ÃQUATION MUSCLÃE et PROPRIÃTà INÃDITE ð§
āļāļąāļ
- āđāļāļĒāđāļāļĢāđāđāļĄāļ·āđāļ 8 āļ.āļĒ. 2024
- ðŊ Muscle ton cerveau en faisant de ton quotidien un exercice de maths que tu sauras rÃĐsoudre ðŠ : hedacademy.fr
Nouvelle ÃĐquation originale à rÃĐsoudre :
aÂē +1/aÂē + bÂē +1/bÂē = 4
arrivÃĐ Ã log(360x3) je me suis dis que je m'ÃĐtait fourvoyÃĐ ! :) hehe. Plus sÃĐrieusement, Hedacademy, la seule chaÃŪne qui fait des plot twist dans un exo de maths ! Tu nous gÃĒtes ces derniers jours ! quel rythme ! merci.
tu t'es surtout ÃĐgarer mdr
Alors perso j'ai commencÃĐ Ã ÃĐtudier la fonction f(x) = x + 1/x sur ]0, +inf[
En dÃĐrivant f'(x) = 1 - 1/xÂē
f'(x) nÃĐgative sur ]0, 1[ et positive sur ]1, +inf[
Donc f dÃĐcroissante sur ]0, 1[ et croissante sur ]1, +inf[
Donc f admet un minimum sur ]0, +inf[ en 1 et f(1) = 2
Fort de ce rÃĐsultat, comme aÂē est dans ]0, +inf[ on a : aÂē + 1/aÂē >= 2
De mÊme, on a : bÂē + 1/bÂē >= 2
Donc : (aÂē + 1/aÂē) + (bÂē + 1/bÂē) >=4
Pour avoir l'ÃĐgalitÃĐ Ã 4, il faut donc que (aÂē + 1/aÂē) = 2 et que (bÂē + 1/bÂē) = 2
Et d'aprÃĻs l'ÃĐtude de f, cela ÃĐquivaut à aÂē = 1 et bÂē = 1
Cad (a=1 ou a=-1) et (b=1 ou b=-1)
Et on trouve les mÊmes couples de solution que toi. Mais il faut avouer que ta dÃĐmonstration est plus ÃĐlÃĐgante.
Perso, j'ai analysÃĐ directement f(x) = xÂē + 1/xÂē
Sa dÃĐrivÃĐe 2x - 2/xÂģ s'annule en x = 1 et en x= -1 avec f(x) = 2
Conclusion: f(x) âĨ 2 et donc :
(aÂē + 1/aÂē) + (bÂē + 1/bÂē) âĨ 4 quels que soient les couples (a,b)
Sachant que aÂē + 1/aÂē + bÂē + 1/bÂē = 4
Il n'existe pas d'autres solutions que les 4 couples (1;1) , (-1;-1) , (1;-1) , (-1;1)
(qu'on voit dÃĻs le dÃĐbut 1+1+1+1 = 4)
PS: en dÃĐtaillant, entre 0 et l'infini, xÂē est croissante, 1/xÂē est dÃĐcroissante et donc xÂē + 1/xÂē passe par l'extremum là oÃđ la dÃĐrivÃĐe s'annule.
(xÂē + 1/xÂē est symÃĐtrique par rapport à l'origine)
@@Ctrl_Alt_Sup Oh les barbares! Ãa sent sup et spÃĐ, ça. Je vous assure qu'il peut exister un grand bonheur dans la simplicitÃĐ (volontaire ou pas), Commentaire d'un fruste :)ð
Je souhaite à tous les ÃĐlÃĻves de France, un prof tel que vous. Ãa fera d'autant plus d'amoureux des Math.
Merci pour toutes tes vidÃĐos, je redÃĐcouvre les maths et c'est un vrai plaisir grÃĒce à toi
Une horreur oui. Si il y en a que ça amuse tant mieux pour eux. Ãa me faisait tellement ch....er quâa la fin je nâessayais mÊme plus de comprendre. Au dernier examen, zÃĐro sur toute la ligne. Heureusement la gÃĐomÃĐtrie et la trigonomÃĐtrie mâon sorti de là .
@@claudedaco3339 Bah, personne ne vous oblige à regarder cette chaÃŪne, si cela vous dÃĐplaÃŪt ;)
Mais avec la bonne humeur et le dynamisme de l'auteur(ou des auteurs plutÃīt) de ces vidÃĐos, et la varitÃĐ ÃĐ des sujets et niveaux abordÃĐs ,cela m'ÃĐtonnerait que vous n'y trouviez pas quelque chose qui vous plaÃŪt :)
Wow super exercice qui demande des rÃĐflexes, fais en plus souvent s'il te plaÃŪt !
Je n'ai pas encore vu la vidÃĐo.
On va partir sur a et b RÃĐels avec a != 0 et b != 0.
J'ai d'abord essayÃĐ de dÃĐveloppÃĐ, et ça a ÃĐtÃĐ le drame.
Puis j'ai eu une autre idÃĐe.
J'ai rÃĐÃĐcrit le merdier de la façon suivante:
a^2 -2 + (1/a)^2 + b^2 -2 + (1/b)^2 = 0.
On utilise les identitÃĐs remarquables:
(a - 1/a)^2 + (b - 1/b)^2 = 0.
Là , ça devient vite plus simple car un carrÃĐ est positif ou nul (dans les rÃĐels). Donc, chaque carrÃĐ doit Être nul.
Donc a - 1/a = 0 a = 1/a a^2 = 1 a = 1 ou a = -1.
Donc b - 1/b = 0 b = 1/b b^2 = 1 b = 1 ou b = -1.
Donc les solutions sont (-1,-1), (-1,1), (1,-1) et (1,1).
PAREIL
LE MEILLEUR PROF DE MATH âĪð
Excellentissime !! ððððððððððĨðĨððĨļ
Juste EXCELLENT ððððð
Grand MERCI ððððð
Vous Êtes vraiment excellent !!
Je suis trÃĻs con en Maths mais grÃĒce à vous jâaime mây coller
Votre façon d'expliquer est trÃĻs claire et pleine d'ÃĐnergie
TrÃĻs bon prof. Bravo comme toujours
Bonjour,
DÃĐsolÃĐ d ÃĐcrire cela comme sa mais j ai besoin d un cours sur les symboles en math ...
Ont ma toujours appris que le symbole "Foix=x" s ÃĐcrivait aussi "x=."
Exe:. 2x2= 4
2.2=4
A ne pas confondre avec la virgule pour les dÃĐcimaux
Et depuis peu ont ma sorti "*" qui remplace le "x" de la multiplication
Pour moi le "*" = ":" division
J avoue avoir Êtait trÃĻs ennuyÃĐ de cette incomprÃĐhension
Alors j ai pas rÃĐussi un exercice de math de niveau trÃĻs faible ...
Je prÃĐcise que je suis plus a l ecole mais peut Être d autre personne ont eu la mÊme blague que moi
Merci pour toutes ces belles vidÃĐos ( surtout le pourcentage car j oubliÃĐ souvent comment revenir a un nombre avant le pourcentage " ...x0,70 = -30% ,..
le * pour la multiplication c'est une convention d'informatique, vu que le x est dÃĐjà rÃĐservÃĐ pour les variables et le . pour les dÃĐcimales. En math classique tu vas trouver le * pour des opÃĐrations qui sont particuliÃĻres et gÃĐnÃĐralement toujours dÃĐfinies avant d'Être utilisÃĐes, sinon pars du principe que c'est une multiplication. La division c'est toujours /, le : on ne le retrouve quasiment plus dÃĻs le lycÃĐe.
Le math est un grand plaisir avec toi
ÃlÃĐmentaire mon cher professeur de mathÃĐmatiques
voilà une bien bonne vidÃĐo... un grand merci. J'ai explorÃĐ quelques pistes mais rien de concluant,
Sinon on peut juste remarquer que pour tout x positif on a :
x + 1/x âĨ 2 avec ÃĐgalitÃĐ si x = 1 donc en prenant aÂē et bÂē on a :
aÂē + 1/aÂē +bÂē + 1/bÂē âĨ 4 avec ÃĐgalitÃĐ si aÂē = 1 et bÂē = 1.
Il n'est jamais dit que a et b sont des entiers naturels, donc X + 1/x >= 2 reste à dÃĐmontrer.
â@@FrenchCyclotron( x-1)ÂēâĨ0 donc xÂē-2x+1âĨ0 et donc x + 1/x âĨ 2
Le fait que a et b soient ou non entiers changent rien
@@samyichalalen411 Oui d'accord, c'est le fait de dÃĐduire que la seule solution est x = 1 qui n'est valable que si x est un entier naturel. Autrement, il peut y avoir une infinitÃĐ de solution.
Mon second rÃĐflexe sur ce pb (aprÃĻs avoir notÃĐ les symÃĐtries) a ÃĐtÃĐ de prouver que le min de x -> x+1/x est bien 1.
(J'ai failli oublier de prÃĐciser que x remplace aÂē donc x>0)
GÃĐnial, j'aurais dÃŧ ÃĐcouter en cours.
C'est marrant, mon premier reflexe a ÃĐtÃĐ de me dire : ok, on additionne 4 termes et on obtient 4, on a deux groupes a et b qui fon la mÊme chose, ca sent le 1 + 1/1 + 1 + 1/1 .. Soit 1 + 1 + 1 + 1. j'avais la rÃĐponse (partielle) dÃĻs le dÃĐpart mais sans savoir la dÃĐmontrer. Quel pied ta chaÃŪne ;) Merci
Cela donne une solution, mais cela ne prouve pas que ces solutions sont uniques
jâavais vu une ÃĐquation qui ressemble un peu à ça, mais avec (a+1/a)(b+1/b)(c+1/c)=2, elle est trÃĻs cool si tu veux fais en une vidÃĐo
Bonjour,
Ne pensez vous pas que la solution ÃĐtait triviale âĶ la some de 4 carrÃĐs vaut 4 donc chaque terme vaut 1 d oÃđ toutes les combinaisons possibles de 1 et de -1 âĶ
Ceci dit la factorisation est ÃĐlÃĐgante, à la fin vous faites en rÃĐalitÃĐ le mÊme raisonnement que celui que je âproposeâ âĶ
Merci pour ces vidÃĐos
Erick
Et pq chaque terme vaudrait 1 au fait?
Pour muscler les choses, on peut reposer le mÊme exo mais sur C
Qq1 l'a rÃĐsolu sur C,? Moi je sÃĻche
Je l'ai fait pas ÃĐtude de fonction de mon cÃītÃĐ.
Je remplace a^2 et b^2 par x et y.
f(a)=x+1/x. On dÃĐrive : 1-1/x^2. Cette fonction est dÃĐcroissante de 0 à 1 puis croissante de 1 à l'inf. Elle atteint ainsi son min à x=1. On inject a=1 et b=1 qui devrait Être la valeur minimale de cette fonction et on obtient 4. Sachant qu'elle est symÃĐtrique on a aussi les couples avec nÃĐgatifs. On ne peut pas avoir d'autres solutions car on s'est placÃĐ dans la situation qui nous permet d'obtenir le rÃĐsultat minimal.
Attention ici x est fonction de a (x=aÂē) donc f'(x)=2a-2/aÂģ qui n'est pas ÃĐgal à 1-1/xÂē
@@arthurgramond9347 Tu peux prÃĐciser?
C'est la bonne mÃĐthode. Pour ÃĐviter de t'embÊter à la fin tu dis juste que comme le minimum absolu de ta fonction f est ÃĐgal à 2 et que tu as f(aÂē)+f(bÂē)=4, cela force aÂē=bÂē=1 (si tu as par exemple aÂē diffÃĐrent de 1, tu as un nombre >2 ajoutÃĐ Ã un nombre qui vaut au moins 2, donc c'est >4).
AprÃĻs tu rÃĐsous aÂē=1 et bÂē=1 comme un gentil petit lycÃĐen.
Maintenant il ne te reste plus qu'a expliquer ton raisonnement aux ÃĐlÃĻves de 3 ÃĻme et seconde ;)
super vidÃĐo !
aÂē + 1/aÂē + bÂē + 1/bÂē = 4
=> aÂē + (1/a)Âē + bÂē + (1/b)Âē = 4
=> (a - 1/a)Âē + 2 + (b - 1/b)Âē + 2 = 4
=> (a - 1/a)Âē + (b - 1/b)Âē = 0
a - 1/a = 0 et b - 1/b = 0
(aÂē - 1) / a = 0
=> aÂē - 1 = 0
=> aÂē = 1
=> a = {-1, 1}
Pareil pour b qui a la mÊme forme :
=> b = {-1, 1}
Ainsi on a 4 couples solutions : {1,1}, {1,-1}, {-1,1}, {-1,-1}
Un prof qui est brillant!
Une autre mÃĐthode qui consiste à dÃĐcomposer 4 en somme de 1+1+1+1 puis les faire passer de l'autre cotÃĐ de l'ÃĐquation on obtiendra
(a-1)(a+1)+(1/a-1)(1+1/a)+(b-1)(b+1)+(1+1/b)(1-1/b)=0
Ainsi chaque terme de cette somme sera forcÃĐment nul .
J'espÃĻre que ça soit convainquant
à part ça, vous avez raison de signaler comment une bonne OBSERVATION prÃĐalable stimule les intuitions de mÃĐthode. Ici les identitÃĐs remarquables.
Une approche intuitive des solutions ÃĐvidentes aurait permis de se mettre sur la voie (et ÃĐviter les blocages ou log)
Il n'y a pas à se torturer la tÊte, cette petite chose est beaucoup plus simple à rÃĐsoudre que ce qu'il fait :
On considÃĻre, pour x>0, la fonction f : x ----> x+1/x.
On dÃĐrive gentiment ça en 1-1/xÂē et on s'aperçoit alors que la fonction admet un minimum absolu en 1, et que f(1)=2.
On en dÃĐduit que pour que f(aÂē)+f(bÂē)=4, alors aÂē=bÂē=1 donc que les seules valeurs possibles pour a et b sont 1 et -1.
Voilà , c'est torchÃĐ. On peut aller boire l'apÃĐro pendant que le monsieur termine.
bonjour, super interressant. Sinon je suis le seul, quand il a dit 0+0, à avoir pensÃĐ la tÊte à toto?
a=b=1 ou -1 est une solution ÃĐvidente. Quatre paires de solutions au moins, donc. 1 et 1, 1 et -1, -1 et 1, -1 et -1. Mais je nâai pas prouvÃĐ quâil nây en a pas dÂīautres.
Oui, ce sont en quelque sorte (en n'employant pas rigoureusement les termes) les racines ÃĐvidentes du polynÃīme
@@77kiki77 Si si on peut rigoureusement dire qu'il y a un polynÃīme de 2 ou d'une var, du 4e ou 2e degrÃĐ, selon les goÃŧts. C'est mon 3e rÃĐflexe (voir une forme quadratique d'une seule var) quand je vois cette formule (mon 1er ÃĐtant les symÃĐtries, mon 2e l'ÃĐtude de x->x+1/x pour x = aÂē donc x>0).
Il y a plein de façon d'aborder le genre de pb.
@@cainabel2553 tu peux dÃĐvelopper sur ce que tu fais aprÃĻs ça svp?
â@@arthurgramond9347 Si tu vois une forme quadratique de deux variables, ce n'est pas simple.
Mais tu n'as pas besoin de considÃĐrer à la fois a et b comme des variables.
Si tu vois une forme quadratique d'une variable, autrement dit un polynÃīme de degrÃĐ 2, tu le traites comme tel, tu utilises le discriminant, etc.
Mais les transformations illustrÃĐes par la vidÃĐo sont une meilleure piste!
j'ai juste conclu plus vite a - 1/a = 0 donc a = 1/a , les seules nombres ÃĐgaux a leur inverse c'est 1 et -1 donc a = -1 ou 1 ET b = -1 ou 1.
Comment tu trouves a-1/a =0 et b-1/b =0 directement sans passer par cette mÃĐthode ?
@@arthurgramond9347 j'ai juste fini plus vite au dÃĐbut bien sur qu'il faut utiliser cette mÃĐthode a partir de 6 : 18, j'ai juste pris un raccourci.
Tu expliques trÃĻs bien.
Le pb , c est que pour un prof bon comme toi , il y en a 9 de mauvais ..
Comment pouvez vous affirmer si pÃĐremptoirement que pour 1 bon, il y a 9 de mauvais? Vous Êtes mÃĐdaille Fields? Docteur en pÃĐdagogie des mathÃĐmatiques?
Ãa sent l'ÃĐchec scolaire, tout ça. Et le blÃĒme d'autrui. Et l'aveuglement quant à ses propres capacitÃĐs intellectuelles.
Affrontons la rÃĐalitÃĐ, que diable!
Souvent, si on (et je m'inclus dans ce on) ne comprend pas, ce n'est pas parce que l'explication est dÃĐficiente. C'est qu'on n'est tout simplement pas capable de comprendre. Cela est-il si difficile à comprendre, justement, et à admettre?
LÃ , j'ai compris. Merci pour ces rÃĐvisions.
@@guyeysseric9442 ce n est pas tant les profs qui sont parfois mauvais.
C est plutÃīt l idÃĐologie dominante à L EN. qui fait beaucoup de dÃĐgÃĒts.
A commencer par un nivellement par le bas.
Quel plaisir !
Bonjour !
J'ai pris un chemin trÃĻs diffÃĐrent, plus compliquÃĐ et moins parfait, mais j'ai trouvÃĐ une partie des rÃĐponses donc je suis assez content finalement. Bon, retranscrire ici ne va pas Être facile, je vais essayer quand mÊme, histoire qu'on perde encore quelques kilos :
1ÃĻre ÃĐtape :
aÂē + (1/aÂē) + bÂē + (1/bÂē) = 4 => je n'ai pas vu la possible identitÃĐ remarquable alors j'ai tout mis sur le mÊme dÃĐnominateur
(a^4 + 1) / aÂē + (b^4 + 1) / bÂē = 4 => à nouveau, j'ai mis sur le mÊme dÃĐnominateur (attention aux yeux)
[bÂē (a^4 + 1) + aÂē (b^4 + 1)] / aÂēbÂē = 4 => ensuite, j'ai factorisÃĐ :
[aÂēbÂē (aÂē + 1) + aÂēbÂē (bÂē + 1)] / aÂēbÂē = 4 => là , factorisation
[aÂēbÂē (aÂē + 1 + bÂē + 1)] / aÂēbÂē => là , on peut simplifier par aÂēbÂē
aÂē + 1 + bÂē + 1 = 4
aÂē + bÂē + 2 = 4
aÂē + bÂē = 2
2ÃĻme ÃĐtape :
aÂē + (1/aÂē) + bÂē + (1/bÂē) = 4 => retour au dÃĐbut et, manifestement, je suis nÃĐ pour mettre sur le mÊme dÃĐnominateur...
aÂē + bÂē + (bÂē/aÂēbÂē) + (aÂē/aÂēbÂē) = 4
aÂē + bÂē + [(aÂē + bÂē)/(aÂēbÂē)] = 4 => or, aÂē + bÂē = 2. D'oÃđ :
2 + 2/(aÂēbÂē) = 4
2/(aÂēbÂē) = 2
3ÃĻme ÃĐtape :
Je voulais partir sur un systÃĻme, mais je me suis dit que c'ÃĐtait un peu compliquÃĐ avec mes compÃĐtences. Donc j'ai cherchÃĐ autre chose.
En fait, d'aprÃĻs le second rÃĐsultat, aÂēbÂē est forcÃĐment ÃĐgal à 1.
Si on ne prend que le second rÃĐsultat, aÂē et bÂē peuvent Être ÃĐgaux à plein de choses comme 0,5 et 2 par exemple. Mais il y a le premier rÃĐsultat qui m'a fait dÃĐduire que a = 1 ou -1 et b = 1 ou -1.
Je pendais que a ÃĐtait diffÃĐrent de b, donc je n'ai donnÃĐ que deux couples de solutions : {1 ; -1} et {-1 ; 1} mais il est vrai qu'il n'ÃĐtait pas dit que a et b ÃĐtaient diffÃĐrents ^^
Bon, j'avais prÃĐvenu, c'est moins rigoureux et plus compliquÃĐ.
"0" c'est un ami quand tu fait des maths ! hhhhh...j'adore cette expression.
formidable d'avoir explicitÃĐ par ÃĐtapes comment parvenir à transformer la partie gauche de l'ÃĐgalitÃĐ pour faire apparaÃŪtre les + 2 ( ma devise : la pÃĐdagogie c'est comme l'haltÃĐrophilie, ce lui qui est incapable de se baisser ne fera jamais de performances ) , excellente pÃĐdagogie .
Alors pour ne pas faire son galÃĐrien comme le monsieur, voilà comment on torche cette petite chose insignifiante.
On considÃĻre, pour x>0, la fonction f : x ----> x+1/x.
On dÃĐrive gentiment ça en 1-1/xÂē et on s'aperçoit alors que la fonction admet un minimum absolu en 1, et que f(1)=2.
On en dÃĐduit que pour que f(aÂē)+f(bÂē)=4, alors aÂē=bÂē=1 donc que les seules valeurs possibles pour a et b sont 1 et -1.
On encadre gentiment tout ça et on a fini alors que le monsieur rame encore.
alors au delà de la dÃĐmonstration auquel je n'avais pas aboutit de mon cotÃĐ, il y avait à la base une ÃĐvidence pour moi là mais à dÃĐmontrer aprÃĻs (c'est là que je pleurais). Dans l'ÃĐquation de dÃĐpart il y a 4 ÃĐlÃĐments dont 2 ont quelque part leur inverse à additionner qui valent 4, aÂē(1)+1/aÂē(2)+bÂē(3)+1/bÂē(4) = 4 donc par intuition et tÃĒtonnement si chaque vaut 1 ça fera 4, or je ne peux pas ÃĐlever l'un sans augmenter le tout de chaque ÃĐlÃĐment ex 1+1/1 =2 ok 2+1/2=2.5 et l'autre me faudrait 1.5 or là je me disais j'ai un souci insoluble exceptÃĐ 1+1/1 et comme c'est des carrÃĐes, -1 fonctionnera aussi donc 4 solutions... mais c'ÃĐtait intuitif fallait dÃĐmontrer aprÃĻs et là merci mr le prof :) heda
disons que tu as 4 solutions, tu dois alors rÃĐpondre à la question : est-ce que ce sont les seules ?
@@warny1978 Je prÃĐfÃĻre prendre la valeur absolue et dire qu'on a un ensemble de solutions : |a| = |b] = 1 et ensuite on explicite avec + et -
Tu peux poser f(x)=x+1/x et ÃĐtudier la fonction autour de 1... et ainsi dÃĐmontrer rigoureusement que f(1)=2 est bien un min de la fonction.
C'est une des approches possibles de ce pb.
Ce que tu sembles Être en train de faire c'est un brouillon de dÃĐmonstration par l'absurde, tu supposes qu'il y ait une autre solution differente de (+/- 1, +/-1) que tu ÃĐcris (1 + k, 1 + p) avec k et p different de -2 dont tu tires des absurditÃĐs par une disjonction de cas.
3:58 on aurai pu gardÃĐ lâid (a+1/a)^2 et fait pareil de Lâautre cÃītÃĐ en fait et on aurait toujours obtenu 0 à droite de lâÃĐgalitÃĐ en revoyant le 4 à gauche de lâÃĐgalitÃĐ
J'adore tout ce que tu fais
Bravo, trÃĻs didactique
Je suis vraiment un novice en math et j'apprends en regardant tes vidÃĐos. Mais il me semble que tu avais dis quelque fois que 1/x ÃĐtait l'inverse de x. Est ce qu'il n'existait pas une rÃĐsolution de l'ÃĐquation en passant par la ?
Merci beaucoup pour toutes tes vidÃĐos et ton attention :)
Houla faut pas tout mÃĐlanger, c'est dans le cas de multiplication ou division de fraction ici c'est juste addition soustraction donc non tu peux pas
Comment tu veux passer par là (par l'inverse) pour avoir la solution? Je ne comprends pas du tout ce que tu sous entends!
à la limite tu pourrais faire un changement de variable, avec A=aÂē et B=bÂē. Ce qui donne A+1/A+B+1/B=4, mais je ne suis pas sÃŧr que ça nous mÃĻne trÃĻs loin
Pour dÃĐmontrer qu'il fallait avoir (a-1/a)^2 = 0 et (b-1/b)^2 = 0, j'aurais basculÃĐ le rÃĐsultat
(a-1/a)^ + (b-1/b)^2 = 0 en
(a-1/a)^2 = - (b-1/b)^2
Un nbre au carrÃĐ qui est ÃĐgal à l'opposÃĐ d'un nombre au carrÃĐ ? Seule solution: les 2 cÃītÃĐs sont chacun ÃĐgal à 0. Le reste ÃĐtait identique.
Mon premier rÃĐflexe est de remplacer a et b par 1... et là magie 1 + 1 + 1 + 1 = 4. C'est ce que disaient mes profs de fac. Ensuite s'il est demandÃĐ une dÃĐmonstration, il fallait donner les explications comme tu le fais. Malheureusement aux examens ils ne mettaient jamais des cas oÃđ on pouvait remplacer par des valeurs simples, et les ÃĐquations c'ÃĐtait beaucoup plus compliquÃĐ. Ceci dit, merci pour tes vidÃĐos, je sens que quand mon fils va Être au lycÃĐe je vais bien m'amuser à le "piÃĐger" pour qu'il rÃĐflÃĐchisse plus loin.
J'ai mis le pouce bleu; mais j'ai quand-meme mal a la tete.ð
Intuitivement on trouve la solution. La somme de 4 termes strictement positifs doit donner 4 : la seule rÃĐponse possible est que ces 4 termes soient ÃĐgaux à 1.
Merci pour la dÃĐmo :)
Le rÊve a un prix !
Mais quand on a les poches vides?
Et bien on voit directement les 4 couples, combinaisons de 1 et -1 !
Mais comment s'assurer qu'il n'existe pas d'autres solutions?
aÂē + 1/aÂē + bÂē + 1/bÂē = 4
La fonction f(x) = xÂē + 1/xÂē est la somme d'une parabole et d'une hyperbole,
toutes deux symÃĐtriques par rapport à l'origine.
Entre 0 et l'infini...
xÂē est croissante de 0 Ã l'infini
et 1/xÂē est dÃĐcroissante de l'infini pour tendre vers 0
Le tableau de variation de f(x) entre 0 et +â est ÃĐvident :
f(x) est dÃĐcroissante puis croissante en passant par un extremum là oÃđ la dÃĐrivÃĐe s'annule.
f(x) = xÂē + 1/xÂē a pour dÃĐrivÃĐe 2x - 2/xÂģ et cette dÃĐrivÃĐe s'annule en x = 1 (respectivement en -1 entre -â et 0)
Et en x=1 on a f(x) = 2 (idem en -1 par symÃĐtrie)
Conclusion:
f(x) âĨ 2 pour tout x
Et donc aÂē + 1/aÂē + bÂē + 1/bÂē âĨ 4 quels que soient les couples (a,b)
Sachant que aÂē + 1/aÂē + bÂē + 1/bÂē = 4
Il n'existe pas d'autres solutions que les 4 couples (1;1) , (-1;-1) , (1;-1) , (-1;1)
Excellent ð
aÂē+1/aÂē+bÂē+1/bÂē=4
;aÂē+bÂē+ bÂē/(ab)Âē+aÂē/ (ab)Âē=4
;aÂē+bÂē+ (aÂē+bÂē)Ã1/(ab)Âē=4
(aÂē+bÂē)(1+1/(ab)Âē)=4 posons
aÂē+bÂē=2 et 1+1/(ab)Âē=2
;aÂē+bÂē_2 =0 et 1/(ab)Âē=1
; aÂē=2_bÂē;aÂēbÂē=1
: (2_bÂē)bÂē=1
2bÂē_bâī_1=0
Posons bÂē= x
2x_xÂē_1=0
Delta= 4_4=0
X=_2/_2=1
bÂē=1
b=1ou b= _1
Ona aÂē+bÂē=2
aÂē+1=2
aÂē=1
a=1 ou a=_1
âĪ
perso j'ai passÃĐ le 4 a gauche directement en le sÃĐparant en -2 et -2 ce qui m'a permis d'avoir l'identitÃĐ remarquable. je ne sais pas si c'est valable mais le resultat est le meme !
Super vidÃĐo, merci. Deux petites questions : Est-ce que c'est une ÃĐquation de cercle ? et Si on travaille dans C, ca donne quelque de plus ?
Non pour avoir lâÃĐquation dâun cercle tu dois avoir x2 + y2 = r avec r diffÃĐrent de 0. Ici, r = 0 ce qui correspond à ÂŦ lâÃĐquation dâun point Âŧ de coordonnÃĐe 0,0. De plus, tu nâaurais pas dâautres solutions dans C. Tu peux voir que lâÃĐquation correspond à peu prÃĻs au module dâun nombre complexe : |z|^2 = x^2 + y^2 = 0
Or le module dâune nombre complexe est ÃĐgale a 0 implique que x = 0 ET y = 0. Ici x = a - 1/a et y = b - 1/b
Oui, les solutions ( a, b ) sont sur un cercle centrÃĐ en O et de rayon racine (2), comme le laisse penser les quatre solutions lorsque a et b sont des entiers relatifs (1,1), (1,-1), (-1,1) et (-1,-1).
On peut le dÃĐmontrer en faisant une rotation de pi / 4 dans le plan complexeâ auquel cas l'expression devient une simple ÃĐquation de cercle.
Dans C, avec a et b complexes, si b est un complexe quelconqueâ on obtient une ÃĐquation du second degrÃĐ en a carrÃĐ qui a donc deux solutions, soit quatre valeurs de a possibles.
J'ai oubliÃĐ une partie de l'ÃĐquation, autant pour moi : les seules solutions rÃĐelles sont bien celles dans Z.
Il y avait aussi le cas a- 1/a= +/- i et b-1/b =+/- i vu que i^2= -1
Merci
Super :)
tres bonne video , mais il serait bien de preciser dans quel ensemble on cherche les solutions
Oui tu as raison
C'est bien tes cours
A 45 ans je refais me leçons de mathsðððmerci
TrÃĻs sympathique.
à 9mn c'est un peu tirÃĐ par les cheveux (sans offense hein, je suis de la mÊme team )
on pouvait peut Être faire plus simple dans l'explication ?
aÂē+1/aÂē + bÂē + 1/bÂē = 4 = 2 + 2
et donc aÂē+1/aÂē + bÂē + 1/bÂē - 2 -2 = 0
et aprÃĻs la suite de la dÃĐmo
Bon dites moi si je me trompe:
aÂē+1/aÂē+bÂē+1/bÂē=4
(2aÂē+1)/aÂē + (2bÂē+1)/bÂē=4
[(2aÂē+1)*bÂē + (2bÂē+1)*aÂē]/aÂēbÂē=4
[(2aÂēbÂē+bÂē) + (2bÂēaÂē+aÂē)] aÂēbÂē=4
(4aÂēbÂē+bÂē+aÂē)/aÂēbÂē=4
4+1/aÂē+1/bÂē=4
1/aÂē+1/bÂē=0
(1/a)Âē+(1/b)Âē=0
somme de deux carrÃĐs ...etc...
Merci d'avance.
Alors, l'identitÃĐ remarquable (x-y)Âē je l'ai senti tout de suite mais j'avais pris (a-b)Âē et non pas (a-(1/a))Âē et donc j'ai bloquÃĐ... Merci pour la dÃĐmonstration !
Met au mÊme dÃĐnominateur, passe ton quatre de l'autre cotÃĐ et tu fera apparaitre (aÂē-bÂē)Âē=0 ou (bÂē-aÂē)Âē=0 donc tu les a bien si
Une formule an (a-b) n'est pas symÃĐtrique, a et b ne sont pas interchangeable, on voit facilement que le pb a *un nombre incroyable de symÃĐtries*:
a et b
a et -a
b et -b
a et 1/a
b et 1/b
First, quel plaisir que de profiter d'un contenu instructif dans ses premiers instants
Chiant
Si on soustrait 4 aux deux membres puis on le dÃĐcompose en -2 et -2 pour appliquer les identitÃĐs remarquables, on allait plus vite dans changer de signes ...
merci !!!!!!
a-1/a=o a=1/a a^2=1 a=1ou-1
Bravo !
Moi j'y suis allÃĐ purement en logique :
- Si le rÃĐsultat de l'addition est entier, alors la somme des fractions doit Être entiÃĻre 1/a^2 + 1/b^2 est un entier.
- Sachant qu'un carrÃĐ est forcÃĐment positif, 1/a^2 est positif. Ce qui devient V+X+Z+X=4 avec V=a^2, X=1^a^2 et Z=b^2.
On rÃĐsoud dÃĐsormais : V+2X+Z=4.
Sachant que V, X et Z sont des entiers SupÃĐrieurs à 0 (0 exclu en raison de la fraction). On a pour seule solution logique :
- V=1
- Z=1
- X=1
Donc on a :
- a^2 = 1
- b^2 = 1
Les couples de solution sont les diffÃĐrentes valeurs de *a* et *b* possibles, soi exactement celles trouvÃĐes dans la vidÃĐo ð
Par contre je ne sais si mon approche est admissible dans un examen officiel ð
"la somme des fractions"
Quelles fractions? J'ai pas suivi
Brillant !
Excellent de ta part d'avoir montrÃĐ la fausse piste, c'est ça aussi le raisonnement scientifique.
0 c'est un ami quand tu fais des maths . Hehe tellement vrai ! :)
En posant x = a+1/a et y = b+1/b on peut rÃĐÃĐcrire l'ÃĐquation en x^2+y^2 = 8 qui est une ÃĐquation de cercle de rayon 2 racine de 2. On peut alors paramÃĐtrer x = 2sqrt(2)*cos(t) et y = 2sqrt(2)*sin(t). On rÃĐsout alors pour a et b en fonction de t et on constate que a = sqrt(2)*cos(t) Âąsqrt(cos(2t)) et b = sqrt(2)*sin(t) Âąsqrt(-cos(2t)). Donc, a et b ne sont rÃĐels que si cos(2t) = 0 donc t = Âąpi/4 mod pi ce qui donne bien les 4 couples rÃĐels. Bien ÃĐvidemment si on ne se limite pas aux rÃĐels cela donne une paramÃĐtrisation de l'ensemble des solutions complexes.
Oulah tu t'es compliquÃĐ la vie comme jamais...
On considÃĻre, pour x>0, la fonction f : x ----> x+1/x.
On dÃĐrive gentiment ça en 1-1/xÂē et on s'aperçoit alors que la fonction admet un minimum absolu en 1, et que f(1)=2.
On en dÃĐduit que pour que f(aÂē)+f(bÂē)=4, alors aÂē=bÂē=1 donc que les seules valeurs possibles pour a et b sont 1 et -1.
Avant de dire qu'un carrÃĐ est toujours positif, j'ai cru que tu allais nous sortir une 3ÃĻ fois la mÊme identitÃĐ remarquable ^^
On pouvait faire a4+1/a2 = a2+1 donc a2 + 1 + b2 + 1 = 4 soit a2 + b2 = 2 donc a2 = 1 ou -1 et b2 = 1 ou -1
il y a les racines evidentes(+- 1,+-1)
Solutions plutÃīt que racines, non?
Pourquoi on ÃĐcrit pas(a+1/a)Âē-2+(b-1/b)Âē+2=4 et on obtient (a+1/a)Âē+(b+1/b)Âē=4
mais a ne doit pas etre obligatoirement different de b ?
Et pq ça? Qu'est-ce qui se passerait s'ils avaient la mÊme valeur?
Et si vous introduisez c, d, e, f... valant chacun un nombre entier, il faut aussi que a et b ne valent pas la mÊme valeur? Donc en introduisant des var supplÃĐmentaires, je peux vous interdire toute solution entiÃĻre?
Juste ÃĐviter de dire "quand on envoie de l'autre cÃītÃĐ". On soustrait 4 aux deux membres. L'ÃĐlÃĻve de base envoie aussi de l'autre cÃītÃĐ. Monsieur, pourquoi il faut changer le signe? Monsieur pourquoi des fois on l'envoie au dÃĐnominateur , etc ....
Eh oui Monsieur le Professeur pour adhÃĐrer à la dÃĐmarche pÃĐdagogique "l'ÃĐlÃĻve de base" a quelquefois besoin d'enseignants qui, sans tomber dans le copinage savent se mettre à sa portÃĐe. Il comprend mieux quand il entend parler d'ÃĐquipes, de candidats et d'ÃĐlÃĐments qui peuvent passer d'un cÃītÃĐ Ã l'autre sans changer les ÃĐquilibres...
La rigueur certes louable que vous prÃīnez risque de renforcer l'image austÃĻre des mathÃĐmatiques et donc d'ÃĐloigner de nombreux ÃĐlÃĻves. Pour ce qui est "d'envoyer de l'autre cÃītÃĐ" le vieil ingÃĐnieur que je suis peut tÃĐmoigner s'en est donnÃĐ Ã coeur joie durant toutes mes ÃĐtudes et dans ma vie professionnelle et cela sans aucun scrupule :-)
Que pensez-vous de i au carrÃĐ + 1 au carrÃĐ =0
C'est chaud.
J'ai pas trop compris la rÃĐsolution des petites ÃĐquations. Comment (aÂē-1)/a = aÂē-1 ? et comment on fait pour passer de a-1/a=0 Ã (aÂē-1)/a ?
on mets tt sur le meme dÃĐnominateur
@@adrienwillermain6604 j'arrive pas à capter cette ÃĐtape justement. Je vois pas comment on fait
1° ) Quand tu as une fraction ÃĐgale à 0, c'est le numÃĐrateur qui dois Être ÃĐgal à 0 car le dÃĐnominateur ne pourra jamais l'annuler.
x/5 = 0 a mÊme solution que
x/8 = 0 etc...
alors que 3/x = 0 n'a pas de solution car 3 =/= 0
On voit donc une equivalence entre le rapport = 0 et le numÃĐrateur = 0
(Sans pour autant qu'il y ait ce que tu as ÃĐcrit, c'est les equations et non les valeurs qui sont ÃĐquivalentes)
2° ) la mise au mm dÃĐnominateur consiste à rendre comparable des choses qui ne le sont pas à la base.
Par exemple si tu devais comparer un lot de 10 balles de tennis avec un tonneau de 3 litres remplis de balles de tennis, c'est difficile de voir qui est le plus grand. Il faut donc faire en sorte que l'un d'entre-eux soit exprimÃĐ en terme de l'autre (que tous les deux soient exprimÃĐs en quantitÃĐ de tonneaux ou en nombre de balles). C'est souvent l'indicateur le plus facile qui concÃĻde et adopte l'ÃĐcriture du plus problÃĐmatique.
Dans le cas de fractions: Si je te dis que que j'ai achetÃĐ "a" pizzas entiÃĻres et aussi une tranche de pizza supplÃĐmentaire (1/a)
Est-ce plus simple d'exprimer le lot en termes de tranches de pizza ou de pizzas entiÃĻres ? En tranches de pizza naturellement.
Une pizza a "a" tranches de pizza (car a à 1/a = 1 pizza) donc comme on a "a" pizzas, on a "a à a = a^2" tranches de pizzas. On oublie pas la tranche de pizza supplÃĐmentaire qu'on a commandÃĐ : on a "a^2 + 1" tranches de pizzas soit (a^2 + 1)/a
D'un point de vue gÃĐnÃĐral et thÃĐorique, la mise au mÊme denominateur consiste à multiplier le nombre sans denominateur (ou de denominateur = 1 si tu veux) par celui de l'autre c'est à dire à "tranchifier" l'entier.
Level au dessus :
Si tu veux mettre au mÊme denominateur deux fractions à denominateur diffÃĐrent.
Le principe reste le mm : trouver un instrument de mesure commun.
La technique qui marche tout le temps consiste à multiplier les numÃĐrateurs et denominateurs d'une des fractions par le denominateur de l'autre.
Exemple concret avec 3/ *5* + 7/ *8*
3/5 = (3 Ã *8* )/(5 Ã *8* ) = 24/40
7/8 = (7 Ã *5* )/(8 Ã *5* ) = 35/40
donc la somme des deux vaut exactement
(35 + 24)/40 = 59/40
En pratique on a trouver un dÃĐcoupage commun des parts des deux pizzas qui avaient ÃĐtÃĐ coupÃĐes diffÃĐremment.
- la premiÃĻre ÃĐtaient coupÃĐes en 5 tranches
- la deuxiÃĻme en 8 tranches.
Ce que cette technique fait c'est qu'elle t'assures que tu peux decouper les pizzas de nouveau et toujours arriver vers un dÃĐcoupage ÃĐquivalent ici de 5Ã8 = 40 tranches.
Hope it helps!
"(aÂē-1)/a = aÂē-1" parce que ÃĐgal à 0 ! (aÂē-1)/a = 0 veut dire que aÂē-1 = 0 (a ne peut pas Être nul car au dÃĐnominateur, on peut donc l'enlever vu que c'est l'ÃĐgalitÃĐ Ã 0 de (aÂē-1)/a qui compte) Si (aÂē-1)/(a + b + c + d + e + f) = 0, seul aÂē-1 = 0 sera 'pertinent', (a + b + c + d + e + f) anecdotique et sans effet (car pas nul, interdit la nullitÃĐ au dÃĐnominateur !).
"a-1/a=0 à (aÂē-1)/a" (a c'est aÂē/a, a^3/aÂē a^4/a^3, etc. a peut donc Être ÃĐcrire aÂē/a, a-1/a = aÂē/a -1/a = (aÂē-1)/a (on les met en fractions de mÊme dÃĐnominateur)
Pourquoi avons _nous ajoutÃĐ (_2)??rÃĐpondez moi s'il vous plait
S : {a = b = 1}
perso j'ai tout de suite trouvÃĐ les couples (1,1) et (-1,-1) comme solutions ÃĐvidentes, cependant la dÃĐmonstration est toujours cool à regarder
Je commence par voir que les variables sont toutes au carrÃĐ donc le signe ne joue pas; donc autant ne chercher que les solutions positives. C'est mon 1er rÃĐflexe.
@@cainabel2553 oui j'ai fais la mÊme chose, les solutions nÃĐgatives je les ai dÃĐduites de mes solutions positives
Super vos vidÃĐos mais vous allez trop vite pendant cet exercice je suis arrivÃĐ a suivre et comprendre pendant quelques minutes et ensuite rideau ...on ferme les lumiÃĻres ..et je suis larguÃĐ ! Comme il y a 55 ans a l'ÃĐcole ðĄ
Bien vu ! Moi je suis parti bÊtement sur l'identitÃĐ remarquable a2-b2=(a+b)x(a-b)
2:25 "Ca, c'est ÃĐgal à ça"?????? Franchement...Là , j'ai dÃĐcrochÃĐ!!!!Je vais rÃĐÃĐcouter pour voir!!! Y'a pas de raison hein? Merci kan mÊme!
(a+b)Âē = aÂē + 2ab + bÂē, si b = 1/a 2ab = 2. LÃ on part de aÂē + 1/aÂē, pour remplacer par (a + 1/a)Âē il faut 'compenser' le 2 qui est apparu (via le dÃĐveloppement de (a+b)Âē) en le soustrayant (rien ne se perd, rien ne se crÃĐe, tout se transforme).
pas mal !
Autre mÃĐthode : on remarque que toutes combinaisons de 1 et -1 fonctionnent et on ÃĐtudie la fonction x^2+1/x^2 ensuite on conclue que se sont les seules
T'entends par quoi ÃĐtudier la fonction x->xÂē+1/xÂē
@@arthurgramond9347 dÃĐduire que 2 est un minimum
Tu avais la bonne idÃĐe de base mais tu as trÃĐbuchÃĐ juste à la fin. Tu te compliques la vie pour rien du tout en choisissant cette fonction. Voilà ma mÃĐthode :
On considÃĻre, pour x>0, la fonction f : x ----> x+1/x.
On dÃĐrive gentiment ça en 1-1/xÂē et on s'aperçoit alors que la fonction admet un minimum absolu en 1, et que f(1)=2.
On en dÃĐduit que pour que f(aÂē)+f(bÂē)=4, alors aÂē=bÂē=1 donc que les seules valeurs possibles pour a et b sont 1 et -1.
â@@italixgaming915 oui c'est ÃĐgalement valide
Au plus intuitif sans passer par les entitÃĐs remarquable je suis parti du principe que deux entitÃĐs qui ont la mÊme structure xÂē+1/xÂē et dont la somme vaut 4 veut forcÃĐment dire que chaque terme de la somme vaut 2, aprÃĻs c'est du dÃĐveloppement
J'ai pas compris msieur vous pouvez rÃĐpÃĐtez
Pas forcÃĐment.... Par exemple si on te demande de trouver tous les couples d'entiers naturels a et b tels que a + b = 4. a et b ont pourtant la mÊme "structure" et a = 2, b = 2 n'est pas la seule solution
@@paperyka8160 je vois pas bien quelles autres solutions peuvent avoir le couple a et b puisque a et b sont nÃĐcessairement ÃĐgaux, c'est comme dire x + x = 4 Ã la diffÃĐrence qu'ici un terme de la somme s'appelle aÂē+1/aÂē et l'autre est identique avec des b
@@LtExodem11 Mais d'oÃđ tu tiens que a et b sont ÃĐgaux?
... perdu quelques kilos??? Si seulement!!! Merci infiniment pour ces rÃĐflexes qui me manquaient et qui viennent. Encore une fois c'est du beau travail et donc : Un ban pour le prof!!!!
Avec plaisir. Ravi dâappendre dâappendre que les rÃĐflexes et raisonnement arrivent ð
j'ai une question bÊte : dans la mesure oÃđ on a a et b, ne doivent ils pas Être diffÃĐrents et du cou exclure les couples (1;1) et (-1;-1)
Non tu peux avoir a = b
Quel ÃĐlÃĐment suggÃĻre que ces deux variables ne doivent pas Être ÃĐgales?
Et pourquoi ne dites vous pas que a et b doivent Être diffÃĐrents de 1, parce que l'ÃĐquation utilise une variable qui vaut 1:
l'ÃĐquation s'ÃĐcrit aÂē+1/aÂē+bÂē+1/bÂē=2
mais on peut poser c=1
et l'ÃĐcrire aÂē+c/aÂē+bÂē+c/bÂē=2
donc voilà cela imposerait que a ne peut pas valoir la mÊme chose que c?
Ou alors on introduit d = -1
on ÃĐcrit aÂē+c/aÂē+bÂē+c/bÂē=d+3
et donc a et b doivent Être diffÃĐrents de -1, puisque deux variables ne peuvent pas avoir la mÊme valeur?
Et si je fais ( aÂē+bÂē)+( 1/aÂē+1/bÂē) = 4
aÂē+2ab+bÂē + (1/aÂē)Âē+2(1/aÂē.1/bÂē)+1/bÂē ça donne quoi prof?
Mon 1er rÃĐflexe n'est pas identitÃĐs remarquables, mais de voir les symÃĐtries...
pas mal
tb
Solutions ÃĐvidentes 1;-1 pour a et b
PrÃĐliminaire ÃĐvident : noter la symÃĐtrie et ne traiter que a et b positifs. Finaliser en ajoutant les valeurs opposÃĐes
a et b =*ou _ 1
a=+-1 et b=+-1
a=1 et b=1