@НикитаЧубарь-б2ф если альфа больше 45, то без нарушения общности можно сказать использовать другой угол. Другими словами, можно изначально сказать использовать наименьший угол
@@НикитаЧубарь-б2ф См. 6:22 там оговорено, что альфа < бетта Т.е. это доказательство и не должно работать для случая, когда они равны 45, а для противоположноко кейса надо просто перевернуть треугольник.
@@NaeelMaqsudov не "и не должно", а не учитывает, это разные вещи. Я допускаю, что для 45 есть альтернативное частное доказательство и Георгий его просто опустил, но теорему нельзя считать доказанной, если доказывающий просто решил исключить какой-то из случаев
Корректное доказательство заняло бы оч.много места. И на каждом шагу проводить проверку относительно неприменения ТП. По сути, это создание нового учебника геометрии и тригонометрии в новых определениях и леммах. Наверное, эта задача решаема, "но на полях этой книги окажется слишком мало места, чтобы привести рассуждения полностью".
2:43 а не может ли быть так: 1) внешнее голубые треугольники образованы 4-мя сторонами а и четырьмя сторонами б (то есть а квадрат и б квадрат) 2) если сложить их к центру, они полностью идеально заполнят квадрат со стороной с (то есть с квадрат, надеюсь так и есть, я не проверял 😅). Я не математик, но занимался изучением древнегреческой философии. Это какая-то фигня на интуитивном уровне, возможно, тут еще есть какие-то тонкости в логике греков.
Сторона большого квадрата равна (а+б), а его площадь (а+б)² или а²+2аб+б². Площадь маленького квадрата в центре равна с². Площадь синих треугольников всех вместе равна 4(½аб) или 2аб. Вычитаем из площади большого квадрата площадь треугольников и получаем, что хотели.
Дано:∆ABC, /_C=90°, CD высота. Тогда AD+BD=AB. По определению cos A=AD\AC(в ∆ACD)=AC\AB(в ∆ABC)→AB×AD=AC². Аналогично cos B=BD\BC=BC\AB→AB×BD=BC². Складывая почленно равенства AB×AD=AC² и AB×BD=BC² получаем AC²+BC²=AB(AD+BD)=AB². Использовал функцию косинус, при этом вообще не ссылался на ТП, что не так? А в данном видео использовался ещё математический анализ. А вместо триг. функций можно было также как и в моём док-ве использовать отношения сторон.
1. В "невозможном" учебнике погорелова теорема пифагора доказывается именно через тригонометрию (вроде бы именно через разбиение гипотенузы высотой, но возможно и путаю что-то). 2. Необходимо доказать, что ряд из сторон мелких треугольников сходится именно к стороне большого треугольника (а не например к какому-то отрезку, который короче), я не знаю, доказано ли это в оригинальной работе, но здесь этого явно нет и это неочевидно. Для этого потребуется матан за рамками школьной программы, так что очень сомневаюсь, что школьницы могут осилить такое доказательство. 3. Что за другие 9 доказательств? тоже с изъянами как и это?
Как-то всё очень сложно. Можно же намного проще. Берём прямоугольный треугольник с гипотенузой "с" и острым углом х. Тогда катеты выражаем как с*sinx и c*cosx. Далее опускаем высоту из прямого угла, тогда угол между ней и катетом напротив угла х будет тоже равен х. Далее проекции катетов на гипотенузу будут равны из новых образовавшихся двух прямоугольных треугольников соответственно c*sin^2(x) и с*cos^2(x), причём сумма этих проекций равна самой гипотенузе с, откуда и получаем основное триг. тождество, а значит и теорему Пифагора.
@Darkspear1 если имеется в виду для произвольных углов, то да, но для острых углов такое доказательство подходит, и теорема Пифагора из него сразу же следует.
@@MelnikovValentin вроде верно, тогда зачем эти две девочки аж целых 9 доказательств выдумали да еще и сложных если все так просто ? Может твой способ не подходит ?
@@Darkspear1 Это уже к ним вопрос) А по поводу сомнений в доказательстве, хорошо бы увидеть конструктивную критику. Я здесь применял только тот факт, что синус/косинус угла зависят только от величины самого угла, но не от конкретных размеров прямоугольного треугольника. Это можно выводить через подобие или через площади. В приведенном доказательстве из ролика тоже этим пользуются, но кроме этого еще и всяким другим.
нам сегодня преподаватель по электротехнике говорил что " в электротехнике эта теорема работает в любом треугольнике , не только прямоугольном " ))))) там это касалось фаз силы тока и напряжения )
Доказательство вполне законно, но откровенно говоря напоминает стрельбу из пушки по воробьям. Уж если доказывать тригонометрией, то можно просто провести высоту из вершины прямого угла. Обозначим отрезки, на которые её основание делит гипотенузу, через aₓ и bₓ, соответственно , прилегающие к сторонам a и b. Тогда дважды выразим cos α и cos β из двух прямоугольных треугольников, просто по определению косинуса: cos α = bₓ/b = b/c; cos β = aₓ/a = a/c. Из этих двух равенств получаем по правилу пропорции: b•b = bₓ•c; a•a = aₓ•c. Сложив эти равенства и вынеся c за скобки, получим a² + b² = c(aₓ + bₓ) Сумма в скобках - это просто c, откуда уже a² + b² = c². Вот так мы обошлись одним только определением косинуса (без теоремы синусов и без геометрической прогрессии), и это доказательство столь же древно, как и сама теорема в том или ином виде.
Стоило упомянуть, что формула для суммы бесконечной геометрической прогрессии верна лишь для убывающей и при q < 1. Следовало показать, что tg^2 a < 1. (Так как в общем то значения тангенса - это вся числовая пряма) Без этого нельзя воспользоваться формулой суммы беск убыв геом прог. И я не заметил, где мы доказали, что у нас tg^2 a меньше единицы.
Могу то же самое, но в 100 раз короче, т.к. без мозгомотины с прогрессиями. Высота на гипотенузу С разбивает её на части C1 и C2, затем «в ход вступает тригонометрия»: sin(alf) = A/C = C1/A --> A^2 = С*С1, sin(bet) = B/C = C2/B --> B^2 = С*С2 Дальше догадайтесь сами.
Зачем распространять чушь. Автор что-то конкретно налажал, не разобрался в вопросе, преподнёс способ доказательства как что-то новое ( на самом деле нет). А где доказательство что стороны не будут параллельны? Надо же рассматривать все случаи. Если треугольник равнобокий то доказательство вообще не работает.
Как я понимаю, использовать формулу суммы геометрической прогрессии даже необязательно. Можно сумму по одной стороне выразить через сумму по другой стороне и использовать их для записи теоремы Пифагора для большого треугольника. Будет на а2+б2=с2, но тоже теорема Пифагора
Учитывая, что само существование тригонометрии возможно, только если теорема Пифагора верна, попытка доказывать ТП через тригонометрию выглядит странно. В теореме синусов и в сумме геометрической прогрессии теорема Пифагора не используется. Но вот тригонометрические соотношения, вроде синуса двойного угла, часто ссылаются на основное тригонометрическое тождество, то есть на теорему Пифагора.
По определению, синус это отношение противоположного катета к гипотенузе. Основное тригонометрическое тождество cos^2(a) + sin^2(a) = 1. Теорема Пифагора тут не участвует, она только дополняет тождество. Или я что-то не так понимаю?
@@Maniiumнужно бы еще доказать осн. триг. тождество, тогда теооема пифагора действительно дополняла бы её. Делается относительно просто, но для обычных школьников, доказательство через теоркму пифагора остается самым доступным
@@phyllobolus И при последнем доказательстве скорее всего всплsвёт теорема Пифагора или её эквивалент. Кроме эвклидовой плоскости существуют ещё пространства Римана и Лобачевского, где теорема Пифагора просто не существует. В приведённом доказательстве, кстати, прямо предполагается, что пространство Эвклидово.
Формула двойного угла, как мне помнится доказывается с использованием само тригонометрическое тождество. То есть использовав эту формулу в доказательстве мы его испортили.
Всё бы ничего, но не хватает доказательства что теорема Пифагора не использовалась при передаче этого доказательства двум афроамериканским девочкам умудрёнными, но не прославившимися в своё время родственниками/знакомыми. Уж больно много политики в этой показухе
3:02 А почему угол альфа *α* лежит против стороны *b?* 🤔 Против стороны *b* должен лежать угол бета *β,* а угол альфа *α* должен лежать против стороны *a!* 😂
вот только теорема косинусов доказывается через теорему Пифагора. Так что это скорее не одно частный случай другого, а наоборот, расширение на общее множество треугольников.
@@feedbackzaloopТолько вот теорема косинусов не обязательно доказывается с применением теоремы Пифагора, пруф: th-cam.com/video/yrbAEziLjH8/w-d-xo.htmlsi=KFPxPt27uf_jlitoth-cam.com/video/yrbAEziLjH8/w-d-xo.htmlsi=KFPxPt27uf_jlito th-cam.com/video/yrbAEziLjH8/w-d-xo.htmlsi=KFPxPt27uf_jlito Доказательства хорошие у девочек, но никакого "прорыва" нет. В самом начале статьи (которую я, собственно, читал), идёт пространное выписывание большей части тригонометрии из тригонометрии, и на основе этой урезанной версии, которая гордо именуется настоящей тригонометрией, даётся несколько доказательств в указанных рамках. Откуда взято "все думали, что невозможно" также неясно, видимо, для красивого слова добавили. Особенно мне понравился следующий пассаж в тексте, в моём несколько вольном и по памяти переводе звучащий как: "К сожалению, мы не можем в полной мере различить тригонометрические и нетригонометрические [речь про их версию тригонометрии, урезанную, "настоящую", и "ненастоящую"] доказательства, однако считаем, что наши критерии [на основе которых большая часть тригонометрии была выписана из тригонометрии] куда точнее, чем критерии, рассматриваемые до нас". Сказать точно, кто укладывается в наши рамки, а кто нет, мы не можем, но мы точно первые. Не чудесно ли? А доказательства, повторюсь, хорошие. Если б ещё не врали обозреватели о том, что девочки реально сделали, то было бы совсем замечательно. Навряд ли сами девочки это додумались вписать в работу, впрочем, как знать, конечно, но ни их преподавателю, который их доказательства отправлял в журнал и, вероятно, помогал писать текст, ни рецензентам журнала это всё чести не делает, что подобное прошло в журнал.
@@konstantinzhulev7437 к счастью, в этом доказательстве теорема косинусов не использовалась. Использовалась теорема синусов. А ее доказательство строится на определении синуса.
Вроде звучит не так уж и сложно, раз я так понял по видео. Как не догадались за это время найти этот способ доказательство теоремы??? Да, это сложно, я бы не придумал. Но мне кажется, можно было бы выйти на это без сверхестественных навыков в математике.
Ну я как математик сделала бы так, определила синус и косинус формально через ряды Тейлора(как и делают в тфкп), из них следует тригонометрическое тождество и если взять окружность то окажется что её коордианты записываются через косинус и синус откуда видно что отношение координаты y(противолежащего катета) к радиусу это синус, а х(прилежащего катета) к радиусу это косинус и потом так же как в видео через тригонометрическое тождество
Мне кажется возводить в квадрат бесконечную сумму будет неочень удобно)) Я бы выразил синус и косинус через экспоненту и уже возведя в квадрат, получил бы осн. триг. тождество
@@Jius-fg5zq через комплексную экспоненту вы имеете ввиду? Так тоже можно и даже красивее но все же не так общно и точно ибо все же формула Эйлера доказывается через комплексные ряды Тейлора, и я не вижу никакой трудности возведения в квадрат ряда, это просто будет ряд от бинома Ньютона
2:17 определить ЧТО есть у треугольника гипотенуза в этом случае легко - это самая длинная сторона. зачем вы говорите, что это не понятно? вроде не глупый
@@donkeykong1974 именно это он и говорит. Сам пересмотри. Говорит пока не доказали, что треугольник прямоугольный говорить и катетах и гипотенузах не корректно.
Комментарий 2. Жаль терять время на проверку независимости Тригонометрического доказательства от геометрического. В математике всегда ценились изящность, проста доказательства, а здесь всё наоборот.
Серьёзным математикам это не нужно, а не потому, что не нашли :) Наверняка многие подобное придумывали, но придавали значения. И сйчас не придают. Они понимают, что способов бесконечно много. Только средняя длина записи новых доказательств будет расти (думаю, логарифмически). В геом.прог. и в теореме син. не вшита теорема Пифагора? Ну дак и в других способах доказателства она не вшита. Они, даже, могли неявно использовать старые методы преобразований. Интереснее найти общую систему связей всех способов доказательства (хотя бы имеющихся), вот это математикам было бы интересно. И в названии стоит дописать "через тригонометрию и геометрическую прогрессию". Хотя, формально можно ГП выразить и через тригон-ю и сказать - ну вот видите, чисто тригон-е формулы :)
Какое СЧАСТЬЕ, что закончил школу и институт 30 лет назад🎉. Пока смотрел это видео, такая тоска навалилась... По пальцам одной руки могу сосчитать случаи в жизни, когда мне понадобилась эта чёртова тригонометрия.
автор геометрию неправильно представляет надо представлятьчерез окружность. это верное и наглдное представление. ибо без окружности-это полная хренотень. так не учат. окружность-это базовая фигура геометрии. без неё нет самой геометрии. это БАЗА. фразы "прилежащая" - да вы вообще в школе учились? или из пеленок сразу на первый курс мехмата?... вас любой учитель математики размажет по педагогике в тонкий слой икры... вы тут взрослым людям несете элементарные вещи с умнывидом....и замороченными объяснениями..
Это типа жвачки для мозгов. А у этих девочек, видимо, с мальчиками совсем плохо. Иначе бы не занимались доказательством того, что доказано уже 2500 лет назад.
очень приятно слушать про науку, когда никакой охоты на ведьм/хейтеров нет. Просто очень приятно. Девчонки просто умницы, жаль, что вес лишний, тяжела будет жизнь и недолга, если так дальше будут нажирать ряхи. Но мозги работают сейчас, умнички!
Им повезло, что не в России родились, тут бы их загнобили, и ничего бы они не добились. За последние годы ни разу не слышал, чтобы в науке промелькнул кто-то из снг
@@r45her Я надеюсь, это шутка или вы в интернете недавно? Вы ничего не слышали про архиватор Бабушкина, про BolgenOS и про целую серию аналогичных сенсаций в СМИ, которые стали целым явлением. Эти африканцы сюда пришли с опозданием.
Может я слишком ленивый, но очень многа букаф. Доказательство то понятно, но слишком долго. Самое элементарное - самое совершенное. Спасибо за видео. С уважением.
@delaware_jarvis очевидное, это обычно что то типа у квадрата стороны равны - докажи, белое не зеленое - докажи, 2 не равно 3 - докажи. Может конечно сильно утрирую но пытаюсь мысль донести)))
В мире много тайн и загадок, но Христос дал человеку эту земную жизнь лишь для того чтобы мы сделали выбор где мы хотим провести вечность и сохранить этот выбор до конца земной жизни и только для этого...
@@Venom-Ua Христос сказал,, Идите по всему миру и проповедуйте Евангелие всей твари, кто будет веровать и креститься спасен будет, а кто не будет веровать осужден будет (от марка 16 :15 - 16), Ибо нет другого имени под небом, данного человекам, которым надлежало бы нам спастись (деяния 4 :12)! Если бы можно было спастись своими делами, то Христос бы не шел на смерть на кресте и мучения в этом не было бы никакого смысла, но Господь знал что нет другого способа спасти человечество от ада и вечных мучений, поэтому тот кто принимает эту жертву Христа в своей жизни и живёт по Слову Христа то пойдет на Небеса, а если отвергаете Христа и Его Слово то пойдете в ад навечно и там вас никто не будет спрашивать во что вы верите или не верите всем будет всеравно! Выбор за вами!
@@Generator_Breda Христос сказал про ад,, Там будет плачь и скрежет зубов (от матфея 8 :12), идти в геенну в огонь неугасимый, где червь не умирает и огонь не угасает (от марка 9 :43-44), и дым мучения их будет восходить во веки веков, и не будут иметь покоя ни днем ни ночью (откр. 14 :11)! Лучше я поверю Христу на Слово чем проверю на собственной шкуре в вечности, а так ли это или как то иначе, а дальше вечность когда уже ничего нельзя будет изменить или отмотать назад! Вы из тех кто проверит на собственной шкуре!
Вообще если это единственная цель, то грехом должно быть только убийство не определившихся, агностиков там например, атеистов. А остальные единственную цель уже достигли можно и на суд отправлять. Надо тебя за подстрекательство привлечь
Меня тригонометрия в школе бесила из-за того, что её неправильно преподавали, это очень глупо заучивать, зазубривать противолежащие и прилежащие, прочую херню, её сейчас достоверно не вспомнишь, прошло 45 лет со школы, я сейчас нихрена не вспомню. А делается все гораздо проще: ставится точка на единичной окружности и смотришь: проекция на игрек, это синус проекция на икс, это косинус, ну и все остальные там вот элементарно, на единичной окружности и тангенгенс и все херни элементарно. Графически рисуются, и всё понятно, как и что считать, что на что умножать.
1. На какой оси - синус, на какой- косинус также надо зазубривать 2. Если изначально привязать определения тригонометрических функций к окружности, то ребенок их к решению задач с треугольниками просто не сможет применить, "потому что там нет окружности". Зазубривать определения функций скучно, но без этого не обойтись. Да и два определения - это не так уж много
@ДмитрийИонов-х6н зазубривать бесполезно, как потом проверить правильно ты помнишь или нет, а? То, что проекция на ось игрек синуса: синус идёт с 0 до единицы, он естественно процируется сюда на игрек, косинус идёт с единицы до 0 проецируется на икс, что тут непонятного, тут посмотреть на чертёж и все понять.
![Демократия математически невозможна (но есть нюансы) [Veritasium]](/img/n.gif)
Да, этот новый математический факт нуждался в пояснении Георгия! Спасибо, что заморочились и сделали!
Это доказательство не работает для прямоугольных треугольников с углами по 45 градусов (достраиваемые стороны будут параллельны)
И если альфа больше 45 тоже не работает, тангенс будет больше 1 и ряд будет расходиться, достраиваемые стороны будут расходиться.
@НикитаЧубарь-б2ф если альфа больше 45, то без нарушения общности можно сказать использовать другой угол. Другими словами, можно изначально сказать использовать наименьший угол
@@НикитаЧубарь-б2ф
См. 6:22 там оговорено, что альфа < бетта
Т.е. это доказательство и не должно работать для случая, когда они равны 45, а для противоположноко кейса надо просто перевернуть треугольник.
@@nin0f Я что-то не могу сообразить, как надо построить, чтобы заработало.
@@NaeelMaqsudov не "и не должно", а не учитывает, это разные вещи. Я допускаю, что для 45 есть альтернативное частное доказательство и Георгий его просто опустил, но теорему нельзя считать доказанной, если доказывающий просто решил исключить какой-то из случаев
Нравятся ваши выпуски, жаль редкие.
Корректное доказательство заняло бы оч.много места. И на каждом шагу проводить проверку относительно неприменения ТП. По сути, это создание нового учебника геометрии и тригонометрии в новых определениях и леммах. Наверное, эта задача решаема, "но на полях этой книги окажется слишком мало места, чтобы привести рассуждения полностью".
2:43 а не может ли быть так:
1) внешнее голубые треугольники образованы 4-мя сторонами а и четырьмя сторонами б (то есть а квадрат и б квадрат)
2) если сложить их к центру, они полностью идеально заполнят квадрат со стороной с (то есть с квадрат, надеюсь так и есть, я не проверял 😅).
Я не математик, но занимался изучением древнегреческой философии. Это какая-то фигня на интуитивном уровне, возможно, тут еще есть какие-то тонкости в логике греков.
Сторона большого квадрата равна (а+б), а его площадь (а+б)² или а²+2аб+б². Площадь маленького квадрата в центре равна с². Площадь синих треугольников всех вместе равна 4(½аб) или 2аб. Вычитаем из площади большого квадрата площадь треугольников и получаем, что хотели.
Теперь ждем док-во теоремы косинусов без теоремы пифагора!
Спасибо! Ваша работа заставляет думать)
Дано:∆ABC, /_C=90°, CD высота. Тогда AD+BD=AB. По определению cos A=AD\AC(в ∆ACD)=AC\AB(в ∆ABC)→AB×AD=AC². Аналогично cos B=BD\BC=BC\AB→AB×BD=BC². Складывая почленно равенства AB×AD=AC² и AB×BD=BC² получаем AC²+BC²=AB(AD+BD)=AB². Использовал функцию косинус, при этом вообще не ссылался на ТП, что не так? А в данном видео использовался ещё математический анализ. А вместо триг. функций можно было также как и в моём док-ве использовать отношения сторон.
1. В "невозможном" учебнике погорелова теорема пифагора доказывается именно через тригонометрию (вроде бы именно через разбиение гипотенузы высотой, но возможно и путаю что-то).
2. Необходимо доказать, что ряд из сторон мелких треугольников сходится именно к стороне большого треугольника (а не например к какому-то отрезку, который короче), я не знаю, доказано ли это в оригинальной работе, но здесь этого явно нет и это неочевидно. Для этого потребуется матан за рамками школьной программы, так что очень сомневаюсь, что школьницы могут осилить такое доказательство.
3. Что за другие 9 доказательств? тоже с изъянами как и это?
Как-то всё очень сложно. Можно же намного проще. Берём прямоугольный треугольник с гипотенузой "с" и острым углом х. Тогда катеты выражаем как с*sinx и c*cosx. Далее опускаем высоту из прямого угла, тогда угол между ней и катетом напротив угла х будет тоже равен х. Далее проекции катетов на гипотенузу будут равны из новых образовавшихся двух прямоугольных треугольников соответственно c*sin^2(x) и с*cos^2(x), причём сумма этих проекций равна самой гипотенузе с, откуда и получаем основное триг. тождество, а значит и теорему Пифагора.
Ты не доказал что основное тригонометрическое тождество верно.
@Darkspear1 если имеется в виду для произвольных углов, то да, но для острых углов такое доказательство подходит, и теорема Пифагора из него сразу же следует.
@@MelnikovValentin вроде верно, тогда зачем эти две девочки аж целых 9 доказательств выдумали да еще и сложных если все так просто ? Может твой способ не подходит ?
@@Darkspear1 Это уже к ним вопрос) А по поводу сомнений в доказательстве, хорошо бы увидеть конструктивную критику.
Я здесь применял только тот факт, что синус/косинус угла зависят только от величины самого угла, но не от конкретных размеров прямоугольного треугольника. Это можно выводить через подобие или через площади. В приведенном доказательстве из ролика тоже этим пользуются, но кроме этого еще и всяким другим.
интересно так же узнать как мыслили эти девочки, чтоб додуматься до этого
Тот момент когда пьяный сосед начинает втирать то что только что узнал по вашим этим интернетам(
Это ж надо... притянули и синусы, и прогрессии... 😅
Следующее доказательство будет уже с применением квантовой теории. 😅
нам сегодня преподаватель по электротехнике говорил что " в электротехнике эта теорема работает в любом треугольнике , не только прямоугольном " ))))) там это касалось фаз силы тока и напряжения )
Получаем формулу сложения рассматривая скалярное произведения векторов (cosa, sina) и (cosb, sinb): 1 * 1 * cos(b - a) = cosa*cosb - sina*sinb (длина таких векторов 1 так как концы лежат на единичной окружности, формула окружности x^2+y^2 = 1 здесь не использовалась). В итоге:
1 = cos0 = cos(x - x) = cosx * cosx + sinx * sinx.
Скалярное произведение, выводится из теоремы косинусов, которая выводится из теоремы пифагора
@@craftsmanPE что? Это откуда?
"так как концы лежат на единичной окружности" - это прямое следствие основного тригонометрического тождества
"Этот человек - ангел".
Спасибо, я тоже думаю, что таких доказательств можно много понаписать
Ты не доказал что последнее равенство верно.
12:45 Почему сумма углов треугольника A+B+C= 180°
В криволинейном пространстве Лобачевского?
Доказательство вполне законно, но откровенно говоря напоминает стрельбу из пушки по воробьям.
Уж если доказывать тригонометрией, то можно просто провести высоту из вершины прямого угла. Обозначим отрезки, на которые её основание делит гипотенузу, через aₓ и bₓ, соответственно , прилегающие к сторонам a и b. Тогда дважды выразим cos α и cos β из двух прямоугольных треугольников, просто по определению косинуса:
cos α = bₓ/b = b/c;
cos β = aₓ/a = a/c.
Из этих двух равенств получаем по правилу пропорции:
b•b = bₓ•c;
a•a = aₓ•c.
Сложив эти равенства и вынеся c за скобки, получим
a² + b² = c(aₓ + bₓ)
Сумма в скобках - это просто c, откуда уже a² + b² = c². Вот так мы обошлись одним только определением косинуса (без теоремы синусов и без геометрической прогрессии), и это доказательство столь же древно, как и сама теорема в том или ином виде.
Так в том и смысл был, именно поэому напёрсточники долго переставляют напёрстки, запутать хотят.
так теорема косинусов доказывается через теорему пифагора
@@Jilexa А где здесь используется теорема косинусов?
8:32 объясните, пожалуйста, я не совсем догнала, почему чтобы найти тангенс альфа нужно x делить на 2а? почему 2?
правда ли что это доказательство опирается на меньше фактов чем простое доказательство которое на 2:40 ?
я бы сказал, что да. Понятие площади отнюдь не такое простое, как кажется.
Классная футболка!)))
Стоило упомянуть, что формула для суммы бесконечной геометрической прогрессии верна лишь для убывающей и при q < 1.
Следовало показать, что tg^2 a < 1. (Так как в общем то значения тангенса - это вся числовая пряма)
Без этого нельзя воспользоваться формулой суммы беск убыв геом прог. И я не заметил, где мы доказали, что у нас tg^2 a меньше единицы.
брали а - меньший угол, написано было, что a < b, соответственно a < 45 градусов и tg < 1
надо глянуть, кто родители этих детей. как с поделками в детском саду: Витя, 3 года - и стоит дом 2х2 метра
скорее всего, если глянуть на родителей, то они негры
Две девочки-афроамериканки и математика...
Гложат меня большие сомнения.
@@nnr75 Наверное человек подумает, что они дочки Нила Деграсс Тайсона. Ну а нормальный, что просто умные дети пошли. 😮
12:06 А здесь S2 считается с верхним отрезком С? Либо на рисунке не так отмечено, либо на 12:32 не дописано, либо я что-то не так понял.
Молодцы! Мне понравилось доказательство!😅
Спасибо большое за объяснение
Приведите пример доказательства синуса двойного угла без основного тригонометрического тождества.
Да это можно было сделать много проще и быстрее. Ещё в школе я доказывал эту теориему геометрически и это не считалось чем-то особенным
А зачем это, если теорема Пифагора очевидна если просто посмотреть на квадрат, вписанный в другой квадрат?
Могу то же самое, но в 100 раз короче, т.к. без мозгомотины с прогрессиями.
Высота на гипотенузу С разбивает её на части C1 и C2, затем «в ход вступает тригонометрия»:
sin(alf) = A/C = C1/A --> A^2 = С*С1, sin(bet) = B/C = C2/B --> B^2 = С*С2
Дальше догадайтесь сами.
Не хватает добавить, что a < b. Это можно обеспечить в самом начале, давая имена сторонам. Ну и отдельно рассмотреть случай a = b
Зачем распространять чушь. Автор что-то конкретно налажал, не разобрался в вопросе, преподнёс способ доказательства как что-то новое ( на самом деле нет). А где доказательство что стороны не будут параллельны? Надо же рассматривать все случаи. Если треугольник равнобокий то доказательство вообще не работает.
Как я понимаю, использовать формулу суммы геометрической прогрессии даже необязательно. Можно сумму по одной стороне выразить через сумму по другой стороне и использовать их для записи теоремы Пифагора для большого треугольника. Будет на а2+б2=с2, но тоже теорема Пифагора
Всё понятно, но не понятно откуда sin2a = 2ab/c^2. В школе плохо учился 😮💨
UPD: А не, пересмотрел, всё понятно.
Учитывая, что само существование тригонометрии возможно, только если теорема Пифагора верна, попытка доказывать ТП через тригонометрию выглядит странно.
В теореме синусов и в сумме геометрической прогрессии теорема Пифагора не используется. Но вот тригонометрические соотношения, вроде синуса двойного угла, часто ссылаются на основное тригонометрическое тождество, то есть на теорему Пифагора.
По определению, синус это отношение противоположного катета к гипотенузе. Основное тригонометрическое тождество cos^2(a) + sin^2(a) = 1. Теорема Пифагора тут не участвует, она только дополняет тождество. Или я что-то не так понимаю?
@@Maniiumнужно бы еще доказать осн. триг. тождество, тогда теооема пифагора действительно дополняла бы её. Делается относительно просто, но для обычных школьников, доказательство через теоркму пифагора остается самым доступным
Но теорема пифагора то верна из за того что две соответствующие стороны в конгруэнтных треугольниках относятся одинаково)
Можно вводить синусы и косинусы через сумму ряда. А потом доказать, что они и геометрию на плоскости описывают.
@@phyllobolus И при последнем доказательстве скорее всего всплsвёт теорема Пифагора или её эквивалент.
Кроме эвклидовой плоскости существуют ещё пространства Римана и Лобачевского, где теорема Пифагора просто не существует. В приведённом доказательстве, кстати, прямо предполагается, что пространство Эвклидово.
А как же sin^2+cos^2=1? А блин рано написал
Формула двойного угла, как мне помнится доказывается с использованием само тригонометрическое тождество. То есть использовав эту формулу в доказательстве мы его испортили.
Формула двойного угла тут не применялась
Всё бы ничего, но не хватает доказательства что теорема Пифагора не использовалась при передаче этого доказательства двум афроамериканским девочкам умудрёнными, но не прославившимися в своё время родственниками/знакомыми. Уж больно много политики в этой показухе
3:02 А почему угол альфа *α* лежит против стороны *b?* 🤔 Против стороны *b* должен лежать угол бета *β,* а угол альфа *α* должен лежать против стороны *a!* 😂
6:13 Ну вот - теперь всё правильно! 👍
Могу автору канала сбросить документ. Только нет адреса куда
теорема Пифагора является «частным случаем» теоремы косинусов
вот только теорема косинусов доказывается через теорему Пифагора. Так что это скорее не одно частный случай другого, а наоборот, расширение на общее множество треугольников.
@@feedbackzaloopТолько вот теорема косинусов не обязательно доказывается с применением теоремы Пифагора, пруф: th-cam.com/video/yrbAEziLjH8/w-d-xo.htmlsi=KFPxPt27uf_jlitoth-cam.com/video/yrbAEziLjH8/w-d-xo.htmlsi=KFPxPt27uf_jlito th-cam.com/video/yrbAEziLjH8/w-d-xo.htmlsi=KFPxPt27uf_jlito
Доказательства хорошие у девочек, но никакого "прорыва" нет. В самом начале статьи (которую я, собственно, читал), идёт пространное выписывание большей части тригонометрии из тригонометрии, и на основе этой урезанной версии, которая гордо именуется настоящей тригонометрией, даётся несколько доказательств в указанных рамках. Откуда взято "все думали, что невозможно" также неясно, видимо, для красивого слова добавили. Особенно мне понравился следующий пассаж в тексте, в моём несколько вольном и по памяти переводе звучащий как: "К сожалению, мы не можем в полной мере различить тригонометрические и нетригонометрические [речь про их версию тригонометрии, урезанную, "настоящую", и "ненастоящую"] доказательства, однако считаем, что наши критерии [на основе которых большая часть тригонометрии была выписана из тригонометрии] куда точнее, чем критерии, рассматриваемые до нас". Сказать точно, кто укладывается в наши рамки, а кто нет, мы не можем, но мы точно первые. Не чудесно ли?
А доказательства, повторюсь, хорошие. Если б ещё не врали обозреватели о том, что девочки реально сделали, то было бы совсем замечательно. Навряд ли сами девочки это додумались вписать в работу, впрочем, как знать, конечно, но ни их преподавателю, который их доказательства отправлял в журнал и, вероятно, помогал писать текст, ни рецензентам журнала это всё чести не делает, что подобное прошло в журнал.
И да, и нет
@@konstantinzhulev7437 к счастью, в этом доказательстве теорема косинусов не использовалась. Использовалась теорема синусов. А ее доказательство строится на определении синуса.
Ура, может все таки решу какую-то нерешенную задачу.
У нас в Татарстане говорят "в Мамадыш через Париж", то есть чересчур усложнено. Но всё равно лайк, интересно было
Для любого триуголника а²= b²+с²-2bc×cos(b^c). Когда b^c= 90° то сos(b^c)= cos90°= 0.
В итоге а²=b²+c²- 2bc cos90° = b²+c² .
Них не понял, но очень интересно!
А изначально-то она как доказывалась?
Я ждал этого разбора нового доказательства на Qwerty)
пифагорейцы не знал арабских цифр. расскажи, пожалуйста, как греки и римляне вычисляли площадь. очень интересно узнать
А как оно в криволинейном пространстве?
Вроде звучит не так уж и сложно, раз я так понял по видео. Как не догадались за это время найти этот способ доказательство теоремы???
Да, это сложно, я бы не придумал. Но мне кажется, можно было бы выйти на это без сверхестественных навыков в математике.
метод "смотри" проще, понятнее и легко рисуется на листике в клеточку.
Ну я как математик сделала бы так, определила синус и косинус формально через ряды Тейлора(как и делают в тфкп), из них следует тригонометрическое тождество и если взять окружность то окажется что её коордианты записываются через косинус и синус откуда видно что отношение координаты y(противолежащего катета) к радиусу это синус, а х(прилежащего катета) к радиусу это косинус и потом так же как в видео через тригонометрическое тождество
Мне кажется возводить в квадрат бесконечную сумму будет неочень удобно))
Я бы выразил синус и косинус через экспоненту и уже возведя в квадрат, получил бы осн. триг. тождество
@@Jius-fg5zq через комплексную экспоненту вы имеете ввиду? Так тоже можно и даже красивее но все же не так общно и точно ибо все же формула Эйлера доказывается через комплексные ряды Тейлора, и я не вижу никакой трудности возведения в квадрат ряда, это просто будет ряд от бинома Ньютона
@@anime_erotika585 ладно, я бы не стал извращаться таким образом, всё таки я имею уважение к себе, хоть и математик
@@Jius-fg5zq Не вижу никакого извращения, так делается в тфкп и формально везде в математике синус и косинус определяются через ряды
Тогда нужно отдельно доказать, что тригонометрические функции "через ряды" - это те же самые синусы и косинусы, что и в треугольнике
Кто-то странно выглядит. Это как измерить кошку по хвосту. Другие 9 способов в студию. Плиз
а что за координатная сетка поверх изображения? телесуфлер?
2:17 определить ЧТО есть у треугольника гипотенуза в этом случае легко - это самая длинная сторона. зачем вы говорите, что это не понятно? вроде не глупый
Гипотенуза есть только у прямоугольного треугольника. Строго говоря пока не доказано что треугольник прямоугольный - гипотенузы у него нет.
@SashaGolds он не об этом говорит, пересмотри
@@donkeykong1974 именно это он и говорит. Сам пересмотри.
Говорит пока не доказали, что треугольник прямоугольный говорить и катетах и гипотенузах не корректно.
@@SashaGolds тяжёлый случай
Интересно, конечно, но с полной выкладкой формул было бы убедительней.
какие у вас сильные, однако, восьмиклассники )
Следующий шаг - доказательство через Теорию Множеств.😵💫
Если отрезки становятся все меньше, то почему бесконечность, вещь в конечном счете будет пересечение линий и продолжать бесконечно не получится
Получится
потому что Ахиллес никогда не догонит черепаху
@NickolasName что?
@@sunquake что что? Апории Зенона знать надо, неуч необразованная.
Мы токо в реальности ограничены масштабом но фактически такое можно бесконечно делать
Вот уж взрыв мозга да. Интересно))
Удивительно.
Ничего не понял. Но очень интересно..
Комментарий 2. Жаль терять время на проверку независимости Тригонометрического доказательства от геометрического. В математике всегда ценились изящность, проста доказательства, а здесь всё наоборот.
Серьёзным математикам это не нужно, а не потому, что не нашли :) Наверняка многие подобное придумывали, но придавали значения. И сйчас не придают. Они понимают, что способов бесконечно много. Только средняя длина записи новых доказательств будет расти (думаю, логарифмически).
В геом.прог. и в теореме син. не вшита теорема Пифагора? Ну дак и в других способах доказателства она не вшита. Они, даже, могли неявно использовать старые методы преобразований.
Интереснее найти общую систему связей всех способов доказательства (хотя бы имеющихся), вот это математикам было бы интересно.
И в названии стоит дописать "через тригонометрию и геометрическую прогрессию". Хотя, формально можно ГП выразить и через тригон-ю и сказать - ну вот видите, чисто тригон-е формулы :)
Мы в школе доказывали теорему Пифагора через тот факт, что косинус угла зависит только от угла, а не от треугольника.
А на этом канале можно задавать глубокие содержательные философские вопросы про то, чему равно значение выражения 6/2(1+2), или тут за это побьют? 😂
Я как человек, который АБСОЛЮТНО не знает геометрию и уж тем более тригонометрию. Ничего не понял, хоть и пытался вникнуть.
👍👍👍🔥🔥🔥
Комментарий 1: узелков не 3, 4 и 5, а 4, 5 и 6, отрезков 3, 4 и 5.
А зачем вообще это доказывать, Пифагору не верят?
Вообще ничего не понял, но очень интересно
белый фон как раз для олед дисплеев
Очень интересно, но ничего не понятно.
Объяснение "невозможного" доказательства теоремы Пифагора через тригонометрию. Математика на QWERTY
Георгий что-то не договаривает, или у человечества появился смысл жизни равный цели умноженной на путь и разделённый на π ?
Всего 500 баков и две умницы нашлись.
Очень интересно, но ничего не понятно)))
если ты такой умный и смог это все понять, то почему ты сам не сделал это раньше этих
двух смуглых тетек
знаешь где Америка? раз знаешь, то почему раньше Колумба не открыл?
Сколько у вас свободного времени!!!?!!. А, если бы все это да пользу человеству. Грустно.
Какое СЧАСТЬЕ, что закончил школу и институт 30 лет назад🎉. Пока смотрел это видео, такая тоска навалилась... По пальцам одной руки могу сосчитать случаи в жизни, когда мне понадобилась эта чёртова тригонометрия.
можно всегда найти путь через пукан
Что со звуком? Голос ужи режет.
Древнегреческий вариант мне нравится больше
автор геометрию неправильно представляет
надо представлятьчерез окружность.
это верное и наглдное представление.
ибо без окружности-это полная хренотень. так не учат.
окружность-это базовая фигура геометрии. без неё нет самой геометрии. это БАЗА.
фразы "прилежащая" - да вы вообще в школе учились? или из пеленок сразу на первый курс мехмата?...
вас любой учитель математики размажет по педагогике в тонкий слой икры...
вы тут взрослым людям несете элементарные вещи с умнывидом....и замороченными объяснениями..
Вся эта триганометрия это самая бесполезная штуковина
Вау!
вспоминается анекдот про неуловимого джо
Извините за скудоумие, но зачем и где это может пригодиться? Или это просто доказательство ради доказательства?)
Это типа жвачки для мозгов. А у этих девочек, видимо, с мальчиками совсем плохо. Иначе бы не занимались доказательством того, что доказано уже 2500 лет назад.
"Дайте ему монетку, бедняга ищет пользу" (кажется, это Пифагор сказал).
очень приятно слушать про науку, когда никакой охоты на ведьм/хейтеров нет. Просто очень приятно. Девчонки просто умницы, жаль, что вес лишний, тяжела будет жизнь и недолга, если так дальше будут нажирать ряхи. Но мозги работают сейчас, умнички!
Им повезло, что не в России родились, тут бы их загнобили, и ничего бы они не добились. За последние годы ни разу не слышал, чтобы в науке промелькнул кто-то из снг
@@r45her политики отмены на западе русских ученых не, не было и нет:). Тысяч ютубканалов заблоченных у русских тоже нет, так ведь?:)
@@r45her Я надеюсь, это шутка или вы в интернете недавно? Вы ничего не слышали про архиватор Бабушкина, про BolgenOS и про целую серию аналогичных сенсаций в СМИ, которые стали целым явлением. Эти африканцы сюда пришли с опозданием.
Круто! Интересно!
Может я слишком ленивый, но очень многа букаф. Доказательство то понятно, но слишком долго. Самое элементарное - самое совершенное.
Спасибо за видео. С уважением.
Это упрощённый вариант.
дело вообще не в поиске еще одного подтверждения. подтверждения достаточно и одного
Никогда не понимал понятие "доказательство" в математике. Вроде очевидные вещи, и применяются тысячи лет, а тебе говорят докажи))
Стоит начать учить математику с нуля
@stechvv высшую математику в универе сдал на 4-ку, но такое ощущение, что я математику не знаю от слова совсем)
Математики, как сыщики должны из косвенных улик придти к настоящему подозревемому
Нюанс в том, чтобы от очевидного перейти к любым числам вообще. Для этого и нужно доказательство. Очевидные частные случаи - это просто наблюдения
@delaware_jarvis очевидное, это обычно что то типа у квадрата стороны равны - докажи, белое не зеленое - докажи, 2 не равно 3 - докажи. Может конечно сильно утрирую но пытаюсь мысль донести)))
Слишком сложно до свидания
В мире много тайн и загадок, но Христос дал человеку эту земную жизнь лишь для того чтобы мы сделали выбор где мы хотим провести вечность и сохранить этот выбор до конца земной жизни и только для этого...
Врача врача позовите врача!!!
поехавший
@@Venom-Ua Христос сказал,, Идите по всему миру и проповедуйте Евангелие всей твари, кто будет веровать и креститься спасен будет, а кто не будет веровать осужден будет (от марка 16 :15 - 16), Ибо нет другого имени под небом, данного человекам, которым надлежало бы нам спастись (деяния 4 :12)! Если бы можно было спастись своими делами, то Христос бы не шел на смерть на кресте и мучения в этом не было бы никакого смысла, но Господь знал что нет другого способа спасти человечество от ада и вечных мучений, поэтому тот кто принимает эту жертву Христа в своей жизни и живёт по Слову Христа то пойдет на Небеса, а если отвергаете Христа и Его Слово то пойдете в ад навечно и там вас никто не будет спрашивать во что вы верите или не верите всем будет всеравно! Выбор за вами!
@@Generator_Breda Христос сказал про ад,, Там будет плачь и скрежет зубов (от матфея 8 :12), идти в геенну в огонь неугасимый, где червь не умирает и огонь не угасает (от марка 9 :43-44), и дым мучения их будет восходить во веки веков, и не будут иметь покоя ни днем ни ночью (откр. 14 :11)! Лучше я поверю Христу на Слово чем проверю на собственной шкуре в вечности, а так ли это или как то иначе, а дальше вечность когда уже ничего нельзя будет изменить или отмотать назад! Вы из тех кто проверит на собственной шкуре!
Вообще если это единственная цель, то грехом должно быть только убийство не определившихся, агностиков там например, атеистов. А остальные единственную цель уже достигли можно и на суд отправлять.
Надо тебя за подстрекательство привлечь
Меня тригонометрия в школе бесила из-за того, что её неправильно преподавали, это очень глупо заучивать, зазубривать противолежащие и прилежащие, прочую херню, её сейчас достоверно не вспомнишь, прошло 45 лет со школы, я сейчас нихрена не вспомню. А делается все гораздо проще: ставится точка на единичной окружности и смотришь: проекция на игрек, это синус проекция на икс, это косинус, ну и все остальные там вот элементарно, на единичной окружности и тангенгенс и все херни элементарно. Графически рисуются, и всё понятно, как и что считать, что на что умножать.
1. На какой оси - синус, на какой- косинус также надо зазубривать
2. Если изначально привязать определения тригонометрических функций к окружности, то ребенок их к решению задач с треугольниками просто не сможет применить, "потому что там нет окружности". Зазубривать определения функций скучно, но без этого не обойтись. Да и два определения - это не так уж много
@ДмитрийИонов-х6н зазубривать бесполезно, как потом проверить правильно ты помнишь или нет, а? То, что проекция на ось игрек синуса: синус идёт с 0 до единицы, он естественно процируется сюда на игрек, косинус идёт с единицы до 0 проецируется на икс, что тут непонятного, тут посмотреть на чертёж и все понять.