UN CERCLE DANS UN HEXAGONE 🤔
ฝัง
- เผยแพร่เมื่อ 16 ก.ย. 2024
- 🎯 Muscle ton cerveau en faisant de ton quotidien un exercice de maths que tu sauras résoudre 💪 : hedacademy.fr
Lien vers la vidéo évoquée: démonstration de la hauteur d'un triangle équilatéral : ⬇️⬇️
• Combien vaut la hauteur ?
Nouvelle question de géométrie dans laquelle il faut déterminer l'aire d'un disque inscrit dans un hexagone régulier de côté 8 cm
On peut faire autrement :
On sait que l'angle d'un hexagone régulier vaut 120°.
On voit aussi que le diamètre du cercle est égal à la distance entre le point en haut à gauche de l'hexagone, et le point en bas à gauche de l'hexagone
On peut ainsi, appliquer le théorème d'Al Kashi (ou théorème de Pythagore généralisé). On a donc :
D²=8²+8²-2*8*8*cos(120)
D²=192
D=√192
D=8√3
Donc le rayon vaut :
R=D/2
R=4√3
Donc, l'aire du cercle vaut :
A=π*R²
A=π*(4√3)²
A=48π
Donc, l'aire du cercle vaut 48π
J'étais aussi partie sur cette voie.
... " le point en haut à gauche de l'hexagone, et le point en bas à gauche de l'hexagone" . ??? 🤔 🤔 🤔
Tu t'emmerdes un peu avec al kashi, et si tu veux rester programme collège, reste sur pythagore et la hauteur d'un triangle équilatéral : r² = 8²- 4²...
Le triangle est évidemment équilatéral par symétrie de rotation.
@@armand4226 un peu mal dit, il veut dire si tu numérotes les sommets 1,2,3,4,5 et 6, de prendre 1et 3 par exemple.
@@42ArthurDent42 Ah oui !! Merci.
J'avais compris, mais pas vu que ça faisait le diamètre.
J'attends avec impatience l'aire du clonage, il faudrait alors vous multiplier de façons à ce que tous les Lycées, Collèges aient un prof comme vous... Encore Bravo pour cette pédagogie très constructive qui donne envie d'apprendre. Mes enfants se sont abonnés à vos cours très riches d'enseignements, vous dégagez une telle passion que ça en devient entrainant pour vos abonnés...
C’est adorable 😍😍 merci pour ces gentils mots.
Oui je suis à chaque fois ravi d’apprendre que des personnes suivent régulièrement et progressent avec le contenu. C’est à la fois gratifiant et motivant pour faire plus.
Tu m'as vraiment fait aimer les mathématiques.
Je te souhaite la santé pour toujours
Un demi triangle équilatéral, Pythagore, r² c'est le carré de l'hyphoténuse - carré du troisième coté, donc 64-16=48. Aire du disque 48π.
même raisonnement pour moi, je pense que c'était plus rapide que la méthode en vidéo
La meilleure chaîne TH-cam mérite tout le soutien 💙
Bonjour Monsieur, merci pour vos vidéos que me rafraîchissent un peu mes connaissances :)
Sans retenir forcément la formule de la hauteur d'un triangle équilatéral, comme il nous faut r^2, Pythagore nous donnait la réponse immédiatement : 8^2-4^2 et plus qu'à multiplier par pi :)
Autre solution: 1/2 angle = 60/2= 30 degrés, et le rayon est égal à 8 cos30
Soit 8 x racine(3/2)
Puis pi x r carré
J'ai fait pareil que vous. C'était plus rapide que se triturer la tête avec les propriétés du triangle équilatéral.
Il manque l'unité ! - 2 points ! 😁
C'était bien la peine de faire une vidéo sur le fait de s'arrêter à temps. On n'a ni besoin de calculer r, si connaitre la propriété h=a√3/2.
Si l'hexagone est régulier alors les triangles sont équilatéraux. En posant h la hauteur des triangles, a²=h²+(a/2)², donc h²=a²-(a/2)². Or, r=h, puisque le cercle est inscrit, donc r²=h²=a²-(a/2)²=8²-4² =48. Donc A=πr²=48π
exactement j'ai pensé aussi à la dernière vidéo : l'inconnue est R², pas R. Beaucoup plus rapide de passer par Pythagore
👏🏼👏🏼 pas mal, je ne l’avais pas vu comme ça. Application directe des vidéos 😅
Je suis tellement fan des résultats sur le triangle équilatéral que j’essaie de les mettre en avant autant que possible
GG pour la démonstration, par contre, petit complément : tu n'auras pas tous les points !! Il manque le "cm²" après la réponse !
Sauf erreur de ma part, on ne met pas l'unité à la fin du calcul, mais dans la phrase de conclusion. 😋
@@Zamburger OK j'avoue !
@@Zamburger certes mais quoi qu'il en soit, on doit préciser l'unité quelque part.
La rigueur, c’est important !
En 6e j’avais une prof encore plus enthousiaste que vous, jeune, mais je ne l’ai eut qu’une seule année. Mais je suis sûr qu’enfant j’aurais été tout aussi heureux de vous avoir comme prof !!!!
Vous avez le don de transformer un problème en un « jeu » en démystifiant la complexité et ça c’est très fort.
C’est souvent ce qui a manqué à mes profs, même si j’ai bien aimé les maths tout au long de ma scolarité.
Bonjour hedacademy, merci de nous apporter votre savoir et votre connaissance, vous expliquer clairement ce qui est très bien et si étant jeune j'avais eu un professeur de mathématique comme vous je pense que ma voie aurait été autre, donc merci pour les jeunes qui vous regardent 👍
Avec plaisir. Merci pour ce message 😊😊
Vous êtes vraiment extraordinaire !
Vous n'êtes décidément pas qu'un mathématicien : vous êtes aussi et surtout un alchimiste. Si les mathématiques sont comme du plomb pour de nombreux élèves, vous maitriser l'art de sublimer la discipline en or. S'il n'existe pas de prix Nobel pour les mathématiques, on devrait en créer un pour l'enseignement. Nul doute que vous ne tarderiez pas à être récompensé. Vos vidéos ludiques sont tout simplement passionnantes !
sans connaitre la hauteur d'un triangle équilatéral de tête on a un côté à 8 l'autre à 4 et un coup de Pythagore nous donne h² = 8²-4² = 48 (référence à la dernière vidéo il faut savoir s’arrêter a temps ;) ) ça nous donne la hauteur² soit le rayon² qu'il faut multiplier par pi pour avoir l'aire. l'astuce pour moi étant de ne pas chercher r mais bien r² !
Balaise. J’adore. Ça fait 30 ans que j’ai pas touché à ça. Mais c tellement ludique et instructif. J’en profite pour me remettre à jour et aider mes enfants du coup
Vraiment une pédagogie qui devrait s'appliquer partout. Tout est tellement clair et en même temps dans la bonne humeur.que n 'ai je eu un tel prof cela m 'aurait assurément fait aimer les maths .bravo et bonne continuation
Vous êtes un prof qu' on aurait tous rêvé d'avoir. Dans la bonne humeur, et très clair. Génial ! Continuez de grâce
😍 merci
alors personnellement j'ai cherché non pas R, mais R². Ça tombe bien car Pythagore nous le donne : 8²=4²+R² d'ou R²=48. Il vient l'aire A = 48 pi
J'ai fait pareil 😁
Oui c’est bien la meilleure façon 👍
Pareil, c'est beaucoup plus évident de passer par Pythagore. Pourquoi s'embêter avec l'histoire des 60° et du a√3/2, c'est bien trop compliqué comme explication.
faut quand même passer par cosinus pour trouver le 4 si tu utilise pas sa méthode
@@cronos351 le triangle rectangle choisit est celui à gauche du tableau , la moitié du triangle équilatéral , donc avec un côté de moitié de a le côté de l’heaxagone , soit 4
Pas besoin de connaître la formule de la hauteur d'un triangle équilatéral puisque ce rayon est juste Le grand côté dun triangle rectangle dont l'hypoténuse vaut 8 et le petit côté 4 , soit √(48).
Formidable, et surtout très pédagogue. C'est un plaisir de te suivre depuis le Sénégal.
Le problème actuellement dans l'hexagone... c'est qu'il n'est plus regulier du tout !!!! Du coup y'a plus rien qui fonctionne correctement !!!
Plus de régularité sous aucun angle ...😭
Merci Maitre Heda!🙏😀🙏
👍😎🏁🐆
excellent, j'adore.
j'adore mais je déplore ça allait de soi !!!!
@@jeffh.8251 ✋😂👍
L'hexagone régulier est composé de 6 triangles equilaterals dont la hauteur égale le rayon (r) du cercle.
La hauteur de chaque triangle equilateral = ✓(8x8 - 4x4) = ✓(64 - 16) = ✓48
L'aire du cercle = π x r² = 48 π
8 ça fait beaucoup, c'est vrai qu'avec l'inflation en ce moment tout augmente.
@@martin.68 C'est une faute de frappe. C'est corrigé. Merci !
@@cyruschang1904 😉
Perso le rayon je l’ai trouvé grâce à pythagore
Attention ! La réponse est incomplète, il manque l'unité de mesure. A = 48π cm²
C'est formidable Prof!
Pas encore vu la video.
Ne connaissant pas bien les polygone, j'ai posé a le côté (ici 8cm) et O le centre. On a 8 triangle à priori isocèle.
On appelle ce polygone régulier de centre O ABCDEF.
Prenons le triangle OAB. J'exprime les angles en radian.
Soit b = angle (AOB) et a = angle(OAB) = angle(OBA) car le triangle est isocèle.
6b = 2.pi (tour complet) b = pi/3 (soit 60°)
Le triangle est donc équilatéral.
Comme le cercle est inscrit dans le polygone, son rayon est la hauteur du triangle.
Donc R = a * (racine(3)/2).
Noté que a est une longueur, donc R aussi.
Comme on a Aire(Disque) = pi.R.R,
Aire(Disque) = pi.a.a.(3/4). AN: Aire(Disque) = (3/4) * 8 * 8 * pi = 3 * 2 * 8 * pi6 * 8 * pi = 48.pi cm^2
moi je serais plus parti sur le triangle rectangle inscrit dans l'hexagone dont le petit coté fait 8, la hauteur est le diametre du cercle. son hypoténuse fait 2 x coté et avec pythagore on a donc h le coté manquant qui est le diametre avec h²+8²=(2x8)² on résout h²=16²-8² => h² =256-64 => h² =192 h=8√3 Ensuite on résout pi x r² => pi x (8√3/2)² => pi x (4√3)² => pi x 16 x 3 => 48pi .
Du coup pas besoin de connaitre le la hauteur du triangle équilatéral de tête
On pouvait aussi faire un pytagore sur le triangle rectancge avec un côté = r. et les deux autres côté 8 et 8/2 Cela donnait directement r2. Merci pour toutes ces vidéos, on s'amuse utilement.
Exactement..., inutile de calculer r quand on cherche r² ... D'habitude c'est Iman qui le fait remarquer ça !! 😉
360/6=60°*2=120° (côté à angle => x2)
cos120 =-0.5
0.5*8 =4
8²=4²+x²
64-16=x²
x²=48
x=sqrt(48)
pi r² => 3.14*48
une fois prouvé que le triangle est équilatéral et qu'on cherche la hauteur, on peut utiliser Pythagore. l'hypoténuse vaut 8, le petit coté vaut 8/2=4 et la formule devient r^2+4^2=8^2 donc r^2+16=64 donc r^2=64-16=48 et là on s'applaudit parce qu'on a pas besoin de r, la formule de la surface contient r^2, c'est Pi x r^2 donc la surface cherchée c'est Pi x 48 et on économise le calcul de r.
Vu que le triangle est rectangule nous pouvons passer pas l'une des relations trigonométrique pour trouver le rayon ?
Ah la la, trop classe prof... alors moi j'ai foncé sur gougle en demandant comment on calcule l'aire d'un SEXAGONE.... bon j'ai appris que c'était plutôt un HEXAGONE.... première leçon. Ensuite j'ai découvert qu'avec la valeur d'un côté de l'hexagone régulier je pouvais calculer son aire (96 racine de 3 - formule trop compliquée à écrire...). Ensuite j'ai découvert que le périmètre de l'hexagone c'est 6 fois le côté... puis que l'APOTHEME (rayon du cercle donc) peut se calculer avec A = 1/2P a. J'avais A (aire de l'hexagone), P = 48, donc j'avais a (apothème et rayon du cercle = 4 racine de 3). et voilà donc surface du cercle = 48 pi. ben je suis bien content d'être passé par là. Je vais copier tout ça dans mon petit cahier spécial trésors HEDACADEMY. bientôt d'ailleurs ce ne sera plus un petit cahier mais une encyclopédie et 15 volumes !! MERCI
😂 Magnifique ton message 😁😁
Punaise j’adore ce mec ! Il me régale !!! 👌👌👌
Super ! Je suis passé par pythagore pour calculer le rayon, avec 8cm pour l’hypothenuse et un autre côté a 4cm
L'hexagone régulier a des propriétés naturelles admirables (cf. les ruches....) : là ou le cercle est la forme qui demande le moins de périmètre pour sa surface, l'hexagone régulier est celui qui demande le moins de périmètre pour le plus de surface, sans perte (parce qu'imbricable).
Exemple de problème, pour une surface S donnée, quele forme utiliser pour avoir un périmètre P au minimum pour que Surface Utilisable (Su) (incluse dans les limites de P) soit maximisée.
Moi je suis parti pleine balle sur le demi côté du triangle isocèle... Et du coup ça fait... Exactement la même chose avec l'étape r=cos(30)x8. Que je suis certain qu'un mec qui connait par cœur la hauteur du triangle équilatéral nous sort tout aussi vite 😅
Excellent
toooooooooop un super prof je comprend tout 😲 incroyable
genial
Merci pour ce rappel de math! 😁
Sympa le benzène (je suis trop matrixé par mes partielles de médecine qui arrivent dans moins d'1 semaine je crois)
En notation aromatique moyenne avec les electrons délocalisés si tu veux ;)
Après les orbitales atomiques sont mieux représentées avec double tore au dessus et au dessous de l'hexagone ;)
La longueur d'un côté d'un hexagone régulier est le rayon du cercle qui lui est circonscrit (c'est pour ça qu'on peut faire des rosaces à 6 branches). Donc, l’hypoténuse vaut 8. Un p'tit coup de Pythagore: r²=8²-4² = 48 et donc l'aire vaut Pi*r² = 48Pi
Pourquoi Pythagore et pourquoi une hypoténuse ? Il n'y a pas d'angle droit. Vraie question hein je cherche pas à rabaisser le raisonnement, juste à le comprendre.
@@Dolgar666 Bonne question. Si tu prends comme points: un sommet de l'hexagone, le milieu de l'un de ses côtés adjacents et le centre du cercle circonscrit, tu peux tracer un triangle rectangle dont l’hypoténuse est le rayon du cercle circonscrit. Il y a un angle droit car on trace la hauteur d'un triangle équilatéral. Donc, cette hypoténuse vaut 8. Il se trouve que la longueur du grand côté de ce triangle rectangle est aussi le rayon du cercle inscrit. On peut donc terminer l'exercice en appliquant Pythagore.
Comme 48=8*6, on peut en tirer une formule générale : l'aire du cercle inscrit à l'hexagone de côté a vaut A=6aπ.
Au lieu d'utiliser a*(sqrt(3)/2) on aurait pu utiliser pythagore en ayant 64=16+h^2 => 48 = h^2 donc h = sqrt(48) et puisque on veut l'aire du cercle, on va mettre le rayon au carré ( donc sqrt(48)^2 va devenir 48 ) et on multiplie par pi donc on obtient 48pi
magnifique !
Toujours très intéressant, et très pédagogique. Merci ;)
Brillant !
Merci pour la démonstration !
Pour une fois j'ai eu juste mais en passant par Pythagore... J'ignorais la formule de la hauteur du triangle équilatéral...
Je suis parti du fait que le trait en rouge agissait comme une médiatrice, une hauteur et une bissectrice.
Ce qui fait que j'arrivais directement à :
tan(30°) = Côté opposé / côté adjacent = 4 / r
Or tan(30°) = sqrt(3) / 3
D'où r = 4 / tan(30°) = 4 sqrt(3)
Et même conclusion.
Si t'as envie de recycler tes connaissances en trigo, parce que moi le tan (30) je l'ai pas de tête ;)
@@42ArthurDent42 Si tu connais plutôt les valeurs remarquables pour sinus et cosinus, tu peux utiliser :
tan(x) = sin(x) / cos(x) (sauf pour les cas le cosinus s'annule bien sûr)
@@MB-em9ek j'ai une mémoire de poisson rouge, je passe systématiquement en exponentielles pour faire de la trigo...
Très fort !
Le diamètre est le meme que la distance entre deux sommets "presque voisins". Son carré est 3a**2., a étant la longueur d'un coté.
Est ce que c'est un hasard que le résultat final soit Pi X nombre de côtés du polygone régulier X longueur du côté du polygone?
Est ce que par exemple, si c'était un cercle inscrit dans un pentagone régulier de 8cm de côté, l'aire du cercle serait 40Pi, ou c'est un simple hasard?
mouais. L'utilité de aV3/2 ... On dirait l'erreur de simplification de l'exercice y a pas si longtemps. faut faire 8²-4² = 64-16 = 48, donc r = V48, mais vu qu'on cherche r² on en pas besoin. On multiple par Pi et voila, 48Pi.
Sinon, si on considère comme acquises les propriétés du cercle trigonométrique, on arrive rapidement au rayon. À ce niveau là on a souvent déjà démontré que le hexagone régulier est constitué de 6 triangles équilateraux.
Je pige pas pourquoi il arrete son raisonnement avec le triangle isocèle dont un côté est la hauteur du triangle équilatéral 🙄
On peut utiliser simplement Pythagore pour en déduire le rayon/hauteur (puisque la hauteur coupe le côté au milieu donc 8/2 =4) soit 8²-4² nous donne le rayon² donc le rayon c'est 64-16=48 soit r²=48 ou r=√48
Ensuite on fait l'aire du cercle πr² soit 48π et tout ça sans passer par la formule de la hauteur du triangle équilatéral qu'il nous donne en racine et fraction dont j'ai oublié vu que Pythagore est plus simple 🤭
Merci encore pour ces vidéos, j'aurai bien aimer apprendre les matchs ainsi 😍🤩
J’étais parti sur le parallélépipède rectangle en « coupant » l’hexagone en 2. Trop long j’ai donc changé de méthode mais super explication
Bonjour à tous amis mathématicien !!
Je suis fort circonspect de cette démonstration mais quelque chose me chagrine …
Si l’angle O fait 60 degrés la barre rouge le divise en 2 soit 30 degrés mais comme c’est l’angle d’un triangle rectangle il est supposé faire 45 degré ?
Je comprend pas trop … soit on a O qui fait 60 degrés soit 2 fois 45 degré = 90 ça colle pas …
C’est pas super simple a expliqué par écrit n’hésitez pas à me poser des questions pour comprendre mais la je bug
Un triangle rectangle peut faire n'importe quel angle, 45⁰ est un cas particulier
merci
En ayant trouvé le triangle, on aurai pu utiliser la tangente non? R étant la hauteur d’un triangle isocèle, il divisait l’angle en 2 pour avoir 2 triangle rectangle de côté opposé 4 et de côté adjacent R. Ou alors, c’était trop compliqué? C’est le premier truc qui m’est venu 😅
Oui, ça marche aussi. Par contre il fallait ramener la tangeante 30⁰ à une valeur finie pour s'en débarrasser dans le résultat finale
en résumé la surface d'un cercle inscrit dans un hexagone régulier = nb de côté (6)* longueur d'un côté(8) x Pi ;) on extrapole quelque soit le type de polygone régulier ou simple coincidence .?
J'adore cette intro ta trouver la réponse 😵😂😂😂
De tete, je dirais 48pi
Ton résultat est pi x 16 x 3...
ou 6 (côtés) x 8 (longueur d'un côté) x pi...
coïncidence ?
On peut calculer r par la tangente de 30°. tg= 4/r
avec un prof de maths comme vous, je suis prêt à rajeunir de 40 ans et à retourner au collège😂
Ça m'a plu :-)
Sinon tu coupe ton équilatéral en 2 et la pouf... Pythagorer r² = a² - (a/2)² A = 3/4 𝛑a²
C'est incroyable, j'habite dans l'hexagone, à 60° au nord de Paris, ma maison fait 8 mètres de côté et tenez-vous bien ... j'ai presque 151 m² habitables ^^
De quoi faire frémir Jacques Grimault ;p
A = π*(8^2-(8/2)^2) = π*(64-16) = 48π
Merci beaucoup je me suis éclaté sur ce problème j’ai mis un moment mais j’ai trouvé 😅
Il fallait surtout faire preuve de déduction et ce n'était pas si facile.
Hello je suis passé par le COS 30°=adj/hyp
Hors adj c'est notre rayon
👏
J ai envie , presque, d ětre votre élève. Mais a 80 balais.....
π ×(8×racine de (3)/2)²
Bonsoir,
Cette vidéo est balaise 😳!!! aire du cercle= pir² - 6x(aire du triangle équilatéral gris)
Mais là, je sèche 😑
Les hexagones sont en défauts.
48pi
Voila pourquoi on fout les profs à la porte du BE, arrête tu vas couler ma boite On n'est pas payé par Macron, faut du rendement sinon 4000mds en vue
Et alors si tu as fait cette vidéo tu n’as pas regardé le match !
J'ai utilisé Pythagore pour avoir le r².
Vue que l'hexagone et composé de 12 Triangles rectangles.