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勉強になりました^ ^
曖昧になってたところが理解できて本当に良かった
数学にはこういう厳密性と利便性のトレードオフみたいなことが結構ありますね！原始関数の場合、Fをfの一つの原始関数とするならば ∫f(x)dx=F(x)+C ではなくて ∫f(x)dx={F(x)+C|Cは任意の実数}と集合として表記したほうが良いのでしょうが、いちいちこんなふうに書いていたら面倒ですもんね。ちなみにn乗根にもこのようなトレードオフがありますよね。例えば n√(-1):-1のn乗根 を考えてみると、n>2 ならば通常 n個の解を書きます。つまり 4√(-1) = {e^(π/4), e^(3π/4), e^(5π/4), e^(7π/4)} ですが、n=2 のときは √(-1) = {e^(π/2), e^(3π/2)} とはせずに√(-1) = e^(π/2) = i-√(-1) = e^(3π/2) = -iと、集合ではなく値として等しい、という扱いですよね。ほとんど無意識にやってますが、実のところかなり奇妙な慣習だと思います！ただこれも色々な面でこのように定義を使い分けたほうが利便性が高まるのでしょう。（あるいは教育的な面とか）様々な局面で等号が何を意味しているのか、常に意識することが大事ですね！（コメントする場所間違えたので再投稿しました。すみません。）
わかりやすい！
そもそもなぜ原始関数を任意にとってくるとそれらは定数のずれしかないのか、というのも意外と答えられなかったりしそう東大あたりが入試で出題しないだろうか 簡単すぎるか
数学科出身の方が教える数学、教育学部出身の方が教える数学、医学部出身の方が教える数学はちょっと違うってこういう所なんですかね
学校で定積分→不定積分って習ったほうがいいような、不定積分は微分計算の逆という意味しかないと思ってた
高校で勉強する不定積分は、大学流の定積分の上端を変数と見るというものよりかは、原始関数というイメージがあります。
とても有難いです！
リーマン積分の諸定理をリーマン可積分の定義からスタートしてすべて厳密に議論していくのは案外難しい。自分も結構時間かけて勉強したけど何も見ずに教科書の内容をすべて再現しろといわれたらつっかかりそう。
定積分 ∫ f(t)dt (積分範囲はaからx) を、F(x)とした時、f(x)が連続関数でなければ、(F(x)をxで微分した関数)=f(x) となる保証がない。高校の教科書流の積分の定義では、暗黙にf(x)が連続関数であると仮定されているのでは!?…と思ってしまいます。
ある関数fに対して、その不連続点を含む区間上に原始関数が存在すると仮定した場合、その「原始関数」はfの不連続点上で微分不可能となり、原始関数の定義に反してしまいます。ですから、原始関数で不定積分を表すとき、区間で連続であることが仮定されていると思います。
@@yk5310 やはり そう思いますか。ありがとうございます。
感覚を厳密に説明されていてありがたいです
微分という操作は線形なのでベクトル空間の準同型定理から得られる定数(関数)分のずれ(核)を無視する線形空間のことを不定積分だと自分は解釈してます最初の例も０と１の上にバーでも付けとけば問題ないやろ
それ。そもそも不定積分の計算式で使う=が定数のズレを許すなら、0=1も問題にならないですね。
@@yk5310 2人とも面白い考え(ﾟ◇ﾟ=)
厳密にいうならば、微分形式の微分写像Ω^0(M)→Ω^1(M)の像(Ω^0/Ker)の元が不定積分です。これくらいの話(ドラームコホモロジーなど)もしようと思いましたが、結局しませんでした。
@@MasakiKoga 微分形式とかホモロジーとか専門的なことは分かりませんが面白そうな話ですねでも必要となる前提知識が多すぎてakito氏の代数学シリーズのように本題に入るまでに60パートぐらい要するかもしれません
勉強になりますねぇ^^
自分用メモ👏。 まさに、⭕️無用の用⭕️普段あまり役に立たないように見えるが、大切な役割を果たしている C君。前半のＩは、普通に積分すると、log|logx| +C ❣️ deフィニッシュ🙌
ほーみーずさんの動画で古賀さんの名前が出ていました！45秒のところです！th-cam.com/video/hUOjEimhncQ/w-d-xo.html
Tony Stark びくった
@@MasakiKoga 古賀さんの存在が知られている感じがして嬉しいです！
Tony Stark ほんとですね。
Tony Stark ㊗️ヤッタネ👏。
^_^
半世紀前の京大の問題っぽいですね
Any two indefinitely integrals differ by a constant.
サムネが横向きのインテグラルである
そんなこと気づかん笑笑
たとえば、三角関数を含む有理式の置換積分で有名なtan(x/2)=tこれを含む不定積分が求まったからと言って、何も考えずに定積分をそのまま代入して求めるのは危険です。なぜならば連続でない区間が含まれる場合があるからです。f(x)=1/(5 +4cosx)として不定積分∫ f(x)dx=F(x)はnを奇数としてx=nπで不連続になります。なので定積分∫[0, 2π, f(x)dx]=F(2π) -F(0)とするのは誤りです。
連続関数の不定積分(原始関数)が不連続なんてことはないと思うけど不思議な例ですね∫ f(x)dx=(2/3)arctan(3tan(x/2))+ C(2/3)arctan(3tan(x/2))→π/3 (x→(2n+1)π-0)(2/3)arctan(3tan(x/2))→ーπ/3 (x→(2n+1)π+0)だから区間((2n-1)π,(2n+1)π) ごとに積分定数の値を＋2π/3していけば滑らかに繋がるのかな？
まあ積分定数が悪さしてるだろーなっていうのはわかったけど、厳密に説明しろって言われるとわからん
最高
つまり不定積分の表示に使われてる=は普通の=ではなくてf=g f-g は定数;で定義されてるってことか。
レッツインテグラル
逆向きだったのが痛恨の極み
関連し、次のことを思います。任意の実数は、無限小のズレを無視しているのでは？例えば、1=1＋dx
それは単にlim(x→1)x = 1と言っているだけでは。
@@swordone そうです。無限小を用いる、本来の微積の考えかたで高校生に教える方法を考えております。超準解析を教えることはできませんので、ごまかしが入らざるをえないと思うのです。例えば、導関数を求めるときは、dxを0としては、いけないのです。つまり、等号の意味が、dxまでの無限小まで等しいことを求めます。例えば、(x＋dx)の２乗－xの２乗=2dx＋dxの２乗=2dxとしまして、両辺をdxで割ります。2dx＋dxの2乗を0としてはいけないのです。
06:50 結論
f(x)=1/xの不定積分を答える時は、x
つまりは ∫f(x)dx －∫f(x)dx ＝ 0 にしてはいけないってことかな。∫f(x)dxが同じだと原始関数F(x)は同じであっても積分定数Cはそれぞれの項で異なるので、∫f(x)dx －∫f(x)dx ＝ （F(x)＋C）－（F(x)＋C'） ＝ C－C’ ＝ 1 とすべきところをF(x)－F(x)＝0としたために0＝1となってしまった、と考えました
ズレを含んだ"I"を展開するとズレが展開先に出て、その展開先に同じ形の"I"がいてもこっちはズレを内包した状態って事だと思います。波平さん=波平さん(髪一本抜けた)+髪一本みたいな話だと思います
@@ああ-y2g7o それを数式で表現するためには、2つの積分定数CとC'を使わないといけないのかな、と思いました。個人的にはＩ＝∫1/(xlogx)dxと、∫1/(xlogx)dxをＩで置き換えるとこまではイコールで問題ないのでは？という気がします。（積分定数分まで含んでＩと定義）ただしその場合最後の1+∫1/(xlogx)dx＝1+Ｉというのが問題で、この∫1/(xlogx)dxはＩとは積分定数分のズレが出てくる（そのためその内包したズレをCとC'で表す）のでイコールにしてはいけないのでは、という感じです。
@@kbore21 いえその不定積分（これは一つの実数ではなく実数の集合）をＩと定義しているので，最後の置き換えもイコールで正しいです．全てのイコールは集合としてのイコールなんです．だから両辺からIを引くということはできないんです．
ある区間はそれぞれ連続しているということですね。
これは知らなんだわ😵
ボーッと見て、えぇっと違いはなんだっけ？ってなった。
ｵﾝﾓｼﾚーwwww
この動画のびそう(名推理)
「g(x)=f(x)+定数」と言っているが、そもそも、x=0を超えたときに1ずれる時点で、定数っぽく見えるものは定数ではない。「ヘヴィサイドの階段関数」といって、xが負のときは0、正のときは1になる、階段状の関数がある。H(x)で表す。その導関数はデルタ関数δ(x)。「g(x)=f(x)-H(x)」となる。g'(x)も単に1/xではなく、「g'(x)=1/x-δ(x)」が正しい。
なんで教科書ってあんなに難しく書くんだろう❗丁寧に分かりやすいイメージまったくないわ！たぶん数学者がこんなの簡単だよね？みたいに書いてるんだろうが、教科書をもっと分かりやすく、教員も分かりやすく教えていかないと、国語力のない人たくさんいるから、本当に理解できないんですよ。
変に細かいことを書いて予備校講師や大学教授から指摘されるのが面倒なので誰にも文句を言われないように原理をぶつ切りしてそのまま載せてるんです
サムネ向き逆でしょ.......
g(x) = ∫(1/x)dx は、微分方程式 dg(x)/dx = 1/x の解だという意味だとすれば、初期値問題の解は、初期値 g(a) = b の a が a > 0 のときには x > 0 の範囲でしか、a < 0 のときには x < 0 の範囲でしか存在しない。一般解は g(x) = log(x) + C1 {定義域はx>0} または g(x) = log(-x) + C2 {定義域は x0のとき} log|x| と g(x) = {x0のとき} log|x|, {x
論点が違う。きっと微分方程式の一般解と特殊解の話に似た話を見つけたと思ったのだろう。
☺️
![Masaki Koga [数学解説]](http://yt3.ggpht.com/2bPMN8EYog9LxRFzulgLEGGeCUTWn2_pIINQRrksTF5URZjwMR22QOtsjv32_l71yYWdLpfg=s48-c-k-c0x00ffffff-no-rj)
勉強になりました^ ^
曖昧になってたところが理解できて本当に良かった
数学にはこういう厳密性と利便性のトレードオフみたいなことが結構ありますね！
原始関数の場合、Fをfの一つの原始関数とするならば ∫f(x)dx=F(x)+C ではなくて ∫f(x)dx={F(x)+C|Cは任意の実数}
と集合として表記したほうが良いのでしょうが、いちいちこんなふうに書いていたら面倒ですもんね。
ちなみにn乗根にもこのようなトレードオフがありますよね。
例えば n√(-1):-1のn乗根 を考えてみると、n>2 ならば通常 n個の解を書きます。
つまり 4√(-1) = {e^(π/4), e^(3π/4), e^(5π/4), e^(7π/4)} ですが、
n=2 のときは √(-1) = {e^(π/2), e^(3π/2)} とはせずに
√(-1) = e^(π/2) = i
-√(-1) = e^(3π/2) = -i
と、集合ではなく値として等しい、という扱いですよね。
ほとんど無意識にやってますが、実のところかなり奇妙な慣習だと思います！
ただこれも色々な面でこのように定義を使い分けたほうが利便性が高まるのでしょう。
（あるいは教育的な面とか）
様々な局面で等号が何を意味しているのか、常に意識することが大事ですね！
（コメントする場所間違えたので再投稿しました。すみません。）
わかりやすい！
そもそもなぜ原始関数を任意にとってくるとそれらは定数のずれしかないのか、というのも意外と答えられなかったりしそう
東大あたりが入試で出題しないだろうか 簡単すぎるか
数学科出身の方が教える数学、
教育学部出身の方が教える数学、
医学部出身の方が教える数学はちょっと違うってこういう所なんですかね
学校で定積分→不定積分って習ったほうがいいような、不定積分は微分計算の逆という意味しかないと思ってた
高校で勉強する不定積分は、大学流の定積分の上端を変数と見るというものよりかは、原始関数というイメージがあります。
とても有難いです！
リーマン積分の諸定理をリーマン可積分の定義からスタートしてすべて厳密に議論していくのは案外難しい。自分も結構時間かけて勉強したけど何も見ずに教科書の内容をすべて再現しろといわれたらつっかかりそう。
定積分 ∫ f(t)dt (積分範囲はaからx) を、F(x)とした時、
f(x)が連続関数でなければ、
(F(x)をxで微分した関数)=f(x) となる保証がない。
高校の教科書流の積分の定義では、暗黙にf(x)が連続関数であると仮定されているのでは!?…と思ってしまいます。
ある関数fに対して、その不連続点を含む区間上に原始関数が存在すると仮定した場合、その「原始関数」はfの不連続点上で微分不可能となり、原始関数の定義に反してしまいます。
ですから、原始関数で不定積分を表すとき、区間で連続であることが仮定されていると思います。
@@yk5310 やはり そう思いますか。
ありがとうございます。
感覚を厳密に説明されていてありがたいです
微分という操作は線形なのでベクトル空間の準同型定理から得られる定数(関数)分のずれ(核)を無視する線形空間のことを不定積分だと自分は解釈してます
最初の例も０と１の上にバーでも付けとけば問題ないやろ
それ。そもそも不定積分の計算式で使う=が定数のズレを許すなら、0=1も問題にならないですね。
@@yk5310 2人とも面白い考え(ﾟ◇ﾟ=)
厳密にいうならば、微分形式の微分写像Ω^0(M)→Ω^1(M)の像(Ω^0/Ker)の元が不定積分です。これくらいの話(ドラームコホモロジーなど)もしようと思いましたが、結局しませんでした。
@@MasakiKoga 微分形式とかホモロジーとか専門的なことは分かりませんが面白そうな話ですね
でも必要となる前提知識が多すぎてakito氏の代数学シリーズのように本題に入るまでに60パートぐらい要するかもしれません
勉強になりますねぇ^^
自分用メモ👏。 まさに、⭕️無用の用⭕️
普段あまり役に立たないように見えるが、大切な役割を果たしている C君。
前半のＩは、普通に積分すると、log|logx| +C ❣️ deフィニッシュ🙌
ほーみーずさんの動画で古賀さんの名前が出ていました！
45秒のところです！
th-cam.com/video/hUOjEimhncQ/w-d-xo.html
Tony Stark びくった
@@MasakiKoga 古賀さんの存在が知られている感じがして嬉しいです！
Tony Stark ほんとですね。
Tony Stark ㊗️ヤッタネ👏。
^_^
半世紀前の京大の問題っぽいですね
Any two indefinitely integrals differ by a constant.
サムネが横向きのインテグラルである
そんなこと気づかん笑笑
たとえば、三角関数を含む有理式の置換積分で有名なtan(x/2)=t
これを含む不定積分が求まったからと言って、何も考えずに定積分をそのまま代入して求めるのは危険です。
なぜならば連続でない区間が含まれる場合があるからです。
f(x)=1/(5 +4cosx)として
不定積分∫ f(x)dx=F(x)は
nを奇数としてx=nπで不連続になります。
なので定積分
∫[0, 2π, f(x)dx]=F(2π) -F(0)とするのは誤りです。
連続関数の不定積分(原始関数)が不連続なんてことはないと思うけど不思議な例ですね
∫ f(x)dx=(2/3)arctan(3tan(x/2))+ C
(2/3)arctan(3tan(x/2))→π/3 (x→(2n+1)π-0)
(2/3)arctan(3tan(x/2))→ーπ/3 (x→(2n+1)π+0)
だから区間((2n-1)π,(2n+1)π) ごとに積分定数の値を＋2π/3していけば滑らかに繋がるのかな？
まあ積分定数が悪さしてるだろーなっていうのはわかったけど、厳密に説明しろって言われるとわからん
最高
つまり不定積分の表示に使われてる=は普通の=ではなくて
f=g f-g は定数;
で定義されてるってことか。
レッツインテグラル
逆向きだったのが痛恨の極み
関連し、次のことを思います。任意の実数は、無限小のズレを無視しているのでは？例えば、1=1＋dx
それは単に
lim(x→1)x = 1
と言っているだけでは。
@@swordone そうです。無限小を用いる、本来の微積の考えかたで高校生に教える方法を考えております。超準解析を教えることはできませんので、ごまかしが入らざるをえないと思うのです。例えば、導関数を求めるときは、dxを0としては、いけないのです。つまり、等号の意味が、dxまでの無限小まで等しいことを求めます。例えば、(x＋dx)の２乗－xの２乗=2dx＋dxの２乗=2dxとしまして、両辺をdxで割ります。2dx＋dxの2乗を0としてはいけないのです。
06:50 結論
f(x)=1/x
の不定積分を答える時は、x
つまりは ∫f(x)dx －∫f(x)dx ＝ 0 にしてはいけないってことかな。
∫f(x)dxが同じだと原始関数F(x)は同じであっても積分定数Cはそれぞれの項で異なるので、
∫f(x)dx －∫f(x)dx ＝ （F(x)＋C）－（F(x)＋C'） ＝ C－C’ ＝ 1 とすべきところをF(x)－F(x)＝0としたために0＝1となってしまった、と考えました
ズレを含んだ"I"を展開するとズレが展開先に出て、その展開先に同じ形の"I"がいてもこっちはズレを内包した状態って事だと思います。
波平さん
=波平さん(髪一本抜けた)+髪一本
みたいな話だと思います
@@ああ-y2g7o
それを数式で表現するためには、2つの積分定数CとC'を使わないといけないのかな、と思いました。
個人的にはＩ＝∫1/(xlogx)dxと、∫1/(xlogx)dxをＩで置き換えるとこまではイコールで問題ないのでは？という気がします。（積分定数分まで含んでＩと定義）
ただしその場合最後の1+∫1/(xlogx)dx＝1+Ｉというのが問題で、この∫1/(xlogx)dxはＩとは積分定数分のズレが出てくる（そのためその内包したズレをCとC'で表す）のでイコールにしてはいけないのでは、という感じです。
@@kbore21
いえその不定積分（これは一つの実数ではなく実数の集合）をＩと定義しているので，最後の置き換えもイコールで正しいです．
全てのイコールは集合としてのイコールなんです．
だから両辺からIを引くということはできないんです．
ある区間はそれぞれ連続しているということですね。
これは知らなんだわ😵
ボーッと見て、えぇっと違いはなんだっけ？ってなった。
ｵﾝﾓｼﾚーwwww
この動画のびそう(名推理)
「g(x)=f(x)+定数」と言っているが、そもそも、x=0を超えたときに1ずれる時点で、定数っぽく見えるものは定数ではない。
「ヘヴィサイドの階段関数」といって、xが負のときは0、正のときは1になる、階段状の関数がある。H(x)で表す。その導関数はデルタ関数δ(x)。
「g(x)=f(x)-H(x)」となる。
g'(x)も単に1/xではなく、「g'(x)=1/x-δ(x)」が正しい。
なんで教科書ってあんなに難しく書くんだろう❗丁寧に分かりやすいイメージまったくないわ！
たぶん数学者がこんなの簡単だよね？みたいに書いてるんだろうが、
教科書をもっと分かりやすく、教員も分かりやすく教えていかないと、
国語力のない人たくさんいるから、
本当に理解できないんですよ。
変に細かいことを書いて予備校講師や大学教授から指摘されるのが面倒なので誰にも文句を言われないように原理をぶつ切りしてそのまま載せてるんです
サムネ向き逆でしょ.......
g(x) = ∫(1/x)dx は、微分方程式 dg(x)/dx = 1/x の解だという意味だとすれば、
初期値問題の解は、初期値 g(a) = b の a が a > 0 のときには x > 0 の範囲でしか、
a < 0 のときには x < 0 の範囲でしか存在しない。
一般解は g(x) = log(x) + C1 {定義域はx>0} または g(x) = log(-x) + C2 {定義域は x0のとき} log|x| と g(x) = {x0のとき} log|x|, {x
論点が違う。きっと微分方程式の一般解と特殊解の話に似た話を見つけたと思ったのだろう。
☺️