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- เผยแพร่เมื่อ 1 ก.พ. 2025
- 這次是上課中有一位建中生問了一題他們學校學習資料講義上的一題進階問題
題目是:已知L1:2x-3y+12=0,L2:5x+2y+11=0交於A點,今有一直線L過點P(-1,16),
且分別交L1與L2於B,C兩點,若P點在△ABC的BC邊上且L使△ABC的面積為最小,求L的方程式?
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題⽬來源:台北市立建國中學學習資料高一上圓與直線進階問題
謝謝曹老師幫我做的縮圖
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#數學題 #高中數學 #圓與直線 #李翰數學
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p 是中點猜得出來，當直線在轉時，很靠近其中一條直線時面積無限大，很靠近另一條直線時面積也是無限大，所以在中間時面積最小。當然，嚴謹證明還是要如同老師說寫👍
I wish I could have more teacher like this in my country, i just discovered your video and it's really good. Keep it up💪 Jesus bless.
已經脫離高中20年了，謝謝老師的引導式教學解惑，讓難題變簡單了
3:33直接(b÷a)+(a÷b)≧2√(b÷a)(a÷b)=2即可
3:33 (a/b+b/a) 可以直接 >= 2sqrt（a/b*b/a)
---
另外 类似的方法是: 作PD//AB交AC于D
ABC和DPC相似
S_ABC=S_DPC*(AC/CD)^2
=1/2(CD*h)*((AD+DC)/CD)^2
=h/2 * (AD^2/CD+CD+2AD)
只有CD是变动的，其它都是定值，所以可以 对AD^2/CD+CD 用同样的办法
詳解可能是解題專家寫的，
會解題不代表會教學，
也不代表會講解，
李漢老師邏輯比較正確，
前後有序，非常厲害。
這方法太炫了!!學起來!!!
謝謝老師
小弟第一時間想到等腰三角形，求過L1,L2交點到p點方程式L3，再求過p的L3法線
用點斜式, 求出面積跟斜率的關係， 再求極值
困難的是要想到畫平行線.....
可以不畫，直接證p是中點，面積最小。這個觀念應該是考三點一線的向量表示式。
老師好計算過程我都懂，但為啥當p是中點就是最小值
不等式等號成立在a=b啊
@@DavidLee-ot1wf 證明過程就是說服自己的過程，習慣用證明去理解，數學能力就會進步很多，更重要的是大學以後的數學都是這樣學的。
這是教師檢定的題目,拿來考高中生不太適合.
而且這種題目適合自己思考求解,拿來當例題講解後,會讓學生直接套結果忽略過程,養成壞習慣變得遲鈍!
這當教師檢定未免太簡單...
@hnh1808 考教檢的準老師們，程度也沒有多強啦。有興趣的話去做做各高中的教檢試題就知道，通常拿個五六十分就可以進入下一階段的篩選。
@@chunyu01 做過啦，但這種考高中生的甄試題目還真不曾做過，要證明P是中點有太多方法，如果是考教師，線性變換就秒證，我不確定你寫過多少教甄問題，但如果你有寫到這種題，請告訴我哪一年哪一份？
至於一階段考五六十，二階段一定刷掉啊，對於要200取1或400取1的普通高中，我有點不理解考試怎麼會有這種題目🤣
@hnh1808 在88課綱95課綱時代的教甄有不少這樣的考題。我那時期刷了一堆考題，這題應該是那時代的題目。
其實就是用相似型做延伸再求直線方程式
已證得a:b=1:1，所以AB跟AC中點連線會平行L，故求得AB跟AC中點連線方程式再帶入P點可得到L方程式
我看到最後，比較喜歡結尾的算法，較直觀的假設邏輯。
老師好，綠筆沒水了
要記得換墨水夾喔
@@0229294150 🤣🤣🤣
長大後進入知名科技公司工作了十年
我發現學這種東西這輩子完全用不到zzz
@@albert2592 電腦時代，數學不是拿用，而是拿來玩的。是“普世價值認可”的遊戲。
影片題目圖感覺是曹老師做的😂😂
這種題目可以直接理解為1:1
L就是求垂直AP斜率再過P點可以快速得到
AP不一定垂直L吧!
@@alexchow4263 要面積最小，只能垂直
@@likemonky 不對唷!我有另解請詳參...除非P恰在L1、L2角平分線上→AP才會垂直BC,否則一般AP都不會垂直BC的
@@alexchow4263題目要求最小面積，L勢必垂直AP才有最小面積，跟角平分線無關。
你可以先看完一次老師的詳解。我講的只是快速法
@@likemonky L垂直AP是這題的一特例,不能拿來做解題推論,也非快速解!老師解太煩,我解不用輔助線、向量,較簡單直覺易懂!
而且這題用L垂直AP解出是錯的吧!因P(-1,16)不在角平分線上,用L⊥AP解a⊿ABC非min吧!你可以列出你的詳解嗎?
我剛試算一下,if 用AP⊥L,解出L:x+7y-111=0,與L1,L2所圍a⊿ABC非min唷!(應該沒算錯)比L:3x+5y-11=0(PC=PB)所圍a⊿ABC還要大唷!
因為P不在角平分線,不能用垂直解!
凡AP⊥L、等腰⊿ABC、BCmin...推論求a⊿ABCmin都是一直覺思考誤區唷!
尤其BCmin≠(PC+PB)min,即當BCmin時(過P)→a⊿ABC並非min,需特別小心!
另解如述請參詳!
請問李翰老師，如果這個題目敘述最後的[使ΔABC面積為最小]這句話改為[使線段BC長度為最短]，那麼L的方程式又是如何呢？
參考,以參數點B、C與定點P求出直線BC,再求BCmin!
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參考(這也是盲點)經@hay7996提醒,我便宜行事了....重點:L不一定⊥角平分線!以下解法錯誤!有幸看到的同學就引為警惕吧!!
做L1,L2角平分線:√29(2x-3y+12)=±√13(2x-3y+12)
P帶入二角平分線+L1'、-L2'測試,得d(P,+L1')>d(P,-L2')→P較接近L2'取"-"值:√29(2x-3y+12)=-√13(2x-3y+12)
Set 過P(-1,16)→L:y-16=m*(x+1),
L⊥角平分線→斜率:m(L)*角平分線m=-1→m(L)=(2√13-3√29)/(2√29+5√13)帶入得
L: y-16=(2√13-3√29)/(2√29+5√13)×(x+1)...為所求
此時BCmin(≠(PC+PB)min)，且L垂直角平分線→AB=AC→⊿ABC為等腰⊿,※此時a⊿ABC非min,就只是過P之BCmin而已,若以為過P之BCmin→a⊿ABCmin是盲點誤區唷!
@@alexchow4263 你好，L好像不一定⊥角平分線哦
我試了L1: y=0，L2: x=0，然後P = (2, -6)
若L⊥角平分線，B和C就(8, 0), (0, -8)，然後BC是11.31
但若設C為(0, -10)，然後用P和C找B = (5, 0)，BC是11.18
我用微積分算最短的是當B = (2+72^1/3, 0) ~= (6.160, 0), C = (0, -6*(2+72^1/3)/(72^1/3)) ~= (0, -8.88), BC = 10.81
@@hay7996 只能用參數式表示B，再根據給定的P推C的參數式，BC線段用一階導數求極值。我以P(3, 4)和x, y軸作計算，算出的B和C點帶有3次根號，所以應該沒有國高中範圍內的幾何性質。
@@hay7996 懂你,我便宜行事了...應該用參數點B、C與定點P,求出直線PC,再求BC最短距離!我改一下...
我改了,用高中範圍可以求出L eq嗎?
之前我想法做法錯誤就不刪了,就丟人現眼吧!也是一種警惕,還是要實實在在推論才是!
@@LukeLee-m1m 對，我就是這樣算的，看起來沒有高中的幾何性質
A角角度固定
面積最小成立於兩邊相等
可行嗎
不行,等腰⊿←→BCmin求a⊿ABCmin,是直覺思考誤區唷!
我會用向量來做
👀
所以最後方程式是什麼
自己動手算
我比較好奇正常的解法/其他的解法會是怎樣
記錯公式，不過又想到了
P在(2x-3y+12)+(5x+2y+11)=0上
L1, L2交於A(-3, 2)，設M, N在L1, L2上
PA向量=PM向量+MA向量
(-2, -14)=(2, -5)s+(3, 2)t
=> s=2, t=-2
=> M(3, 6), N(-7, 12)
AMPN為平行四邊形
=>∆PMB~∆CNP(同位角相等，AA)
設 AM:MB=2: p, 且∆PMB= p²k, k為定值
則 ∆CNP=4k, AMPN=4pk
當 AMPN=2k
則 ∆PMB=(p/2)k, ∆CNP=(2/p)k
q=p/2, q+1/q≥2=> q=1, p=2
=> B(9, 10), C(-11, 22)
=> L: 3x+5y=77
發現求B, C是多餘的，MN與BC平行
@@鈞齊 看來還是必須想到平行四邊形這一步。如果沒想到也不會畫輔助線，大概就解不出了。
@@j65k6m30915
我是有想不畫平行四邊形的，但感覺會有些複雜不想算
一、直接最直覺地設L: y+1=m(x-16)
L1, L2解聯立得B, C得∆ABC面積
求面積極小值，二元一次得m
二、求A由L1, L2設B, C
AB, AC為定值，B, C, P 共線
求BC極小值，二元一次得B, C
@@j65k6m30915 有其他解法呀!