Schwache Gruppenaxiome
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- āđāļāļĒāđāļāļĢāđāđāļĄāļ·āđāļ 4 āļ.āļ. 2024
- ð§âðŦHeutiges Thema: Man kann den Begriff Gruppe auch mit Hilfe von schwachen Axiomen definieren - danke an Thomas Blankenheim fÞr den Hinweis!
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Wow, ich fÞhle mich geehrt. Danke fÞr die ErwÃĪhnung meines Namens!ð
Ehre wem Ehre gebÞhrt! ð
Und genau das macht den Herrn Spannagel so sympathisch: Anstatt wie viele andere Dozierende stupide sein Programm durchzuziehen und auf seinen akademischen Grad zu plÃĪdieren, ist er offen fÞr neue MÃķglichkeiten, zieht dann wissenschaftliche Literatur zu Rate und gibt ihm vorher unbekannte wissenschaftliche Erkenntnisse an seine Studierenden weiter. Absolut genialer Dozent, davon gibt es in dem Format viel zu wenige. Grandios!
Danke dir! âš
Dazu kenne ich eine nette VerstÃĪndnisfrage: Man kann leicht zeigen, dass eine Funktion mit nicht-leeren Definitionsbereich genau dann injektiv ist, wenn sie ein Linksinverses besitzt, also eine Funktion g existiert mit gf=id.
Sei nun M eine nicht-endliche Menge. Bildet die Menge aller injektiven Funktionen von M nach M mit der Komposition als VerknÞpfung eine Gruppe?
Nein. Betrachte als Beispiel fÞr M die Menge aller natÞrlichen Zahlen. Die Abbildung, die jedem Element von M ihr Doppeltes zuordnet, ist injektiv, hat aber kein inverses Element. Denn eine solche inverse Abbildung nÃĪhme auf der Teilmenge aller geraden natÞrlichen Zahlen bereits alle natÞrlichen Zahlen als Funktionswerte an. Wenn Du nun zusÃĪtzlich fÞr die ungeraden Zahlen Funktionswerte festlegen willst, geht automatisch die InjektivitÃĪt verloren. Also haben wir keine Gruppe.
TatsÃĪchlich ist die Menge aller injektiven Abbildungen von einem unendlichen M in sich selbst niemals eine Gruppe, da es dann immer eine injektive, aber nicht surjektive Abbildung in der Menge gibt, und die hat dann kein inverses Element.
FÞr eine endliche, nicht leere Menge M ist die Menge aller injektiven Abbildungen von M nach M dagegen immer eine Gruppe.
Das alles steht nicht im Widerspruch zu dem Satz, dass eine Abbildung genau dann injektiv ist, wenn sie eine Linksinverse besitzt, denn diese muss nicht injektiv sein!
Vielleicht etwas ÃĪhnlich Interessantes: FÞr einen Ring (R,+,*) fordert man oft (s. z.B. Wikipedia), dass (R,+) eine abelsche Gruppe sein soll. Das muss man aber eigentlich gar nicht machen, da die KommutativitÃĪt bereits aus der Forderung der DistributivitÃĪt im Ring gefolgert werden kann.
Interessant! Danke fÞr den Hinweis!