Baricentro di una spezzata

Baricentro di una spezzata.
Il calcolo delle coordinate baricentriche di una spezzata dipende dalla distribuzione della massa lungo di essa. Consideriamo un esempio concreto con una spezzata composta da 6 tratti, descritta dai vari tratti a, b, c, d, e, f. Ciascun tratto di spezzata collega due vertici consecutivi. I vertici della spezzata sono V0, V1, V2, V3, V4, V5, V6. Esaminiamo due casi fondamentale:
Caso 1: Densità di massa e sezione trasversale variabili
Se la densità di massa mi e la sezione trasversale A variano lungo ogni tratto della spezzata, dobbiamo calcolare il baricentro di ciascun tratto di spezzata con un approccio integrale per ciascun tratto. A questo proposito vi rimando alla precedente lezione Momenti statici di sistemi a massa continua lineari • Momenti statici di sis...
Nel caso in esame (Caso 1) le coordinate baricentriche di ciascun tratto di spezzata sono:
XGi=(1/Massai)INTEGRALE_da_0_a_Li[x(s).mi(s).A(s)ds]
YGi=(1/Massai)INTEGRALE_da_0_a_Li[y(s).mi(s).A(s)ds]
Dove x(s) e y(s) sono le coordinate di un punto sul tratto, parametrizzate rispetto alla lunghezza s che rappresenta la progressiva sull’asse dell’elemento di spezzata considerato.
L’elemento Massai è la massa totale del tratto generico di spezzata.
Massai= INTEGRALEda0aLi[mi(s).A(s)ds]
Una volta calcolate le coordinate baricentriche XGi e YGi di ogni tratto, il baricentro totale della spezzata si ottiene come media pesata dei baricentri dei singoli tratti:
XG=SOMMATORIA_da_1_a_n[Massai.XGi]/ SOMMATORIA_da_1_a_n[Massai]
YG=SOMMATORIA_da_1_a_n[Massai.YGi]/ SOMMATORIA_da_1_a_n[Massai]
Questo approccio tiene conto delle variazioni locali della densità di massa e della sezione trasversale lungo ciascun tratto, permettendo un calcolo preciso del baricentro.
Caso 2: Densità di massa e sezione trasversale costanti
Se la densità di massa mi e la sezione trasversale A sono costanti lungo tutta la spezzata, i calcoli diventano più semplici. In questo caso, il centro di massa di ciascun tratto si riduce al baricentro geometrico del tratto stesso. Perché il baricentro è posto sempre sugli assi di simmetria. Per un tratto che collega i vertici V(i−1)[X(i-1);Y(i-1)] e Vi[Xi;Yi] il baricentro geometrico è dato da: XGi=[X(i-1)+Xi]/2 YGi=[Y(i-1)+Yi]/2
La massa di ciascun tratto è semplicemente Mi=mi.A.Li, dove Li è la lunghezza del tratto i-esimo, mi è la densità di massa costante sulla lunghezza della spezzata, A è la sezione costante lungo tutta la spezzata. Il baricentro complessivo della spezzata si ottiene ancora come media pesata dei baricentri dei singoli tratti:
XG=SOMMATORIA_da_1_a_n[Massai.XGi]/ SOMMATORIA_da_1_a_n[Massai]
YG=SOMMATORIA_da_1_a_n[Massai.YGi]/ SOMMATORIA_da_1_a_n[Massai]
Poiché densità e sezione sono costanti, le masse dei tratti dipendono solo dalle loro lunghezze. Questo caso è molto più semplice da calcolare, perché non richiede integrazioni complesse.
Conclusioni:
(1) Densità di massa e sezione variabili: Quando la densità e la sezione trasversale variano lungo ogni tratto, il calcolo del baricentro richiede integrazioni su ciascun tratto. Questo metodo è preciso ma complesso, poiché tiene conto delle variazioni locali di massa lungo la spezzata.
(2) Densità di massa e sezione costanti: Nel caso di densità e sezione costanti, il calcolo del baricentro diventa più semplice. Si riduce a trovare il baricentro geometrico di ogni tratto, e la massa di ciascun tratto dipende solo dalla sua lunghezza. Questo approccio è meno complicato ma adeguato solo quando le proprietà della spezzata sono uniformi.
Questi due metodi evidenziano la differenza tra una modellazione precisa (variabile) e una semplificata (costante).

[@atlantide4927]

Forse lei ha dimenticato di spiegare quale utilità pratica nel mondo del lavoro trova questo metodo di calcolo. Nell'industria metallurgica? Nei laminatoi? Dove?

[@StaticaFacile]

@@atlantide4927 Grazie per l’osservazione. Questo argomento è del tutto teorico. Serve per “allenare” la mente. È rivolto agli studenti per esercitarsi al calcolo, per ragionare. È molto importante nella didattica la capacità di astrazione anche slegata da aspetti più pratici.