Скорее, для степени с целым показателем действительных решений больше, чем для степени с рациональным или действительным показателем (потому что основание не может быть отрицательным), а для степени с комплексным показателем действительных решений снова будет 6 (потому что действительное основание уже может быть отрицательным). В общем, понятие степени расширяли-расширяли, да недоперерасширили.
@@allozovsky для степени с комплексным показателем будет ещё веселее. Будет бесконечное множество решений бесконечнозначной функции. «американский» ответ получен на том, что взяли -1 как один из корней из 1. Но на комплексной плоскости есть целая окружность корней из 1, это все такие x+iy, что x^2+y^2=1
Ограничение а>0 надуманное ограничение. Есть расширение в комплексные числа и это ограничение глупая. Возникает многозначность ответов, но это очень разумное решение. Школярской надуманностью не надо радоваться, есть квантовая механика, даже теория переменного тока, которая не слушается запретов а>0
@@zenonasvaigauskas7186 комплексные мы не затрагиваем,раз 15 писали уже. Зачем тебе затягивать комплексные числа,если ты хочешь работать с действительной степенью?
@@zenonasvaigauskas7186 Я так понимаю, "квантовая механика: и "теория переменного тока" были упомянуты чтобы показаться умнее xD. Надуманность - слово глупое в данном контексте, так, как на множестве действительных чисел это ограничение существует, а множество комплексных чисел в большинстве бытовых задач не требуется.
А где Трушин сказал, что Волков прав?) Трушин всего лишь объяснил на пальцах, в чем суть холевара :) Если мы рассматриваем задачу как поиск всех натуральных корней, то 3 и 4 - честные допустимые корни, которые ничему не противоречат
Кстати на видео про Го он опять начал про двойную экспоненту в шахматах :) я так понял там надо посчитать и типа такие стратегии когда Фишер не пришёл играть с Карповым о чем очень классно Высоцкий спел
Ага, так же как и с корнями. Приходилось самому разбираться в отличиях алгебраического и арифметического квадратных корней, несмотря на то, что про это говорили.
Подавляющее количество школьников вряд ли будут серьезно заниматься математикой. А если им такие вещи объяснять - то все остальные ещё сильнее запутаются, а им эти корни и действительные степени и так непонятны почти всегда. Да и даже тем, у кого с математикой неплохо, это может оказаться довольно сложно для понимания.
Кирилл Смирнов Главная проблема, что люди тупые!!! Я под тем видео практически слово в слово это доносил. Результат нулевой у оппонента. Его "аргументы", пуская пузыри из носа (я себе так это представляю): "Ну и фто, корень третьей степени из -8 не работает, а здесь подфоооодит", "Американсы прафы, это софковые профессора придумали бюрократию" и т.д. Ну ладно оппонент, соотношение лайков на комментах 2...4 раза не в мою пользу. Тоже соотношение к данному видео в 62 раза больше уже в пользу ТОГО же объяснения. Вывод людишки даже в математике не могут понять суть доказательства, а лишь опираются на авторитеты. В математике ...!
ну это реально круто было. Я дофига чего нового узнал. Раньше даже никогда не задумывался, что так может быть. Век живи, век учись. Волков классный мужик, объясняет супер.
Борис, как всегда, заглядывал чуть дальше, когда разбирал операцию возведения в степень. А так это уравнение решается любым школьником, который помнит, что такое показательная функция.
Только недавно посмотрел оба этих видео, задался вопросом "а как же все таки быть с ответами?", и на тебе, Трушин уже видос выкладывает 😃 Обожаю Бориса, он всегда на волне и вовремя.
Спасибо вам большое! Только недавно думал, что нужно попросить вас прокомментировать это видео, а вон оно как! Очень люблю такие ваши видео с, казалось бы, незначительными тонкостями. Потом хожу радостный и пропагандирую друзьям и ученикам.
Без лайка нельзя! Как объяснение "определения" и почему оно такое, просто СУПЕР! Но как говориться: - по описи корова одна, одну и сдавать будем. Содержательно, корректно, убедительно.
@@ЮраНазаров-э9с откуда ты взял «все» 6 решений? С чего ты взял, что в комплексных числах будет всего 6 решений. В комплексных числах 6 решений будет только в уравнении 6 степени. Разве здесь уравнение 6 степени? Нет, здесь уравнение бесконечной степени, если представить показательную функцию через экспоненту. Экспонента, как известно расписывается в бесконечный ряд Тейлора exp(x)= 1+ x/1! +x^2/2! +... x^n/n!+... Можешь считать это определением экспоненты. Стало быть, имеем многочлен с бесконечным количеством членов. А значит, бесконечное число корней многочлена. Действительных из них будет наверно, 6, но ведь мы же решили решать в комплексных! Кроме того, само возведение комплексного числа в комплексную степень - функция многозначная как и Ln. И ещё: «американское» «решение» построено на том, что в действительных числах есть два разных числа, которые являются корнями единицы: -1 и 1. Причём не квадратными корнями, а любыми корнями, т.е. числами, возведёнными в какую-нибудь степень дают 1. Но в комплексных числах таких корней из 1 целая окружность: это все такие z=x+iy, для которых выполняется равенство x^2+y^2=1 Так что никак не 6 решений.
Есть такой стих (автора не знаю) Был этот мир глубокой тьмой окутан Да будет свет! И вот явился Ньютон! Но сатана недолго ждал реванша: Пришёл Эйнштейн и стало всё как раньше!
Как раз сегодня утром посмотрел эту задачу(канал Волкова), не поняв почему корней 4, а не 6, пошёл смотреть ваше старое видео об этом) Спасибо за ваши видео разъяснения!
@@DenisGontarev это то и значит. Говорят что уравнение следует решать там то, например, над полем действительный чисел, или в кольце вычитала по модулю k, над полем действительных чисел и т.д.
@@DenisGontarev я согласен. Написано найти все действительные х - 3 и 4 подходят, подставьте - проверьте. Не понимаю всего этого разговора про область определения - при 3 и 4 получается верное равенство. Какая нам разница, что происходит с этой функцией в других точках?
@@mikhail_from_afar Так автор весь ролик тебе говорил, что надо разделять возведение в целую степень и в действительную. Ведь если ты подставишь точки 3 и 4 в уравнение, то поймёшь, что в них основание принимает отрицательное значение, а это не верно для операции возведения в действительную степень. Соответственно эти точки не подходят.
Забавно получается, решить уравнение=найти все x, при которых равенство достигается, но x=3,4 мы откидываем из-за одз, хотя равенство в этих x достигается. Порой математика заставляет задуматься..
Или доказать, что таких решений нет. Этих решений нет из-за противоречия. Кстати, этот кейс похож на кейс с нулём (на него делить нельзя). ' вообще таких кейсов в математике очень много'
@@ДаняКозловский-ъ4с противоречие возникает при рациональной степени, это я знаю, но при х 3 и 4 степень будет целой, поэтому противоречия в конкретной подстановке нет.
@@nikolay2263 Если решаем c операцией возведения в целую степень, то противоречий нет, корней 6. Но утверждается, что решаем с рациональной. Операция возведения в целую степень и рациональную - РАЗНЫЕ операции, нужно бы их вообще обозначать разными значками, - отсюда путаница. Борис как раз чётко показал, что (-1)^10 не определена однозначно, если применяется рациональная операция. Другими словами, (-1)^2k НЕ РАВНО 1, если мы применяем рациональное возведение. Можно вообще дать 2 ответа для каждой операции, раз прям чёткого указания нет, и это самый правильный вариант.
Мне кажется, если не оговорено иное, задачу "решить уравнение" можно воспринимать как задачу "найти все значения x, которые при подстановке в выражение дают однозначное равенство". То есть выражение можно рассматривать И как возведение в целую степень, И как возведение в действительную степень. И все подходящие значения являются корнями уравнения
Ещё вариант: считать возведение в дробную степень отличающимся от операции с использованием знака радикала. Потому что, используя знак радикала, мы видим, в какой последовательности идёт операция. А в дробной степени - не видим. Так получается, что под знак радикала мы можем ставить отрицательное число (например, при извлечении кубического корня из -8), а возведение (-8) в степень 1/3 будем считать не имеющем смысла. Я часто такое вижу в разборе задач ЕГЭ: корень третьей степени из отрицательного числа - допускается.
Ну что значит не катит, ты же хочешь использовать свойства степени во всевозможных выражениях, нельзя придумать способ контролировать возникновения таких ситуаций. Даже если бы можно было, оно того не стоит - как правильно сказал БВ, нам гораздо важнее уметь использовать привычные свойства степени, чем уметь возводить в действительную степень отрицательные числа в каких то очень специфичных редких случаях
@@parafraz1946 Справедливости ради, такое прокатывает с _нулевым_ основанием: для него степень обычно определяется только для _положительных_ показателей, и все свойства выполняются только при условии, что показатели остаются _положительными:_ 0⁷ = 0⁵⋅0² ≠ 0⁹⋅0⁻² (т.е. в этом случае мы их таки контролируем). Если пойти дальше по этой скользкой дорожке, то и для степени с рациональным показателем для дробей, которым соответствуют _целые числа,_ мы могли бы определить степень с отрицательным основанием как 𝒂ᵐᵖᐟᵖ = 𝒂ᵐ - и все свойства будут выполняться при условии, что числители показателей кратны знаменателям. А потом можно пойти ещё дальше и определить степени с рациональным показателем для дробей с _нечётным знаменателем_ (мы же всегда можем вычислить корень нечётной степени) - и все свойства снова будут выполняться, пока знаменатели показателей остаются нечётными. Кстати, в некоторых источниках именно так и поступают (или по крайней мере оговаривают такую возможность). Но в школе о таких нюансах говорят очень мало (тут Борис прав) и у учеников обычно не складывается цельной картины и завершённого представления об операции возведения в степень.
Извиняюсь, ерунду написал, которую еще и в ролике проговорили. Разобрался. Но действительно тема крайне запутанная. Причем очень фигово гуглится. А потом еще и случайно стер свой коммент и зацепил ваш комент. Сообразил, что чушь до вашего ответа. Вы очень здорово рассказываете такие вещи. В отличие от волкова!
Судя по комментариям, путаница никуда не ушла, и народ всё ещё не понимает всю её суть. Поясню своими словами как программист. Операция целого и рационального возведения - разные операции. Почему? По определению. Представим каждую операцию как алгоритм. Для целых назовём её допустим PowZ(a,b), для рациональных PowQ(a,b). PowZ реальзован как последовательное умножение b раз, может принимать на вход любое умножаемое a и только целый b, при не целых алгоритм лишён смысла и сломается. PowQ реализован, допустим, через ряды, но он так же сломается, если a < 0, значение b будет совершенно не важно, до него не дойдёт. Таким образом, если мы применяем операцию рационального возведения (алгоритм) PowQ, то он не завершится успешной проверкой на PowQ(-1, 2*k) == 1, - равенство не будет выполнено. Если бы применяли PowZ, то корни, отличные от целых бы тогда не подходили (не для этого примера, но можно придумать). Само уравнение можно и нужно воспринимать как функцию проверки, тогда совершенно очевидно, что применяемый в ней алгоритм не может меняться в зависимости от значений параметров.
Борис спасибо вам. С большим удовольствием смотрю все ваши видео. Очень интересно. Я понял так. Пусть ^ - действительная степень, ^^ -целая степень. Целая степень понятно как вводится. Операция возведения в действительную степень определена через предел (у нас так было). Поэтому, если под ^ понимать возведение в действительную степень, в операции a^b основание должно быть положительно.Число (-1)^1 не определено (хотя казалось бы, в целых - это(-1)^^1=(-1) ) потому что не существует соответствующий предел. Да, в целых есть число (-1)^1, но нет числа (-1)^1.000000...01 сколько нулей ни возьми, ведь это (-1)^1 * (корень дохреналионной четной_степени из(-1)). В любой сколь угодно малой окрестности 1 будут дыры. Предел не существует. Если посмотреть с практической точки зрения. Предположим, что s=x^y -это что-то осмысленное и действительное (не целое), сколько килограмм шоколада нужно для конфеты, x,y - характеристики конфеты. Пока x положительное - все хорошо, есть непрерывная зависимость массы шоколада от граничных условий, но если x отрицательное, то может (-1)^2 и определено (нет), но стоит увеличить размер конфеты на исчезающе малое d=0,000...01, и все (-1)^2.00...1 - решение совсем другое, точнее его не существует. Конфета в 2см и в 2.000(сколько угодно нулей)...01см это одна и та же конфета. Но шоколада на них нужно было бы сильно по-разному, если бы операция (-1)^2 была определена.
Спасибо за ролик. Безусловно лайк! Валерию Волкову тоже поставил :-) у него сразу идет условие, что основание степени обязательно положительное. P.S. Про (-1)^10 и возведенное в степень 1/2 и т.д., когда 1 = -1 отдельное спасибо :-))
4:00 Да! Если взять абелеву группу с множителями из кольца, и посмотреть на это со стороны неабелевых групп, точнее записи выражений в них, - мы увидим, что множитель станет степенью. То есть, в случае свободной группы, - мы меняем или прибавляем новые элементы в виде степеней других, но это уже точно не банальное количество "множителей", это иное. То есть, целые показатели - естественные, они исходят от групповых свойств.
@@andynaz7044 если комбинаторное представление групп предполагает что есть элементы а, b, то есть и a², b¯². Это тождественно аа, b¯¹b¯¹. Но формально, 2, -2 есть целые числа. А если пойти дальше? И рассмотреть формально а^λ, где λ - элемент иной группы или кольца, ведь целые числа формируют кольцо. Но в абелевых группах b²=b+b=2b так пишут, ибо удобнее, а смысл не пропал, и может, b^λ =>λb ? А если группа неабелева? Тогда вот так опустить показатель - уже нельзя..но и в действительных числах проблема. Вот моё предложение, оно похоже на что-то вроде расширения, отчасти похоже на построение группового кольца.
Англоязычных надо учить, решать уравнения со многими результатами. Пусть заложат такую математику, в системы управления боезарядами. При таком их обучении, вероятность попадания заряда в цель, становится маловероятной. 🎉
Непонимание, скорее всего, вызвано ТЕМ ПРОСТЫМ МОМЕНТОМ, что многие не осознают до конца, что данные операции РАЗНЫЕ. Это не кажется людям ОЧЕВИДНЫМ. Отсюда вытекают проблемы все, в том же видео англоязычном. Ведущий здесь отметил этот момент несколько раз, но ВНЕЗАПНО этого недостаточно (судя по некоторым комментариям). Надо было прямо через каждое предложение говорить: "это РАЗНЫЕ операции", "это РАЗНЫЕ операции", "это РАЗНЫЕ операции" и т.д. Хотя даже показано было на конкретных определениях, что под этим понимаются ВНЕЗАПНО разные операции. В общем, сложность тут именно в том, что эти РАЗНЫЕ операции очень-очень похожи друг на друга, не только "значком умножения", а тем, что мы работаем с близкими объектами: действительными и целыми числами (множество целых чисел является подмножеством действительных). Отсюда вытекает проблема. Всё становится прозрачнее, когда мы рассматриваем, например, избитую операцию умножения на объектах вроде матриц. Там уже привычное людям со школьной скамьи, вдолбленное напрасно, свойство коммутативности ВНЕЗАПНО не работает. Человека это шокирует в каком-то смысле, но он начинает понимать, что эта операция хоть и называется умножением (потому что достаточно близка к привычному ему со школы умножению), но всё-таки она ДРУГАЯ. Тоже самое, например, если брать операцию конкатенации строк из программирования. Нередко она описывается "значком сложения", но ведь очевидно, что когда мы работаем со строками, то мы не получаем какую-то классическую "сумму" из этих объектов, мы их просто соединяем. В некоторых языках для этого используются другие "значки", в других - привычный "значок сложения", ибо чем-то там отдалённо напоминает сложение и это как бы интуитивно и как бы проще и т.п. Таким образом, когда человек осознает, что это РАЗНЫЕ операции, то его не будет шокировать момент с разными ответами ровно также, как его не шокирует, что 1) 2 + 1 = 3; 2) 2 - 1 = 1; 3) 2 * 1 = 2. Ответы разные, потому что операции РАЗНЫЕ. Вот, в принципе, если утрировать, и всё. Да, надо ещё отметить, что операции сами по себе НИЧЕГО НЕ ЗНАЧАТ. Любая операция это просто отображение. На вход поступают объекты, на выходе получается результат после некоторой работы с этими объектами. Не углубляясь во всякие дебри, этого достаточно для начального понимания. Проще говоря. операция без конкретного описания объектов, с которыми она работает - ничего не значит. Без объектов никакой работы быть не может, работа выполняется над ними. Поэтому привычного названия операции недостаточно, чтобы понимать суть работы конкретной операции. Отсюда "умножение матриц" - конкретная операция над матрицами, "умножение действительных чисел" - конкретная операция над действительными числами, "умножение комплексных чисел" - конкретная операция над комплексными числами, "умножение векторов" - конкретная операция над векторами. Ну, и т.п.
Борис, спасибо за этот ролик! Это такой важный для понимания вопрос, и по общению со школьниками своих друзей знаю, что многие тут просто запоминают, что если показатель рациональный (позже, уже в старших классах, - вещественный), то основание степени исключительно положительное. Спрашиваешь, а почему? Отвечают один, два из десяти школьников.
14:02 Не, всё не плохо. -1^(1/3) же не определено, поскольку числитель у степени нечётный. Это не плохо, это ваще полный привет! А ещё, на самом деле, разрешая основанию степени быть отрицательным, мы автоматически выходим в поле комплексных чисел и вынуждены будем смириться с тем, что возведение в степень дает больше одного результата. Честно говоря, не очень понятно после этого как жить и решать подобные задачи
Когда рассматривали пример с четным числителем в степени, ((-1)^(2/3))^(1/2) = (-1) ^ (1/3). Но 1/3 имеет нечетный числитель. Переводим в четный = (-1) ^ (2/6) = 1. Противоречия нет.
С чего бы, просто корень третьей степени (условимся, что переход к корню возможен), тогда поставим вопрос иначе- какое число в 3-й степени равно -1? Очевидно -1 тут вполне подходит. Это при чётных знаменателях такая операция невозможна.
@@murmol444 а, так вы вопрос задали, а не утверждали, тогда проблема не в нечётном знаменателе, а в неединичности ответа или конкретнее нарушении свойств выражения (а^bm=(a^b)m не всегда выполняется), так скажем
@@dadexain вы или не смотрели видео, или не понимаете, о какой его части я говорю. Начиная с 12:00 Борис разбирает один из подходов к возведению отрицательных чисел в рациональную степень. Он показывает, что этот подход не состоятелен, потому что при нем не сохраняются некоторые стандартные свойства степени. Однако в процессе доказательства он пользуется возведениемв такую степень, которая в рассматриваемом подходе не допускается
@@murmol444 вот теперь понятно, просто не понял к чему вы указали на нечетность знаменателя, проблема то не в этом. А так в том то и суть, что даже при четном числителе мы получим нестыковки и придем быстро к например (-1)^(1/3), что нельзя высчитать
Вознесение в рациональную степень следуя логике вознесения в целую степень даёт разные значения для эквивалентных дробей. Оно различно на одном и том же классе равных дробей. А это плохо, вознесение в степень должно сохранять классы, так оно естественно. Иначе придётся принять некоммутативность или вообще нассоциативность кратных степеней.(когда множить показатели) Но вообще-то, можно так сделать, ради интереса.
Корень четной степени имеет два значения например √4=2 и √4=-2 потому что корень это обратная функция возведения в степень. Так что ((-8)^2)^(1/6) имеет два значения 2 и -2. И тут нужно выбрать какое значение подходит так что противоречий не возникает
Спасибо огромное за очередной разбор этой околоматематичной софистики, можете пожалуйста ответить на такой вот интересный вопрос? Верно ли будет сказать, что если мы решаем уравнение f(x) = g(x) и хотим найти его корни, то это эквивалентно формулировке "найти нули функции F(x) = f(x) - g(x)"? Потому что многие судя по всему считают, что корни уравнений с функциями не связаны и мол поскольку у нас не "показательно-степенная функция, а уравнение" - то мы должны руководствоваться здравым смыслом, а не областью определения. Заранее спасибо если ответите!
Меня это больше всего удивляет в этой ситуации. Люди за 11 лет школы решили сотни уранений, при этом не понимая, что такое уравнение. Уравнения напрямую связы с функциями
Дано уравнение f(x)^g(x)=1, где f(x) = x^2-7x+11, g(x) = x^2-13x+42, а х - действительное число. Здесь f(x)^g(x) - арифметическая операция возведение в степень. Результат операции возведение в степень может равняться 1 только в следующих 3 случаях: 1. f(x) = 1, g(x) - любое действительное число. Уравнение f(x) = 1 имеет корни х1 = 2, х2 = 5, а значит х1 и х2 корни уравнения f(x)^g(x)=1. 2. f(x) неравно 0, g(x) = 0. При х3 = 6 и х4 = 7 f(x) неравно 0, а g(x) = 0. Значит х3 = 6 и х4 = 7 корни уравнения f(x)^g(x)=1. 3. f(x) = -1, g(x) - чётное целое число. При х = 3 и х = 4 f(x) равно -1, а g(x) соответственно равно 12 и 6. Значит х5 = 3, х6 = 4 корни уравнения f(x)^g(x)=1. Те, кто считает, что следует рассматривать только случай, когда f(x) > 0, приводят пример, когда якобы при f(x) < 0 нарушается свойство степени (a^n)^m = a^(n*m): а = -1, n = 10, m = 1/2, ((-1)^10)^(1/2) = 1, а (-1)(10*1/2) = -1, забывая о том, что при f(x) < 0 операция возведение в степень определена только для целых показателей степени, а в этом случае m = 1/2 не является целым числом. Т.о. уравнение f(x)^g(x)=1 имеет 6 корней: 2, 3, 4, 5, 6 и 7.
@@petrxile Математика - это наука, а не религия! Здесь нужно понимать, а не верить! А может быть Вы так шутите? Если это шутка, то извините, что не понял Ваш юмор.
В действительных числах такие корни не подходят, а вот в целых спокойно,потому-что дроби не входят в целые числа, а именно из-за них корни 3 и 4 не работают. Надеюсь объяснил
@@ВіталійМахін-о3ж целые числа - подмножество действительных. Один из способов решения в целых числах - решение в действительных. А операция возведения в действительную степень - это самая общая операция, которую можно рассматривать в случае целых чисел как возведение в целую, а в случае не целых - как в не целую. То же самое и в случае положительных-отрицательных чисел. Поэтому корни 3 и 4 "работают" всегда. Если уж такие проблемы возникают, лучше сразу решать в комплексных числах и выбирать действительные значения. Либо разбивать на случаи: либо основание больше нуля, либо равно, либо меньше. И для случая когда больше нуля решать через функцию, а для остальных случаев - иначе.
@@antpus И ты хочешь менять типы объектов в процессе операции? Очень удобно. Не понравилось что-то, так похуй... пусть показатель будет целым, а счас я не хочу, чтобы он был целым, ну, похуй... сделаю его действительным. Охуенно, конечно. Только вот ВНЕЗАПНО операции возведения в степень при целом показателе и действительном - РАЗНЫЕ. Это разные операции. Этот момент ты не учёл, поэтому ДО ВЫПОЛНЕНИЯ ОПЕРАЦИИ (представь себе, вот так вот парадоксально) надо определиться с какими объектами ты работаешь, а не менять их когда тебе вздумается уже в процессе. Отсюда и выходит казус - ты берёшь операцию для работы с целой степенью, но по сути работаешь с операцией над действительной степенью. Если бы ты изначально задал, что вот так и так я считаю эту конкретную операцию возведения в степень как операцию возведения в степень с целым показателем. Вот тогда да, тогда пожалуйста впихивай свои 3 и 4 в ответ, это будет справедливо. А насиловать операцию возведения в действительную степень не нужно, пытаясь в неё впихнуть невпихуемое от операции возведения в степень с целым показателем. Ограничение в этой операции задано как раз-таки неслучайно. Пересмотри вторую половину ролика, там подробно объясняется "с картинками" (на примерах) почему это ограничение введено в данную операцию.
@@grigoriikuchumov2277 дело в том что 3,4 корни уравнения, отвечающие условию задачи. То как мы решаем это уравнения это проблема самого ученика, у него задача найти все корни уравнения отвечающие условию задачи и все.
@@ЕвгенийНедужий-й9с можно. 4 не переменная величина. И это операция возведения в действительную степень. Но когда у вас изначально ситуация, (x)^y, вы не имеете право рассматривать x=-1 y=4, если не отговариваете что х и у целые до этого
Не понимаю, почему мы должны откидывать 3 и 4. 3 * 3 - 13 * 3 + 42 = 12 (целое число). 4 * 4 - 13 * 4 + 42 = 6 (целое число). В обоих случаях степени возводятся в целое число, а значит это можно рассматривать как возведение в целую степень. В условии задачи не было сказано "мы возводим только в действительную степень".
Если кратко, для этих значений не работает свойство степеней. Чтобы это понять нужно ещё раз посмотреть этот ролик и предыдущие про возведение в степень.
@@prioritizer Я смотрел ролик и понимаю суть (наверное). Трушин объясняет, что существует два (!) вида возведения в степень, первый из которых - это само возведение, а второй вид - это когда ты вначале извлекаешь корень, а потом возводишь в степень. Мой вопрос заключается в том, почему эту задачу нельзя трактовать как возведение в степень первого вида? В задаче нет степеней в виде дроби.
@@jaroslavtavgen3939 , Здравствуйте, можно трактовать в в первом виде, но во первых задача в оригинале на английском во втором виде (в действительных числах), а во вторых это условие должно быть четко прописано, чего часто нет. Но конкретно в этой задаче было в Действительных, хотя в ролике не упоминается.
Ну и что делать? Если дали такую задачу, то решать отдельно 2 задачи для R и для N? А если проверять будет какая-нибудь МарьИванна, она же тупо сравнивать будет с ответом, а он - не сойдется. Или нужно предполагать, что если выражения - многочлены, то здесь R, а не N, потому что в школе операции с целочисленными многочленами не проходят? Как поступать-то в случае некорректных условий?
Как мне кажется, большинство, просмотревших это видео, забыли или не знают, что такое арифметическая операция возведение в степень, а в уравнении f(x)^g(x)=1, где f(x) = x^2-7x+11, g(x) = x^2-13x+42, операция f(x)^g(x) - это операция возведения степень, где f(x) - это основание степени, а g(x) - её степень. Как определяется операция возведение в степень можно посмотреть здесь th-cam.com/video/zd5yBOXPmpg/w-d-xo.html. То, что решение ищется в области действительных чисел означает только то, что х может принимать только действительные значения, а не комплексные. А как Вы хорошо знаете, целые и рациональные числа также являются действительными. Чем, спрашивается, числа 2, 5, 6 и 7 лучше, чем 3 и 4?
На видео все максимально правильно рассказано, но в комментариях всегда найдутся несогласные умники, со своей, особенной математикой... Зачем вы это написали? Или в вуз на мат. Кафедру. Там вам все подробно расскажу. Отвечая на ваш вопрос, чем 3 и 4 хуже: x=3 и 4 не попадают в область определения данной задачи. P.s. давал аналогичные задачи на собеседовании (математик/аналитик). Кто не может задать область определения, и получает ответ с (3, 4) сразу идет лесом.
Правильнее будет сказать что для людей, проще упростить, и сохранить свойства степени, но будет ли это иметь отношение к математики, а не психологии? если рассматривать математику как что то внешнее, независимое от человека, вот получается к примеру ответ 2 и -2, и ЧЁ? ответ не должен быть один, или есть доказательство что ответ должен быть один. По моему правильнее принять много вариативный ответ, и принять что свойства степени которые кто то возвел в правило на самом деле не правило, а исключение, подходящее для каких то частных случаев. И это будет правильно так как математику мы применяем к реальному миру, который не ограничен искусственно.
Здравствуйте, подскажите пожалуйста. А подсказкой для области определения может служить то, что это квадратичная функция в квадратичной степени, тем самым обращая внимание, что основание должно быть строго положительным. Или это тоже самое, что в ролике, но частный случай?
Когда я смотрел видео Valery Volkov, и он сказал на 6:20 "когда мы говорим, что корнем является значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство, нужно обязательно иметь ввиду, что корнем может являться число, при котором определены левая и правая часть нашего уравнения. Но с точки зрения показательно-степенной функции на множестве действительных чисел отрицательное основание нам не подходит. А это значит корни, при которых основание будет равно минус единице не удовлетворяют области определения левой части нашего уравнения." Я рассмеялся, и подумал "ну бред же!". Почему я так подумал? Потому, что решать уравнение предлагается через введение функции f(x) - функции от левой части, и g(x) - функции от правой части, и искать такие x при которых f(x) = g(x). И только так. Вместо того, чтобы просто найти множество таких x из R, что левая часть равна правой и определена. Затем, на "почве" того, что f(x) предлагается "по умолчанию" вводить на действительных числах, следует считать, что тогда возведение обязательно по основанию > 0, и при основании < 0 оно не определено. Причём, это не потому, что f(x) не определено при x = 3, а потому, что оно не определено при x=3.5, так как получается (-1.25)^8.75. При этом, доказывается что при x = 3 не определено именно тем фактом, что есть множество таких x при которых получается (отрицательное)^(не целое). А то, что при x = 3 получается (отрицательное)^(целое) - никого не волнует. Хотя всем известно чему равен результат. К чему я это? А вот к чему: спросишь любого: а чему равно (-1)^12 - он скажет 1. Однако, вы тут все утверждаете, что если я переформулирую: А чему равно (-1)^(действительное 12), то правильный ответ внезапно должен стать "не определено". Ну бред же! Ведь действительное 12 не перестаёт быть целым. Многие отмечают, что в оригинальной задаче было требование найти решение на действительных числах, ну так 3, 4 это действительные числа. Я специально перечитал всю страницу на википедии про возведение в степень, и там сказано, что для целых степеней для любого основания определен результат. Так почему же вдруг я должен говорить, что -1 в степени (действительное 12) это не определено? Потому, что оно действительное? Но действительное 12 это же целое 12.
Во-первых, почитайте фихтена, у него определение возведения в степень с вещественным показателем есть Во-вторых, просто порассуждайте дальше. Допустим, я с вами согласен и даже на множестве вещественных чисел выражение (-1)^12 существует, определено и равняется 1. Примем это как допущение. Далее, раз степень-то вещественная, я хочу посчитать выражение ((-1)^12)^1/4. Если я знаю, что (-1)^12 это 1, то ответ должен получиться 1. Однако, если мы используем общеизвестное свойство степени (a^m)^n = a^mn, то получится выражение (-1)^3, что равняется -1. То есть получается неопределенный ответ, из-за которого не выполняется свойство степени, характерное для любого множества чисел. Пришли к противоречию, что возведение в вещественную степень, где показатель оказался целым, невозможно, из-за нарушения базовых свойств возведения в степень
@@ЮрійПогуляєв-б4оДавайте я постараюсь кратко. Вы говорите, "вот вам пример где свойство не выполняется", следовательно функция не определена. А вы не думали, что просто у свойства есть свои ограничения? У вас так получается, что свойства должны выполняться, потому что мы так хотим. А не наоборот, есть функция, и у неё есть свойства. Почему просто нельзя сказать что в данном случае свойство (a^m)^n = a^mn не выполняется, и всё. А именно, при отрицательном a. При этом, на английской википедии, этим свойствам дают ограничения. В частности, там где указано это свойство, сказано, что для любых целых n, m оно выполняется, если основание не ноль. А потом далее говорится, что для не отрицательных оснований и нецелых степеней это тоже верно. В то время как вы наоборот, хотите чтобы свойства были всегда верны и запрещаете возводить. На английской википедии наоборот, разрешают то, что можно адекватно посчитать, а потом уже говорят о свойствах того, что получилось. Если идти дальше, то там рассмотрены способы возведения комплексных чисел в комплексные степени, в зависимости от того, как мы это себе определим, и какие получатся свойства. Ну и наконец, свойство не может противоречить определению. Поэтому, если дать определение, и получилось противоречие, то это значит свойство не выполняется.
@@r75shell а я и не спорю, что можно ввести ограничения. Вопрос только в том, чей концепт лучше подойдет для математики. Пример с нулем гуд, вот только в той же статье во-первых написано "Neither the logarithm method nor the rational exponent method can be used to define b^r as a real number for a negative real number b and an arbitrary real number r." (раз уж мы на вики ссылаемся). Второй момент - ваша модель не допускает логарифмический переход гладко в таком случае. Для a^x = e^(x*ln(a)) вы тоже будете делать указки "работает только для положительных а"? Третий - даже если с горем пополам опустить отрицание свойства произведения и логарифмический переход и сказать, что окей, мы рассматриваем a^b даже для отрицательных a, получится так, что число b не будет являться вещественным. Смысл в чем - если мы знаем, что a отрицательное, то будут существовать вещественные числа, при которых a^b не определено, но пока что мы хотим с этим мириться. Допустим. Однако тогда это нельзя назвать возведением в вещественную степень. Потому что если мы утверждаем, что b - вещественное, то a^b должно существовать как раз таки для любого b, потому что в вещественных числах возникает аксиома непрерывности. Если же из всей числовой оси мы будем выкалывать неудобные нам точки и подставлять оставшиеся значения как область значений b, то b это уже не вещественное число, а другое множество чисел (которое вам еще кстати надо определить) Момент 4 - предельное определение в таком случае тоже работает коряво. Если вы знаете, что (-1)^2 это 1 и точно так же считаете в вещественных числах, то если вы определите сходящуюся к 2 последовательность чисел слева хотя бы (1.9, 1.99, 1.999, 1.9999 итд) - в них значение степени не будет определено, то есть в окрестности двойки не будет предела. Что опять таки требует, чтобы мы как-то руками это фиксили, ибо это не работает И по итогу, что же проще - выбросить отрицательные числа и опустить кучу неприятных моментов или же ради сиюминутной выгоды попытаться их оставить и руками фиксить кучу костылей (которые кстати потом перед мат сообществом еще надо будет пояснять, а зачем же вы так сделали). Именно поэтому договорились считать основание вещественной степени положительным.
@@ЮрійПогуляєв-б4о про (-отрицательное действительное)^(действительное) согласен. Про логарифмический переход - да, будет не гладко, и что. Тангенс вообще разрывный. Про то, что если отрицательное основание а степень должна быть целой - да. Просто скажем что отрицательное в не целой точке не определено. Точно так же как мы говорим, что при не целой степени при отрицательном основании не определено. Я вдруг понял, что надо бы ещё подчеркнуть, что я не спорю с тем, что отрицательное в иррациональное не определено, но я считаю, что "за одно" выкидывать что-то ещё - странно. Про четвёртый момент: определение через предел рациональных степеней - взяли да определили только ту часть, которая с положительным основанием, остальное повторным умножением. Не вижу кучи костылей, вижу только один - целые степени любых чисел.
@@r75shell ну так вот и получается, что внося разрывность, вы уже определяете не вещественную степень) то есть a^b при любом a є R будет существовать в такой трактовке для b с кучей ограничений, которые означают, что b не совсем принадлежит R, однако мы это называет степень с вещественным показателем))) понимаете смысл? То есть мы повводили костыли, а теперь получаем, что это как бы не совсем то, чего мы хотели изначально - возвести в любую вещественную степень число a
Ребят привет может поможете с задачей? С пунктом (б) хотя бы, а то я туплю. .. Плоскость α проходит через середины рёбер AD, CD и BB1 параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 . б) Найдите объём меньшего из многогранников, на которые плос- кость α разбивает параллелепипед, если объём параллелепипеда ра- вен V.
А вот интересно, какой ответ ЕГЭ считает верным? Это же чисто засада и к математике не имеет никакого отношения. Корни 3 и 4 дают ЦЕЛЫЙ Чётный показатель, значит, они являются решениями данного уравнения.
Какая разница какой показатель дают конкретные числа. Задание подразумевает возведение в действительную степень, а в таких случаях вне зависимости от показателя возникают ограничения на основание.
@@roflkek6901 Я имел в виду, что если, например, (-8)^1/3 существует и равно -2, то (-8)^(1/3+alpha) должно стремиться к -2 при alpha стремящемся к нулю. (А для этого оно должно как минимум существовать в некоторой окрестности нуля).
да глупости это всё. Какая непрерывность, какое "хотим"? Ответ подходят? Подходят. Всё. Значит, если это противоречит каким-то там нашим принятым ограничениям - надо менять ограничения. Это то же самое, что видеть три банана на дереве, но по "математике" их должно получиться четыре. И мы давай утверждать, что на самом деле на дереве четыре банана, но реальность, которую мы видим - неправильная. Реальность - мерило и судья математики, а не наоборот.
@@romanapanovich5267 Вы в реальности видите отрицательное или комплексное число бананов? Нет. А значит, ни отрицательных, ни комплексных чисел быть не может. Ведь реальность мерило математики.
Да это полный бред, в данной ситуации мы не только можем, но и обязаны рассматривать операцию возведения в целую степень, ведь Х {3, 4} даёт нам целые ответы и никто не просит найти действительный Х. И данные корни дают определенный ответ, тем самым никаких надуманных ограничений быть не может.
@@nikolayvavilin583 почему же дичь, если подставить 3,4 ответ будет верным. Математика должна давать ответы на все возможные вопросы, а не ограничивать ради исключения возможных ошибок и неопределённостей.
@@123-c3c5p не будет верным. Решение надо начинать с ОДЗ. Если есть неравенство вида (1/3-x)^2 >= 0, и я буду его решать так. Сделаем замену, основание левой части равно А. А^2 >= 0. Любое число в квадрате больше или равно 0, значит решение любое число, то я идиот. Я ВНАЧАЛЕ обязан описать ОДЗ x !=3 а потом делать что хочу. Так и тут вы сначала обязаны написать ОДЗ: основание действительной степени больше 0. Точка. Все. Тут нет споров, есть строгое правило. Или другой пример. 1/3-x - 1/3-x = 0. Я могу сначала вычесть и сократить и будет 0=0.
Действительно, возникает путаница. (-1)^12 как возведение в целое число, означает 12 раз перемноженных между собой -1 и это 1, а (-1)^12.0 как возведение в действительную степень, подразумевает совсем другое, и уже лишено смысла. Менять операцию на лету довольно странный ход. Мы ведь не подменяем какой-нибудь логорифм на синус для отрицательных чисел под предлогом "Логорифм тут не имеет смысла, но если подставить вместо логорифма синус, то уравнение будет иметь решение!".
@@ГлафираКефарова Не совсем понимаю, почему вы выбрали этот комментарий для своего вопроса, а не комментируете само видео, но ничего не имею против. В моём понимании и правда, решая задачу в действительных числах означает, что мы используем операцию возведения в степень определённую для действительных чисел т.е. ту которая не определённа для отрицательных оснований. Но и ответ будет действительным числом ( а не, например, комплексным, хотя конечно, с должным желанием действительные числа можно считать комплексными с 0 мнимой частью ) Решая уравнение в целых числах, логично использовать операцию возведения в степень определённую для целых чисел ( и уже определённую для отрицательных оснований). И ответ, конечно же должен быть целым числом. Действительные числа включают целые ( как вы наверняка знаете ) , поэтому 2 пункт в разделе вашего комментария посвящённого решению в целых числах... вызывает некоторое недоумение. Ответ будет целым числом, но любое целое это действительное.
@@shpigelmaned под 12 я подразумевал целое число и как следствие операцию возведение в целочисленную степень, определённую как произведение числа 12 раз. Написав 12.0 я пытался подчеркнуть, что смотрю на него как на вещественное число и соответственно, операцию возведение в степень как совершенно иную операцию, с другим определением и областью определения. Тот факт, что для положительных оснований и тех действительных чисел, которые так же являются целыми, результаты этих операций совпадают, не делают эти две операции одинаковыми. Этой припиской .0 я, видимо неудачно, хотел подчеркнуть ту операцию, которая подразумевается при записи. То, что при вычитании одного из другого получается 0, не меняет всё же, главной мысли, связанной с тем, что в рассматриваемом примере существует путаница с операциями. Можно другой пример вспомнить, который тоже очень любят обсуждать на TH-cam : факториал и гамма-функция Факториал, как унарная операция определена на не отрицательных целых числах , как произведение целых чисел от 1 до самого числа ( наверняка не самое корректно определил факториал написал, но на главную мысль это не повлияет) Гамма функция же, определяется не только на целых числах как один хитрый интеграл, записывать который в комментариях крайне неудобно, и вы сами его возможно знаете, или можете найти при помощи интернета. Гамма функция в целых числах совпадает с факториалом Но так же она определена и не на целых числах тоже, это пораждает лже-сенсации вроде (1/2)! Факт того, что часть значений в целых числах совпадает, на мой взгляд, не делает эти две операции одинаковыми. Возможно, вопрос является от части философским, и я согласен, что возможно, здесь есть простор для размышлений Как вы считаете, если исходить из одних и тех же чисел, но делать совершенно разные операции ( перемножать числа / брать несобственный интеграл или, вычислять предел) , а на выходе получить одно и то же, можно ли считать эти операции одинаковыми ? Я придерживаюсь позиции, что это всё же нельзя назвать одной и той же операцией. Надеюсь, я достаточно понятно изложил свою позицию.
@@penguinpenguin-zm2mr Не кажется ли Вам странным, что когда Вы считаете, что 12 - целое число, то это одна операция, а если Вы вдруг решили, что 12.0 - это действительное число, то это что-то другое. На самом деле в математике существует одна операция возведения в степень - a^b, где a - основание степени, а b - показатель степени. Основание степени может быть любым действительным числом. Если a < 0, то a^b определено только для целых b. Если a > 0, то a^b определено и для действительных b. Поэтому, когда Вы имеете дело с возведением в степень, то первым делом нужно выяснить основание степени положительное, или отрицательное, и действовать соответственно.
@@shpigelmaned нет, мне не кажется это странным. Когда я возвожу в целую степень я подразумеваю перемножение чисел между собой. Когда я возвожу в действительную я думаю об этом как о пределе. Две совершенно разных образа в голове и операции, результат которых, так получилось, совпадают для целых чисел при положительных основаниях. Так же как и в примере с факториалом и гамма-функцией То, что один хитрый интеграл, если подставить туда целое число, даёт тот же результат, что и перемножение чисел, не делает первое вторым, а второе первым. Я не являюсь математиком, но для меня довольно странно слышать, что в "на самом деле в математике только одна операция возведения в степень" Можете, это утверждение как-то обосновать ? Например, какого-то единообразного определения, хватит Вот, в этом видео, автор приводит два определения, по одному к каждой операции. Было бы интересно узнать, как вы понимаете эту операцию. Довольно странно определять операцию для действительных чисел, как "если показатель, оказался помимо того, что действительный ещё и целым, то возведение в степень это одно, и у него будет одна область определения, а если показатель не целый -- совершенно другое, и будет другая область определения" Я не говорю, что такую операцию нельзя придумать Но она выглядит довольно неуклюжей. Я скорее поверю в то, что люди обозначают две разные операции одинаково Из-за чего и возникает вечная путаница
Тот случай, когда общее решение меньше частного) Но всё же, я считаю, что следует рассматривать объединённое решение. В самом общем случае (если приравнять ввести какой-то дополнительный параметр) основание является действительным числом от -беск до +беск и показатель является действительным числом от -беск до +беск, если рассматривать их отдельно, и решения можно вовсе не найти) Так как это голая математика, я считаю, что нам следует самостоятельно оговаривать ограничения и искать решения в условиях этих ограничений. Причём, так как в условиях задачи ничего не сказано, кроме того, что x - действительное и надо найти ВСЕ значения, то следует рассматривать все варианты.
ну вообще да. зашкварно, чел в начале говорит решить в real numbers, а потом сам же в 3м солушене пишет integer. и больше 2млн просмотров интересно, он просто очередной блогер или реально шарит, а тут запутался, ошибся. в "О канале" указано что изучал математику и экономику. и чето какие то книги пихает. номинант на награду каких то сборов ютуберов итд... печально конечно, что в интернете куча мутного контента на любые темы, где популярные люди учат с ошибками
А вы не рассматриваете вариант, что, например, "мутным контентом" является именно этот ролик? Год назад уже был такой же тут мутной ролик здесь про степени и там уже всё высказали в комментах, что именно не так с таким вот представлением о степенях, и тут опять всё заново ради очередного хайпа.
8:15 так если в какой либо точке первое уравнение(что в основании степени) есть целое число, то оно может быть отрицательным, возведенным в нулевую степень, поэтому ответы 3 и 4 тоже можно считать.
@@romanapanovich5267 интересно, вам заглавный ролик долго и подробно объяснял, что 4 целое и 4 вещественное это разные понятия. Но не в коня корм, ага? Четыре метра длины и четыре портновских метра (как инструмента) это совершенно разные и несовместимые понятия, и работать с ними, даже математически, надо по-разному. Если не поняли, пересмотрите заглавный ролик ещё десяток раз, только на этот раз внимательно.
Все правильно, и очень ясно рассказано, с замечательными примерами. [Holywar mode on] Только почему, когда вы говорите о возведение в целую степень, вы говорите, что 0 можно возводить только в положительную степень? Когда мы говорим о возведении в целую степень, как раз ноль можно возводить в нулевую степень (и получить 1). И это часто используется: например, в формуле e^x=x^0/0!+x^1/1!+x^2/2!+.... Это формула конечно верна и при x=0. (Кстати, в этой формуле слева и справа разные операции возведения в степень). С другой стороны, когда мы говорим о возведении в действительную степень, тогда ноль в нулевой степени таки-да не определен, потому что не определен предел x^y при x->0 и y->0.
@@arkanoid1965 Операции в компьютерах не работают по законам функций в математике, функция может быть бесконечно многозначной, а компьютер все такие ответы за конечное время не запишет
@@ВадимЛюбимов-ш7ш обоснуйте. Откуда вы взяли ОДЗ основания? То, что Вы не можете найти какими-то методиками какого-то решения - не означает, что это решение неправильное. Ответы 3 и 4 приводят к верному выражению, и это действительные числа. Целые числа - это подмножество действительных чисел. Из вашей логики (-1)^2 вообще никогда ни в каком случае писать нельзя, поскольку 2 - это действительное число. И не убеждайте меня, что "2 - это не действительное, а целое", потому что 2 - действительное число.
Не согласен, если мы формально просто подставим любое из 6 полученных значений, то получим верное равенство, что и значит, что они являются корнями уравнения. То, что при решении уравнения мы решили интерпретировать ее как функцию, это только наши проблемы
А с третьей стороны, решением уравнения называется число, при подстановке которого в исходное равенство, это равенство превращается в тождество. И с такой позиции у данного уравнения 6 корней.
Но опять же, возьми ты то же уравнение (((x)^2)^1/6). Какой будет х при подстановке, положительным или отрицательным? А смотря как решишь уже после подстановки.
@@trushinbv но -1 в четной степени это 1, независимо от того какую операцию подразумевать, хотя я конечно же понимаю, что Вы подразумеваете то, что -1 нельзя брать по определению.
Это всё верно, но всё же, целые числа являются подмножеством действительных чисел, и в принципе, можно ввести ограничение, что показатель является целым положительным и чётным числом, и таким образом найти дополнительные корни при основании равном -1. Например разложить квадратный двучлен показателя на множители, не приравнивая нулю а положить, что второй множитель должен быть равен обратному первому, умноженному на свободный целочисленный чётный параметр. Это эквивалентно приравниванию квадратного двучлена некому 2k, где (k принадлежит Z) и (k >= 0). Назовём это уравнение p2N. Таким образом, находим множество значений x, при которых показатель будет целым, чётным и положительным. Далее надо найти пересечение этого множества с корнями уравнения, приравнивающего основание -1 ( пусть это будет уравнение b). При этом надо будет решать уравнение p2N относительно параметра k, подставляя решения уравнения b. Если решение является целым числом, то имеет место пересечение, если нет, то нет. И далее объёдиняем множество полученных таким образом решений со множеством решений в действительных числах. Хотя, я абсолютно согласен, что если не думать об этом специально, использовать метод логарифмирования, например, то найдётся только 4 корня уравнения. В общем, математика - довольно интересная наука :)
![[LIVE] : ONE ลุมพินี 82 วันนี้!! คู่เอก | ยอดไอคิว vs อับดัลลาห์](http://i.ytimg.com/vi/hSsyTl_9bqs/mqdefault.jpg)
2023 год. Трушину пора записать ролик про возведение в степень отрицательных чисел
2024, все еще жду
Прикольно получается. На множестве целых чисел уравнение имеет больше решений, чем на множестве действительных чисел))
Скорее, для степени с целым показателем действительных решений больше, чем для степени с рациональным или действительным показателем (потому что основание не может быть отрицательным), а для степени с комплексным показателем действительных решений снова будет 6 (потому что действительное основание уже может быть отрицательным). В общем, понятие степени расширяли-расширяли, да недоперерасширили.
а при этом, множество целых чисел является всего лишь мизерным, едва различимым, подмножеством действительных... ))))
Это два разных уравнения. Тут вопрос не в том, сколько решений у уравнения, а в том, какое уравнение обозначает такая запись.
@@allozovsky для степени с комплексным показателем будет ещё веселее. Будет бесконечное множество решений бесконечнозначной функции.
«американский» ответ получен на том, что взяли -1 как один из корней из 1. Но на комплексной плоскости есть целая окружность корней из 1, это все такие x+iy, что x^2+y^2=1
Автор а как же решать тогда уравнение х^2=1? Ведь тогда уравнение имеет корень х=1
В интернете опять кто то ждет математический анализ
Ограничение а>0 надуманное ограничение. Есть расширение в комплексные числа и это ограничение глупая. Возникает многозначность ответов, но это очень разумное решение. Школярской надуманностью не надо радоваться, есть квантовая механика, даже теория переменного тока, которая не слушается запретов а>0
Очень ждёт и в большом количестве))
@@zenonasvaigauskas7186 но мы изначально сказали,что рассматриваем только вещественные числа
@@zenonasvaigauskas7186 комплексные мы не затрагиваем,раз 15 писали уже. Зачем тебе затягивать комплексные числа,если ты хочешь работать с действительной степенью?
@@zenonasvaigauskas7186 Я так понимаю, "квантовая механика: и "теория переменного тока" были упомянуты чтобы показаться умнее xD. Надуманность - слово глупое в данном контексте, так, как на множестве действительных чисел это ограничение существует, а множество комплексных чисел в большинстве бытовых задач не требуется.
люблю смотреть и Валерия Волкова, и mind your decisions, и Бориса Трушина. это видео прям коллаборация какая-то)))))
Есть ещё Майкл Пен. Отличные ролики. На него тоже советую подписаться.
@@larus840 , и его тоже смотрю)
@@Fdo1010 у тебя вышка? У меня красный и то смешно....
Проснитесь и пойте, мистер Фримен, проснитесь и пойте...
о чем вы вообще?
ура, валерий волков
@Khalid Marcelo shush nigga
А где Трушин сказал, что Волков прав?) Трушин всего лишь объяснил на пальцах, в чем суть холевара :) Если мы рассматриваем задачу как поиск всех натуральных корней, то 3 и 4 - честные допустимые корни, которые ничему не противоречат
@@a1ex_sk а где я писал что-то про чью-то правоту
@@1luffiz а где я писал, что вы что-то писали про чью то правоту?)
@@a1ex_sk именно, зачем писать под мой комментарий? только зря отвлекаете
Фух, наконец-то Савватеева оставили в покое!
ахха
до первого косяка )
не надолго))
Кстати на видео про Го он опять начал про двойную экспоненту в шахматах :) я так понял там надо посчитать и типа такие стратегии когда Фишер не пришёл играть с Карповым о чем очень классно Высоцкий спел
@@trushinbv косяк кому отправить, вам или ему?
Главная проблема в том, что в школе это быстро проговаривают . И у людей возникает путаница.
Ага, так же как и с корнями. Приходилось самому разбираться в отличиях алгебраического и арифметического квадратных корней, несмотря на то, что про это говорили.
Подавляющее количество школьников вряд ли будут серьезно заниматься математикой. А если им такие вещи объяснять - то все остальные ещё сильнее запутаются, а им эти корни и действительные степени и так непонятны почти всегда.
Да и даже тем, у кого с математикой неплохо, это может оказаться довольно сложно для понимания.
Кирилл Смирнов Главная проблема, что люди тупые!!!
Я под тем видео практически слово в слово это доносил. Результат нулевой у оппонента. Его "аргументы", пуская пузыри из носа (я себе так это представляю): "Ну и фто, корень третьей степени из -8 не работает, а здесь подфоооодит", "Американсы прафы, это софковые профессора придумали бюрократию" и т.д.
Ну ладно оппонент, соотношение лайков на комментах 2...4 раза не в мою пользу. Тоже соотношение к данному видео в 62 раза больше уже в пользу ТОГО же объяснения.
Вывод людишки даже в математике не могут понять суть доказательства, а лишь опираются на авторитеты. В математике ...!
Главная проблема в том, что в школе это вообще не проговаривают. True story.
Получается проблема в дураках которые не слушают ))
ну это реально круто было. Я дофига чего нового узнал. Раньше даже никогда не задумывался, что так может быть. Век живи, век учись. Волков классный мужик, объясняет супер.
когда смотрела предыдущие ролики БВ по этой теме и сразу поняла, в чем подвох😎
Борис, как всегда, заглядывал чуть дальше, когда разбирал операцию возведения в степень. А так это уравнение решается любым школьником, который помнит, что такое показательная функция.
Обожаю эту рубрику «В интернете опять кто-то неправ.»)
Только недавно посмотрел оба этих видео, задался вопросом "а как же все таки быть с ответами?", и на тебе, Трушин уже видос выкладывает 😃
Обожаю Бориса, он всегда на волне и вовремя.
Мама, я в телевизоре у Трушина!
Отличное видео, только тем кто присылает подобные вопросы, следует больше смотреть видео Бориса. В прошлых роликах он шикарно ушатал эту тему!!!
Спасибо вам большое! Только недавно думал, что нужно попросить вас прокомментировать это видео, а вон оно как! Очень люблю такие ваши видео с, казалось бы, незначительными тонкостями. Потом хожу радостный и пропагандирую друзьям и ученикам.
На дворе 2023. Где новый ролик на эту тему? 🧐
Без лайка нельзя! Как объяснение "определения" и почему оно такое, просто СУПЕР! Но как говориться: - по описи корова одна, одну и сдавать будем. Содержательно, корректно, убедительно.
Класс👍🏻. Наконец-то я услышал это объяснение, объясняющее противоречие!
можно обойтись без противоречий, если решать в комплексных числах. И всё равно там будут все 6 решений.
@@ЮраНазаров-э9с откуда ты взял «все» 6 решений?
С чего ты взял, что в комплексных числах будет всего 6 решений.
В комплексных числах 6 решений будет только в уравнении 6 степени.
Разве здесь уравнение 6 степени?
Нет, здесь уравнение бесконечной степени, если представить показательную функцию через экспоненту. Экспонента, как известно расписывается в бесконечный ряд Тейлора exp(x)= 1+ x/1! +x^2/2! +... x^n/n!+...
Можешь считать это определением экспоненты.
Стало быть, имеем многочлен с бесконечным количеством членов. А значит, бесконечное число корней многочлена. Действительных из них будет наверно, 6, но ведь мы же решили решать в комплексных! Кроме того, само возведение комплексного числа в комплексную степень - функция многозначная как и Ln.
И ещё: «американское» «решение» построено на том, что в действительных числах есть два разных числа, которые являются корнями единицы: -1 и 1. Причём не квадратными корнями, а любыми корнями, т.е. числами, возведёнными в какую-нибудь степень дают 1. Но в комплексных числах таких корней из 1 целая окружность: это все такие z=x+iy, для которых выполняется равенство x^2+y^2=1
Так что никак не 6 решений.
Смотрю с удовольствием это в 2023 году. Борис, время пришло )))
Спасибо, очень интересно! С нетерпением ждем 2023 года)
Люблю, когда БВ разрешает спор математиков
Ну, Борис, спасибо! Достала меня эта задача (кто прав, Волков или Земсков?) Но явился Трушин, и всё встало на свои места!
Есть такой стих (автора не знаю)
Был этот мир глубокой тьмой окутан
Да будет свет! И вот явился Ньютон!
Но сатана недолго ждал реванша:
Пришёл Эйнштейн и стало всё как раньше!
Как раз сегодня утром посмотрел эту задачу(канал Волкова), не поняв почему корней 4, а не 6, пошёл смотреть ваше старое видео об этом) Спасибо за ваши видео разъяснения!
Мне нравится как Трушин объясняет,да и Волков тоже красава. А вот Савватеев говорит какие-то скороговорки себе под нос
В интернете опять кто-то обocрал Савватеева)
16:56 Борис, Пора опять делать ролик!
Как всегда, шикарно! Ждём новых выпусков)
Премьера ещё не началась, кек.
Шёл 2023 год... Пора выпускать похожее видео!
Вы очень харизматичны. Приятно слушать
Да, вот эта объяснялка, отлично получилась.
Только подумал об этой рубрике)))
Спасибо вам за такие подробные объяснения в ваших видео.Лучшая рубрика
Если уж заговорили про это дело, то, может, имеет смысл сразу разобрать и комплексную степень?
Смотрите описание к ролику )
Самое забавное, что в видео западного канала написано черным по белому, что решать нужно для действительных чисел :D
ага, и про это почему-то все забывают...
Написано не решать для действительных чисел, найти все действительные значения х
@@DenisGontarev это то и значит. Говорят что уравнение следует решать там то, например, над полем действительный чисел, или в кольце вычитала по модулю k, над полем действительных чисел и т.д.
@@DenisGontarev я согласен. Написано найти все действительные х - 3 и 4 подходят, подставьте - проверьте. Не понимаю всего этого разговора про область определения - при 3 и 4 получается верное равенство. Какая нам разница, что происходит с этой функцией в других точках?
@@mikhail_from_afar Так автор весь ролик тебе говорил, что надо разделять возведение в целую степень и в действительную. Ведь если ты подставишь точки 3 и 4 в уравнение, то поймёшь, что в них основание принимает отрицательное значение, а это не верно для операции возведения в действительную степень. Соответственно эти точки не подходят.
Люблю "склеечки" )) , оговорка была "с четным знаменателем" , но перезаписано "с чётным числителем" ) , на 4ой минуте до конца стрима
На дворе конец февраля 2023года. Борис, пора готовить новый ролик по этой теме))
Забавно получается, решить уравнение=найти все x, при которых равенство достигается, но x=3,4 мы откидываем из-за одз, хотя равенство в этих x достигается. Порой математика заставляет задуматься..
Вот и я думаю какой-то очередной бред учёных, чтоб подогнать все так чтоб работало
Или доказать, что таких решений нет. Этих решений нет из-за противоречия. Кстати, этот кейс похож на кейс с нулём (на него делить нельзя). ' вообще таких кейсов в математике очень много'
@@ДаняКозловский-ъ4с противоречие возникает при рациональной степени, это я знаю, но при х 3 и 4 степень будет целой, поэтому противоречия в конкретной подстановке нет.
@@nikolay2263 Если решаем c операцией возведения в целую степень, то противоречий нет, корней 6. Но утверждается, что решаем с рациональной. Операция возведения в целую степень и рациональную - РАЗНЫЕ операции, нужно бы их вообще обозначать разными значками, - отсюда путаница. Борис как раз чётко показал, что (-1)^10 не определена однозначно, если применяется рациональная операция. Другими словами, (-1)^2k НЕ РАВНО 1, если мы применяем рациональное возведение.
Можно вообще дать 2 ответа для каждой операции, раз прям чёткого указания нет, и это самый правильный вариант.
Вам же объяснили, что это черт возьми не бред, а необходимость.
Мне кажется, если не оговорено иное, задачу "решить уравнение" можно воспринимать как задачу "найти все значения x, которые при подстановке в выражение дают однозначное равенство". То есть выражение можно рассматривать И как возведение в целую степень, И как возведение в действительную степень. И все подходящие значения являются корнями уравнения
Это противоречит самой идеи уравнения
Я тоже считаю что решение должно бьіть в первую очередь общим, и только при известньіх начальньіх условиях принимать частньіе значення.
@@КириллСмирнов-ч7г какой идее?
@@romanapanovich5267 то что уравнение-это равенство функций. Решить уравнение-найти нули данной функции
@@КириллСмирнов-ч7г так функция может иметь разрывы в области определения
Пишу из 2023-го года...
Ещё вариант: считать возведение в дробную степень отличающимся от операции с использованием знака радикала. Потому что, используя знак радикала, мы видим, в какой последовательности идёт операция. А в дробной степени - не видим. Так получается, что под знак радикала мы можем ставить отрицательное число (например, при извлечении кубического корня из -8), а возведение (-8) в степень 1/3 будем считать не имеющем смысла. Я часто такое вижу в разборе задач ЕГЭ: корень третьей степени из отрицательного числа - допускается.
Конечно. Корень нечетной степени определён для всех значений аргумента
Єта путаница исчезает при переходе в комплексное исчисление...
@@ПавлоКурята нет )
13:30 ненене, мы же сказали, что работая с отрицательными основаниями, числитель показателя должен быть четным. 1/2 тут не катит =)
Вот кстати да. Правила тоже работают, просто надо соблюдать это же условие.
Ну что значит не катит, ты же хочешь использовать свойства степени во всевозможных выражениях, нельзя придумать способ контролировать возникновения таких ситуаций. Даже если бы можно было, оно того не стоит - как правильно сказал БВ, нам гораздо важнее уметь использовать привычные свойства степени, чем уметь возводить в действительную степень отрицательные числа в каких то очень специфичных редких случаях
@@parafraz1946 Справедливости ради, такое прокатывает с _нулевым_ основанием: для него степень обычно определяется только для _положительных_ показателей, и все свойства выполняются только при условии, что показатели остаются _положительными:_ 0⁷ = 0⁵⋅0² ≠ 0⁹⋅0⁻² (т.е. в этом случае мы их таки контролируем).
Если пойти дальше по этой скользкой дорожке, то и для степени с рациональным показателем для дробей, которым соответствуют _целые числа,_ мы могли бы определить степень с отрицательным основанием как 𝒂ᵐᵖᐟᵖ = 𝒂ᵐ - и все свойства будут выполняться при условии, что числители показателей кратны знаменателям.
А потом можно пойти ещё дальше и определить степени с рациональным показателем для дробей с _нечётным знаменателем_ (мы же всегда можем вычислить корень нечётной степени) - и все свойства снова будут выполняться, пока знаменатели показателей остаются нечётными.
Кстати, в некоторых источниках именно так и поступают (или по крайней мере оговаривают такую возможность). Но в школе о таких нюансах говорят очень мало (тут Борис прав) и у учеников обычно не складывается цельной картины и завершённого представления об операции возведения в степень.
Извиняюсь, ерунду написал, которую еще и в ролике проговорили. Разобрался. Но действительно тема крайне запутанная. Причем очень фигово гуглится. А потом еще и случайно стер свой коммент и зацепил ваш комент. Сообразил, что чушь до вашего ответа. Вы очень здорово рассказываете такие вещи. В отличие от волкова!
Судя по комментариям, путаница никуда не ушла, и народ всё ещё не понимает всю её суть. Поясню своими словами как программист.
Операция целого и рационального возведения - разные операции.
Почему? По определению. Представим каждую операцию как алгоритм. Для целых назовём её допустим PowZ(a,b), для рациональных PowQ(a,b).
PowZ реальзован как последовательное умножение b раз, может принимать на вход любое умножаемое a и только целый b, при не целых алгоритм лишён смысла и сломается.
PowQ реализован, допустим, через ряды, но он так же сломается, если a < 0, значение b будет совершенно не важно, до него не дойдёт.
Таким образом, если мы применяем операцию рационального возведения (алгоритм) PowQ, то он не завершится успешной проверкой на PowQ(-1, 2*k) == 1, - равенство не будет выполнено. Если бы применяли PowZ, то корни, отличные от целых бы тогда не подходили (не для этого примера, но можно придумать).
Само уравнение можно и нужно воспринимать как функцию проверки, тогда совершенно очевидно, что применяемый в ней алгоритм не может меняться в зависимости от значений параметров.
Что за бред? В функции вполне может стоять if (fraq(x)==0) then PowQ else PowZ
Борис спасибо вам. С большим удовольствием смотрю все ваши видео. Очень интересно.
Я понял так. Пусть ^ - действительная степень, ^^ -целая степень. Целая степень понятно как вводится.
Операция возведения в действительную степень определена через предел (у нас так было). Поэтому, если под ^ понимать возведение в действительную степень, в операции a^b основание должно быть положительно.Число (-1)^1 не определено (хотя казалось бы, в целых - это(-1)^^1=(-1) ) потому что не существует соответствующий предел. Да, в целых есть число (-1)^1, но нет числа (-1)^1.000000...01 сколько нулей ни возьми, ведь это (-1)^1 * (корень дохреналионной четной_степени из(-1)). В любой сколь угодно малой окрестности 1 будут дыры. Предел не существует.
Если посмотреть с практической точки зрения. Предположим, что s=x^y -это что-то осмысленное и действительное (не целое), сколько килограмм шоколада нужно для конфеты, x,y - характеристики конфеты. Пока x положительное - все хорошо, есть непрерывная зависимость массы шоколада от граничных условий, но если x отрицательное, то может (-1)^2 и определено (нет), но стоит увеличить размер конфеты на исчезающе малое d=0,000...01, и все (-1)^2.00...1 - решение совсем другое, точнее его не существует. Конфета в 2см и в 2.000(сколько угодно нулей)...01см это одна и та же конфета. Но шоколада на них нужно было бы сильно по-разному, если бы операция (-1)^2 была определена.
Спасибо за ролик. Безусловно лайк!
Валерию Волкову тоже поставил :-) у него сразу идет условие, что основание степени обязательно положительное.
P.S. Про (-1)^10 и возведенное в степень 1/2 и т.д., когда 1 = -1 отдельное спасибо :-))
Очень подробно. А главное - доступно. Спасибо.
До встречи через полтора года! На этом же месте будем обсуждать эту же тему :)
Я об этом даже не задумывался.
4:00 Да! Если взять абелеву группу с множителями из кольца, и посмотреть на это со стороны неабелевых групп, точнее записи выражений в них, - мы увидим, что множитель станет степенью.
То есть, в случае свободной группы, - мы меняем или прибавляем новые элементы в виде степеней других, но это уже точно не банальное количество "множителей", это иное.
То есть, целые показатели - естественные, они исходят от групповых свойств.
Хрень написал, которая только выглядит умной.
@@andynaz7044 если комбинаторное представление групп предполагает что есть элементы а, b, то есть и a², b¯². Это тождественно аа, b¯¹b¯¹. Но формально, 2, -2 есть целые числа. А если пойти дальше?
И рассмотреть формально а^λ, где λ - элемент иной группы или кольца, ведь целые числа формируют кольцо.
Но в абелевых группах b²=b+b=2b
так пишут, ибо удобнее, а смысл не пропал, и может, b^λ =>λb ? А если группа неабелева? Тогда вот так опустить показатель - уже нельзя..но и в действительных числах проблема.
Вот моё предложение, оно похоже на что-то вроде расширения, отчасти похоже на построение группового кольца.
Англоязычных надо учить, решать уравнения
со многими результатами.
Пусть заложат такую математику, в системы управления боезарядами.
При таком их обучении, вероятность попадания заряда в цель, становится маловероятной. 🎉
Работайте в комплексной плоскости)
Там все ещё хуже )
Борис ты прав, как всегда))
Из объяснения очевидно почему у компьютера только 4 решения
Разложил все по полочкам👍
Непонимание, скорее всего, вызвано ТЕМ ПРОСТЫМ МОМЕНТОМ, что многие не осознают до конца, что данные операции РАЗНЫЕ. Это не кажется людям ОЧЕВИДНЫМ. Отсюда вытекают проблемы все, в том же видео англоязычном. Ведущий здесь отметил этот момент несколько раз, но ВНЕЗАПНО этого недостаточно (судя по некоторым комментариям). Надо было прямо через каждое предложение говорить: "это РАЗНЫЕ операции", "это РАЗНЫЕ операции", "это РАЗНЫЕ операции" и т.д. Хотя даже показано было на конкретных определениях, что под этим понимаются ВНЕЗАПНО разные операции.
В общем, сложность тут именно в том, что эти РАЗНЫЕ операции очень-очень похожи друг на друга, не только "значком умножения", а тем, что мы работаем с близкими объектами: действительными и целыми числами (множество целых чисел является подмножеством действительных). Отсюда вытекает проблема. Всё становится прозрачнее, когда мы рассматриваем, например, избитую операцию умножения на объектах вроде матриц. Там уже привычное людям со школьной скамьи, вдолбленное напрасно, свойство коммутативности ВНЕЗАПНО не работает. Человека это шокирует в каком-то смысле, но он начинает понимать, что эта операция хоть и называется умножением (потому что достаточно близка к привычному ему со школы умножению), но всё-таки она ДРУГАЯ.
Тоже самое, например, если брать операцию конкатенации строк из программирования. Нередко она описывается "значком сложения", но ведь очевидно, что когда мы работаем со строками, то мы не получаем какую-то классическую "сумму" из этих объектов, мы их просто соединяем. В некоторых языках для этого используются другие "значки", в других - привычный "значок сложения", ибо чем-то там отдалённо напоминает сложение и это как бы интуитивно и как бы проще и т.п.
Таким образом, когда человек осознает, что это РАЗНЫЕ операции, то его не будет шокировать момент с разными ответами ровно также, как его не шокирует, что 1) 2 + 1 = 3; 2) 2 - 1 = 1; 3) 2 * 1 = 2. Ответы разные, потому что операции РАЗНЫЕ. Вот, в принципе, если утрировать, и всё.
Да, надо ещё отметить, что операции сами по себе НИЧЕГО НЕ ЗНАЧАТ. Любая операция это просто отображение. На вход поступают объекты, на выходе получается результат после некоторой работы с этими объектами. Не углубляясь во всякие дебри, этого достаточно для начального понимания. Проще говоря. операция без конкретного описания объектов, с которыми она работает - ничего не значит. Без объектов никакой работы быть не может, работа выполняется над ними. Поэтому привычного названия операции недостаточно, чтобы понимать суть работы конкретной операции. Отсюда "умножение матриц" - конкретная операция над матрицами, "умножение действительных чисел" - конкретная операция над действительными числами, "умножение комплексных чисел" - конкретная операция над комплексными числами, "умножение векторов" - конкретная операция над векторами. Ну, и т.п.
Борис, спасибо за этот ролик! Это такой важный для понимания вопрос, и по общению со школьниками своих друзей знаю, что многие тут просто запоминают, что если показатель рациональный (позже, уже в старших классах, - вещественный), то основание степени исключительно положительное. Спрашиваешь, а почему? Отвечают один, два из десяти школьников.
14:02 Не, всё не плохо. -1^(1/3) же не определено, поскольку числитель у степени нечётный. Это не плохо, это ваще полный привет!
А ещё, на самом деле, разрешая основанию степени быть отрицательным, мы автоматически выходим в поле комплексных чисел и вынуждены будем смириться с тем, что возведение в степень дает больше одного результата. Честно говоря, не очень понятно после этого как жить и решать подобные задачи
Если степень рассматривать как корень, то -1
@@the.artik.channel В комплексном мире корня 3: exp(i×2πn/3)
Когда рассматривали пример с четным числителем в степени, ((-1)^(2/3))^(1/2) = (-1) ^ (1/3). Но 1/3 имеет нечетный числитель. Переводим в четный = (-1) ^ (2/6) = 1. Противоречия нет.
А что насчет (-1)^(π)?
на 13:48 нам нельзя возводить -1 в степень 1/3, потому что знаменатель нечетный.
С чего бы, просто корень третьей степени (условимся, что переход к корню возможен), тогда поставим вопрос иначе- какое число в 3-й степени равно -1? Очевидно -1 тут вполне подходит. Это при чётных знаменателях такая операция невозможна.
@@dadexain на видео в этот момент обсуждается один из подходов, в котором нельзя возводить в рациональную степень, у которой нечетный числитель
@@murmol444 а, так вы вопрос задали, а не утверждали, тогда проблема не в нечётном знаменателе, а в неединичности ответа или конкретнее нарушении свойств выражения (а^bm=(a^b)m не всегда выполняется), так скажем
@@dadexain вы или не смотрели видео, или не понимаете, о какой его части я говорю.
Начиная с 12:00 Борис разбирает один из подходов к возведению отрицательных чисел в рациональную степень. Он показывает, что этот подход не состоятелен, потому что при нем не сохраняются некоторые стандартные свойства степени. Однако в процессе доказательства он пользуется возведениемв такую степень, которая в рассматриваемом подходе не допускается
@@murmol444 вот теперь понятно, просто не понял к чему вы указали на нечетность знаменателя, проблема то не в этом. А так в том то и суть, что даже при четном числителе мы получим нестыковки и придем быстро к например (-1)^(1/3), что нельзя высчитать
Написал гневный пост, но затем прошел по ссылке на MindYourDecisions, и все вопросы отпали 😊
Вознесение в рациональную степень следуя логике вознесения в целую степень даёт разные значения для эквивалентных дробей. Оно различно на одном и том же классе равных дробей. А это плохо, вознесение в степень должно сохранять классы, так оно естественно. Иначе придётся принять некоммутативность или вообще нассоциативность кратных степеней.(когда множить показатели)
Но вообще-то, можно так сделать, ради интереса.
Ну если "вознесение"..)))
@@romanapanovich5267 хмм, что вы имели ввиду
Молодец, классно объяснил
Корень четной степени имеет два значения например √4=2 и √4=-2 потому что корень это обратная функция возведения в степень.
Так что ((-8)^2)^(1/6) имеет два значения 2 и -2. И тут нужно выбрать какое значение подходит так что противоречий не возникает
Значком корня обозначается арифметический квадратный корень. Он по определению имеет неотрицательное значение
Шикарно
Спасибо огромное за очередной разбор этой околоматематичной софистики, можете пожалуйста ответить на такой вот интересный вопрос? Верно ли будет сказать, что если мы решаем уравнение f(x) = g(x) и хотим найти его корни, то это эквивалентно формулировке "найти нули функции F(x) = f(x) - g(x)"? Потому что многие судя по всему считают, что корни уравнений с функциями не связаны и мол поскольку у нас не "показательно-степенная функция, а уравнение" - то мы должны руководствоваться здравым смыслом, а не областью определения. Заранее спасибо если ответите!
Меня это больше всего удивляет в этой ситуации. Люди за 11 лет школы решили сотни уранений, при этом не понимая, что такое уравнение. Уравнения напрямую связы с функциями
@@КириллСмирнов-ч7г жиза, я не понимаю, как можно не отождествлять корни и нули функции
Дано уравнение f(x)^g(x)=1, где f(x) = x^2-7x+11, g(x) = x^2-13x+42, а х - действительное число. Здесь f(x)^g(x) - арифметическая операция возведение в степень. Результат операции возведение в степень может равняться 1 только в следующих 3 случаях:
1. f(x) = 1, g(x) - любое действительное число. Уравнение f(x) = 1 имеет корни х1 = 2, х2 = 5, а значит х1 и х2 корни уравнения f(x)^g(x)=1.
2. f(x) неравно 0, g(x) = 0. При х3 = 6 и х4 = 7 f(x) неравно 0, а g(x) = 0. Значит х3 = 6 и х4 = 7 корни уравнения f(x)^g(x)=1.
3. f(x) = -1, g(x) - чётное целое число. При х = 3 и х = 4 f(x) равно -1, а g(x) соответственно равно 12 и 6. Значит х5 = 3, х6 = 4 корни уравнения f(x)^g(x)=1.
Те, кто считает, что следует рассматривать только случай, когда f(x) > 0, приводят пример, когда якобы при f(x) < 0 нарушается свойство степени (a^n)^m = a^(n*m): а = -1, n = 10, m = 1/2, ((-1)^10)^(1/2) = 1, а (-1)(10*1/2) = -1, забывая о том, что при f(x) < 0 операция возведение в степень определена только для целых показателей степени, а в этом случае m = 1/2 не является целым числом.
Т.о. уравнение f(x)^g(x)=1 имеет 6 корней: 2, 3, 4, 5, 6 и 7.
Прекратите все меня путать!!! Я только поверил, что корня 4 !
@@petrxile Математика - это наука, а не религия! Здесь нужно понимать, а не верить! А может быть Вы так шутите? Если это шутка, то извините, что не понял Ваш юмор.
Да просто обе точки зрения выглядят убедительно. Вот я про что. Всё зависит от подхода.
@@petrxile от какого подхода?
Ну один автор убедительно доказывает, что в таких примерах отрицательное основание учитывать нельзя, другой - можно. Везде своя правда.
8:35 - "... когда просят найти все действительные решения..." Позвольте, а целые не являются действительными?)
Это шутка была сейчас?
В действительных числах такие корни не подходят, а вот в целых спокойно,потому-что дроби не входят в целые числа, а именно из-за них корни 3 и 4 не работают. Надеюсь объяснил
В теории алгебраических чисел встречаются такие (кольца?), где числа комплексные и иррациональные, но при этом считаются целыми.
@@ВіталійМахін-о3ж целые числа - подмножество действительных. Один из способов решения в целых числах - решение в действительных. А операция возведения в действительную степень - это самая общая операция, которую можно рассматривать в случае целых чисел как возведение в целую, а в случае не целых - как в не целую. То же самое и в случае положительных-отрицательных чисел. Поэтому корни 3 и 4 "работают" всегда. Если уж такие проблемы возникают, лучше сразу решать в комплексных числах и выбирать действительные значения. Либо разбивать на случаи: либо основание больше нуля, либо равно, либо меньше. И для случая когда больше нуля решать через функцию, а для остальных случаев - иначе.
@@ВіталійМахін-о3ж не объяснил. Подставляешь 3 - верное равенство, подставляешь 4 - верное равенство, 3 ∈ R, 4 ∈ R. Чем не действителные корни?
Спасибо за науку!
Но я так понимаю что все таки ответы 3,4 тоже верны. Просто требуется дополнительная проверка степени . Если степень целая то ответ верен.
Да ё маё, в задании указано, что уравнение нужно решить в поле ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ, поэтому и 3, и 4 отпадают.
@@МаксимЧалый-щ7к Стоп! 3,4 являются действительными числами? Они являются корнями уравнения? Значит они тоже подходят.
Посмотрите видео внимательнее, пожалуйста, там дотошным образом всё объяснено.
@@antpus И ты хочешь менять типы объектов в процессе операции? Очень удобно. Не понравилось что-то, так похуй... пусть показатель будет целым, а счас я не хочу, чтобы он был целым, ну, похуй... сделаю его действительным. Охуенно, конечно. Только вот ВНЕЗАПНО операции возведения в степень при целом показателе и действительном - РАЗНЫЕ. Это разные операции. Этот момент ты не учёл, поэтому ДО ВЫПОЛНЕНИЯ ОПЕРАЦИИ (представь себе, вот так вот парадоксально) надо определиться с какими объектами ты работаешь, а не менять их когда тебе вздумается уже в процессе. Отсюда и выходит казус - ты берёшь операцию для работы с целой степенью, но по сути работаешь с операцией над действительной степенью. Если бы ты изначально задал, что вот так и так я считаю эту конкретную операцию возведения в степень как операцию возведения в степень с целым показателем. Вот тогда да, тогда пожалуйста впихивай свои 3 и 4 в ответ, это будет справедливо. А насиловать операцию возведения в действительную степень не нужно, пытаясь в неё впихнуть невпихуемое от операции возведения в степень с целым показателем. Ограничение в этой операции задано как раз-таки неслучайно. Пересмотри вторую половину ролика, там подробно объясняется "с картинками" (на примерах) почему это ограничение введено в данную операцию.
@@grigoriikuchumov2277 дело в том что 3,4 корни уравнения, отвечающие условию задачи. То как мы решаем это уравнения это проблема самого ученика, у него задача найти все корни уравнения отвечающие условию задачи и все.
О. Вот и пригодился мой вопрос о несократимости рационального показателя под тем видео.
А нужно ли писать в ОДЗ, что основание степени больше 0? Или это ошибка?
конечно нужно, это же буквально область допустимых значений, то есть значений, которые можно подставлять
Нет, не нужно. Просто уравнение разбить на 2 случая: 1) Основание равно 1, 2) Основание равно -1 при условии, что степень целая
@@timurpryadilin8830 а, то есть по вашему, например, (-1)⁴ невозможно вычислить, так как основание отрицательное
@@ЕвгенийНедужий-й9с, если речь идет о возведении в действительную степень - нельзя. Если о примитивном возведении в степень, то можно. 😉
@@ЕвгенийНедужий-й9с можно. 4 не переменная величина. И это операция возведения в действительную степень.
Но когда у вас изначально ситуация, (x)^y, вы не имеете право рассматривать x=-1 y=4, если не отговариваете что х и у целые до этого
Не понимаю, почему мы должны откидывать 3 и 4. 3 * 3 - 13 * 3 + 42 = 12 (целое число). 4 * 4 - 13 * 4 + 42 = 6 (целое число). В обоих случаях степени возводятся в целое число, а значит это можно рассматривать как возведение в целую степень. В условии задачи не было сказано "мы возводим только в действительную степень".
Если кратко, для этих значений не работает свойство степеней. Чтобы это понять нужно ещё раз посмотреть этот ролик и предыдущие про возведение в степень.
@@prioritizer Я смотрел ролик и понимаю суть (наверное). Трушин объясняет, что существует два (!) вида возведения в степень, первый из которых - это само возведение, а второй вид - это когда ты вначале извлекаешь корень, а потом возводишь в степень. Мой вопрос заключается в том, почему эту задачу нельзя трактовать как возведение в степень первого вида? В задаче нет степеней в виде дроби.
@@jaroslavtavgen3939 , Здравствуйте, можно трактовать в в первом виде, но во первых задача в оригинале на английском во втором виде (в действительных числах), а во вторых это условие должно быть четко прописано, чего часто нет. Но конкретно в этой задаче было в Действительных, хотя в ролике не упоминается.
А в чем проблема считать, что это возведение в целую степень при целой степени и в действительную - при нецелой? В задаче же не указано иного.
Ну и что делать? Если дали такую задачу, то решать отдельно 2 задачи для R и для N? А если проверять будет какая-нибудь МарьИванна, она же тупо сравнивать будет с ответом, а он - не сойдется. Или нужно предполагать, что если выражения - многочлены, то здесь R, а не N, потому что в школе операции с целочисленными многочленами не проходят? Как поступать-то в случае некорректных условий?
Как мне кажется, большинство, просмотревших это видео, забыли или не знают, что такое арифметическая операция возведение в степень, а в уравнении f(x)^g(x)=1, где f(x) = x^2-7x+11, g(x) = x^2-13x+42, операция f(x)^g(x) - это операция возведения степень, где f(x) - это основание степени, а g(x) - её степень. Как определяется операция возведение в степень можно посмотреть здесь th-cam.com/video/zd5yBOXPmpg/w-d-xo.html. То, что решение ищется в области действительных чисел означает только то, что х может принимать только действительные значения, а не комплексные. А как Вы хорошо знаете, целые и рациональные числа также являются действительными. Чем, спрашивается, числа 2, 5, 6 и 7 лучше, чем 3 и 4?
На видео все максимально правильно рассказано, но в комментариях всегда найдутся несогласные умники, со своей, особенной математикой... Зачем вы это написали? Или в вуз на мат. Кафедру. Там вам все подробно расскажу. Отвечая на ваш вопрос, чем 3 и 4 хуже: x=3 и 4 не попадают в область определения данной задачи.
P.s. давал аналогичные задачи на собеседовании (математик/аналитик). Кто не может задать область определения, и получает ответ с (3, 4) сразу идет лесом.
Правильнее будет сказать что для людей, проще упростить, и сохранить свойства степени, но будет ли это иметь отношение к математики, а не психологии? если рассматривать математику как что то внешнее, независимое от человека, вот получается к примеру ответ 2 и -2, и ЧЁ? ответ не должен быть один, или есть доказательство что ответ должен быть один. По моему правильнее принять много вариативный ответ, и принять что свойства степени которые кто то возвел в правило на самом деле не правило, а исключение, подходящее для каких то частных случаев. И это будет правильно так как математику мы применяем к реальному миру, который не ограничен искусственно.
Здравствуйте, подскажите пожалуйста. А подсказкой для области определения может служить то, что это квадратичная функция в квадратичной степени, тем самым обращая внимание, что основание должно быть строго положительным. Или это тоже самое, что в ролике, но частный случай?
Чотко
Чёт вдруг понял.
Когда я смотрел видео Valery Volkov, и он сказал на 6:20 "когда мы говорим, что корнем является значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство, нужно обязательно иметь ввиду, что корнем может являться число, при котором определены левая и правая часть нашего уравнения. Но с точки зрения показательно-степенной функции на множестве действительных чисел отрицательное основание нам не подходит. А это значит корни, при которых основание будет равно минус единице не удовлетворяют области определения левой части нашего уравнения." Я рассмеялся, и подумал "ну бред же!". Почему я так подумал? Потому, что решать уравнение предлагается через введение функции f(x) - функции от левой части, и g(x) - функции от правой части, и искать такие x при которых f(x) = g(x). И только так. Вместо того, чтобы просто найти множество таких x из R, что левая часть равна правой и определена. Затем, на "почве" того, что f(x) предлагается "по умолчанию" вводить на действительных числах, следует считать, что тогда возведение обязательно по основанию > 0, и при основании < 0 оно не определено. Причём, это не потому, что f(x) не определено при x = 3, а потому, что оно не определено при x=3.5, так как получается (-1.25)^8.75. При этом, доказывается что при x = 3 не определено именно тем фактом, что есть множество таких x при которых получается (отрицательное)^(не целое). А то, что при x = 3 получается (отрицательное)^(целое) - никого не волнует. Хотя всем известно чему равен результат.
К чему я это? А вот к чему: спросишь любого: а чему равно (-1)^12 - он скажет 1. Однако, вы тут все утверждаете, что если я переформулирую: А чему равно (-1)^(действительное 12), то правильный ответ внезапно должен стать "не определено". Ну бред же! Ведь действительное 12 не перестаёт быть целым.
Многие отмечают, что в оригинальной задаче было требование найти решение на действительных числах, ну так 3, 4 это действительные числа.
Я специально перечитал всю страницу на википедии про возведение в степень, и там сказано, что для целых степеней для любого основания определен результат. Так почему же вдруг я должен говорить, что -1 в степени (действительное 12) это не определено? Потому, что оно действительное? Но действительное 12 это же целое 12.
Во-первых, почитайте фихтена, у него определение возведения в степень с вещественным показателем есть
Во-вторых, просто порассуждайте дальше. Допустим, я с вами согласен и даже на множестве вещественных чисел выражение (-1)^12 существует, определено и равняется 1. Примем это как допущение. Далее, раз степень-то вещественная, я хочу посчитать выражение ((-1)^12)^1/4. Если я знаю, что (-1)^12 это 1, то ответ должен получиться 1. Однако, если мы используем общеизвестное свойство степени (a^m)^n = a^mn, то получится выражение (-1)^3, что равняется -1. То есть получается неопределенный ответ, из-за которого не выполняется свойство степени, характерное для любого множества чисел. Пришли к противоречию, что возведение в вещественную степень, где показатель оказался целым, невозможно, из-за нарушения базовых свойств возведения в степень
@@ЮрійПогуляєв-б4оДавайте я постараюсь кратко. Вы говорите, "вот вам пример где свойство не выполняется", следовательно функция не определена. А вы не думали, что просто у свойства есть свои ограничения? У вас так получается, что свойства должны выполняться, потому что мы так хотим. А не наоборот, есть функция, и у неё есть свойства. Почему просто нельзя сказать что в данном случае свойство (a^m)^n = a^mn не выполняется, и всё. А именно, при отрицательном a. При этом, на английской википедии, этим свойствам дают ограничения. В частности, там где указано это свойство, сказано, что для любых целых n, m оно выполняется, если основание не ноль. А потом далее говорится, что для не отрицательных оснований и нецелых степеней это тоже верно. В то время как вы наоборот, хотите чтобы свойства были всегда верны и запрещаете возводить. На английской википедии наоборот, разрешают то, что можно адекватно посчитать, а потом уже говорят о свойствах того, что получилось.
Если идти дальше, то там рассмотрены способы возведения комплексных чисел в комплексные степени, в зависимости от того, как мы это себе определим, и какие получатся свойства.
Ну и наконец, свойство не может противоречить определению. Поэтому, если дать определение, и получилось противоречие, то это значит свойство не выполняется.
@@r75shell а я и не спорю, что можно ввести ограничения. Вопрос только в том, чей концепт лучше подойдет для математики.
Пример с нулем гуд, вот только в той же статье во-первых написано "Neither the logarithm method nor the rational exponent method can be used to define b^r as a real number for a negative real number b and an arbitrary real number r." (раз уж мы на вики ссылаемся). Второй момент - ваша модель не допускает логарифмический переход гладко в таком случае. Для a^x = e^(x*ln(a)) вы тоже будете делать указки "работает только для положительных а"? Третий - даже если с горем пополам опустить отрицание свойства произведения и логарифмический переход и сказать, что окей, мы рассматриваем a^b даже для отрицательных a, получится так, что число b не будет являться вещественным.
Смысл в чем - если мы знаем, что a отрицательное, то будут существовать вещественные числа, при которых a^b не определено, но пока что мы хотим с этим мириться. Допустим. Однако тогда это нельзя назвать возведением в вещественную степень. Потому что если мы утверждаем, что b - вещественное, то a^b должно существовать как раз таки для любого b, потому что в вещественных числах возникает аксиома непрерывности. Если же из всей числовой оси мы будем выкалывать неудобные нам точки и подставлять оставшиеся значения как область значений b, то b это уже не вещественное число, а другое множество чисел (которое вам еще кстати надо определить)
Момент 4 - предельное определение в таком случае тоже работает коряво. Если вы знаете, что (-1)^2 это 1 и точно так же считаете в вещественных числах, то если вы определите сходящуюся к 2 последовательность чисел слева хотя бы (1.9, 1.99, 1.999, 1.9999 итд) - в них значение степени не будет определено, то есть в окрестности двойки не будет предела. Что опять таки требует, чтобы мы как-то руками это фиксили, ибо это не работает
И по итогу, что же проще - выбросить отрицательные числа и опустить кучу неприятных моментов или же ради сиюминутной выгоды попытаться их оставить и руками фиксить кучу костылей (которые кстати потом перед мат сообществом еще надо будет пояснять, а зачем же вы так сделали). Именно поэтому договорились считать основание вещественной степени положительным.
@@ЮрійПогуляєв-б4о про (-отрицательное действительное)^(действительное) согласен. Про логарифмический переход - да, будет не гладко, и что. Тангенс вообще разрывный. Про то, что если отрицательное основание а степень должна быть целой - да. Просто скажем что отрицательное в не целой точке не определено. Точно так же как мы говорим, что при не целой степени при отрицательном основании не определено. Я вдруг понял, что надо бы ещё подчеркнуть, что я не спорю с тем, что отрицательное в иррациональное не определено, но я считаю, что "за одно" выкидывать что-то ещё - странно.
Про четвёртый момент: определение через предел рациональных степеней - взяли да определили только ту часть, которая с положительным основанием, остальное повторным умножением.
Не вижу кучи костылей, вижу только один - целые степени любых чисел.
@@r75shell ну так вот и получается, что внося разрывность, вы уже определяете не вещественную степень) то есть a^b при любом a є R будет существовать в такой трактовке для b с кучей ограничений, которые означают, что b не совсем принадлежит R, однако мы это называет степень с вещественным показателем))) понимаете смысл? То есть мы повводили костыли, а теперь получаем, что это как бы не совсем то, чего мы хотели изначально - возвести в любую вещественную степень число a
Ребят привет может поможете с задачей? С пунктом (б) хотя бы, а то я туплю. .. Плоскость α проходит через середины рёбер AD, CD и BB1
параллелепипеда ABCDA1B1C1D1
.
б) Найдите объём меньшего из многогранников, на которые плос-
кость α разбивает параллелепипед, если объём параллелепипеда ра-
вен V.
Если принять все условия ( а их нет), то ответ 2, 3, 4, 5, 6, 7. Всё потому, что х2-7х+11
Они не могут быть одновременно равны единице
@@vutbut5576 Почему не могут? Нет такого условия. Вполне может быть х2-7х+11=х2-13х+42=1, т. е 1 в степени 1 равно 1.
А вот интересно, какой ответ ЕГЭ считает верным? Это же чисто засада и к математике не имеет никакого отношения. Корни 3 и 4 дают ЦЕЛЫЙ Чётный показатель, значит, они являются решениями данного уравнения.
Какая разница какой показатель дают конкретные числа. Задание подразумевает возведение в действительную степень, а в таких случаях вне зависимости от показателя возникают ограничения на основание.
@@ilyaabramov533 какая разница, что оно подразумевает. Подставляешь 3 - верное равенство, подставляешь 4 - верное равенство, 3 ∈ R, 4 ∈ R. Чем не действителные корни?
Когда работаем с действительными числами, мы хотим непрерывности. А если основание отрицательное, то о непрерывности не приходится даже мечтать.
согласен. Как минимум графически дичь получается, где -2^1/2 не существует,а -2^2/4 при этом есть)
@@roflkek6901 Я имел в виду, что если, например, (-8)^1/3 существует и равно -2, то (-8)^(1/3+alpha) должно стремиться к -2 при alpha стремящемся к нулю. (А для этого оно должно как минимум существовать в некоторой окрестности нуля).
да глупости это всё. Какая непрерывность, какое "хотим"? Ответ подходят? Подходят. Всё. Значит, если это противоречит каким-то там нашим принятым ограничениям - надо менять ограничения. Это то же самое, что видеть три банана на дереве, но по "математике" их должно получиться четыре. И мы давай утверждать, что на самом деле на дереве четыре банана, но реальность, которую мы видим - неправильная. Реальность - мерило и судья математики, а не наоборот.
@@romanapanovich5267 Вы в реальности видите отрицательное или комплексное число бананов? Нет. А значит, ни отрицательных, ни комплексных чисел быть не может. Ведь реальность мерило математики.
Да это полный бред, в данной ситуации мы не только можем, но и обязаны рассматривать операцию возведения в целую степень, ведь Х {3, 4} даёт нам целые ответы и никто не просит найти действительный Х. И данные корни дают определенный ответ, тем самым никаких надуманных ограничений быть не может.
Зачем вы пишите эту дичь тут? Вместо этого шли бы учиться.
@@nikolayvavilin583 почему же дичь, если подставить 3,4 ответ будет верным. Математика должна давать ответы на все возможные вопросы, а не ограничивать ради исключения возможных ошибок и неопределённостей.
@@123-c3c5p не будет верным. Решение надо начинать с ОДЗ.
Если есть неравенство вида (1/3-x)^2 >= 0, и я буду его решать так.
Сделаем замену, основание левой части равно А.
А^2 >= 0.
Любое число в квадрате больше или равно 0, значит решение любое число, то я идиот. Я ВНАЧАЛЕ обязан описать ОДЗ x !=3 а потом делать что хочу.
Так и тут вы сначала обязаны написать ОДЗ: основание действительной степени больше 0. Точка. Все. Тут нет споров, есть строгое правило.
Или другой пример.
1/3-x - 1/3-x = 0.
Я могу сначала вычесть и сократить и будет 0=0.
блин теперь я спать не могу🤣)))))
Действительно, возникает путаница. (-1)^12 как возведение в целое число, означает 12 раз перемноженных между собой -1 и это 1, а (-1)^12.0 как возведение в действительную степень, подразумевает совсем другое, и уже лишено смысла. Менять операцию на лету довольно странный ход. Мы ведь не подменяем какой-нибудь логорифм на синус для отрицательных чисел под предлогом "Логорифм тут не имеет смысла, но если подставить вместо логорифма синус, то уравнение будет иметь решение!".
@@ГлафираКефарова Не совсем понимаю, почему вы выбрали этот комментарий для своего вопроса, а не комментируете само видео, но ничего не имею против.
В моём понимании и правда, решая задачу в действительных числах означает, что мы используем операцию возведения в степень определённую для действительных чисел т.е. ту которая не определённа для отрицательных оснований. Но и ответ будет действительным числом ( а не, например, комплексным, хотя конечно, с должным желанием действительные числа можно считать комплексными с 0 мнимой частью )
Решая уравнение в целых числах, логично использовать операцию возведения в степень определённую для целых чисел ( и уже определённую для отрицательных оснований). И ответ, конечно же должен быть целым числом.
Действительные числа включают целые ( как вы наверняка знаете ) , поэтому 2 пункт в разделе вашего комментария посвящённого решению в целых числах... вызывает некоторое недоумение. Ответ будет целым числом, но любое целое это действительное.
А чем отличается 12 от 12.0? 12 - 12.0 = 0.
@@shpigelmaned под 12 я подразумевал целое число и как следствие операцию возведение в целочисленную степень, определённую как произведение числа 12 раз.
Написав 12.0 я пытался подчеркнуть, что смотрю на него как на вещественное число и соответственно, операцию возведение в степень как совершенно иную операцию, с другим определением и областью определения. Тот факт, что для положительных оснований и тех действительных чисел, которые так же являются целыми, результаты этих операций совпадают, не делают эти две операции одинаковыми.
Этой припиской .0 я, видимо неудачно, хотел подчеркнуть ту операцию, которая подразумевается при записи.
То, что при вычитании одного из другого получается 0, не меняет всё же, главной мысли, связанной с тем, что в рассматриваемом примере существует путаница с операциями.
Можно другой пример вспомнить, который тоже очень любят обсуждать на TH-cam : факториал и гамма-функция
Факториал, как унарная операция определена на не отрицательных целых числах , как произведение целых чисел от 1 до самого числа ( наверняка не самое корректно определил факториал написал, но на главную мысль это не повлияет)
Гамма функция же, определяется не только на целых числах как один хитрый интеграл, записывать который в комментариях крайне неудобно, и вы сами его возможно знаете, или можете найти при помощи интернета.
Гамма функция в целых числах совпадает с факториалом
Но так же она определена и не на целых числах тоже, это пораждает лже-сенсации вроде (1/2)!
Факт того, что часть значений в целых числах совпадает, на мой взгляд, не делает эти две операции одинаковыми.
Возможно, вопрос является от части философским, и я согласен, что возможно, здесь есть простор для размышлений
Как вы считаете, если исходить из одних и тех же чисел, но делать совершенно разные операции ( перемножать числа / брать несобственный интеграл или, вычислять предел) , а на выходе получить одно и то же, можно ли считать эти операции одинаковыми ?
Я придерживаюсь позиции, что это всё же нельзя назвать одной и той же операцией.
Надеюсь, я достаточно понятно изложил свою позицию.
@@penguinpenguin-zm2mr Не кажется ли Вам странным, что когда Вы считаете, что 12 - целое число, то это одна операция, а если Вы вдруг решили, что 12.0 - это действительное число, то это что-то другое. На самом деле в математике существует одна операция возведения в степень - a^b, где a - основание степени, а b - показатель степени. Основание степени может быть любым действительным числом. Если a < 0, то a^b определено только для целых b. Если a > 0, то a^b определено и для действительных b. Поэтому, когда Вы имеете дело с возведением в степень, то первым делом нужно выяснить основание степени положительное, или отрицательное, и действовать соответственно.
@@shpigelmaned нет, мне не кажется это странным. Когда я возвожу в целую степень я подразумеваю перемножение чисел между собой. Когда я возвожу в действительную я думаю об этом как о пределе. Две совершенно разных образа в голове и операции, результат которых, так получилось, совпадают для целых чисел при положительных основаниях.
Так же как и в примере с факториалом и гамма-функцией
То, что один хитрый интеграл, если подставить туда целое число, даёт тот же результат, что и перемножение чисел, не делает первое вторым, а второе первым.
Я не являюсь математиком, но для меня довольно странно слышать, что в "на самом деле в математике только одна операция возведения в степень"
Можете, это утверждение как-то обосновать ?
Например, какого-то единообразного определения, хватит
Вот, в этом видео, автор приводит два определения, по одному к каждой операции. Было бы интересно узнать, как вы понимаете эту операцию.
Довольно странно определять операцию для действительных чисел, как "если показатель, оказался помимо того, что действительный ещё и целым, то возведение в степень это одно, и у него будет одна область определения, а если показатель не целый -- совершенно другое, и будет другая область определения"
Я не говорю, что такую операцию нельзя придумать
Но она выглядит довольно неуклюжей.
Я скорее поверю в то, что люди обозначают две разные операции одинаково
Из-за чего и возникает вечная путаница
Тот случай, когда общее решение меньше частного)
Но всё же, я считаю, что следует рассматривать объединённое решение.
В самом общем случае (если приравнять ввести какой-то дополнительный параметр) основание является действительным числом от -беск до +беск и показатель является действительным числом от -беск до +беск, если рассматривать их отдельно, и решения можно вовсе не найти)
Так как это голая математика, я считаю, что нам следует самостоятельно оговаривать ограничения и искать решения в условиях этих ограничений. Причём, так как в условиях задачи ничего не сказано, кроме того, что x - действительное и надо найти ВСЕ значения, то следует рассматривать все варианты.
ну вообще да. зашкварно, чел в начале говорит решить в real numbers, а потом сам же в 3м солушене пишет integer. и больше 2млн просмотров
интересно, он просто очередной блогер или реально шарит, а тут запутался, ошибся. в "О канале" указано что изучал математику и экономику. и чето какие то книги пихает. номинант на награду каких то сборов ютуберов итд... печально конечно, что в интернете куча мутного контента на любые темы, где популярные люди учат с ошибками
он в начале видео пишет решить в real numbers, а в 3м solution говорит про integer показатель степени, а не про integer x
А вы не рассматриваете вариант, что, например, "мутным контентом" является именно этот ролик? Год назад уже был такой же тут мутной ролик здесь про степени и там уже всё высказали в комментах, что именно не так с таким вот представлением о степенях, и тут опять всё заново ради очередного хайпа.
8:15 так если в какой либо точке первое уравнение(что в основании степени) есть целое число, то оно может быть отрицательным, возведенным в нулевую степень, поэтому ответы 3 и 4 тоже можно считать.
Нельзя методологически. Действительные числа ни в какой точке не обращаются в целые. Они на разных осях в принципе.
@@fostergrand4497 как раз можно, ведь изначальная задача была решить уравнение, а не найти пересечение двух функций
@@Мартынов-х3ъ нельзя. если уравнение в действительных числах у него не может быть ни целых корней, ни целых значений. И наоборот.
@@fostergrand4497 это кто Вас такому научил?) Целые числа - это подмножество действительных.
@@romanapanovich5267 интересно, вам заглавный ролик долго и подробно объяснял, что 4 целое и 4 вещественное это разные понятия. Но не в коня корм, ага?
Четыре метра длины и четыре портновских метра (как инструмента) это совершенно разные и несовместимые понятия, и работать с ними, даже математически, надо по-разному.
Если не поняли, пересмотрите заглавный ролик ещё десяток раз, только на этот раз внимательно.
Математика базируется на договоренностях. Как договорятся так и будет.
Все правильно, и очень ясно рассказано, с замечательными примерами. [Holywar mode on] Только почему, когда вы говорите о возведение в целую степень, вы говорите, что 0 можно возводить только в положительную степень? Когда мы говорим о возведении в целую степень, как раз ноль можно возводить в нулевую степень (и получить 1). И это часто используется: например, в формуле e^x=x^0/0!+x^1/1!+x^2/2!+.... Это формула конечно верна и при x=0. (Кстати, в этой формуле слева и справа разные операции возведения в степень). С другой стороны, когда мы говорим о возведении в действительную степень, тогда ноль в нулевой степени таки-да не определен, потому что не определен предел x^y при x->0 и y->0.
Но ведь целые - подмножество действительных. Поэтому при подстановке 3 и 4 показатель целое число, и тождество истинно.
Конечно.
Под ОДЗ основания попадает? Нет.
Тогда в действительных числах 4 решения, в целых 6.
Однако, если проверять как в школе - подставляя ответ и считая, всё-таки 6)
@@arkanoid1965 Операции в компьютерах не работают по законам функций в математике, функция может быть бесконечно многозначной, а компьютер все такие ответы за конечное время не запишет
@@ВадимЛюбимов-ш7ш обоснуйте. Откуда вы взяли ОДЗ основания? То, что Вы не можете найти какими-то методиками какого-то решения - не означает, что это решение неправильное.
Ответы 3 и 4 приводят к верному выражению, и это действительные числа. Целые числа - это подмножество действительных чисел. Из вашей логики (-1)^2 вообще никогда ни в каком случае писать нельзя, поскольку 2 - это действительное число. И не убеждайте меня, что "2 - это не действительное, а целое", потому что 2 - действительное число.
Математика иногда не понятно зато интересно 😅
Тут сразу понятно, что Волков прав.
Если бы он чётче это объяснил, не пришлось бы этот ролик записывать )
Не согласен, если мы формально просто подставим любое из 6 полученных значений, то получим верное равенство, что и значит, что они являются корнями уравнения. То, что при решении уравнения мы решили интерпретировать ее как функцию, это только наши проблемы
@@Мартынов-х3ъ +++
Волков не прав, все 6 подходят
Я в шоке, походу Трушину придётся записывать очередное видео по этой теме раньше, чем через 1,5 года.
Объяснение 🔥!! Супер
Как много однако в комментариях "математиков" утверждающих обратное...
Пора совершенствовать программы и добавлять голочку "действительная степень" или что-то в этом роде. Чтобы вопросов возникало меньше.
Целая степень всегда является действительной. Не мнимой же.
А с третьей стороны, решением уравнения называется число, при подстановке которого в исходное равенство, это равенство превращается в тождество. И с такой позиции у данного уравнения 6 корней.
Превратится оно в тождество или нет зависит от того, какая операция подразумевалась
Но опять же, возьми ты то же уравнение (((x)^2)^1/6). Какой будет х при подстановке, положительным или отрицательным? А смотря как решишь уже после подстановки.
@@trushinbv я правильно понимаю, что если бы автор канала MYD сказал решить задачу в целых числах, то вопросов бы не возникало?
@@trushinbv но -1 в четной степени это 1, независимо от того какую операцию подразумевать, хотя я конечно же понимаю, что Вы подразумеваете то, что -1 нельзя брать по определению.
@@RDimon2912 да
О да, наконец-то разбор этой огромной манипуляции.
А вот (-1)^k в тригонометрии - это весьма и весьма хороший пример, спасибо))
вот только мы всегда дописывали что k принадлежит Z
@@alextubari так и есть, без этого ответ нельзя считать верным.
Отлично))) но Волкову больше доверия, чем иностранцам))
наоборот, там более всё ясно и больше доказательств. хотя, не обобщаю, для каждого своё)
@@jxckzy_ но данный пример это не лучшая им реклама, хотя обычно вы правы))
я хуею с некоторых его решений типа "решите уравнение. давайте подставим 2 получим 0 значит 2 корень уравнения всем спасибо"
@@sosad6341 корень многолчена порой кроме угадывания никак не найти. Особенно, если многочлен степени выше 4
@@sosad6341 там же не совсем так. Он говорит, что одна функция возрастает, другая убывает, значит решение одно и можно найти подбором
Это всё верно, но всё же, целые числа являются подмножеством действительных чисел, и в принципе, можно ввести ограничение, что показатель является целым положительным и чётным числом, и таким образом найти дополнительные корни при основании равном -1.
Например разложить квадратный двучлен показателя на множители, не приравнивая нулю а положить, что второй множитель должен быть равен обратному первому, умноженному на свободный целочисленный чётный параметр. Это эквивалентно приравниванию квадратного двучлена некому 2k, где (k принадлежит Z) и (k >= 0). Назовём это уравнение p2N. Таким образом, находим множество значений x, при которых показатель будет целым, чётным и положительным. Далее надо найти пересечение этого множества с корнями уравнения, приравнивающего основание -1 ( пусть это будет уравнение b). При этом надо будет решать уравнение p2N относительно параметра k, подставляя решения уравнения b. Если решение является целым числом, то имеет место пересечение, если нет, то нет. И далее объёдиняем множество полученных таким образом решений со множеством решений в действительных числах.
Хотя, я абсолютно согласен, что если не думать об этом специально, использовать метод логарифмирования, например, то найдётся только 4 корня уравнения.
В общем, математика - довольно интересная наука :)