Os teoremas da incompletude de Gödel
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- เผยแพร่เมื่อ 11 ก.ค. 2024
- Quem é Kurt Gödel e por que os seus teoremas causaram tanto impacto?
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CAPÍTULOS
00:00 - O ideal da cosmovisão
0:44 - Sistemas formais
2:51 - Dois ideais de todo sistema
3:53 - Os teoremas da incompletude
5:11 - Consequências
6:24 - Finalização
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Lógica formal moderna
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Introdução à Lógica, de Harry J. Gensler
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Lógica Informal, de Douglas N. Walton
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Nussa! Nunca vi um professor explicar com tanta clareza todo esse contexto dos teoremas da incompletude.
Tem um pessoal nos comentários que é um pouco arrogante. Esse tipo de público é difícil, muita gente se acha o sabe-tudo. É muita vaidade. Quero ver os grande resultados desses "sábios".
Mal sabe como esperei esse video.
Muito bom, esse é um dos assuntos que mais me intrigam na lógica
Video foda muito bom
Didático e claro.
Falei sobre isso na escola, povo me chamou de doido...
E eu imagino que tu reconheceu, com orgulho, que tu é doido.
Eu conhecia este canal ontem e não vai ter jeito: vou ter que assistir a todos os vídeos. O que é esse cara e onde ele estava?!
A Hipótese do continuo em Matemática contemporânea é um bom exemplo disto.
Um bom exemplo do que?
Barba tá ficando bonita em
Bom dia! Minha dúvida: os métodos propostos pelos softwares de "inteligência artificial" podem praticar o Raciocínio Lógico ou a partir da lógica booleana apenas uma aproximação da lógica formal sem um compromisso com a verdade real em relação a pergunta apresentada ?
Minha resposta ao @Senhor_Bolacha, que não entendi pq não está enviando: Bem, na época não era óbvio, contrariava o programa formalista do século passado, q era impulsionado por hilbert e outros. Sobre a matematização, eu não sei como os escolásticos concluíram isso, mas formalizando matematicamente não restou dúvidas pra quem acreditava q era possível provar tudo na matemática. E desenvolveu ferramentas teóricas pra atacar outros problemas. Além de ter implicações, como no estudo de grandes cardinais e em teoria das categorias, por exemplo. Mas eu tô longe de entender sobre isso, só vagamente.
A real é que acho que ele não entendeu o problema. Analisando o que ele respondeu, ele parece achar simplificadamente que Godel provou que existem problemas que não podem ser resolvidos com matemática. Só que Godel provou que existem problemas MATEMÁTICOS que não podem ser resolvidos com matemática. É completamente diferente.
@@Felipe_Ribeir0 Tem razão, acho q a confusão foi com isso mesmo
Faz um vídeo falando se os teoremas da incompletude de Gödel impõem restrições ao desenvolvimento de IAs
Não, inclusive o S. Russel fala sobre isso.
Alguem indica um vídeo explicando como Gödel demonstrou os teoremas, por favor?
Deve ter em inglês
Eu comentei lá em cima, mas vou copiar e colar pra vc:
@thiagosousa2035
há 17 horas (editado)
Acho que consigo enunciar o raciocínio da demonstração que Godel fez desses teoremas. SEGUE ABAIXO A DEMONSTRAÇÃO:
A explicação inicial será grande só pra familiarizar vcs com os elementos do raciocínio, mas o raciocínio em si que se encontra no final é bem simples.
Estamos falando de sistemas aritméticos. Proposições matemáticas são chamadas de Teoremas, os quais possuem uma demonstração lógica a partir de axiomas. Então temos: AXIOMAS -> DEMONSTRAÇÕES -> TEOREMAS
Godel codificou a linguagem dos três (axioma, demonstração e teorema) em 9 símbolos e atribuiu um número pra cada.
1 ~ (negação)
2 => (implicação)
3 X (variável)
4 = (igual)
5 0 (zero)
6 S (sucessor)
7 ) (pontuação)
8 ( (pontuação)
9 , (nova variável)
Portanto cada um dos símbolos possui um número de Godel.
E cada PROPOSIÇÃO composta por esses símbolos possuiria um número de Godel tbm
(que seria a multiplicação dos números primos elevados ao número de Godel de cada simbolo (oq é irrelevante pra nós)).
Então tanto TEOREMAS como AXIOMAS (que são proposições) possuem um número de Godel.
Já as DEMONSTRAÇÕES são formadas por várias PROPOSIÇÕES.
Como cada PROPOSIÇÃO tem seu número de Godel assim como os símbolos, o raciocínio é o mesmo:
Cada DEMONSTRAÇÃO tbm teria seu número de Godel
(que seria formado pela multiplicação dos números primos elevados ao número de Godel de cada PROPOSIÇÃO (o cálculo é irrelevante pra nós))
AGORA O RACIONÍCIO SIMPLES QUE GODEL TEVE:
Proposição 1: É impossível provar a proposição com o "número de Godel G"
E o número de Godel da "Proposição 1" seria justamente o "Número de Godel G"
ENTÃO, vamos supor que a Proposição 1 seja verdadeira:
É impossível provar a proposição com o número de Godel G => VERDADEIRO
Daí concluímos que mesmo a proposição sendo verdadeira, seria impossível de prova-la.
Portanto o sistema seria IMCOMPLETO, (pois existiriam proposições verdadeiras impossíveis de provar dentro do sistema).
AGORA, vamos supor que a Proposição 1 seja falsa:
É impossível provar a proposição com o número de Godel G => FALSO
Daí concluímos que seria possível provar a Proposição 1 mesmo ela sendo falsa.
Portanto o sistema seria INCONSISTENTE, (pois existiriam proposições falsas sendo provadas dentro do sistema).
É isso, boa tarde, vou voltar a bater laje aqui no vizinho, vlw.
Os canais Numberphile e Veritasium tem bons videos. Da pra ter uma boa ideia.
No canal Ad Infinitum tem uma playlist de vídeos contendo a demonstração (tomando a Aritmética de Peano como base). th-cam.com/video/haLdRqnu_Uk/w-d-xo.html
2:55 Corretude??? Essa terminologia é atual?
Opa
esse teorema não inviabiliza o ideal da física moderna em reduzir tudo à uma só teoria e consequentemente não refuta logicamente o fisicalismo?
Acho que não necessariamente... se estiver falando sobre a unificação das teorias de gravidade e mecânica quântica, o problema é que não encontraram o artefato no mundo real que permitiria a união das duas teorias, e talvez não encontrem, não dá pra saber, mas de qualquer forma, existe um limite pra até onde o conhecimento pode chegar de forma objetiva devido aos limites do próprio universo, o restante é especulativo, mas não significa que não tenha rigor pra ser validado pois ainda que não possa ser observado diretamente, precisa interagir e ser coerente com a realidade observável em algum nível pra ser levado a sério. essa parte especulativa mas coerente pra explicar os fenomenos da realidade observavel seria o objeto externo ao sistema que pode ser utilizado para fundamentar indagacoes sobre o proprio sistema, a matematica é capaz disso muitas vezes, pois enquanto a fisica se limita ao estudo da realidade, a matematica pode se extender para nocoes mais abstratas e que nao necessariamente podem existir na vida real, ainda que sejam bem definidas... não sei se fui claro o suficiente ou até se cometi algum erro grosseiro na resposta, mas foi o que consegui entender da sua pergunta e formular como resposta no momento
@@GabrielPalaganiboa explicação
@@GabrielPalagania própria mecânica quântica mostrou que a questão da realidade, que chamaremos para nós de Macro cosmos, não é o que pensamos. Nós vemos uma realidade imediata e sem decoerência, na qual devem valer princípios mais "lógicos" porém no mundo quântico nada disso vale.
Por exemplo o caso do tunelamento quântico, no macrocosmos devemos supor que se algo não tem energia suficiente ele estaria proibido de acessar um lugar de maior potencial, chamamos isso na física de poços potenciais, então você nunca iria conseguir atingir potenciais maiores do que toda a energia que você possuí. Porém na quântica o tunelamento quântico é justamente isso, partículas podem passar por zonas proibidas mesmo não tendo a energia necessária para isso.
E qnd usam essa incompletude de godel em filosofia ? É valido ou é só em matematica
Pq choras hilbert
Acho que consigo enunciar o raciocínio da demonstração que Godel fez desses teoremas. SEGUE ABAIXO A DEMONSTRAÇÃO:
A explicação inicial será grande só pra familiarizar vcs com os elementos do raciocínio, mas o raciocínio em si que se encontra no final é bem simples.
Estamos falando de sistemas aritméticos. Proposições matemáticas são chamadas de Teoremas, os quais possuem uma demonstração lógica a partir de axiomas. Então temos: AXIOMAS -> DEMONSTRAÇÕES -> TEOREMAS
Godel codificou a linguagem dos três (axioma, demonstração e teorema) em 9 símbolos e atribuiu um número pra cada.
1 ~ (negação)
2 => (implicação)
3 X (variável)
4 = (igual)
5 0 (zero)
6 S (sucessor)
7 ) (pontuação)
8 ( (pontuação)
9 , (nova variável)
Portanto cada um dos símbolos possui um número de Godel.
E cada PROPOSIÇÃO composta por esses símbolos possuiria um número de Godel tbm
(que seria a multiplicação dos números primos elevados ao número de Godel de cada simbolo (oq é irrelevante pra nós)).
Então tanto TEOREMAS como AXIOMAS (que são proposições) possuem um número de Godel.
Já as DEMONSTRAÇÕES são formadas por várias PROPOSIÇÕES.
Como cada PROPOSIÇÃO tem seu número de Godel assim como os símbolos, o raciocínio é o mesmo:
Cada DEMONSTRAÇÃO tbm teria seu número de Godel
(que seria formado pela multiplicação dos números primos elevados ao número de Godel de cada PROPOSIÇÃO (o cálculo é irrelevante pra nós))
AGORA O RACIONÍCIO SIMPLES QUE GODEL TEVE:
Proposição 1: É impossível provar a proposição com o "número de Godel G"
E o número de Godel da "Proposição 1" seria justamente o "Número de Godel G"
ENTÃO, vamos supor que a Proposição 1 seja verdadeira:
É impossível provar a proposição com o número de Godel G => VERDADEIRO
Daí concluímos que mesmo a proposição sendo verdadeira, seria impossível de prova-la.
Portanto o sistema seria IMCOMPLETO, (pois existiriam proposições verdadeiras impossíveis de provar dentro do sistema).
AGORA, vamos supor que a Proposição 1 seja falsa:
É impossível provar a proposição com o número de Godel G => FALSO
Daí concluímos que seria possível provar a Proposição 1 mesmo ela sendo falsa.
Portanto o sistema seria INCONSISTENTE, (pois existiriam proposições falsas sendo provadas dentro do sistema).
É isso, boa tarde, vou voltar a bater laje aqui no vizinho, vlw.
Se for enunciar, usa os termos "consistência" e "completude". Não "corretude". Terminho estranho.
@@samueldeandrade8535 está feito, editei o comentário e coloquei o raciocínio.
Hahahaha. Muito bom. Tua explicação é melhor que a do vídeo.
Caramba essa explicação é idêntica ao do canal tem ciência, inclusive tem um comentário seu lá.
Valeu
Godel era dodói da cabeça
E quem não é?
Vc cometeu vários erros nesse vídeo, infelizmente :/
# Sistemas Formais
É verdade que todo sistema lógico é também um sistema formal, mas um elemento que vc omitiu é justamente o que diferencia esses dois conceitos: a semântica formal. Ela também é definida formalmente, usando estruturas matemáticas, e é fundamental para falar sobre Corretude e Completude. Sem a semântica formal, as sentenças do sistema são só sequências de símbolos sem significado. E é justamente a interpretação intuitiva da semântica formal que permite conectar o sistema lógico com a realidade.
# Dois ideais de todo sistema
Quando se define um sistema lógico, um dos primeiros passos é justamente provar os Teoremas de Corretude e Completude do sistema. Eles não expressam nenhuma relação com a realidade, representam apenas a compatibilidade do sistema dedutivo (de natureza sintática, computacional) e a semântica formal. E sim, são teoremas. O Teorema da Completude de Gödel (sim, da completude) prova justamente que a Lógica de Primeira Ordem é completa: sua semântica formal é compatível com seu sistema dedutivo.
# Os teoremas da incompletude
Nessa parte vc comete um erro bem comum: confundir o conceito de completude de um sistema lógico (que comentei anteriormente) com o conceito de completude de uma teoria. Uma teoria existe dentro de um sistema lógico, e ela é completa quando para qualquer sentença P do sistema, vc é capaz de provar P ou refutar P (provar ¬P) dentro da teoria.
Mas vc foi além, e confundiu conceitos que nem tem nomes próximos: corretude e consistência. Novamente, consistência é sobre teorias. Uma teoria é consistente quando vc não é capaz de provar uma contradição dentro dela. Não tem ligação nenhuma com corretude de sistemas lógicos. Até porque o Teorema da Corretude também se aplica a teorias inconsistentes.
Sinceramente, vc confundir esses conceitos mostra que vc não entende muito sobre Lógica Moderna...
E vc omitiu uma das hipóteses dos Teoremas da Incompletude: os axiomas da teoria precisam ser computáveis, ou seja, precisa existir um programa de computador capaz de determinar se uma sentença é axioma da teoria ou não. Existem teorias completas, consistentes e que expressam a aritmética, mas não satisfazem essa hipótese.
Aproveitando que tu parece ser uma expert ...
Esse termo "corretude" é da Lógica? É um termo antigo ou moderno? Quando eu vi sobre isso era "consistência" e "completude". Pelo que eu vi esse termo tá mais associado a Teoria de Computação do que à Lógica. A explicação que ele deu nem corresponde ao que "consistência" deveria ser.
"Eles não expressam nenhuma relação com a realidade ..."
P-E-R-F-E-I-T-O. Exatamente o que eu pensei. Quando ele falou de descrição de realidade, etc, eu pensei "tá viajando".
@@samueldeandrade8535 Sim, ele é usado na Lógica até hoje. Em inglês, o termo que se usa é "Soundness".
Pensando na Lógica de Primeira Ordem, o Teorema da Corretude diz basicamente que se uma sentença pode ser provada dentro de uma teoria, então essa sentença é verdadeira em todos os modelos dessa teoria.
O Teorema da Completude é a recíproca: se uma sentença é verdadeira em todos os modelos de uma teoria, então ela pode ser provada dentro da teoria.
@@anacarolina.h eu nunca vi "Soundness" usado na Lógica nesse contexto, só na Retórica. Interessante.
@@anacarolina.h o que tu é? Estudante? Professora? Tu é bem sabida!
Me perdoe por ser chato, mas comentários servem para encher a paciência mesmo: 6min: vc afirma que "sistemas mais simples podem ser funcionais" ... mas o teorema do Godel diz que os sistemas, nas condiões escolhidas por ele, não são funcionais?
Embora a minha fala conote isso, não é o que eu quis dizer. As minhas outras falas deixam isso claro.
@@Victorelius Estás perdoado meu jovem... hehehehhe
Hummm não gostei da explicação...
Eu tbm não.
Gödel só disse o óbvio. Essa mania de matematicizar só leva a mais problemas do que soluções. Algumas pessoas pensam que podem falar com integrais, enquanto outras pensam que podem construir pontes com frases. Cada uma coisa no seu próprio escopo, com uma centralidade na figura perfeita do logos.
obvio tipo a terra não ser plana ? :v
@@crowgameplay5455 Poisé, não é infelizmente, it's over
perfeito
Pensamento fraco, não tem nada de óbvio nisso e não tem como de forma sem a matemática. A única coisa que conseguiria é um monte de masturbação mental por pessoas que fingiram que entenderiam pra parecer inteligente, como é o caso da maioria dos estudos dos conhecimentos humanos com linguagem natural.
😂 Mas que arrogância a pessoa precisa ter pra reduzir algo q n entende a "algo óbvio".
6:52 Ridículo. Lógica tradicional ... Cara que diz isso não sabe nada de Lógica. Me desculpa, mas não dá.
E você que nem conhece o termo corretude, sabe? 😂
@@Victorelius ah pq é muito importante saber um termo específico, não é? Saber o nome de uma coisa é mais importante do que a própria coisa, é isso? Ou, melhor, pra eu criticar algo eu preciso saber o nome certinho de tudo?
Desonestidade intelectual: a gente vê nesse canal.
@@samueldeandrade8535bom, cite um canal de lógica que realmente seja profissional e coerente.
Não estou defendendo ele, realmente quero saber, como um mero leigo de lógica buscando o melhor ensino.
@@user-wx9li4ml8o bah, mano, não faço idéia. Não acompanho canais de Lógica. Quem sabe eu devia fazer um. Na verdade, bora montar um canal? Hahahahahaha.
@@samueldeandrade8535 bom, se eu nem sequer entendo o assunto: como poderia ensina-lo?
A propósito, como você veio parar aqui se não tem interesse no estudo da lógica?! Eu mesmo só parei aqui por que meus interesses são bem entrelaçados com a ideia do canal (estudo da lógica e filosofia).
Acho que deveria ter incluído dizer que o sistema precisa ser computacionalmente axiomatizavel. Isso é uma das premissas que as pessoas esquecem, o 1o teorema diz que se uma teoria for suficientemente forte e computacionalmente axiomatizavel, entao ela é inconsistente ou incompleta. Se desconsiderar a premissa que eu falei, true arithmetic:
en.wikipedia.org/wiki/True_arithmetic?wprov=sfla1
É um contraexemplo, é completa e consistente