car des chaines d’incrémentation permettent clairement de créer des additions. en parallèle on aurait la décrémentation (donc -1). Mais après je sais pas si c'est possible de remonter plus à la source. On pourrait, mais là on part un peux dans l'imaginaire, définir un nombre comme un autre avec le = du genre 3 = 5 qui dirait que le nombre 3 vaut maintenant 5 (mais je pense que je part un peux en live là...)
Je dois être bête mais l'opération qui "précède" l'addition de deux entiers, c'est pas simplement "ajouter 1"? Tout comme "3 fois 5" = "3 plus 3 plus 3 plus 3 plus 3", "3 plus 5" = "3 ajouter 1 ajouter 1 ajouter 1 ajouter 1 ajouter 1".
montre nous une étape de plus en arrière alors.
C'est une bonne réponse qui n'est pas bête du tout ! Absolument toute l'arithmétique des nombres entiers naturels se repose sur seulement 3 règles qu'on appelle les axiomes de Peano et qui disent en gros :
- 0 est un nombre entier naturel
- Tout nombre entier naturel admet un suivant
- 0 n'est le suivant d'aucun nombre entier naturel
et c'est tout. Donc ajouter 1 (passer d'un nombre à son suivant) est bien l'opération la plus élémentaire qui existe dans l'arithmétique de Peano (qui est celle qu'on utilise tous les jours)
Il y a quelque chose qui cloche pourtant : dans l'écriture de "3 fois 5" avec des "plus" tu as écrit 4 fois "plus", alors que dans l'écriture de "3 plus 5" avec des "ajouter 1" tu as écrit 5 fois "ajouter un". Cela ne suit donc pas la même logique...
Par définition, ajouter 1 c'est additionner à un nombre la valeur 1, donc -> addition. Quand tu passes d'un entier naturel à un autre, tu additionnes le nbr précédent avec 1 pour obtenir le suivant
C'est pas bête du tout mais l'opération que tu décris (qu'on peut appeler "incrémentation") est un opérateur unaire (=à un argument). Il serait intéressant de voir s'il existe un opérateur binaire qui peut convenir (l'addition et la multiplication sont binaires, donc ça serait mieux pour continuer l'analogie ^^).
J'ai également pensé l'expression de ln(a+b); en effet ln(a^n)=nlna et ln(ab)=lna + lnb, on fait l'opération précédente chaque fois donc si une expression de ln(a+b) (que je n'ai pas trouvée) existait, il se pourrait qu'elle contienne l'expression, ou une hypothétique définition, de l'opération précédent l’addition. De la même manière avec les puissances, ce qui donnerai b^a + b^c = ....... , ou avec l'exponentielle, en cherchant exp(aOb)=exp(a) + exp(b) (avec O le spéculatif opérateur)
Ou en fait l'opération cherchée n'existe pas car l'addition est l'essence même des calculs...
Pour commencer je dirais que ta question, c'est un peu trouver un chiffre positif plus petit que zéro :), c'est pourquoi ma réponse ne me satisfait que très peu mais je vais quand même la donner.
Avant de penser l'addition (homo avant sapiens), il faut, il me semble, dématérialiser les nombres les rendre abstraits d'une quantité réelle.
La toute 1ère façon de compter c'est ajouter, "l'ajout" (c'est très proche d'addition) de chiffres sur ses doigts, la base 10 est incontestablement issue de cela.
L'on peut ajouter plusieurs fois des 1 (itération comme dit plus bas), voir même 2 + 3 mais la structure de pensée est différente de la notre, car cela ne peut se rattacher qu'à une quantité réelle de ceci ou cela, le chiffre en lui même, 5 par ex, ne veut rien dire, on peut le voir comme un adjectif ex un chou, cinq choux.
Autrement dit on additionne pas, on compte. D'ailleurs si on parle d'apprentissage, ce qui n'est pas une opération, tout comme les premiers hommes on apprend aux enfants d'abord à compter, puis à additionner.
Avant l'addition, le comptage c'est ma réponse en ce sens qu'il n'y a pas vraiment d'opération avant.
Un peu farfelu et j'aimerai le rendre plus clair mais c'est difficile désolé.
Pierre Martin Ce n'est pas pour me vanter mais j'ai suivi d'une certaine manière ton raisonnement tu peuxessayerde chercher mon commentaire plus tard que le tien pour voir si tu veux
Salut, Mickaël.
Je propose que l'on considère l'addition de nombres entiers naturels comme la répétition de la fonction suivant de l'arithmétique de Péano. Dans cette hypothèse l'addition a+b est égale à s(s(s(...s(0))))...) où s( et ) apparaissent (a+b) fois. Par exemple l'addition 2+3 est égale à S(S(S(S(S(0))))).
Cordialement.
L'incrémentation. (passer au nombre suivant ; l'opération basique de l’arithmétique de piano ; ajouter un caillou)
Et lui n'a pas de prédécesseur.
De plus, cette opération ne prend qu'un seul argument, vue que ça n'est pas la répétition d'une autre opération.
(Ça, c'est la solution simple. Maintenant, il faudrait déterminé si il existé ou pas une opération à 2 argument)
Peano*
Je vois beaucoup de gens parler de l'incrémentation. Je ne connaissais pas du tout mais est-ce que ça ne revient pas à ajouter une unité à chaque fois, faire +1? Parce que du coup ça revient à une addition de 1,non?
oui, c'est ça.
quand tu fait +7, ça revient à effectué 7 fois l'opération +1.
en informatique, ça se note ++ ; c'est pratique quand on veut compté des choses.
Oui mais du coup quand tu fait une itération (incrémentation comme tu veux) tu fais déjà +1 non ?
Du coup ça reste définir l’addition avec l’addition je dirais non ?
Une itération est une répétition, une incrémentation est le fait de passer au rang suivant sur N (l'ensemble de entiers positifs).
Par contre en informatique, on a jamais une seule façon d'écrire les choses :
++x;
x++;
x += 1;
x = x + 1;
Ce sont toutes des incrémentations (certaines avec des spécificités mais on rentre dans des détails).
Super video quand est ce que tu reprend les video sur les différents machine à calculer ?
D'après moi, l’énoncé du problème, c'est de voir, de la même manière qu'une multiplication est un cas particulier d'addition, de quoi l'addition est un cas particulier.
J'ai envie de partir de l'idée qu'une addition, c'est une répétition de "+1". Faire l'opération 3+4 est décomposable comme l'opération 3+1+1+1+1. Le problème, c'est qu'un ajout de "+1" n'est pas un opérateur qui fait réagir deux nombres.
Pour généraliser ça, ma proposition, c'est une addition avec une "base", de la même manière que les logarithmes.
L'idée est qu'une addition "base x "entre deux nombres A et B ajoute x à A, B fois.
Par exemple, si je note cette opération _x_, on peut faire l'opération suivante : 2_0,5_4=2+0,5+0,5+0,5+0,5. Dans ce cas, l'addition "classique" est une addition de base 1, c'est à dire un cas particulier, ce qui colle avec ce qui est demandé d'après moi.
Je détruis ton idée en un argument : tu dis "J'ai envie de partir de l'idée qu'une addition, c'est une répétition de "+1"." or c'est faux, on peut additionner des nombres décimaux.
Gingobel l'addition a bien d'abord été définie dans les entiers naturels, intuitivement ''2 moutons+5 moutons=...'' pour qu'il y ait une opération inverse et que le résultat soit élément de l'ensemble, on invente la soustraction et l'ensemble des entiers relatifs. Puis de l'addition la multiplication ( avec la règle - x - = + pour que ça marche) et son inverse la division, avec extension à l'ensemble des rationnels. Donc notre opération ''primitive'' doit bien être seulement définie dans les entiers naturels (ou même un ensemble plus petit qu'on étend autant de fois que nécessaire si on veut que le résultat soit élément de l'ensemble), c'est l'opération la plus simple qui consiste à ajouter une barre pour chaque mouton qui passe, ou +1, et à en enlever une pour chaque mouton vendu...et si on a déjà défini les nombres entiers, c'est bien l'opération ''prendre le successeur de ' ,et faire n fois le +1 sur y, c'est prendre n fois le sucesseur de y, ce qui définit l'addition dans N, les entiers naturels. Il ne me semble pas utile de définir notre opération ''première'' dans l'ensemble des Réels
Je suis fatigué, je lirai ça demain. Réponds-moi pour que je sois notifié à nouveau, s'il te plaît, sinon je ne serai pas notifié.
Gingobel bonjour! Bien dormi?
En effet, on additionne des nombres décimaux. Ceci étant, ce n'est pas la question ici.
Lorsqu'on dit "la multiplication est une répétition d'addition", ce n'est manifestement vrai que lorsqu'on ajoute un nombre entier. L'opération "pi*e" ne peut pas se voir comme une répétition d'addition. De même pour la mise à la puissance : "pi**e" ne peut pas se voir comme une répétition de multiplication.
En conséquence, l'énoncé demandant de généraliser la propriété "la multiplication est une répétition d'additions", implicitement il se restreint au cas où l'un des opérands est entier.
c'est quasiment une question de philosophie plus que de mathématique je dirai qu'en imaginant que "l'addition" est sur le chiffre "1" de l'invention de l'opération on peut imaginer que sur "-1" il y aurait "-l'addition" puis "-la multiplication" etc....hum difficile à imaginer... bravo pour la pertinence de tes vidéos comme dab...
L'identification.
Reconnaître une "entité" selon un critère arbitraire.
L'opération suivante est donc la répétition de l'identification, c'est le comptage, ou l'addition.
Je suis enseignante en maternelle et effectivement la première compréhension du nombre enseignée avant toute opération est l'incrémentation, la notion de passage d'un nombre à l'autre. Cela peut être ajouter 1 si on regarde l'aspect cardinal des nombres mais cela peut-être aussi avancer de 1 si on regarde l'aspect ordinal. Un nombre correspond à la fois à une collection et à une position. Il y a des règles pour avancer correctement sur une bande numérique (comme celle du jeu de l'oie par exemple) : on ne saute pas de case mais on ne reste pas non plus plusieurs temps sur la même ,on avance au moment ou on commence le comptage et le rythme d'avancer suis le rythme de comptage, je m'arrête quand le comptage s'arrête. Tout ça parait évident et on ne se pose plus la question maintenant quand on additionne (c'est à dire quand on avance d'un nombre de cases déterminé sur la bande numérique en partant d'une case elle-même déterminée, ex : 5 + 8= je vais sur la case 5 et j'avance de huit cases) mais je peux vous assurer que ce n'est pas inné! Donc si avant de multiplier il faut savoir additionner, avant d'additionner, il faut savoir avancer! C'est pourquoi j'enseigne à mes élèves à se déplacer correctement sur une bande numérique avant de leur enseigner à additionner ou à soustraire. Pour conclure, avant l'addition, il y a le déplacement.
Je viens de réfléchir (dans mon lit) un peu à ta vidéo...j’ai d’abords essayé de supposer l’existence d’une opération « antérieur » à l’addition (toujours définie sur les nombres entiers naturels) puis je me suis dis qu’entre l’addition et la multiplication, il y a des nombres que l’on ne peut pas atteindre par la multiplication (les nombres premier) de même entre la multiplication et la puissance, et de même encore entre la puissance et les puissances itérées. Or, si les propriétés des diverses itérations se conservent (addition\multiplication multiplication\puissance) comme celle par exemple de l’existence de nombre « non-constructible » par itération (7 pour addition\multiplication 10 pour multiplication\puissance) alors il ne peut pas exister d’opération antérieur à l’addition, car tout les nombres (entier naturel) sont constructibles par addition.
Je ne sais pas si j’ai été clair ^^
Elle est vraiment trop cool ta remarque !!! Mais du coup, c'est tentant d'essayer de découvrir plus de nombres que les nombres qu'on connait : on peut imaginer qu'il y ait des nombres "pré-entiers" (les nombres entiers n'en seraient que des cas particuliers) et une opération # (dont l'addition serait la version itérée), de telle sorte que l'addition soit l'itérée de #, et que les nombres qu'on obtient en "itérant # sur les nombres pré-entiers" soient en fait précisément les nombres entiers. Cette fois, c'est moi qui ne sais pas si j'ai été clair. ^^
Mais en gros, si itérer une opération fait décroître l'ensemble des nombres, alors tu peux te dire que si on va en sens inverse, c'est ptêtre possible en faisant croître l'ensemble de nombres.
Mais en écrivant ces lignes, je me rends compte que ce que tu dis n'est pas parfaitement correct. Même le nombre premier 11, je peux l'écrire 11*1. Et je peux l'écrire 11^1. En fait, de cette façon, on peut écrire n'importe quel entier sous forme de multiplication, de puissance... Mais je suis d'accord avec toi pour dire que demander qu'un nombre soit de la forme 2+x est, dans l'idée, beaucoup plus restrictif que demander une forme 2 fois x, ce qui est dans l'idée beaucoup plus contraignant que 2 puissance x, etc.
Bref... Euh, voilà ! Ca fait une réponse un peu décousue, mais c'est la vie !
Je ne comprends pas ton dernier argument. Tous les entiers naturels sont aussi constructibles par multiplication et par puissance sur d'autres entiers naturels. Tout ce que tu dis, c'est que l'addition est une opération surjective sur l'ensemble des entiers naturels. Mais c'est aussi le cas de la multiplication et de la puissance via l'élément neutre 1, donc je ne vois pas comment tu peux en conclure que l'opération recherchée n'existe pas.
Sylvain POLLET-VILLARD
I
1. Admettons que l’addition est l’itération d’une opération (o). Exemple : 3(o)3 = 3+2.
2. Si 3(o)3=3+2
Alors 3 = 3+1 = 4
3=4
C’est absurde.
D’un point de vue formel, syntaxique, l’addition ne peut pas être l’itération d’une opération.
II
1.Tout les nombres entier naturel ne peuvent pas s’écrire par multiplication de deux entier, ou puissance d’un entier, en dehors du cas trivial de la multiplication par 1.
Exemple 7 = 7x1 = 7^1
2.En dehors de ce cas trivial, par la définition même de l’itération, il existe des nombres qui ne sont pas constructible. L’itération est par définition une opération qui se répète un certain nombre de fois selon un pas précis. J’avance de deux en deux trois fois, j’avance de 1 en 1 4 fois etc. De ce fait si un nombre n’est pas un multiple du pas, alors il ne peut pas être construit par une opération qui est une itération, en dehors du cas trivial d’avancer de Un par Un jusqu’à atteindre ce nombre.
3.Si on considère que l’addition est une itération, du fait de ce que j’ai dis dans le II.2. Alors il doit exister des nombres qui ne sont pas constructible par l’addition, en dehors du cas trivial. Or ce n’est pas le cas tout les nombres sont constructibles par addition. L’addition ne peut pas être l’itération d’une autre opération. Ou alors elle seraient équivalente entre elles
Définissons d'abord un degrés d'opération: tel que l'addition soit le degrés 0, la multiplication le degrés 1, la puissance le degrés 2 etc...
Prenons un x réel
Alors x + x = 2x
x * x = x²
x ^ x = x ↑ 2
x ↑ x = x ↑↑ 2
etc...
On peut remarquer que le chiffre 2 apparaît a chaque fois.
définissons maintenant une opération de degrés -1 que l'on appellera ↓ tel que x↓x = x+2
On peut maintenant définir autant d'opérations que l'on veut: x↓↓x = x↓2 etc ...
Notons maintenant les opérations par leurs degrés.
Exemple: addition = deg(0).
Prenons un y réel.
Donc (x deg(n) y) revient a répéter (x deg(n-1) x) un nombre y de fois.
Exemple : 3↓2 = 3↓↓3↓↓3
Petite remarque: le passage de la multiplication à la puissance nous fait perdre la commutativité (ex: 3^2 et 2^3) donc si on suit se type de raisonnement, dans la toute première opération avant l'addition, il y avait plus de propriétés qui seront perdu dans l'addition. Parmi ces propriété le fait que les nombres étaient nus et fesaient l'amour sans complexe
La curiosité m'a pousse vers la page wiki des puissances iterees de Knuth pendant que j'écoutais la video.
Son introduction présente déjà une idee interessante en reponse a la question posee:
À partir de la fonction successeur, qui permet de construire les entiers naturels par incrémentations successives, l'addition peut ainsi être définie comme une incrémentation itérée :
a+b=a+1+1+1+1+1 +...+1 b exemplaires de fois.
intuitivement, l'addition est une répétition d'incrémentations de valeur 1 mais l'incrémentation étant elle-même une addition, je ne suis pas certain que cela réponde correctement à la question.
La multiplication est bien un édition répétée n fois, comme l'addition est une «incrémentation» répétée n fois, donc ca ne semble pas poser problème ;)
Et avant l'incrémentation, on peut encore remonter ?
L'incrémentation n'est pas une addition. Tu la vois comme tu addition car tu n'a rien d'autre pour la représenter mais ce n'est pas la cas.
Effectivement, mais à même titre que l’addition est une répétition d’incrémentations,
La multiplication est une répétitions d’additions
Alors ta réponse me semble très cohérente
Il faut juste t’imaginer un signe qui signifie, l’incrementation tel que;
3^^3
=3*3*3
=3+3+3+3+3+3+3+3+3
=3~3~3~3~3~3~3~3~3~3~3~3~3~3~3~3~3~3~3~3~3~3~3~3~3~3~3
A ce moment la le 3 perdrait en quelques sorte son sens car peut importe le nombre par lequel on le remplace le résultat de cette suite d’opérations sera toujour egal au nombre de « nombres » utilisé entre chaque signe « ~ »
En fait c’est comme si le signe réduisait le nombre à la valeur de « 1 » et additionnait le suivant (si il y en a un)
Un peu comme un double opération finalement
(Un peu comme la multiplication est une multi operation d’additions )
En fait au meme titre que la multiplication et l’addition, l’addition est la maniere plus « simple » d’exprimer une suite d’additions de « 1 »
Autrement dit dans cet ensemble d’opérations les « nombres » à proprement parler n’existent pas
Tout n’est que 1 ou rien
Haha ca ne vous rapelle pas quelque chose?
Oui cela se rapproche du binaire
Le 3 ou le 6 ont la meme valeur
(La valeur d’avoir une valeur)
Et « rien » n’a aucune valeur (+0) ou ( )
Autrement dit :
L’Incrémentation ne serait qu’une manière plus « longue » d’exprimer une addition de « 1 » n fois au meme titre que l’addition de « n » memes nombres
(X+X+X+X+......)
n’est qu’une manière plus « longue » d’écrire la multiplication de ces nombres par « n » (n*X)
Donc cette interprétation me semble cohérente le seul problème c’est qu’elle change la valeur de nos nombres car elle les « transforment » en « 1 »
Et ça ...
Ça ne vas pas du tout 😂
Ouai mais du coup 5 incrémenté 3 ca fais combien
On peut définit l'addition en itérant l'opération unaire "suivant()":
a + b = suivant(suivant(...suivant(b)))
avec "a" fois l'opération suivant(.). Avec nos notations suivant(n)=n+1, mais attention ca n'est pas une addition. C'est plus primitif que cela, c'est l"opération: donne moi, ou fabrique le suivant. On peut le construire avec des ensembles par exemples sans addition. Uniquement des réunions d'ensemble disjoints. On peut même le construire sans addition sur les entiers avec une simple relation d'ordre "
J'avais pensé à l'opération successeur s(x)=x+1
s^n(x)=x+n
SefJen je suis d'accord avec toi
Le seul inconvénient dans ma proposition c'est que l'opération successeur est unaire alors que l'addition est binaire, ainsi que la multiplication et l'exponentiation.
Mais y’a deja une addition
J'allais dire la même chose, x+n = le Niem successeur de x.
@ Yassine:
L'opération successeur est introduite dans l'arithmétique de Peano, elle a certaines propriétés (injectivité, 0 n'a pas d'antécédent). Et l'addition dans IN est définie par récurrence par rapport à s:
x+0:=x
x+s(y):=s(x+y)
Seulement et je l'ai déjà dit, s est unaire alors que l'addition est binaire.
Je vois beaucoup de gens proposer l'incrémentation de l'unité et après réflexion j'aime beaucoup cette idée. Le problème que je vois et que, pour que l'argument soit valide, il faudrait montrer qu'il est possible de quantifier l'unité en terme de nombre comme pour toutes les autres opérations. Je ne suis pas mathématicien, mais selon moi ça marche.
Par exemple on veut compter le nombre de polygones dans un dessin. On compte 3 carrés + 5 pentagones + 2 triangles = 1 polygone + 1 polygone + 1 polygone + 1 polygone + 1 polygone + 1 polygone + 1 polygone + 1 polygone + 1 polygone + 1 polygone = 10 polygones. Pour que l'incrémentation soit une opération au même titre que les autres, il faudrait pouvoir ajouter une nouvelle quantité qui peut être différente pour chaque unité. Dans ce cas-ci prenons le nombre de cotés du polygone. Donc dans notre problème mathématique on a comme unité le polygone puisqu'on veut en compter la quantité, le nombre de côtés ne nous intéresse pas vraiment.
Je ne sais pas comment on appelle ça, mais on peut ensuite modifier notre point de vue et ne plus considérer les polygones comme des unités, mais comme des regroupement de segments et donc les côtés deviendraient les unités, notre nouvelle tache étant de compter le nombre de côtés. On compte 3 * 4 côtés + 5 * 5 côtés + 2 * 3 côtés = 4 côtés + 4 côtés + 4 côtés + 5 côtés + 5 côtés + 5 côtés + 5 côtés + 5 côtés + 5 côtés + 3 côtés + 3 côtés = 1 côté + 1 côté + 1 côté + 1 côté + 1 côté + 1 côté + 1 côté + 1 côté + 1 côté + 1 côté + 1 côté + 1 côté + 1 côté + 1 côté + 1 côté + 1 côté + 1 côté + 1 côté + 1 côté + 1 côté + 1 côté + 1 côté + 1 côté + 1 côté + 1 côté + 1 côté + 1 côté + 1 côté + 1 côté + 1 côté + 1 côté + 1 côté + 1 côté + 1 côté + 1 côté + 1 côté + 1 côté + 1 côté + 1 côté + 1 côté + 1 côté + 1 côté + 1 côté = 43 côtés
Avec cette espèce de translation qu'on a fait, le côté est devenu l'unité et le polygone n'est plus qu'un regroupement de côtés. Donc maintenant on additionne les côtés et on multiple par le nombre de polygones qui ont cette quantité de côtés. En d'autre termes, l'incrémentation est devenue l'addition d'une quantité et l'addition est devenue la multiplication.
J'ai vraiment de la difficulté à expliquer mon idée et je viens de me souvenir du coup pourquoi je n'ai pas continué mes études en maths. haha. ^^
Mon idée: Avant l'addition il pourrait y avoir "la disposition". Une opération qui consiste à tout simplement décider quoi faire et avec quoi.
deaconfrost1832 Ce n'est plus une oppération
Bonjour,
Alors je ne suis pas une grande fan des mathématiques mais tes vidéos (et la question que tu poses) sont intéressantes.
Du coup je fais quelques recherches sur l'histoire des mathématiques. Avant l'addition et les systèmes d'association il y a tout d'abord l'observation. Les anciens systèmes de mathématique en Egypte Ancienne, en Chine avec le boulier etla découverte plus récente des Quipu au Pérou valent le coup qu'on se penchent dessus. Les anciens péruviens ont mis au point des "conventions" de type de nœud et des couleurs différentes pour désigner les dizaines, centaines, etc.
Et je me pose une autre question, comment se fait-il que dans différentes parties du monde qui ne communiquaient pas forcément ensemble avant, les civilisations ont souvent un système de mathématique de base 10 ?
Pourquoi ce n'est pas l'incrementation. en faite l'incrementation n'est qu'un cas particulier de l'addition (+1). Alors que dans l'énoncé c'est l'inverse l'addition n'est pas un cas particulier de multiplication c'est la multiplication qui est un cas particulier d'addition. Et du coup il faudrait trouvé une opération dont l'addition est un cas particulier.
Bon enfin je pense
en faite je sais pas ba si mais nan ;@
Je suis d'accord avec toi et c'est pour cela que j'ai proposé plus bas "l'énumération" qui est plus générale que l'addition
Mais du coup tu peux considérer l’addition comme un cas particulier de la multiplication non ?
Salut Mickael, pourrais-tu faire un épisode spécial pour expliquer comment f(x) le classement Fifa stp ? Je suis sûr que cela intéresserais beaucoup de monde 😁
Bonne continuation
Bon... Moi je vais attendre les résultats !!! Voilà ! Voilà ! Voilà !
UN LIIIIIIVE!!!!😍
Voici mon point de vue, je ne suis qu'en terminale S donc je ne pense pas qu'il soit aussi bien que beaucoup des d'autres commentaires :
J'appelle ? l'opération qui est avant l'addition.
Par définition : a*b = b+b+...+b, les termes b sont répétés a fois. De plus par définition : b^a = b*b*...*b, les facteurs b sont répétés a fois. Je pense donc qu'il faut chercher ? tel que a+b = b?b?...?b où les nombres b sont répétés a fois. Comme l'opération n'est pas forcément commutative alors il faut aussi chercher ? tel que a+b = a?a?...?a où les nombres a sont répétés b fois.
Si la première égalité est vraie, alors 1+2 = 2 (2 est répété 1 fois) , faux.
Si la seconde égalité est vraie, alors 1+2 = 1?1 (1 est répété 2 fois) , possible.
Si la seconde égalité est vraie, alors 2+1 = 2 (2 est répété 1 fois) , faux.
Donc les deux égalités ne sont pas vraies pour tous les nombres. Je pense que cette opération n'existe pas.
Très belle réponse. Ce point d'interrogation; c'est la réponse et ça veut dire choisir un nombre. Ce qu'on peut faire de plus simple comme opération avant l'addition, c'est choisir un nombre, avoir une variable "?" à sa disposition.
- Puissances : répéter la multiplication d'un nombre par lui- même (pas de choix).
- Multiplication : répéter l'addition d'un nombre par un autre (peu de choix).
- Addition : répéter le choix de nombres (beaucoup de choix).
- Variable : faire simplement le choix de nombres (choix illimité).
-
Merci
Bonne réflexion, mais malheureusement erronée. Tu as omis le fait que les opérations n'ont pas le même élément neutre. L'élément neutre, dans le cas d'un ensemble de nombres, est le nombre qui laisse les autres nombres inchangés lorsque composés avec une opération. Donc l'élément neutre de l'addition est 0 car x+0 = x, tandis que l’élément neutre de la multiplication et de la puissance est 1 car x*1 = x et x^1 = x. Donc on voit bien que l'élément neutre peut changer selon l'opération, et ce dès l'énoncé du problème. Et on ne connaît pas l'élément neutre de l'opération qu'il faut chercher avant l'addition. Dans tes égalités, tu as présupposé que l'élément neutre de l'addition était 1 alors qu'il s'agit de zéro. Donc ta première égalité est en réalité 0 + 2 = (2 ? 2)... 0 fois. Ce qui ne nous avance pas à grand chose :)
Il faut considérer l'égalité :
a+b = ((a?a)?a)?... (a est présent *b+1* fois, ? est présent *b* fois)
(pour la multiplication, mise à la puissance etc, on fait opérer une fois de moins)
Ceci nous donne bien :
a+0 = a (on fait opérer ? 0 fois)
(et j'ai au moins deux opérateurs vérifiant ceci ; j'ai répondu plus haut pour développer)
Étant du domaine de l'informatique, je pense à l'incrémentation (Je vois énormément de personnes qui y ont pensé aussi) qui consiste seulement à ajouter 1 au nombre, l'addition serai donc une succession d'incrémentations. Ce qui suit exactement le même schéma de la multiplication qui est une succession d'addition.
Si 2×3 = 2+2+2
Si on imagine que '?' est le symbole de notre opération alors
5+3 = 5?5?5 = 8
Et donc si je vous dis
4?4?4?4 vous me dîtes que ça fait 4+4 = 8.
C'est un bon début nan ?
Maintenant essayons autre chose :
5 = 2+3 = 2?2?2
Et 5 = 3+2 = 3?3
Donc 2?2?2 = 3?3
Maintenant 4+2 = 4×(3/2) = 6 et 4*2 = 4^(3/2) = 8
Donc 4?2 = 4+(3/2) = 11/2 = 5,5
Tiens, juste quelques secondes après toi (commentaire juste avant le tien si on tri les commentaires par "les plus récents d'abord", j'ai la même conclusion pour un début de réflexion. Je cherche des éléments dans ce sens, n'hésite pas à partager tes réflexions.
M 42 Oui c'est que ya un binz mais ton résultat me semble plus crédible 4?2 = 5
Donc 5?3 = (3+2)?3 = (3?3)?3 = 3+3 = 6
6?4 = (4+2)?4 = (4?4)?4 = 4+3 = 7
M 42
Avant d'affirmer que 2?(2?2)=2?2?2 tu devrais démontrer que c'est vrai...
Pour l'addition
2+(2+2)=2+2+2
Pour la multiplication
2×(2×2)=2×2×2
Pour les puissances
2^(2^2)=2^2^2
Donc pourquoi pas ?
J'adorerais que tu fasses live !
*Chiffre* + *chiffre* = addition.
Avant le *chiffre*, il faut compter celui ci. Pour le compter, il faut additionner le nombre d'unité l’incorporant.
Donc, peut-être que l'opération venant avant celui de l'addition est le comptage.
Mais non, puisque celui ci est une addition.
Donc, avant cela, pour moi, il y a :
*Chiffre* qui ne peut être que 1, car sinon, il y aurait addition....
Raaaah trop dur ta question.
Imaginons que l'addition serait l'opération n°1 et que la multiplication serait l'opération n°2 et la puissance la n°3 : l'objectif serait de trouver l'opération n°0. Moi je pense que la soustraction serait l'opération n°-1 et la division la n°-2 donc si on suit ce résonnement l'opération n °0 ne ferait rien et laisserait le nombre tel qu'il est.
Comme x1 et +0 mais avec un autre signe? Y~X=Y par exemple?
Pika chu c'est à y réfléchir faudra percer sur ce point là
Ç est une vision intéressante des choses mais il me semble que la division n est pas une répétition de soustraction si on considère que la " récurrence" définissant les opérations suive le sens inverse pour les opérations négatives donc je ne crois pas que ça soit un modèle valide
Je pense que cela est une approche correct.
Starcade c'est intéressant bien que je ne soit pas d'accord si l'addition est l'opération n°1 la soustraction est également une opération n°1 car si 10-8=2 revient à écrire 10 + (-8)=2 c'est donc bien une addition
On pourrait appeler ça, pour se la péter :D Le dénombrement unitaire.
En gros, chaque nombre est un ensemble d'unités ajoutées, mais cela pose un souci, il s'agit d'une addition :p À moins qu'on feinte et qu'on crée un symbole pour faire genre (oui, je sais, c'est pas rigoureux ^^)
Bref:
2*2 = 2+2 = 1:1:1:1 ;) Et boom, tout peut s'écrire en unités maintenant :D
On peut ainsi trouver que 1:1:1:1 peut être plusieurs choses 1+1+1+1, 2+2, 2+1+1, 1+1+2 ..
Bon et après ... on atterrit sur le choix conscient de choisir de prendre ou d'ignorer l'unité xD
Après tout quand on énumère, on pourrait très bien ignorer un élément (pour x raison).
Donc 2*2 = 2+2 = 1:1:1:1 = ø?ø?ø?ø? où le choix conscient de prendre chaque unité est total. On peut ainsi trouver que
ø?ø?ø?ø? selon les cas peut être plusieurs choses : 1:1:1:1, 1:1:1:0 ... 0:0:0:0, chaque occurrence d'interprétations ayant plusieurs interprétations comme vu plus haut.
Et après, je vois plus ^^ Le signal est coupé, je ne reçois plus rien.
log(exp(x)+exp(y))
x+y
exp(log(x)+log(x))
exp(exp(log(log(x))+log(log(x))))
etc
Qu'en pensez vous? :DD
Hugo Lecourt oui.
Non car dans ton calcul tu utilises l'addition
Explique moi comment tu passes de (log(exp(x)+exp(y)) = x+y ? Plutôt (log(e(x)*e(y)) non ?
Pour definir la multiplication, on utilise bien l'addition ^^
Pourquoi pas pour l'inverse?
Plutot une maniere sympa d'aborder le problemes, mais tu fais des additions, et attention, exp est reciproque avec ln, et pas log
Je vois que l'incrémentation est beaucoup proposée, mais ce n'est pas exactement dans la continuité de puissance, multiplication et addition. Si on veut une opération binaire comme les autres, la continuité ressemble à ça :
Si x^3 = x*x*x et x*3 = x+x+x, alors x+3 = x?x?x.
Pour l'instant, je ne peux la définir que quand les deux opérandes sont égales (x?x = x+2), ou alors quand le premier est au moins égale au second plus 2 (si x>y+1, x?y = x+1).
Cette opération n'est pas distributive, il semble qu'elle puisse être commutative, ce qui permet d'élargir la définition à x
Heu, l'opération x•x•...•x = x+n avec n le nombre de x, par exemple x•x•x•x•x=x+5
...
Pas brillant.
Comment faites vous x+0 avec votre méthode ?
comme x^0 ou x*0
Je ne suis pas sur de comprendre. Pouvez-vous expliquer d'avantage ? Voici un de mes problème: quelque-soit x, x*0=0 et x^0=1. Bref, x*0 et x^0 ne dépendent pas de la valeur de x. Cela fait toujours 0 et 1. Pourtant on voit bien que x+0 dépend du choix de x. Un autre problème serait de se demander comment cela fonctionne avec x+0.5 par exemple.
Même x+1 ne marche pas en faite. Puisque défini comme ça, on a x = x + 1
n serait le nombre de • pas le nombre de x
Personnellement, j'estime que l'addition n'est pas la 1ère opération. Pour moi, la 1ère opération, c'est la multiplication par 2. En effet, elle se retrouve au plus bas niveau de la vie : la division cellulaire (le terme division est selon moi malvenu, mais bon...). Tout organisme multicellulaire est le résultat de divisions successives à partir d'une seule cellule, aussi appelée cellule-oeuf. Mais sachant que De A * 2, on passe à A + A, en découle par la suite A + B. Mais A * 2 peut également se généraliser en A * B, on a donc 2 branches distinctes d'évolution des opérations, partant de A * 2.
Désolé si j'ai du mal à exprimer ça de façon claire, je fais ce que je peux ! :P
Quoiqu'il en soit, merci pour cette nouvelle vidéo, j'apprécie fortement le rapprochement entre mathématiques et philosophie que j'y sens poindre. ;)
Avant l'addition, il n'y a rien.
La multiplication n'est pas une répétition d'addition car 5,4*4,5 tu veux répéter ton addition comment ?
Bah tu le répètes 4,5 fois
Tu peux sauter 4,5 fois ? Bah non
À cloche-pied ça compte ?
En essayant de trouver une decomposition tu peux te ramener à une forme n * x avec n naturel et x réel (et * la multiplication)
on parle de nombres entiers sinon les puissances ne sont pas non plus des répétitions mais des exponentielles de logarithmes
On pourrait aussi poser un autre question : est-ce qu'il y a une opération entre l'addition et la multiplication ?
Si addition = 0 et multiplication = 1, est-ce qu'il y a une opération qui vaut 0.5 ?
[Spoiler]
C'est l'opérateur successeur. Succ(0)=1 et Succ(n)=n+1 pour les autres entiers. De là, a+b = Succ(Succ(... b)) avec a opérateurs Succ.
Quoi d'autres ? Est-ce qu'il y a d'autres façons de le faire ?
Y-a-t'il moyen de compléter votre réponse pour additionner des réels et pas seulement des entiers ?
moino max
En utilisant la mème méthode que avec la multiplication : quand on fait 5*0.5, on fait la moitié d'une addition de 5.
Et au dessus, 5^0.5, c'est une demi multiplication de 5.
Pour les rationnels, c'est assez simple à formalisé. pour n'importe quelle réel, je ne sais pas faire.
J'ai un problème avec votre formulation: "la moité d'une addition". Pour définir le concept de moitié, il faut avoir recours à la multiplication. On se sert donc d'une loi construite à partir de la notre pour la construire, c'est embarrassant... Maintenant, je comprend que le choix du successeur est libre, on peut choisir n’importe-quel e>0 et définir succ(x)=x+e. Ainsi, cela fonctionne même pour des réels.
C'est en effet plus une fonction réciproque qu'on utilise qu'une moitié d'opération pour le 9^0.5=3, en réalité on utilise la fonction réciproque de la fonction carrée. Pour 5*(1/2) c'est la fonction inverse... Mais je ne pense pas que ça aboutira à quelque chose
On peut généraliser les puissances itérées de Knuth pour n
Mon hypothèse ! Classifier les chiffres et nombres en catégorie pourrais être une forme d’opération pré-addition.
Bonjour,
Je précise que je ne suis pas calée en mathématique mais je propose ma pensée,
Alors au début les hommes ont du définir des notions de "rien" ou de "il y en à" par exemple "il n'y à pas d'arbre" ou "il y à des arbres" ce qui correspond en chiffres à 0 ou "pas zéro" et ensuite différencier le 1 de plusieurs : "il y à un arbre" ou il y à "plusieurs arbres" l'unité à du être définie avant tous les autres nombres.
La première "opération" serait peut être la comparaison de quantité ou longueurs (avant l'apparition des chiffres). Par exemple on met 2 batons à côté l'un de l'autre et on dit celui là est plus grand ou plus petit que l'autre ou égal (sans avoir besoin de les mesurer en chiffres) , pareil pour les quantités on met 2 morceaux de viandes à côté et on voit lequel est le plus gros ou encore 2 tas de grains on peut dire visuellement il y en à plus dans ce tas que dans l'autre ou autant. Je ne sais pas si c'est considéré comme une opération.
Et enfin viendrait l'énumération des nombres en tant que tel , mais l'énumération après le 1 n'est elle pas déjà une opération : la multiplication ? Car quand on à du compter au début c'était pour compter des choses réèlles , par exemple : j'ai 2 batons , j'ai 3 batons ça ne voudrait pas dire : j'ai 2 x un baton , j'ai 3 x un baton ect
Voilà c'est avis n'a aucun fondement mathématique c'est juste mon ressenti, bonne réflexion à tous ^^
Moi je suis pas prof mais j'adore tes vidéo!!!
et pour se qui est se que je pense de se qu'il y a avant l'adition je les mis en réponse.
Avant l'adition: une suite de nombre. Il faut une base pour des calculs, non? Puis juste avant celle-ci il y aurait les soustractions. Comme ci les calculs étaient juste des chiffres, il y en aurait une infinités, possible de moins l'infini à plus l'infini, bref comme une suite de chiffres.
Pourriez-vous faire une vidéo sur les fonctions svp
J'ai trouvé quelques idées et joué avec, mais je n'ai pas les compétences pour aller beaucoup plus loin dans la réflexion. Est-il possible de définir la multiplication à partir de la puissance ? Et l'addition à partir de la multiplication ? Car c'est bien ce que l'on essaie de faire, non ?
Appelons "J" l'opération recherchée, et travaillons avec des nombres entiers naturels pour des soucis de simplification :
nJn = n+2 mais chaque opération Jn successive ajoute 1 (par exemple 3+2 = 3J3 = 5 ; 3+3 = 3J3J3 = 6 ; 3+4 = 3J3J3J3 = 7 ; etc...)
Pour chaque n+m nous avons une égalité entre les suites d'opérations "nJnJn ... Jn" (tel que "m" nombres n) et "mJmJm ... Jm" (tel que "n" nombres m) (nota : on dit arguments ?)
Par exemple 3+4 = 3J3J3J3 = 4J4J4 = 7
En revanche pour les valeurs de nJm où n et m sont différents, je ne sais même pas par quel bout prendre le problème, je n'ai non plus aucune idée de ce que peuvent donner nJ1 ou nJ0
J'ai trouvé rigolo que 2^2 = 2x2 = 2+2 = 2J2 = 4
(edit : peut-être qu'en faisant un graphique...)
Dans l'arithmétique de Peano le suivant d'un entier x est défini ainsi : suiv(x) = min{n | n > x} (cela correspond à x+1)
En appelant l'opération o en peut poser xoy = max(suiv(x), suiv(y))
1- cela donne une opération commutative
2- vérification :
On a bien
xox = max(suiv(x), suiv(x)) = x+1
(xox)ox = (x+1)ox = max(suiv(x+1)), suiv(x)) = x+2
...
On peut montrer par récurrence que x+y = xo...ox (avec y fois o)
3- Cependant o n'est pas associative en effet
(xox)o(xox) = (x+1)o(x+1) = x+2
(((xox)ox)ox = ((x+1)ox)ox = (x+2)ox = x+3
donc il faut bien faire attention au parenthèsage.
Et maintenant que tu l'as défini pour l'addition, serais-tu capable de calculer les soustractions 2 - 3 ou 4 - 5 par exemple ?
J'aime bien l'incrémentation, passer au rang suivant et l'addition consisterait à faire un certain nombre d'incrémentations. Ca fonctionne plutôt bien dans les entiers mais quand on passe les décimaux çà devient moins cool dans ma tête
Instinctivement, je serais remonté jusqu'aux origines de l'addition (avec la théorie des ensembles, la définition axiomatique de l'opérateur '+' et la définition des nombres).
Mais j'aime beaucoup le raisonnement de *RomLeSteak* , je vais donc le développer ici:
*Pour* *reprendre* *son* *raisonnement,* *et* *l'expliquer* *à* *ceux* *qui* *ont* *peut-être* *mal* *compris* :
-addition + : 1 ligne : 1 dimension -> 1 + 1 = 2 (le résultat '2' est d'ordre 1, donc dans la dimension 1 et cela peut se représenter par une ligne de longueur 2).
-multiplication * : 1 surface : 2 dimensions -> 1*1 = 1 (sauf que là le résultat '1' n'est pas un résultat d'ordre 1, c'est un résultat d'ordre 2 ! Ce qui correspond bien à une surface: celle d'un carré de coté unitaire valant 1).
-puissance ^ : 1 volume : 3 dimensions -> 1^1 (résultat d'ordre 3, cube d'arête de longueur unitaire 1)
-puissance itérée de Knuth que l'on notera ici K(n): 1 hypervolume : n dimensions -> 1K(n)1 = 1 (résultat d'ordre n, d'un hyper volume "d'arête" 1)
*Allons* *plus* *loin* :
On peut remarquer que 1K(n)1 = 1K(n-1)1 pour n > 1 avec n appartenant aux entiers. Visiblement il se passe une chose bizarre à n=1.
*De manière plus générale*:
C'est dur à écrire, j'espère que je me ferais comprendre: Pour n>1 avec n appartenant aux entiers:
aK(n)b = "ajouter 'b' arguments 'a' séparé de n moins une fois l'opérateur K(n-1) et finir par K(n-1)1 sauf pour K(1)"
*Exemple* *avec* *K(1)* *=* *'+'* *;* *K(2)* *=* *'*';* *K(3)* *=* *^* *etc..* :
3K(4)2 = (3K(3)3) K(3) 1 = 3K(2)3K(2)3 = ((3K(1)3K(1)3) K(1) (3K(1)3K(1)3) K(1) (3K(1)3K(1)3)) K(1) ((3K(1)3K(1)3) K(1) (3K(1)3K(1)3) K(1) (3K(1)3K(1)3)) K(1) ((3K(1)3K(1)3) K(1) (3K(1)3K(1)3) K(1) (3K(1)3K(1)3))
*En* *plus* *lisible* :
3K(4)2 = 3^3 = (3*3)*3 = ((3+3+3)+(3+3+3)+(3+3+3)) + ((3+3+3)+(3+3+3)+(3+3+3)) + ((3+3+3)+(3+3+3)+(3+3+3)) ( = 27 ;-) )
*En* *décomposant* *un* *peu* *plus* :
3K(4)2 = (3^3)^1 -> on place *deux* '3' et on ajoute l'opérateur '^' entre (qui correspond à K(n-1) avec n=4) et on finit par K(n-1)1
(3^3)^1 = (3^3) * 1 -> on place *un* '(3^3)' et on ajoute l'opérateur '*' entre (qui correspond à K(n-2) avec n=4) et on finit par K(n-2)1
(3^3)*1= ((3*3*3) *1) *1 -> on utilise le même principe pour transformer 3^3 en une décomposition avec l'opération '*'
On pourrait écrire "((3*3*3) *1) *1 = ((3*3*3) *1) + 1" or on a dit qu'il y avait un truc bizarre pour K(1), donc la méthode ne fonctionne pas pour des ordres aussi petits (pourquoi ?).
(D'ailleurs 3K(5)2 = (3K(4)3) K(4)1 )
*Du* *coup* *pour* *faire* *4x3* *il* *faut* *faire* :
Mettre *trois* fois le chiffre 4 (c'est à dire "4 4 4")
PUIS insérer l'opérateur K(n-1) avec n ici égale à 2 (c'est à dire "4 + 4 +4")
PUIS ajouter K(n-1) 1 ( c'est à dire "+ 1" )
OR on a dit que K(1) échappait à cette règle si l'on veut que notre méthode marche.
POURQUOI ajoute-t-on 0 au lieu de 1 pour K(1) ?
Pour tenter de répondre, partons du principe que cette méthode marche, c'est à dire que la règle s'applique pour tout entier n différent de 1.
Regardons ce qu'il se passe pour n = 0
Mais dans la question posée par Mickaël Launay on cherche ce qui a 'zéro dimension'.
Appelons cette hypothétique opération K(0).
*Faisons* *des* *tests* *empiriques* *pour* *se* *donner* *une* *idée* :
3 K(1) 2 K(1) 0 = 5 = 3 K(0) 3 K(0) 1
4 K(1) 3 K(1) 0 = 7 = 4 K(0) 4 K(0) 4 K(0) 1
4 K(1) 2 K(1) 0 = 6 = 4 K(0) 4 K(0) 1
98 K(1) 3 K(1) 0 = 101 =98 K(0) 98 K(0) 98 K(0) 1
Bon. Je ne comprends pas. Ai-je fais une erreur de raisonnement ? J'ai définit des règles certes non conventionnelles, mais il ne me semble pas avoir fait d'erreur logique.
Y a-t-il une relation à trouver entre le nombre de fois qu'il faut écrire l'opération K(n-1) en fonction de K(n), a et b ?
Plus généralement, existe-il une relation où l'on pourrait déduire le nombre de fois il faut écrire K(1) en fonction de K(n), a et b ?
J'ai poussé le raisonnement assez loin pour mon petit niveau en math. Mais là je sèche ! Des idées ?
Je suis sous linux, quelqu'un peu me dire si sous windows on voit bien les titres de mes parties en gras ? J'ai peur que sous windows ça n'affiche que des étoiles dégueulasses partout ! (merci d'avance aux courageux qui liront ma théorie perchée)
Pour moi, cette question a effectivement plusieurs réponse, suivant l'angle avec lequel on souhaite y répondre :
- L'informaticien : L'incrémentation. C'est un système utilisé pour le codage, si la multiplication à un opérateur de + que l'addition, l'incrémentation en à 1 de moins. (en gros c'est un +1 automatique, mais pas sous forme d'addition).
- L'historien : Le comptage. L'homme, avant de savoir calculer, à du apprendre a compter. On peux donc imaginer que l'étape avant l'addition est simplement l'énumération de chaque nombre, par exemple dans l'ordre (1,2,3,4....).
- Le philosophe (sans la barbe) : Il n'y a pas de réponse à cette question, puisque l'addition est le corps naturel primaire. Comme "l'atome" étymologique est la base de toute chose physique (A = sans + Tome = Couper -- donc : ne peut pas être couper). Oui l'addition est un peu l'atome de l'arithmétique.
- Le Mathématicien : Il y a autant d'état avant l'addition que après :
N -> 1 facteur = (incrémentation / comptage / ...)
N -> 2 facteurs = Addition
N -> 3 facteurs = Multiplication
N -> 4 facteurs = Puissance
On à donc aussi
N -> 0 facteur
N -> -1 facteur
N -> -2 facteur
etc... C'est juste un peu dur à interpréter.
- Le Sociologue : Hein ?
Vous en avez d'autre ?
Minocaro
Jolie réponse !!
Maintenant peut on inventer une opération antérieure à l’addition (comme on a découvert que l’atome se divisait en 2 parties l’électron et le noyau 😉) ?
- Le Musicien : pour nous musiciens 3+3=5 (do-mi-sol ) 3x3=7 (do-mi-sol-si)
Où peux-t-on trouver le live du debrief ? merci 😊
comme beaucoup ici je pense à l'incrémentation, mais en poussant un peu plus loin le raisonnement, peut-on considérer le booléen (oui/non) comme précurseur à celle-ci?
Je m'étais déjà posé cette question il y a quelques temps ! Bien sur d'un point de vue arithmétique il y a Succ(n) = n+1 mais ce n'est pas une opération... On peut prendre un point de vue plus algébrique en s'intéressant aux morphismes de groupes dans (ℝ,+) et (ℝ*,*)
On peut définir la multiplication par a*b = exp(ln(a) + ln(b))
Alors en notant (#0 = +), (#1 = *) on peut définir de manière générale par récurrence les opérations #k par #0 = + et
∀k∈ℤ, ∀(a,b)∈(ℝ+*)²,
a #(k+1) b = exp(ln(a) #k ln(b))
et donc
a #(k-1) b = ln(exp(a) #k exp(b))
l'opération avant l'addition serait alors a #(-1) b = ln(exp(a) + exp(b))
On peut remarquer que #2 est alors l'équivalent commutatif de la puissance.
On pourrait regarder si les #k définissent des structures de groupe, quitte à considérer ℝ∪{±∞} pour avoir un neutre. Après ces opérations ne sont pas très sympa, dans le sens où on ne pourra pas les faire de tête...