【微積分#53】広義積分の収束条件

[@tamaki_py]

12:20 あたりで x_n → a (x_n ≠ a) に対し lim_{x → a} f(x) が収束するならば f(x_n) はコーシー列になり, Prop 7. から収束するというのは分かりましたが,
12:37 あたりで Prop 9 の十分条件「∀ x_n (x_n ≠ a) に対し, lim_{n → ∞} f(x_n) = A ⇒ lim_{x → a} f(x) = A」を用いるには,
2 つの数列 x_n → a (x_n ≠ a), y_n → a (y_n ≠ a) から作られるコーシー列 f(x_n), f(y_n) が同じ値 A に収束しないと使えませんので, そこで引っかかりました.
ただこれに関しては仮定の ∀ε > 0 に対して決まる δ > 0 に対し,
∃N s.t. n ≧ N ⇒ 0 < |x_n - a| < δ
∃N' s.t. n ≧ N' ⇒ 0 < |y_n - a| < δ
なので, N" = max{N, N'} とすれば,
∃N" s.t. n ≧ N" ⇒ 0 < |x_n - a| < δ かつ 0 < |y_n - a| < δ
となって, |f(x_n) - f(y_n)| < ε がいえます.
つまり,
∀ε > 0, ∃N" s.t. n ≧ N" ⇒ |f(x_n) - f(y_n)| < ε
が言えるので, 数列 f(x_n) - f(y_n) は 0 に収束することが言えますね.
よって f(x_n), f(y_n) は同じ値に収束することがわかるので, Prop 9 の十分条件を適用しても大丈夫だと確認できました💪

[@にゃんちゅう-t8c]

動画中のx_n、x_mは数列{xn}のN以降の項(n,m>=N)を取り出しているだけでx_n、y_nのような別の数列の項ではないと思われます。aに収束する数列{xn}のN以降の項x_n,x_mに対して、示そうとしていることの仮定から|f(x_n)-f(x_m)|

[@楽しむ工学徒]

おもしろい

[@っちゃん坊]

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