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- เผยแพร่เมื่อ 10 ก.พ. 2025
- Questo a mio avviso è uno dei migliori esercizi di geometria che potete assegnare in prima liceo per sviluppare quelle competenze di geometria piana, che sono propedeutici ai corsi di studi liceali soprattutto per ciò che riguarda il futuro studio della trigonometria.
Una domanda da ignaro della matematica , ma visto che i 2 triangoli hanno stessa base e stessa altezza non c è relazione tra angoli?
Ho provato questa strada ma non spuntava alla fine hai un angolo da 30 un angolo x+15 e un angolo135-x se provi a sommarli le x si annullano
Purtroppo no
Io lo dimostro alternativamente con le similitudini di triangoli rettangoli speciali di 30°-60°-90° con finalità “didattiche”.
E’ meno elegante ma funziona e fornisce un’alternativa alla dimostrazione proposta.
Se si completa il disegno con i riferimenti che propongo, si capisce immediatamente.
Chiamo A=vertice alto; B=vertice basso sinistro; C=vertice basso destro.
L’angolo in C si dimostra facilmente essere 30° (l’angolo di 45° è angolo esterno del triangolo ACM e quindi l'angolo ACM è uguale a 45°-15°=30°, angoli interni non adiacenti)
Poi: H=l’altezza da B al lato AC; M=punto medio di BC; K=altezza in verticale da A; D=intersezione del prolungamento di BC con la parallela di BH per A.
I triangoli BCH, AKC e ADC sono tutti rettangoli 30°-60°90° e quindi simili.
Assegno una misura ad AD; impongo per comodità AD=2
Se si fanno i ragionamenti sui vari triangoli e qualche somma/sottrazione si ricava:
DK=1; AK=√3; AC=2√3; KC=3; KM=√3; MC=3-√3; BH=3-√3;
AH= 3-√3.
Infine, siccome AH=BH, ABH trattasi di triangolo rettangolo isoscele, pertanto l’angolo BAC = 45° e di conseguenza x=45°-15°=30°
Avrei pensato ad un modo meno "creativo" di introdurre il segmento "verde" (gran parte del resto della dimostrazione sarebbe identica):
dal vertice sinistro del triangolo grande (qualcuno l' ha bettezzato A) tracciare l' altezza rispetto al lato lungo dello stesso triangolo grande.
Dal piede dell' altezza tracciare il segmento che porta al punto medio della base .
Osservando il triangolo rettangolo formato così, esso ha un angolo di 30° (in base ai ragionamenti iniziali nel video), quindi ha le proprietà note. Tra queste, il fatto che se traccio il segmento che dall'angolo retto congiunge il punto medio dell' ipotenusa, ottengo un triangolo equilatero formato da tale segmento, da metà ipotenusa e dal lato corto adiacente all' angolo retto.
Da ciò in avanti, il resto della dimostrazione come nel video.
Con tutta umiltà, scusatemi, penso che sia più facile che uno studente di prima liceo imbrocchi questa strada.
Somma angoli del triangolo, isoscele, equilatero....in Cina lo fanno mica alle elementari?😂😂😂bellissimo!
Io ho fatto immediatamente, vedendo che la base è diviso 2 perfettamente e ricordandomi che la somma degli angoli in un triangolo è 180, mi è venuto automatico pensare che l’angolo in basso a sinistra è retto + 15, quindi il rimanente X è 180-45-15=30..
Però non riesco a capire se ho fatto bene a pensare 90+15 (questa regola l’ho pensata immaginandomi un altro triangolo rettangolo diviso a metà ipotenusa e spostando con la mente il vertice)
Non ho capito ...
Si consideri il triangolo complessivo e detti
A estremo sinistro della base
B estremo destro della base
O il punto medio della base
V il vertice superiore
Si traccia una semicorconferenza di centro O e raggio OA.
Detto C il punto in cui tale semicirconferenza interseca il lato supriore del triangolo, il nuovo triangolo ABC sarà rettangolo con angolo retto in C.
Si traccia il segmento OC. Il triangolo OBC è isoscele con angoli alla base di 30° e angolo al vertice O di 120°
Il triangolo AOC è equilatero avendo i 3 angoli di 60°
Il triangolo OCV è isoscele perchè ha gli angoli alla base OV di 15° di conseguenza OC=CV.
Il triangolo ACV avendo due lati uguali (AC = CV) e l'angolo compreso di 90° avrà gli altri due angoli (in V e in A) di 45°.
L'angolo cercato sarà
x = 45° - 15° = 30°
😊
Complimenti, bel quesito! 👍
Di fatto è la stessa dimostrazione del video...Sfrutti sempre lo stesso principio che la mediana è congruente a metà ipotenusa. Bisognerebbe trovarne una alternativa...
@BeniaminoArtusi Che un triangolo incritto in una semicirconfetenza sia rettangolo non c'è nella dimostrazione del video...
E poi io mai parlato di mediana...
Mah!
@bijeimath605 Indirettamente si. Nel video, avendo costruito il segmento che tu chiami OC congruente a AO e OB, hai di fatto costruito la circonferenza passante per 3 punti di centro O. Essendo A, O, B allineati, AB ne è un diametro e quindi ABC formano un triangolo rettangolo.
Allora era sufficiente condurre la perpendicolare AC che individua un rettangolo noto di 30°-60°-90° col cateto minore che è metà dell'ipotenusa....