Funicolare di un carico distribuito parabolico

FUNICOLARE DI UN CARICO DISTRIBUITO PARABOLICO
Ciao, benvenuto/a o bentornato/a su StaticaFacile, questa lezione è dedicata alla Funicolare di un carico distribuito parabolico. Praticamente è un esercizio. Gli aspetti teorici relativi all’equazione differenziale della curva funicolare sono stati già trattati nella lezione precedente che troverai qui • Equazione della curva ... L’argomento può esserti utile se studi Ingegneria o Architettura, oppure se sei uno studente CAT (Costruzioni Ambiente e Territorio) alle superiori. Ma veniamo al dunque. Premetto che in questo caso l’esercizio è di tipo numerico allo scopo di evitare passaggi matematici formali troppo impegnativi. Allora, l’equazione del carico distribuito parabolico è questa q(x)=-0,2475x^2+1,35x+25,20. L’abbiamo ricavata nella lezione che vi posto qui • Funzioni di Carichi Di... L’estensione del carico distribuito parabolico è 8 metri. L’equazione differenziale generale della curva funicolare è f’’(x)=-q(x)/H. Detto a parole la derivata seconda rispetto a x della funzione funicolare f(x) è pari al rapporto col segno meno tra la funzione di carico q(x) e la distanza polare H. Poniamo preliminarmente la distanza polare H=1. Il primo passo da fare è scrivere l’equazione differenziale di f(x) per il carico q(x)=-0,2475x^2+1,35x+25,20. Quindi l’equazione differenziale si scriverà così f’’(x)=+0,2475x^2-1,35x-25,20. Da qui eseguiamo la prima integrazione ottenendo la derivata prima di f(x), f’(x)= 0,0825x^3-0,675x^2-25,20x+C1. Con C1 prima costante di integrazione. Passiamo quindi alla seconda integrazione ottenendo la funzione funicolare f(x)=0,020625x^4-0,225x^3-12,60x^2+C1x+C2. Con C2 seconda costante di integrazione. Quindi si passa al calcolo delle costanti d’integrazione C1 e C2. Per farlo imponiamo che la funzione funicolare f(x) valga zero in x=0 e in x=L dove L è l’estensione del carico distribuito parabolico. Se in x=0 abbiamo f(0)=0 si verificherà che C2=0. Analogamente ponendo f(8)=0 avremo C1=104,64. Il che ci permette di concludere che l’equazione della funicolare del carico distribuito lineare triangolare crescente è f(x)=0,020625x^4-0,225x^3-12,60x^2+104,64x. Osserviamo che la funzione è del quarto ordine. Ora ci interessa l’ascissa Xb alla quale la funzione esprime il suo valore massimo f(Xb)=fmax. Come sapete dall’analisi matematica un punto di massimo può esistere dove la derivata della funzione è nulla. Il che ci porta all’espressione della prima derivata e al suo annullamento 0,0825x^3-0,675x^2-25,20x+104,64=0. Dovremmo perseguire la soluzione di una equazione di terzo grado ma preferiamo utilizzare un metodo iterativo per tentativi servendoci di un foglio elettronico. Alla fine avremo Xb=3,937 ed f(Xb)=fmax=207,895. Però adesso è meglio che tu segua la videolezione, vedrai che ti sarà utile. Buon studio.