วีดีโอ

影片都沒看 直接跑來評論區看看大老們有誰 XD

所以我學這個要幹嘛

老師教你啦 上加下等於左加右

x+y+z=2 且 x,y,z皆為大於等於0的整數 這樣解不是應該只有6個嗎🤔 4！/（2！2！）

Deepseek 給出驚人的思考和正確答案

这小哥是李翰老师的儿子吗，好像😂

從頭到尾沒有說那個直角是怎麼看出來的

害我想到大學的時候算五題數學功課算兩三個小時還算不出來的惡夢🫨

高手高高手.👍

設: f₁(x) = abs( abs(x) - 1 ) f₂(x) = abs( f₁(x) - 2 ) f₃(x) = abs( f₂(x) - 3 ) ... 注意到: Σ( k=1 , 1+2+3+...+n ) f_n(k) = n(n+2)(2n-1) / 8 - (3/8) [ 1 + (-1)ⁿ⁺¹ ] / 2 代 n = 10 : Σ( k=1 , 55 ) f₁₀(k) = 285

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第三題應該是高一才會講的那種

李翰老師您好，有一個國外數學競試的問題，想請教您：圓周上平均分布n個偶數點,每兩個點為一組進行連線，每條線段連線都要等長，有哪些不同的連線方式呢？舉例來講，如果一個圓上平均分布八個點，給予編號12345678，可以畫出四種：（1-2）（3-4）（5-6）（7-8）、（1-3）（2-4）（5-7）（6-8）、（1-4）（5-8）（3-6）（2-7）、（1-5）（2-6）（3-7）（4-8）這4種連線方式，這4種連線方式的長度，以不同的弧長來講，分別是1111、2222、3333、4444。因此圓上有八個點的時候有四種連線方式。想請教的是，如果圓上有n個偶數點，是否都存在有n/2種連線方式呢？如果是為什麼？如果不是為什麼？有什麼規律可循呢？

好厲害的解法。不過，想請問如果把5,4,3分別改成r,b,c的話，那麼可以請李老師再示範一次如何以r,b,c表示出三角形ABC的面積嗎？謝謝！

我覺得可以這樣，因為AD=AF 所以假設AB=x,AC=x+1 然後三角形ABC用海龍 =ABO+ACO-BCO(用底乘高) 解出x 應該也是可行的解法

AO連線有剛好過E點嗎？從圖中看不太出來而且題目敘述也沒有說，這樣還有辦法解嗎？

沒有題目..???

👍

也可以這樣: 從四邊形ODBE 內角和可以推得∠B = 2α, 從四邊形OFCE 內角和可以推得∠C = 2β 可以簡單用2倍角公式得到 tan ∠B = tan 2α, tan ∠C = tan 2β 令AH 垂直與BC交BC於H. 令 x = BH, y = CH, 高 h = AH 則 h = BH tan ∠B, = CH tan ∠C, 且 x + y = 7 可以很容易解出 h . 面積自然是 1/2 BC h = 7h / 2

是不是可以用海龍公式

不會有0的循環喔！

請問：李翰有高中數學線上課程嗎？

其實老師說的沒錯，觀念強這份考卷很簡單 但是觀念強大到可以提提秒的學生本來就是非常前段班的學生 所以大部分的學生都會覺得難 高中數學博大精深，而且同學們不是只有數學要唸，要在兩年學習就完全吸收觀念內化其實做到的人不多 況且學測出題的類型和模考月考並不相同

我思考結果是,根號2倍的dt來自於,累加體積是由斜的圓柱體所累加的結果.其中根號2的dt是圓柱體的高度.

Easy

X1=20+k, X2=-15-k, X1+X2=20+k-15-k=5

馬上想到國中作法 國小版的完全沒想到哈哈

非常精彩！ 謝謝老師

可以參考科學教育月刊 第 336 期 陳昭地老師 探討一道旋轉體體積的命題、解題與成題

一開始沒想到就基本完蛋，靠賭來解題的

四次方有點麻煩

階差還蠻好理解的. 令 g(x) = f(x+2) - f(x) f是3次式, 顯然g(x) 最多是二次. 可以令 f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d, 計算看看就知道 f(x+2)-f(x)會把x^3 項消掉. 影片中的第二列就是 g(2001), g(2003), g(2005), g(2007). 同理, 令 h(x) = g(x+2) - g(x) 影片中的第三列就是 h(2001), h(2003), h(2005), 同樣的, g 是2次式, 則 h 最多是一次式. 令 m(x) = h(x+2) - h(x), 最後一列(第四列) 就是 m(2001), m(2003), m 最多是0次式. => m(x) 是常數. 所以才能在最後一列無腦重復前面的-18.

這題簡單😂 上一屆的真的讓我抓狂

卡丹

看到許多人認為還是需要用微積分來確認 當等號成立的時候，( 2/sinθ + 3/cosθ ) 確實恰好達到最小值 個人認為不需要微積分 因為現在的情況是 f(θ) g(θ) > or = K (K為正的常數) 且我們發現 當 等號成立時 g(θ)恰好同時達到最大值 所以等號成立的時候 f(θ) 必恰好達到最小值 至於我們如何確定 g(θ) 恰達到最大值 這個靠三角函數的疊合就行了 不需要微積分

我誤打誤撞用沙漏模型解出來 囧 只能說數學條條大路通羅馬 XD

奇偶函數強大要在微積分那邊才會見識到，後來就會打通任督二脈，明白為什麼之前三次函數要想辦法變成奇函數，二次函數要標準化。 這是當時在學習時的體悟

用幾何解比較快

可否請李翰老師挑戰一下剛剛結束的中山大學雙週一題第八題，我不會!! 而且公告的解答看不懂!!

謝謝老師，受益良多。 也先預祝老師新年快樂。

哈，太有趣了。我也是以三次方程式、卡當公式解的楔子去教這個部分。 😊

有沒有試過直接照相給GPT解？

以我的程度...只能用excel幫我了,2分鐘就得到答案跟圖形,即使如此,光看題目還是很難一眼就找出規律

其實…用excel驗算加上繪出圖表，不需要3分鐘

先將1~55分為10個臨界點 分別為1,1+2,1+2+3,1+2+3+4,... 即1,3,6,10,15,21,21,28,36,45,55 不同的臨界點f(x) 為不同函數 若x<y,則|x-yl<y<y+1,所以可以理解為一但運算中結果為負數,因絕對值變為正數後,之後的運算都必定會使用絕對值的性質。 例如對於最後1個臨界點10(55)，函數f(x)=x-55 對於臨界點9(45)，x≥45的數只需再計|(x-45)-10|就能得出答案。又知道"必定會使用絕對值的性質"，所以函數為f(x)=10-(x-45) 如此類推，可得 對於臨界點8(36),f(x)=(x-36)+1 對於臨界點7(28),f(x)=9-(x-28) 對於臨界點6(21),f(x)=(x-21)+2 對於臨界點5(15),f(x)=8-(x-15) 對於臨界點4(10),f(x)=(x-10)+3 對於臨界點3(6),f(x)=7-(x-6) 對於臨界點2(3),f(x)=(x-3)+4 對於臨界點1(1),f(x)=6-(x-1) 而對於臨界點n≤x<臨界點n+1，使用臨界點n的f(x)計算，例如當x=34，使用臨界點7的f(x)，即f(34)=9-(34-28)=3 注意，有(n+1)個數於臨界點n 所以f(1)+f(2)+f(3)+...f(55) =[f(1)+f(2)]+[f(3)+...f(5)]+[f(6)+...f(9)]+... =[6+5]+[4+5+6]+[7+6+5+4]+[3+4+5+6+7]+... =285

我心算暴力還比較快

13:22 老師不要呻吟啊😵