Równanie różniczkowe Bernoulliego cz.1. Zapraszam do obejrzenia kolejnych części. WWW.MATEMATYKANAPLUS.COM.PL Pytania o inne zagadnienia proszę kierować na maila: MATNAPLUS@GMAIL.COM
Witam bardzo serdecznie :) dziękuje za komentarz :) zachęcam do przedstawienia rozwiązania tego równania metodą rozdzielania zmiennych. Pozdrawiam i Wszystkiego Co Najlepsze :)
na koncu jest błąd przy powrocie do "głównej tablicy",minus przed e powinien byc w potedze i wtedy nam sie fajnie skroci srodek nawiasu z tym co jest poza
Na upartego to już znając metodę rozdzielania zmiennych potrafilibyśmy to równanie rozwiązać
Witam bardzo serdecznie :) dziękuje za komentarz :)
zachęcam do przedstawienia rozwiązania tego równania metodą rozdzielania zmiennych.
Pozdrawiam i Wszystkiego Co Najlepsze :)
@@MatematykaNaPlus1
dy/dx + xy = xy^3
dy/dx = xy^3 - xy
dy/dx = x(y^3 - y)
dy/(y^3 - y) = xdx
2dy/(y^3 - y) = 2xdx
2/(y(y^2-1))dy = 2xdx
2(1-y^2+y^2)/(y(y^2-1))dy = 2xdx
(-2/y+2y/(y^2-1))dy = 2xdx
-2ln|y|+ln|y^2-1| = x^2+C
ln|(y^2-1)/y^2| = x^2+C
|(y^2-1)/y^2| = e^{x^2+C}
|(y^2-1)/y^2| = e^{x^2}e^{C}
(y^2-1)/y^2 = ±e^{x^2}e^{C}
(y^2-1)/y^2 = C_{1}e^{x^2}
1 - 1/y^2 = C_{1}e^{x^2}
1/y^2 = 1 - C_{1}e^{x^2}
y^2 = 1/(1 - C_{1}e^{x^2})
y = ± 1/sqrt(1 - C_{1}e^{x^2})
@@MatematykaNaPlus1 Mogłabyś odpowiedzieć mi na jedno pytanie a najlepiej nakręcić o tym film
Odejdźmy może od tego równania ale nadal pozostańmy przy równaniach różniczkowych
Ostatnio chciałem wychodząc z postaci trygonometrycznej wyprowadzić wzór ogólny na wielomiany Czebyszowa
T_{n}(x) = cos(n*arccos(x))
Przyjmijmy że t = arccos(x)
y(t) = cos(n*t)
Zróżniczkujmy dwukrotnie tę równość
y'(t) =-nsin(n*t)
y''(t) =-n^2cos(n*t)
y''(t) =-n^2y(t)
y''(t)+n^2y(t) = 0
Zastosujmy w powyższym równaniu zamianę zmiennej niezależnej
y''(t)+n^2y(t) = 0
t = arccos(x)
dt/dx = 1/sqrt(1-x^2)
dy/dt = dy/dx*dx/dt
dy/dt = dy/dx*sqrt(1-x^2)
d^2y/dt^2 = d/dt(dy/dt)
d^2y/dt^2 = d/dx(dy/dx * dx/dt)*dx/dt
d^2y/dt^2 = d/dx(dy/dx * sqrt(1-x^2)) *sqrt(1-x^2)
d^2y/dt^2 = sqrt(1-x^2) * d/dx(dy/dx * sqrt(1-x^2))
d^2y/dt^2 = sqrt(1-x^2) *(d^2y/dx^2 * sqrt(1-x^2) + dy/dx * (-x/sqrt(1-x^2)))
d^2y/dt^2 = (1-x^2)d^2y/dx^2 - x * dy/dx
y''(t)+n^2y(t) = (1-x^2)d^2y/dx^2 - x * dy/dx + n^2y(x)
(1-x^2)d^2y/dx^2 - x * dy/dx + n^2y(x) = 0
Teraz rozwiążmy to równanie szeregiem potęgowym
y(x) = \sum\limits_{m=0}^{\infty}c_{m}x^{m}
(1 - x^2)(\sum\limits_{m=0}^{\infty}m(m-1)c_{m}x^{m-2}) -x(\sum\limits_{m=0}^{\infty}mc_{m}x^{m-1}) + n^2(\sum\limits_{m=0}^{\infty}c_{m}x^{m}) = 0
\sum\limits_{m=2}^{\infty}m(m-1)c_{m}x^{m-2}) - (\sum\limits_{m=0}^{\infty}m(m-1)c_{m}x^{m})) - (\sum\limits_{m=0}^{\infty}mc_{m}x^{m}) + n^2(\sum\limits_{m=0}^{\infty}c_{m}x^{m}) = 0
\sum\limits_{m=2}^{\infty}m(m-1)c_{m}x^{m-2}) -\sum\limits_{m=0}^{\infty}(m(m-1)+m-n^2)c_{m}x^{m} = 0
\sum\limits_{m=2}^{\infty}m(m-1)c_{m}x^{m-2}) -\sum\limits_{m=0}^{\infty}(m^2-n^2)c_{m}x^{m} = 0
\sum\limits_{m=2}^{\infty}m(m-1)c_{m}x^{m-2}) -\sum\limits_{m=0}^{\infty}(m-n)(m+n)c_{m}x^{m} = 0
\sum\limits_{m=0}^{\infty}(m+2)(m+1)c_{m+2}x^{m}) -\sum\limits_{m=0}^{\infty}(m-n)(m+n)c_{m}x^{m} = 0
\sum\limits_{m=0}^{\infty}((m+2)(m+1)c_{m+2} - (m-n)(m+n)c_{m})x^{m} = 0
(m+2)(m+1)c_{m+2} - (m-n)(m+n)c_{m} = 0
Teraz możemy wyznaczyć c_{m+2} albo c_{m}
(m+2)(m+1)c_{m+2} - (m-n)(m+n)c_{m} = 0
(m-n)(m+n)c_{m} = (m+2)(m+1)c_{m+2}
c_{m} = \frac{(m+2)(m+1)}{(m-n)(m+n)}c_{m+2}
Gdy przyjmiemy m = m-2 otrzymamy
c_{m-2} = \frac{m(m-1)}{(m-2-n)(m-2+n)}c_{m}
Gdy rozwiążemy tę rekurencję dostaniemy
całkę szczególną równania będącą wielomianem
y_{1}(x) = c_{n}(\sum_{k=0}^{\lfloor\frac{n}{2}
floor}\frac{(-1)^k}{2^n}\cdot\frac{n}{n-k}\cdot {n-k \choose k}\cdot (2x)^{n-2k})
Wiemy też że y(1) = 1,
Aby wyznaczyć współczynnik wiodący potrzebuję policzyć sumę
\sum_{k=0}^{\lfloor\frac{n}{2}
floor}\frac{(-1)^k}{4^k}\cdot\frac{n}{n-k}\cdot {n-k \choose k}
Po obliczeniu sumy dla kilku początkowych wartości n postawiłem hipotezę że
\sum_{k=0}^{\lfloor\frac{n}{2}
floor}\frac{(-1)^k}{4^k}\cdot\frac{n}{n-k}\cdot {n-k \choose k} = \frac{1}{2^{n-1}}
ale jak ją udowodnić
Jakie są sposoby liczenia takich sum
Wzór wyprowadzony z równania różniczkowego będzie poprawny jedynie dla n > 0
na koncu jest błąd przy powrocie do "głównej tablicy",minus przed e powinien byc w potedze i wtedy nam sie fajnie skroci srodek nawiasu z tym co jest poza
Witam bardzo serdecznie, dziękuje za uważność :)
Pozdrawiam i Wszystkiego Co Najlepsze!