文系必須❗️【2024静岡文化芸術大学】第1問 数Ⅱ微積分

[@eltonpolna3279]

改めまして当方の質問設問を投稿させていただきます。お時間の許される限りで動画解説いただければ幸いです。
今回は【有理数と無理数】および【３次/４次方程式の解と係数の関係】に関する２設問の投稿になります。：
【視聴者からの質問】
『設問①：無理数 α に対して，p=α³-α²-3α+2，q=α³-5α+4 の２数がともに有理数になるという。このときの α,p,q の値を求めよ。』
『設問②：次の各問に答えよ。
(1) ２つの数 a,b が方程式 x³-px²+qx-r=0 (r≠0) の解であるとき，数 ab は方程式 x³-qx²+prx-r²=0 の解であることを示せ。
(2) ２つの数 a,b が方程式 x⁴+x²-x+1=0 の解であるとき，数 ab は方程式 x⁶-x⁵-x⁴+x³-x²-x+1=0 の解であることを示せ。』

[@eltonpolna3279]

上記の当方設問①および設問②の「答案例」を投稿しておきます。「叩き台｣｢別解」などのご参考になれば幸いです。：
【設問①】
与式：
p=α³-α²-3α+2 ･･①
q=α³-5α+4 ･･②
②-① から，
q-p=α²-2α+2 ･･③
今，③の左辺を q-p≡r とおくと，r は有理数となり
α²-2α+2-r=0 ･･④
q を④の左辺で割ると，
q
=α³-5α+4
=(α²-2α+2-r)(α+2)+(r-3)α+2r
④より，
q=(r-3)α+2r (∵④)
q,r-3,2r が有理数，αが無理数だから，
q=2r,
r-3=0
∴r=3,q=6■
これを④に代入して，
α²-2α-1＝0
∴α=1±√2■
また，q-p=r より，
p
=q-r
=6-3
=3■
【別解(設問①)】
与式：
p=α³-α²-3α+2 ･･①
q=α³-5α+4 ･･②
②-① より，
q-p=α²-2α+2
∴α²=2α+q-p-2 ･･⑤
したがって，
α³
=α･α²
=α(2α+q-p-2)
=2α²+α(q-p-2)
=2(2α+q-p-2)+α(q-p-2)
=α(q-p+2)+2(q-p-2)
これを②に代入して，
q=α(q-p+2)+2(q-p-2)-5α+4
∴α(q-p-3)+(q-2p)=0
ここで，p,q が有理数，αが無理数だから，
q-p-3=0,
q-2p=0
∴p=3,q=6■
これを⑤に代入して，
α²-2α-1=0
∴α=1±√2■
【設問②】
(1)
与方程式の３つの解を a,b,c とすると，
a+b+c=p ･･①
ab+bc+ca=q ･･②
abc=r ･･③
①を②に代入して，
ab+c(p-c)=q
今，ab≡t とおくと
t=c²-cp+q ･･④
また③から，
tc=r
これを ④×t² に代入して，
t³=r²-tpr+qt²
∴t³-qt²prt-r²=0
∴(ab)²-q(ab)²+pr(ab)-r²＝0
よって，数 ab(=t) は方程式 x³-qx²+prx-r²=0 の解である.■
(2)
与方程式の４つの解を a,b,c,d とすると，
x⁴+x²-x+1=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)
と書けるから，右辺を展開し係数を比較すると，
a+b+c+d=0 ･･⑤
ab+ac+ad+bc+bd+cd=1 ･･⑥
abc+abd+acd+bcd=1 ･･⑦
abcd=1 ･･⑧
⑤から，
c+d=-(a+b) ･･⑨
⑨を⑥に代入して ab≡t とおくと，
t-(a+b)²+cd=1
∴(a+b)²=t+cd-1 ･･⑩
また，⑨を⑦に代入すると，
-t(a+b)+cd(a+b)=1
∴(t-cd)(a+b)=-1 ･･⑪
⑪の両辺を平方した式に⑩を代入すると，
(t-cd)²(t+cd-1)=1
∴(t²-cdt)²(t²+cdt-t)=t³ ･･⑫
⑫に⑧(cdt=1) を代入して，
(t²-1)²(t²-t-1)-t³=0
∴t⁶-t⁵-t⁴+t³-t²-t+1=0
よって，数 ab(=t) は方程式 x⁶-x⁵-x⁴+x³-x²-x+1=0 の解である.■

[@chiho_juken]

視聴者さんが好きそうな高次方程式の問題をありがとうございます。
係数が絶妙ですね〜
設問2は、複素数平面の定番の計算にも通ずるものがあり、文理問わず受験生のお役に立ちそうな予感です。
設問の投稿順が前後しますが、なるべく全て投稿する予定でいます。
よろしくお願いします(^^)

[@ジン-m1t]

(3）(ｘの3乗）－9×(ｘの2乗）＋15ｘ＋9…①として，(ｘ－3）×［(ｘの2乗）－6ｘ－3］…②とします。①から②に変形するにあたって組み立て除法や割り算を使って導くのは極当たり前で大正解ですが，これらを使わなくても因数分解は出来ます。まず②は，(ｘ－3）×(……）の形になりますので，①の3次の項の係数は1なので，(ｘ－3）×［(ｘの2乗）………］となります。そして2次の項は(1次の項）×(1次の項）と(定数項）×(2次の項）となりますので，まず－3×(ｘの2乗）が出てきて①から(2次の項）の係数は－9なので(ｘ－3）×［(ｘの2乗）－6ｘ……］の形になり，最後は定数項ですが①の定数項は9，(ｘ－3）の定数項が－3なのでこの結果，①は(ｘ－3）×［(ｘの2乗）－6ｘ－3］つまり②に変形出来ます(余計なお世話でスイマセン…笑…）

[@chiho_juken]

受験生は、注目してください❗️
動画では、組み立て除法で因数分解をしましたが、x-3 が因数として分かっているので、コメントのように、もう片方の因数も見つかります！
ナイスなコメントをありがとうございます(^^)

[@みふゆもあ]

f(1)とf(5)が極値でf(x)=0の3つの異なる実数解が対称性な配置であれば、3次関数の対称性から
f(1)+f(5)=0, ∴c=9
としました😊

[@chiho_juken]

受験生は、注目してください❗️
対称性を使えば、超早い速いです。
ナイスなコメントを、ありがとうございます(^^)
トナカイが、かわいいですね〜

[@みふゆもあ]

ヤギなの…😅

[@chiho_juken]

これは大変失礼しました。ぺこり。
ヤギも、めっちゃ可愛いですね〜(^^)

[@いまひろ09]

(3)は
3次関数の対称性よりx₂は変曲点に等しく、極値の中点なので
x₂=(1+5)/2=3とわかります。
あるいは
f"(x)=6x-18=0よりx=3
f(3)＝0より
27-81+45+c=0
∴c=-9
解と係数の関係より
x₁+x₂+x₃=9
x₂=3よりx₁+x₃=6
x₁x₂x₃=-9よりx₁x₃=-3
よって、
x₁、x₃は2次関数t²-6t-3=0の解となり、
(t-3)²-12=0よりt=3±2√3
したがって、
x₁

[@chiho_juken]

対称性が使えれば、早い速いですね。
解と係数の関係も、受験生にはたゃんと使えて欲しいです。
いつも、ありがとうございます(^^)

[@vacuumcarexpo]

暗算チャレンジ成功❗
結構疲れるわ。

[@chiho_juken]

疲れても、出来るのが流石です❗️(^^)

[@bkkboy-cm3eb]

f‘(1)=f‘(5)=0より f‘(x)=3(x²-6x+5)
よって f(x)=x³-9x²+15x+c
解と係数の関係より
x₁+x₂+x₃=9
x₁x₂+x₂x₃+x₃x₁=15
x₁x₂x₃=c
x₃=2x₂-x₁
これらより
x₁=3-2√3 x₂=3, x₃=3+2√3, c=-9

[@chiho_juken]

今日も、超絶シンプル解答をありがとうございます(^^)
受験生は、解と係数の関係をお忘れなく！

[@かきくけこあいうえお-z4e]

全部できた！

[@chiho_juken]

お〜素晴らしい❗️

[@ヨードホルム-w5p]

x=1.5で極値をとるならf'(1)=f'(5)=0ですがこれによって得られたa.bの値のとき必ずしも極値を持つとは言えないので十分性チェックのため増減表まで書いた方がいいですか？

[@chiho_juken]

おっしゃる通り、十分性のチェックをした方がよいです。増減表とグラフまであれば、減点はないですね〜(^^)
ナイスコメントをありがとうございます。
これからも、よろしくお願いします。