Majorantenkriterium & Minorantenkriterium Einfach Erklärt! + 3 Beispiele
ฝัง
- เผยแพร่เมื่อ 20 ก.ค. 2024
- Mit dem Majoranten- bzw. Minorantenkriterium kannst du durch geschicktes Abschätzen einer Reihe die Konvergenz bzw. die Divergenz nachweisen. Das Kriterium ist sehr intuitiv. Es braucht vor allem pure Kreativität und Logik anstatt Rechnungen. Wie das Kriterium funktioniert und welchen Alltagsbezug es hat, erfährst du in diesem Video!
✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄
Wenn du dich auf eine Mathe Prüfung vorbereiten musst, dann schau dich auf meiner eigenen Online Plattform um: champcademy.com. Dort findest du Kurse, individuellen Support und alles, was du benötigst um deine Prüfung zu bestehen.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ONLINE KURSE 🤓
25% Rabatt auf alle meine Kurse. Gutscheincode "2023"
Statistik- und Wahrscheinlichkeitsrechnung
champcademy.teachable.com/p/s...
Komplexe Zahlen
champcademy.teachable.com/p/k...
Folgen, Reihen und Differenzengleichungen
champcademy.teachable.com/p/f...
Differentialrechnung
champcademy.teachable.com/p/d...
Grenzwerte von Funktionen
champcademy.teachable.com/p/g...
Integralrechnung
champcademy.teachable.com/p/i...
Mehrdimensionale Integralrechnung
champcademy.teachable.com/p/m...
Funktionen mit mehreren Variablen
champcademy.teachable.com/p/f...
Extremwertrechnung
champcademy.teachable.com/p/e...
INDIVIDUELLE KURSE
Mathe 1 Crashkurs (angepasst an HU Berlin)
champcademy.teachable.com/p/m...
Mathe 2 LIVE Crash Kurs (für HU Berlin)
champcademy.teachable.com/p/m...
Statistik 1 LIVE Crash Kurs (für HU Berlin)
champcademy.teachable.com/p/s...
Analysis 2 LIVE Crash Kurs (für TU Berlin)
champcademy.teachable.com/p/a...
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
SOCIAL MEDIA
linktr.ee/mathepeter
/ mathepeter.tv
/ discord
LIVESTREAM-KALENDER
kalender.digital/831bcc564b24...
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
AFFILIATE LINKS
Für jeden Kauf bekomme ich eine kleine Provision. Für dich bleibt der Preis gleich:
Mein Taschenrechner
amzn.to/2RbhKKj
Mein Tafelwerk
amzn.to/2WdVUtd
♥♥♥ ♜♞♝♛♚♝♞♜ ♥♥♥
♟♟♟♟♟♟♟♟
---------------------------------------------------------------------
Möchtest du mich unterstützen?
Patreon: / mathepeter
PayPal: paypal.me/peterlehe1?locale.x...
---------------------------------------------------------------------
♙♙♙♙♙♙♙♙
♥♥♥ ♖♘♗♕♔♗♘♖ ♥♥♥
✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄
Inhalt:
0:00 Was ist das Marorantenkriterium bzw. Minorantenkriterium?
0:21 Alltagsbeispiel
2:01 Intuitive Probleme beim Kriterium
3:06 Beispiel 1
7:10 Beispiel 2
9:27 Beispiel 3
12:16 #WERBUNG
Warum #MathePeter:
Vielen von euch fällt Mathe während des Studiums oder der Ausbildung nicht leicht. Ihr müsst sogar eine Prüfung in Mathe schreiben. Ehrlich gesagt gibt es auch Schöneres im Leben als sich auf eine Matheprüfung vorzubereiten. Während meiner Zeit als Tutor an der Uni habe ich gemerkt, dass Mathe lernen auch einfacher geht. Auf diesem Kanal erarbeiten wir gemeinsam die Basics für eure Prüfung. Dieser Kanal dient auch als Ergänzung für online und offline Nachhilfe. Mathe lernen so einfach wie möglich ist das Ziel. In Zukunft kommen Crashkurse, Videos und Videokurse. Ich freue mich auf euch! Schreibt mir einfach eine Nachricht.
![The Wall Song ร้องข้ามกำแพง | EP.202 | ตั้ม วราวุธ / เบสท์ คำสิงห์ | 18 ก.ค. 67 [1/5]](http://i.ytimg.com/vi/cwIoA7XHqnE/mqdefault.jpg)
Mittelstufe: SImple Club
Oberstufe: Daniel Jung
Studium: Mathe Peter
unglaublich, wie man das komplizierte Gekritzel aus den Vorlesungen so schnell verständlich machen kann... und ich finde es auch gut, dass die Videos nicht nur 5 Minuten gehen und du versuchst, alles schnell schnell zu erklären, sondern wirklich alles abdeckst :) #EhrenPeter
genau so siehts aus^^ für das Studium ist Peter definitiv der beste!
Der Vergleich ist spot on.
ich hab mir eins zu eins das selbe gedacht
Also ich muss einfach sagen MathePeter du bist und bleibst einfach meine Nummer 1 für Mathe Videos. Du erklärst es einfach so schön, ohne Stress und deutlich. Egal was du erklärst man versteht es fast immer! Das ist einfach eine Kunst an sich und ich möchte mich Herzlich bedanken dafür! Du bist einfach nur der MathePeter und mein MatheRetter!
Einen besseren Vergleich habe ich noch nie gehört. Deine Videos sind der Wahnsinn!!!!
Ich versteh nicht wie man etwas, das eigentlich so einfach ist, in den Vorlesungen so unfassbar kompliziert darstellen kann, Bei mir wurde z.B. nie erklärt wo man die Vergleichsreihe herbekommt, bzw. wie man darauf kommt, die war halt dann einfach da. Aber natürlich ohne Zwischenschritte sondern nur die "fertige" Reihe.
Dass man sich das alles selber zusammen bauen kann hab ich erst hier erfahren.
Perfektes timing, ich hab in 2 Tagen die Prüfung und mir genau dieses Thema noch nicht angesehen 😅. Das Gepäck-Beispiel war echt gut, danke dir!
Ein wenig spät aber morgen Mathe 3 Klausur. Hatte das Thema ganz vergessen und muss es mir jetzt noch reinprügeln^^
Bis jetzt hatte ich eigentlich nie wirklich Probleme in Mathe. Mit dem Studium wurde natürlich alles etwas komplexer...
Deshalb wirklich großen Respekt, dass du so viele wirre Themen immer super kurz, verständlich und anschaulich erklären kannst!!!
Wow!! Ich bin sprachlos. Noch vor 15min schien es für mich aussichtslos durch die Vorlesungsfolien durch zu steigen. Aber dank dir hab ich erst viel besser verstanden, wofür das überhaupt gut ist. Durch deine perfekten und verständlichen Beispiele versteht man direkt das Große Ganze, was durch aus in den Vorlesungen mal abhanden kommt. Danke.
Wieder eine 10/10 das Video. Der Vergleich mit dem Gepäck macht das so viel anschaulicher, ich würde mir wünschen mein Dozent würde auch immer wieder solche Vergleiche bringen. Danke!!!
Neben den ganzen anderen Komplimenten, die du dir sowas von verdient hast, finde ich auch noch wichtig zu loben, dass deine Beispiele einfach immer on point sind! Im Gegensatz zu den ganzen anderen YT Matheheinies wie Daniel Jung oder den SimpleClub Jungs erkennt man in deinen Beispielen das Abstrakte - und das ist einfach nur geil :D
Danke, dass du das für uns machst!
Danke dir!! Freut mich, dass du das siehst. Mir Gedanken über die Aufgaben zu machen ist ein großer Teil der Zeit :)
Du bist ein Ehrenmann! Hilfst mir immer mehr im Studium
Starkes Video und das direkt vor der Prüfung... So muss das!!
Ganz herzlichen Dank für dein tolles Video! Ich weiß nicht, wie oft ich schon die Vorlesungsfolien angestarrt habe, ohne auch nur ansatzweise zu verstehen, wofür diese Kriterien gut sein sollen - jetzt hab ich's verstanden! :)
Absoluter Master... Sehr stark 💪
hätte zwar gedacht, dass ich im Pharmaziestudium sowas nie brauchen werde, aber hier bin ich und sag DANKE!
OMG SAME!!!!!!!!!😭
sehr gute video , kurz knapp und das wichtigste , das spart unmengen an zeit , danke !!!
Sehr gute Erklärung! Danke!
Ich habe das endlich Dank Ihnen verstanden ☺️. Vielen Dank 😊! Super schön und klar erklärt 👍🏽!
Was ein attraktiver Mann !
Video war auch ganz ok ;)
Deine Videos sind allesamt spitze!
Immer noch nach 4 Jahren sehr hilfreich. Danke Peter
Danke, Mal wieder perfekt erklärt :)!
Ehremannn Ich küsse dein Augennn. Ich hatte Morgen mein Mathe Klausur und du hast mein Leben gerettet 😘
Mensch du bist mein neuer Held , danke
Super geklärt , Vielen Dank :)
super video hab morgen Klausur 😍 dank dir geht jz alles easy😅
Du bist perfekt! Wirklich danke sehr:)
Vielen Dank für das mega Video!!
Nice, echt gut erklärt
Noch nie gesehen, aber hab ich trotzdem verstanden.
Hammer erklärt! Danke!
Danke, war super hilfreich :D
Deine Videos sind echt klasse. Innerhalb der ersten 2min hab ich es verstanden
Wow starke Leistung!! :)
Absolut top erklärt, vielen Dank! #EhrenPeter
dieses Video ist hammer!
Sehr gutes Video danke 👍💯
seht verständliches Video klasse!!
bruh, warum kriegts sonst kaum einer hin das so anschaulich zu erklären? danke dir!
Danke Danke Danke🙏❤ jedes mal wieder eine absolute Rettung vor dem Totalzusammenbruch😂
Ein SEHR hilfreiches Video!!! Vielen vielen Dank :)
Das freut mich sehr!
du bist einfach der Beste
meine Nummer 1 für Mathe Videos. 🤩
Super Video. Bin im Fernstudium, da ist man wohl oder übel von der Qualität der Skripte abhängig. Habe das Thema 5 mal gelesen und nicht verstanden. 10 Min dein Video geschaut und schon hats klick gemacht. Danke!
sehr gutes video dankeschön
So ein genialer Typ
Top Video. Danke!
Danke für das Lob!
super Video!!
Ehrenmann! Danke!
echt cool gemacht
Du hast eine echt schöne Schrift ;)
Danke für deine super Videos!! :) Immer wieder rettest du uns Studenten hehe
eine Frage hätte ich noch: kann der faktor vor dem Summenzeichen auch negativ sein oder hat das dann Auswirkungen auf das Konvergenzverhalten?
Das freut mich, danke fürs mitteilen! :)
Es sollte schon alles positiv bleiben, weil sonst die Abschätzungen durcheinander kommen können, bzw. wir bis nach minus Unendlich abhauen könnten. In der Regel schreibt man auch Beträge, aber ich achte beim Abschätzen drauf, dass ich im Positiven bleibe, darum erübrigen sich die Beträge.
Danke Peter
super content!
Perfekt!
Du bist mein Held
Peter du bist der beste
Top Video
Hallo Peter, ein Video zum Integralkriterium wäre super ;).
Geht klar! 😄
top video!
Ich liebe dich Peter
danke man.. mein Retter!
Hey, wie immer klasse und sehr hilfreich. Hab mir auch deinen Udemykurs dazu besorgt, kann ich jedem nur empfehlen.
Ich hab hier noch eine Frage zum dritten Beispiel: Wenn meine Summe bei n = 0 beginnt, kann ich dann 1en auch zu n machen? Für n = 0 wäre da n ja < 1 und deshalb würde ich da den Term ja verkleinern. Muss ich die Summe da vielleicht so umschreiben, dass ich bei n = 1 starte vor ich die 1en zu n mache?
Vielen Dank! Freut mich, dass die Kurse weiter helfen! :)
Die Abschätzung, die du triffst, sollte von der Theorie her für alle Zahlen gelten. Wenn sie also mal für ein paar Zahlen nicht geht, dann kann man sie aus der Summe ausgliedern. Aber so eng sehen es Dozenten oft nicht.
@@MathePeter Ah, stimmt, kann man tatsächlich einfach rausnehmen und einen Einfluss auf die Konvergenz hat das dann ja auch nicht. Ich verliere immer den Überblick was alles machbar ist. Tausend Dank :)
Kenn ich. Einfach weiter trainieren 💪
Deine Videos sind echt der Hammer!
Aber eine allgemeine Frage hätte ich noch: Und zwar verstehe ich nicht ganz, warum die unendliche harmonische Reihe 1/n^2 konvergiert aber auf der anderen Seite die unendliche harmonische Reihe 1/n divergiert?
Also ich stell mir die unendliche Summe für 1/n ja so vor, dass diese mit jedem weiteren Schritt gegen unendlich immer weiter wächst nur halt mit jedem weiteren Summanden immer um einen kleineren Wert, was ja egal ist, weil es unendlich viele Sumanden gibt. Aber warum konvergiert dann die unendliche Reihe 1/n^2? Da besteht doch das selbe Prinzip, nur das es mit jedem weiteren Sumanden noch langsamer wächst aber halt auch gegen unendlich?
Sorry für den Roman :D
Ich verstehe was du meinst, das ist nicht intuitiv. In meinem Online Kurs "Folgen, Reihen und Differenzengleichungen", zu dem das Video hier gehört, beweisen wir genau das mit dem Verdichtungskriterium.
@@MathePeter Hey, danke für die schnell Antwort! Also kann man mit diesen Ansatz nicht auf die Lösung kommen?
Danke, dann werde ich mir das mal anschauen.
Genau, du hast ja deine Intuition beschrieben. Das ist genau die Falle bei der Reihe. Mit dem Beweis über das Verdichtungskriterium ist es aber klar.
Danke man
Sehr gerne :)
Allen Glück, Gesundheit und die besten Wünsche.
Super Video! Danke. Aber was genau meinst du nochmal mit "S=2"
Schau dir mal mein Video zur harmonischen Reihe an. Da hab ich das "s" erklärt. Das ist der Exponent vom n.
geiles Video
deine videos sind echt hilfreich! ich wunder mich bloß, was es bedeutet, wenn ich für eine konvergierende Reihe a(n) eine Majorante b(n) wähle, die allerdings divergiert - heißt das, dass a(n) zwar konvergiert, jedoch nicht absolut? [ a(n) = k!/(2^(k^2)) und b(n) = k!/(2^k) ]
Das freut mich! Wenn du für eine konvergente Reihe eine divergierende Majorante wählst, dann hast du zu großzügig nach oben abgeschätzt.
kann ich für den dritten "Spezialfall" einfach Bunt was dazuschreiben/ multiplizieren, sodass meine Summe Größer wird, oder gitb es da gewissen kriterien?
Lennart Weber kannst machen was du willst, solange es logisch ist!!
@@MathePeter
Die einzige Regel ist also:
solang eine Majorante größer ist und meine Minorante kleiner, also;
solange ich z.B. bei einer Majorante nur im Zähler positive Zahlen hinzufüge und Im Nenner Negative, ist alles legitim?
also geal welche potenzen, egal welche zahlen, egal wie viele zahlen, usw.... hauptsache am ende is die summe meiner majorante größer.... auch wenn sie ncihtmal mehr im entferntesten an die ausgangssumme erinnert?
@@lennartweber1502 Genau!! Das ist der Sinn von diesen Abschätzungen, sehr gut! :)
Hallo Peter,
wie würdest du die Reihe (2n+3)/(3n^2+5) vernünftig nach dem Minorantenkrit. begründen ? Ich weiß, dass die Reihe divergiert aber bin mir nicht sicher wie ich die passende Minorante finde .
Für das Minorantenkriterium musst du die Folgeglieder kleiner machen. Also die "+3" im Zähler weglassen und die "+5" im Nenner verstärken. Damit ist (2n+3)/(3n^2+5) ≥ 2n/(3n^2+n^2) = 2n/(4n^2) = 1/2* 1/n^2. Diese Reihe ist eine konvergente harmonische Reihe.
@@MathePeter Danke für die Antwort, wegen dem weglassen und verstärken war ich mir nicht ganz sicher :D Aber ich glaube du hast dich zum Schluss verschrieben. Es sollte dann ja heißen 1/2 * 1/n und somit hätten wir ja Divergenz, da 1/n = divergent und 1/2 mal 1/n sollte ja auch divergieren oder ? also wäre Praktisch 1/2 * 1/n unsere Divergente Minorante weswegen die Reihe auch divergieren muss.
Ähh ja, tut mir Leid, du hast vollkommen Recht! 😂
Hier noch mal richtig: (2n+3)/(3n^2+5) ≥ 2n/(3n^2+n^2) = 2n/(4n^2) = 1/2* 1/n ist eine divergente Minorante für die Reihe. Du hast es verstanden, sehr gut!!
Jetzt will ich eigentlich nur noch an diesen Gepäckschalter und ab in den Urlaub 😀
Besteh aufs Wiegen! 😂
Angenommen ich möchte 1/(k^2+1) mit Minorantenverfahren prüfen und forme um, sodass ich stehen hab 1/(k^2+1) > 1/(k^4+1), welche beim Einsetzen von 2 erfüllt, sprich divergent ist. Ebenso kann ich aber auch beim Majorantenverfahren beim Einsetzen von 2 in 1/(k^2) < 1/k^2 eine konvergente Lösung draus machen?!
Reihe von 1/(k^2+1) wird konvergieren, also das Minorantenkriterium wird nicht nicht helfen. Da schon diese Reihe konvergiert, wird auch jede kleine Reihe konvergieren, so wie 1/(k^4+1) ebenfalls konvergiert, weil 1/k^4 eine konvergente harmonische Reihe ist.
@@MathePeter alles klar, vielen Dank vorab. Hast du noch einen Tipp wie man bspw beim Prüfen einer konvergenten Reihe (nur Bedingung Nullfolge erfüllt) auf die absolute Konvergenz sofort weiß ob man Majoranten- oder Minorantenverfahren braucht? 🤔
Um das Majorantenkriterium zu benutzen, solltest du schon wissen, dass die Reihe konvergiert. Und wenn du das Minorantenkriterium benutzt, solltest du schon wissen, dass die Reihe divergiert.
Ist ein Indexshift notwendig, wenn die Summe bei n=5 beginnt um mit Harmonische reihe vergleichen zu können? die harmonische beginnt ja bei n=1
Endlich viele Summanden haben keinen Einfluss auf das Konvergenzverhalten. Darum ist es für die Konvergenz der Reihe egal, bei welchem Indexwert sie anfängt.
das gilt auch für folgen oder?
Was genau meinst du? Das Majoranten- bzw. Minorantenkriterium kümmert sich nur um die Konvergenz von Reihen.
Bei der Reihe(n=0) (5^((n)^0.5))/2^n müsste ich die Reihe ja größer machen um zu schauen ob Sie konvergiert. Also hab ich die Wurzel bei dem 5^n entfernt. Wenn ich dann aber mit dem Wurzelkriterium die neue Reihe anschaue kommt da 5/2 raus was ja bedeuten würde das Sie Divergiert (5/2 > 1) ?
Stimmt. Das bedeutet also, dass deine Abschätzung, die Wurzel wegzulassen, einfach zu krass war. Versuch es stattdessen mit dem Quotientenkriterium. Dann kommst du auf absolute Konvergenz der Reihe.
was macht man bei einer Reihe wie 1/(n^2-n+1) ? Davon ja die harmonische reihe mit s=2 keine majorante, oder doch?
Doch klar, die Reihe wird konvergieren, weil auch die Reihe von 1/n^2 konvergiert. Das heißt du musst 1/(n^2-n+1) jetzt soweit nach oben abschätzen, dass irgendwas mit 1/n^2 bei rauskommt. Wenn du zum Beispiel die "+1" weglässt, wird der Nenner kleiner und damit der gesamte Bruch größer. Wenn du das "-n" verstärkst zu "-1/2n^2", dann wird der Bruch auch größer, weil du ja im Nenner noch mehr abziehst als nur mit dem n. Damit ist 1/(n^2-n+1) ≤ 1/(n^2-1/2n^2) = 1/(1/2n^2) = 2/n^2. Die 2 kannst du vor die Reihe ziehen und dann bleibst über als konvergente Majorante 2 mal die Reihe von 1/n^2.
Ist die Reihe von Beipiel 1 dann absolut konvergent? :)
Ja genau! :)
@@MathePeter Danke. :)
wieso ist eigentlich die Reihe 1/n divergent und die Reihe 1/n^2 konvergent? Die Zahl im Nenner wird ja bei beiden immer größer also unendlich groß. Müsste da 1/n^2 dann nicht auch divergieren?
In beiden Fällen werden in der Unendlichkeit Nullen aufaddiert. Das ist das notwendige Kriterium für Konvergenz; wäre das nicht erfüllt, könnten wir sofort auf Divergenz schließen. Aber wenn es erfüllt ist, sagt uns das noch nichts über das Konvergenzverhalten aus, so wie hier. Im Fall von 1/n² sind die Nullen so klein, dass die Reihe konvergiert. Im Fall von 1/n sind die Nullen so groß, dass die Reihe divergiert. Beweisen kannst du das mit dem Verdichtungskriterium. Videos dazu, auch speziell zur harmonischen Reihe, findest du im Online Kurs "Folgen, Reihen und Differenzengleichungen", den ich unter diesem Video verlinkt hab.
Muss man in der Prüfung auch einmal den Beweis hinschreiben, dass die harmonische reihe konvergiert/divergiert oder reicht das wenn man das nur hinschreibt, dass sie konvergiert/divergiert, weil es eine harmonische reihe ist ?
Für gewöhnlich reicht es hinzuschreiben, weil in den meisten Fällen der Beweis bereits in der Vorlesung erbracht wurde. Nur wenn mal explizit danach gefragt wird, muss man den Beweis liefern. Das geht aber super einfach mit dem Verdichtungskriterium. Hab ich unter anderem als Video in meinem Online Kurs "Folgen, Reihen und Differenzengleichungen" gemacht.
Danke sehr. Hab Samstag die Mathe klausur geschrieben und muss sagen du bist nä echt große Hilfe, Danke.
ehrenmann
Ich habe nicht verstanden, warum das zweite Beispiel divergieren soll. 1/n mit n gegen unendlich konvergiert doch gegen null. Im ersten Beispiel hast du doch auch gezeigt, dass 1/n^2 konvergiert.
Schau dir mal das Video zur harmonischen Reihe an: th-cam.com/video/JInLsST5AJ8/w-d-xo.html
Wenn der Exponent kleiner oder gleich 1 ist, dann divergiert die Reihe. Beweisen kann man das in Sekunden mit dem Verdichtungskriterium. Interessant, dass eine Nullfolge selbst nicht ausreichend ist für die Konvergenz der Reihe, oder?
@@MathePeter wow danke für die Antwort, tatsächlich hatte ich mich direkt noch einmal schlau gemacht und musste auch einsehen, dass die Reihe von 1/n divergent ist.
Deine Videos sind immer der Hammer👌danke dir!
hey Peter ich hab auf deinem Kanal nach Videos zur Stetigkeit gesucht sie aber leider nicht gefunden. Kann mir da jemand helfen.
Hier ein Video zur Stetigkeit: th-cam.com/video/DvM9i1xL_Zw/w-d-xo.html
Kann ich auch beweisen, dass eine Reihe divergiert indem ich Nachweise das sie nicht konvergiert?
Meine Aufgabe lautet: Untersuchen Sie das folgende uneigentliche Integral auf Konvergenz. Integral(0,unendlich) (x-1)/(x^3+5)dx 🤔
Ja genau, eine Reihe divergiert, wenn sie nicht konvergiert. Der Trick hier ist das Integralvergleichskriterium. Dein Integral konvergiert genau dann, wenn die Reihe(0,unendlich) (n-1)/(n^3+5) konvergiert. Und die konvergiert nach dem Majorantenkriterium, wie im Video :)
Vielen Dank. Deine Videos sind absolut Spitze und haben mir in der Vorbereitung schon mehrmals weitergeholfen.
😘
Warum nimmst du den im Nenner n³ als positive Zahl
Weil wir für n nur positive Zahlen einsetzen, also ist auch n^3 eine positive Zahl.
10:25
Ich verstehe nicht so ganz wie du das beim 3 bsp machen kannst obwohl du ja denn Betrag von an brauchst. Doch wenn du etwas positives durch 2n^3-n also etwas negatives teilst wird es doch negativ oder. Und bedeutet das nicht das man eine Fallunterscheidung braucht
Der Term 2n^3-n wird für natürliche Zahlen n niemals negativ. Es wird hier immer durch eine positive Zahl geteilt.
was meinst du mit s=2?
Das ist bezogen auf die harmonische Reihe: th-cam.com/video/9Hjs_Te7TWM/w-d-xo.html
Müsste das nicht beim 2. Beispiel konvergieren? 1/n geht doch gegen 0?
Nein, die Folge 1/n geht zwar gegen Null, aber die Summe dieser Nullen ist so groß, dass jeder endliche Wert überstiegen wird. Bei 1/n^2 sieht die Sache anders aus; da sind die Null so klein, dass in Summe ein endlicher Wert rauskommt. Beweisen kannst du beides mit dem Cauchy-Verdichtungskriterium.
@@MathePeter Dankeschön okay das mit der Summe macht tatsächlich Sinn👍
Junge, ich liebe dich #nohomo
Zuerst liken dann anschauen!
Beim dritten Beispiel müsste es doch 3/2 sein nicht 3 oder?
Wieso? Im Nenner rechne ich doch 2n^2-n^2 = n^2. Also 1*n^2 steht dort. Darum ziehe ich eine 3/1=3 raus. Im Grunde ist es aber für die Konvergenz auch egal :)
@@MathePeter oh ja klar verstehe haha dachte du hättest einfach unten den Koeffizienten vergessen
Etwas zu spät Freitag HöMa 1 verschissen 😂
Schau dir zum nächsten Mal gern meinen Online Kurs "Folgen, Reihen und Differenzengleichungen" an. Da kannst du jedes Thema im Detail trainieren und ich erkläre alle nur möglichen Prüfungsfallen und Gemeinheiten in solchen Aufgaben.
MathePeter hab bestanden 😂
Hammer!!!! Glückwunsch! 😄
Habe gerade ein Video von Daniel Jung geguckt indem "1/n" als Beispiel für Konvergenz aufgeführt wurde und hier steht es als Divergent. Bin verwirrt, hätte gedacht 1/n geht gegen 0, hat somit einen Grenzwert und ist konvergent.
Die Zahlenfolge 1/n ist konvergent mit Grenzwert Null. Die Zahlenreihe ∑1/n ist divergent; die aufaddierten "Nullen" sind so groß, dass jeder endliche Wert überstiegen wird. Beweisen lässt sich das mit dem Verdichtungskriterium.
@@MathePeter Vielen Dank :) Mir war der Unterschied zwischen einer Zahlenfolge und einer Zahlenreihe nicht bewusst. Zahlenreihe ist immer eine Summe und der "lim -> unendlich" einer Zahlenreihe ist nur der Endwert der Reihe ohne die einzelnen Glieder aufzuaddieren? Werde mal nach weiteren Videos von dir zu den Thema schauen. Wahnsinn, dass du innerhalb von so kurzer Zeit auf ein 1,5 Jahre altes Video geantwortet hast, da hast mein Abo, like und Kommentar auf jeden Fall verdient :)
Freut mich, dass ich weiter helfen kann :)
Und du hast auch genau den wichtigen Aspekt von Reihen angesprochen, denn eine Reihe ist zum einen eine unendliche Summe, zum anderen aber auch selbst eine Folge der Partialsummen. Das heißt eine Reihe kann als Grenzwert verstanden werden von einer Summe bis zum Index n, wobei n mit dem Limes bis unendlich geschickt wird. Also werden tatsächlich unendlich viele Glieder aufaddiert.
Harmonische Reihe DIVERGIERT immer und kann als Minorante benutzt werden. Allgemeine harmonische Reihe kann konvergieren.
Definitionssache.
Bist du ein ingenieur?
Mathematiker :)
Versteh ich das als einziger gerade nicht? Im ersten Beispiel meinst du, dass die harmonische Reihe konvergiert, was ja auch richtig ist. Und im 2. Beispiel sagst du, dass die harmonische Reihe divergiert? Jetzt bin ich komplett verwirrt
Die (verallgemeinerte) harmonische Reihe ∑1/n^s konvergiert genau dann, wenn s>1 und divergiert, wenn s≤1. Einmal wurde im Beispiel die Reihe durch eine konvergente harmonische Reihe abgeschätzt und einmal durch eine divergente harmonische Reihe. Schau dir gern zur harmonischen Reihe mein Video an, in dem wir über einen unendlich hohen Turm mit endlicher Oberfläche und endlichem Volumen reden: th-cam.com/video/JInLsST5AJ8/w-d-xo.html
Mich bringt das voll durcheinander, wenn du deinen Stift zum Schluss nicht wegwirfts...ich hoffe ich falle deswegen nicht durch...
Wenns hilft, mach ich mal ein Video wo nur so die Stifte fliegen 😂
@@MathePeter Stifte und Binomi-Tafelwerke 🤣 danke, es ist so schön, dass du auf die Bedürfnisse und Schwächen deiner Community eingehst! 😂👍 #Ehrenmann
Ist leider formell unsauber. Mann kann Reihen nicht abschätzen. Man kann aber einzelne Glieder (oder die Reihenwerte) abschätzen. Die Beispiele, insbesondere das letzte, können bei speziellen Aufgaben fehlleiten.
Deine Videos > Daniel Jung > Simpleclub
lol
wir hatten die Prüfung vor 4 Tagen
Der Online Kurs zu "Folgen, Reihen und Differenzengleichungen" ist schon seit 2 Wochen online :D
Hoffe ist trotzdem gut gelaufen!
11:00 Wenn die 1 noch mehr Macht bekommen würde, könnte sie easy die Welt beherrschen
Soweit dürfen wir es nicht kommen lassen 😂